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  • 2019-06-07 17:53:19

    本项目的部分代码参考自下面博客

    https://www.cnblogs.com/lan-yt/p/9200621.html

     

    最近项目中涉及到使用Unity3D来进行地图上国家的渲染,比如把中国圈起来染成红色的这样的需求。

    Unity3D把区域渲染是用的MeshRender,关于MeshRender的用法我就不详细讲解了。

    最终问题卡在一个点上,对于中国边界这样的凹多边形,如何将其剖分为一系列三角形。

    本来以为这是个最常见的问题,应该会有很多求解方法的,结果我找了半天,就找到了上面给出网址的那个博客,而没找到成形的源码。

    还好那个博客上有代码,就按照那个博客上的代码,运行了一下,反正在我电脑上有点小的BUG。

    不过这个BUG很容易修改,虽然我忘记我是怎么修改的了,后来运行成功了。

    于是,我就找到中国边界数据,把它读进去,然后运行。

    等了一会儿,系统爆栈了,因为那个博客中算法用到了递归,而中国边界有八千多个点,一个点递归一次,需要递归八千次。

    不得已,只好自己写代码了。

    后来看到了一个翻译来自日本的凹多边形剖分算法,耳切法。

    博客地址:

    https://blog.csdn.net/u010019717/article/details/52753855

    根据第二个博客中的思想,来设计如下算法:

    步骤一:将多边形的所有点读入数组V中。

    步骤二:判断该多边形是否为凸多边形,如果为凸多边形,按照凸多边形剖分算法进行处理,算法结束,否则转到步骤三。

    步骤三:将所有顶点的序号读入一个数组A中保存起来,然后遍历多边形的顶点,判断每个顶点是否为“耳朵节点”,然后将所有“耳朵节点”保存到数组B。

    步骤四:如果耳朵节点数组B为空或者顶点数组V的顶点数组小于三,则算法结束。否则,取出耳朵节点中的第一个顶点P来。

    步骤五:找到该节点的前序节点M和后序节点N,这三个点MPN组成一个三角形,保存到结果数组R中,然后,把当前顶点P从耳朵节点中去掉,从数组V中去掉,从序号数组B中去掉。

    步骤六:前序节点M和后序节点N,成为了“耳朵节点”的候选。则分别判断M与N是不是耳朵节点,如果是耳朵节点,且没有在当前的耳朵节点数组B中,则将判断为耳朵节点的点放入耳朵节点数组B中。

    步骤七:跳转到步骤四。

     

    然后通过以上算法,就得到了最终的结果,这个算法没有使用递归,算法的效率还行。

     

    这个是我算法运行的结果。

    算法源码:

    https://download.csdn.net/download/kongxinyue/11230469

     

     

     

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    最小代价多边形三角剖分

    凸多边形的三角剖分是通过在非相邻顶点(角点)之间绘制对角线来形成的,这样对角线就不会相交。问题是如何以最小的代价找到三角剖分的代价。三角剖分的代价是其组成三角形的权重之和。每个三角形的重量是其周长(所有边的长度之和)

    请参阅以下来源的示例。

    多项式三角

    同一凸五边形的两个三角剖分。左侧的三角测量的成本为8+2√2+2√5(约15.30),右侧的成本为4+2√2 + 4√5(约15.77)。

    建议:在继续解决方案之前,请先在{IDE}上尝试您的方法。


    该问题具有递归子结构。其思想是将多边形分为三部分:单个三角形、左侧的子多边形和右侧的子多边形。我们尝试所有可能的分割,像这样,找到一个最小化三角形成本加上两个子多边形三角剖分成本的分割。

    设顶点从i到j的三角剖分的最小代价为最小代价(i,j)

    如果j<=i+2,则

    最小成本(i,j)=0

    其他的

    最小成本(i,j)=最小{最小成本(i,k)+最小成本(k,j)+成本(i,k,j)}

    这里k从“i+1”到“j-1”变化

    由边(i,j)、(j,k)和(k,i)形成的三角形的成本为

    成本(i,j,k)=距离(i,j)+距离(j,k)+距离(k,i)

    源程序

    using System;
    using System.Collections;
    using System.Collections.Generic;
    
    using Legalsoft.Truffer.TGraph;
    
    namespace Legalsoft.Truffer.Algorithm
    {
    	public static partial class Algorithm_Gallery
    	{
    		public static double MCPT_Solve(TPoint[] vertices, int i, int j)
    		{
    			if (j < (i + 2))
    			{
    				return 0;
    			}
    
    			double cost = float.MaxValue;
    
    			for (int k = i + 1; k <= j - 1; k++)
    			{
    				double weight = vertices[i].Distance(vertices[j]) + vertices[j].Distance(vertices[k]) + vertices[k].Distance(vertices[i]);
    
    				cost = Math.Min(cost, weight + MCPT_Solve(vertices, i, k) + MCPT_Solve(vertices, k, j));
    			}
    
    			return cost;
    		}
    
    		private static double MCPT_Cost(TPoint[] points, int i, int j, int k)
    		{
    			TPoint p1 = points[i];
    			TPoint p2 = points[j];
    			TPoint p3 = points[k];
    			return TPoint.Distance(p1, p2) + TPoint.Distance(p2, p3) + TPoint.Distance(p3, p1);
    		}
    
    		public static double MCPT_Solve(TPoint[] points, int n)
    		{
    			if (n < 3)
    			{
    				return 0;
    			}
    			double[,] table = new double[n, n];
    			for (int gap = 0; gap < n; gap++)
    			{
    				for (int i = 0, j = gap; j < n; i++, j++)
    				{
    					if (j < i + 2)
    					{
    						table[i, j] = 0.0;
    					}
    					else
    					{
    						table[i, j] = 1000000.0;
    						for (int k = i + 1; k < j; k++)
    						{
    							double val = table[i, k] + table[k, j] + MCPT_Cost(points, i, j, k);
    							if (table[i, j] > val)
    							{
    								table[i, j] = val;
    							}
    						}
    					}
    				}
    			}
    			return table[0, n - 1];
    		}
    	}
    }
    

     

     

     

    展开全文
  • 如何将一个多边形三角化是三维模型中一个比较常见的问题。最初的想法很简单,认为就是以一个点起点连接和它不相邻的点所有三角形就区分完了。这样写完后放到ue4里面测试,开始比较顺利,当但遇到凹多边形时,就发现...
  • 详细介绍了通过CGAL对复杂多边形进行三角剖分的过程。

    1. 概述

    1.1. 多边形分类

    需要首先明确的是多边形的分类,第一种是最简单的凸多边形:

    imglink1

    凸多边形的每个内角都是锐角或钝角,这种多边形最普通也最常见。如果至少存在一个角是优角(大于180度小于360度),那么就是凹多边形了:

    imglink2

    以上多边形有一个共同特征就是由单个环线的边界组成。如果存在一个外环和多个内环组成多边形,那么就是带洞多变形了:

    imglink3

    如上图所示的多边形是由一个外环和两个内环组成的,两个内环造成了外环多边形的孔洞,也就是带洞多边形了。

    1.2. 三角剖分

    三角剖分也叫做三角化,或者分格化(tessellation/triangulation),将复杂的多边形剖分成多个三角形。这在图形学上有非常多的好处,便于绘制和计算。这类算法往往与Delaunay三角网算法相关,多边形的边界作为Delaunay三角网的边界约束,从而得到比较好的三角网。

    2. 详论

    我曾经在《通过CGAL将一个多边形剖分成Delaunay三角网》这篇文章中,通过CGAL实现了一个多边形的剖分,不过这个文章介绍的算法内容不支持凹多边形和带洞多边形(这也是很多其他算法实现的问题)。所以我继续翻了CGAL的官方文档,在《2D Triangulation》这一章中确实介绍了带洞多边形的三角剖分的案例。由于带洞多边形最复杂,那么我通过这个案例,来实现一下带洞多边形的三角剖分。

    #include <CGAL/Exact_predicates_inexact_constructions_kernel.h>
    #include <CGAL/Constrained_Delaunay_triangulation_2.h>
    #include <CGAL/Triangulation_face_base_with_info_2.h>
    #include <CGAL/Polygon_2.h>
    #include <iostream>
    
    #include <gdal_priv.h>
    #include <ogrsf_frmts.h>
    
    struct FaceInfo2
    {
    	FaceInfo2() {}
    	int nesting_level;
    	bool in_domain() {
    		return nesting_level % 2 == 1;
    	}
    };
    
    typedef CGAL::Exact_predicates_inexact_constructions_kernel       K;
    typedef CGAL::Triangulation_vertex_base_2<K>                      Vb;
    typedef CGAL::Triangulation_face_base_with_info_2<FaceInfo2, K>    Fbb;
    typedef CGAL::Constrained_triangulation_face_base_2<K, Fbb>        Fb;
    typedef CGAL::Triangulation_data_structure_2<Vb, Fb>               TDS;
    typedef CGAL::Exact_predicates_tag                                Itag;
    typedef CGAL::Constrained_Delaunay_triangulation_2<K, TDS, Itag>  CDT;
    typedef CDT::Point                                                Point;
    typedef CGAL::Polygon_2<K>                                        Polygon_2;
    typedef CDT::Face_handle                                          Face_handle;
    
    void
    mark_domains(CDT& ct,
    	Face_handle start,
    	int index,
    	std::list<CDT::Edge>& border)
    {
    	if (start->info().nesting_level != -1) {
    		return;
    	}
    	std::list<Face_handle> queue;
    	queue.push_back(start);
    	while (!queue.empty()) {
    		Face_handle fh = queue.front();
    		queue.pop_front();
    		if (fh->info().nesting_level == -1) {
    			fh->info().nesting_level = index;
    			for (int i = 0; i < 3; i++) {
    				CDT::Edge e(fh, i);
    				Face_handle n = fh->neighbor(i);
    				if (n->info().nesting_level == -1) {
    					if (ct.is_constrained(e)) border.push_back(e);
    					else queue.push_back(n);
    				}
    			}
    		}
    	}
    }
    //explore set of facets connected with non constrained edges,
    //and attribute to each such set a nesting level.
    //We start from facets incident to the infinite vertex, with a nesting
    //level of 0. Then we recursively consider the non-explored facets incident
    //to constrained edges bounding the former set and increase the nesting level by 1.
    //Facets in the domain are those with an odd nesting level.
    void
    mark_domains(CDT& cdt)
    {
    	for (CDT::Face_handle f : cdt.all_face_handles()) {
    		f->info().nesting_level = -1;
    	}
    	std::list<CDT::Edge> border;
    	mark_domains(cdt, cdt.infinite_face(), 0, border);
    	while (!border.empty()) {
    		CDT::Edge e = border.front();
    		border.pop_front();
    		Face_handle n = e.first->neighbor(e.second);
    		if (n->info().nesting_level == -1) {
    			mark_domains(cdt, n, e.first->info().nesting_level + 1, border);
    		}
    	}
    }
    
    
    int main()
    {
    	//创建三个不相交的嵌套多边形
    	Polygon_2 polygon1;
    	polygon1.push_back(Point(-0.558868038740926, -0.38960351089588));
    	polygon1.push_back(Point(2.77833686440678, 5.37465950363197));
    	polygon1.push_back(Point(6.97052814769976, 8.07751967312349));
    	polygon1.push_back(Point(13.9207400121065, 5.65046156174335));
    	polygon1.push_back(Point(15.5755523607748,-1.98925544794189));
    	polygon1.push_back(Point(6.36376361985472, -6.18144673123487));	 
    
    	Polygon_2 polygon2;
    	polygon2.push_back(Point(2.17935556413387, 1.4555590039808));
    	polygon2.push_back(Point(3.75630057749723, 4.02942327866582));
    	polygon2.push_back(Point(5.58700685737883, 4.71820385921534));
    	polygon2.push_back(Point(6.54767450919789, 1.76369768475295));
    	polygon2.push_back(Point(5.71388749063795, -0.900795613688593));
    	polygon2.push_back(Point(3.21252643495814, -0.320769861646896));
    
    	Polygon_2 polygon3;
    	polygon3.push_back(Point(7.74397762278389, 0.821155837685192));
    	polygon3.push_back(Point(9.13966458863422, 4.24693293568146));
    	polygon3.push_back(Point(10.1909612642098, 1.83620090375816));
    	polygon3.push_back(Point(12.1485481773505, 4.84508449247446));
    	polygon3.push_back(Point(11.4416417920497, -2.29648257953892));
    	polygon3.push_back(Point(10.1547096547072, 0.712401009177374));
    
    	//将多边形插入受约束的三角剖分
    	CDT cdt;
    	cdt.insert_constraint(polygon1.vertices_begin(), polygon1.vertices_end(), true);
    	cdt.insert_constraint(polygon2.vertices_begin(), polygon2.vertices_end(), true);
    	cdt.insert_constraint(polygon3.vertices_begin(), polygon3.vertices_end(), true);
    
    	//标记由多边形界定的域内的面
    	mark_domains(cdt);
    	
    	//遍历所有的面
    	int count = 0;
    	for (Face_handle f : cdt.finite_face_handles())
    	{
    		if (f->info().in_domain()) ++count;
    	}
    	std::cout << "There are " << count << " facets in the domain." << std::endl;
    
    	//将结果输出成shp文件,方便查看
    	{
    		GDALAllRegister();
    
    		GDALDriver* driver = GetGDALDriverManager()->GetDriverByName("ESRI Shapefile");
    		if (!driver)
    		{
    			printf("Get Driver ESRI Shapefile Error!\n");
    			return false;
    		}
    
    		const char *filePath = "D:/test.shp";
    		GDALDataset* dataset = driver->Create(filePath, 0, 0, 0, GDT_Unknown, NULL);
    		OGRLayer* poLayer = dataset->CreateLayer("test", NULL, wkbPolygon, NULL);
    
    		//创建面要素
    		for (Face_handle f : cdt.finite_face_handles())
    		{
    			if (f->info().in_domain())
    			{
    				OGRFeature *poFeature = new OGRFeature(poLayer->GetLayerDefn());
    								
    				OGRLinearRing ogrring;
    				for (int i = 0; i < 3; i++)
    				{			
    					ogrring.setPoint(i, f->vertex(i)->point().x(), f->vertex(i)->point().y());
    				}
    				ogrring.closeRings();
    
    				OGRPolygon polygon;
    				polygon.addRing(&ogrring);
    				poFeature->SetGeometry(&polygon);
    
    				if (poLayer->CreateFeature(poFeature) != OGRERR_NONE)
    				{
    					printf("Failed to create feature in shapefile.\n");
    					return false;
    				} 
    			}
    		}
    
    		//释放
    		GDALClose(dataset);
    		dataset = nullptr;
    	}
    
    	
    	return 0;
    }
    

    在代码的最后,我将生成的三角网输出成shp文件,叠加到原来的多边形中:
    imglink4
    效果似乎不是很明显,那么我将原来的两个内环范围涂黑:
    imglink5

    说明这个算法可以适配于凹多边形以及带洞多边形的三角网剖分,不得不说CGAL这个库真的非常强大。可惜就是这个库太难以使用了,需要一定的计算几何知识和Cpp高级特性的知识,才能运用自如,值得深入学习。

    3. 参考

    CGAL 5.2.2 - 2D Triangulation

    展开全文
  • 算法:凸多边形最优三角剖分

    千次阅读 多人点赞 2019-10-31 18:20:49
    1、问题相关定义: (1)凸多边形的三角剖分:将凸多边形分割成互不相交的三角形的弦的集合T。... 凸多边形三角剖分如下图所示: 2、最优子结构性质: 若凸(n+1)边形P={V0,V1……Vn}的最优三角剖分T包含三角形...

    1、问题相关定义:

     (1)凸多边形的三角剖分:将凸多边形分割成互不相交的三角形的弦的集合T。
    
    (2)最优剖分:给定凸多边形P,以及定义在由多边形的边和弦组成的三角形上的权函数w。要求确定该凸多边形的三角剖分,使得该三角剖分中诸三角形上权之和为最小。
    
     凸多边形三角剖分如下图所示:
    

    在这里插入图片描述

          2、最优子结构性质:
    
     若凸(n+1)边形P={V0,V1……Vn}的最优三角剖分T包含三角形V0VkVn,1<=k<=n,则T的权为三个部分权之和:三角形V0VkVn的权,多边形{V0,V1……Vk}的权和多边形{Vk,Vk+1……Vn}的权之和。如下图所示:
    

    在这里插入图片描述

          可以断言,由T确定的这两个子多边形的三角剖分也是最优的。因为若有{V0,V1……Vk}和{V0,V1……Vk}更小权的三角剖分,将导致T不是最优三角剖分的矛盾。因此,凸多边形的三角剖分问题具有最优子结构性质。
    
         3、递推关系:
    
     设t[i][j],1<=i<j<=n为凸多边形{Vi-1,Vi……Vj}的最优三角剖分所对应的权值函数值,即其最优值。最优剖分包含三角形Vi-1VkVj的权,子多边形{Vi-1,Vi……Vk}的权,子多边形{Vk,Vk+1……Vj}的权之和。
    

    在这里插入图片描述

      因此,可得递推关系式:
    

    在这里插入图片描述

     凸(n+1)边形P的最优权值为t[1][n]。
    

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    详细解析:
    (1)什么是凸多边形?

    如下图所示,是一个凸多边形
    在这里插入图片描述

    如下图所示,不是一个凸多边,因为v1v3连线落在了多边形的外部

    在这里插入图片描述

    凸多边形不相邻的两个顶点的连线称为凸多边形的弦

    (2)什么是凸多边形的三角剖分?

    凸多边形的三角剖分是指将一个凸多边形分割成互不相交的三角形的弦的集合。如下图所示,都是三角形的剖分,三角形的剖分有很多种:

    在这里插入图片描述

    如果我们在给定凸多边形及定义在边,弦上的权值,即任意两点之间定义一个数值作为i权值,如图所示:
    在这里插入图片描述

    三角形上权值之和是指三角形的3条边上的权值之和:

    w(vi vk vj)=|vi vk| + |vk vj | + |vi vj|

    如图所示,w(v0v1v4)=|v0v1| + |v1v4| + |v0v4| = 22+8+5=15.

    (3)什么是凸多边形最优三角剖分?

    一个凸多边形的三角剖分有很多种,最优三角剖分就是划分的各三角形上权函数之和最小的三角剖分。

    在这里插入图片描述

     凸多边形最优三角剖分满足动态规划的最优子结构性质,可以从自底向上逐渐推出整体的最优。
    
    (1)确定合适的数据结构
    
    采用二维数组weight[ ][ ]记录各个顶点之间的连接权值,二维数组t[ ][ ]存放各个子问题的最优值,二维数组s[ ][ ]存放各个子问题的最优策略。
    
    (2)初始化
    
    输入顶点数n,然后依次输入各个顶点之间的连接权值存储在二维数组weight[ ][ ]中,令n=n-1(顶点标号从v0开始),
    
    t[i][i]=0,s[i][i]=0,其中i=1,2,3,4……,n-1。
    
    (3)循环
    
    按照递归关系式计算3个顶点{v i-1,vi,vi+1}的最优三角剖分,j=i+1,将最优值存入t[i][j],同时将最优策略存入s[i][j],i=1,2,3,……,n-1。
    按照递归关系式计算4个顶点{v i-1,vi,vi+1,vi+2}的最优三角剖分,j=i+2,将最优值存入t[i][j],同时将最优策略存入s[i][j],i=1,2,3,……,n-2。
    以此类推,直到求出所有顶点{v0,v1,v2,……,vn}的最优三角剖分,并将最优值存入t[1][n],将最优策略记入s[1][n]
    (4)构造最优解
    
    根据最优决策信息数组s[ ][ ]递归构造最优解,即输出凸多边形的最优剖分的所有弦。s[1][n],表示凸多边形最优三角剖分位置。
    
    如果子问题1为空,即没有一个顶点,说明V0Vs[1][n]是一条边,不是弦,不需要输出,否则,输出该弦V0Vs[1][n]
    如果子问题2为空,即没有一个顶点,说明Vs[1][n]Vn是一条边,不是弦,不需要输出,否则,输出该弦Vs[1][n]Vn
    递归构造两个子问题{ v0,v1,v2,……,Vs[1][n] }{ Vs[1][n] ,v1,v2,……,vn },一直递归到子问题为空停止。
    

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    源代码:

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
     
    const int M =1111;
    int n; //顶点数
    int s[M][M];//记录最优策略二维数组
    double t[M][M];//记录最优值二维数组
    double weight[M][M];//记录各顶点之间权值的二维数组
     
    void MinWeightTriangulation()
    {
        for (int i=1;i<=n;i++) //初始化
        {
            t[i][i]=0;
            s[i][i]=0;
        }
        for(int r=2;r<=n;r++)//r为问题规模,r=2实际上有三个点 r为当前计算的链长(子问题规模)  
        {
            for (int i=1;i<=n-r+1;i++)//n-r+1为最后一个r链的前边界  
            {
                int j=i+r-1; //计算前边界为r,链长为r的链的后边界  
                t[i][j]=t[i+1][j]+weight[i-1][i]+weight[i][j]+weight[i-1][j];//将链ij划分为A(i) * ( A[i+1:j] )这里实际上就是k=i
                //策略为k=i的情况
                s[i][j]=i;
                for (int k=i+1;k<j;k++) //枚举划分点i到j所有情况
                {
                	//将链ij划分为( A[i:k] )* (A[k+1:j])
                    double u=t[i][k]+t[k+1][j]+weight[i-1][k]+weight[k][j]+weight[i-1][j];
                    if(t[i][j]>u)
                    {
                        t[i][j]=u;
                        s[i][j]=k;
                    }
                }
            }
        }
    }
     
    void Traceback(int i,int j)  //递归求解所有子问题的弦。
    {
        if(i==j)
            return ;
        Traceback(i,s[i][j]);
        Traceback(s[i][j]+1,j);
        cout<<"三角剖分顶点:V"<<i-1<<",V"<<j<<",V"<<s[i][j]<<endl;
    }
     
    int main()
    {
        int i;
        int j;
        cout << "请输入顶点个数n:"<< endl;
        cin >> n;
        n--;
        cout << "请依次输入各顶点的连接权值:" << endl;
        for (i=0;i<=n;++i)
        {
            for (j=0;j<=n;++j)
            {
                cin >> weight[i][j];
            }
        }
        MinWeightTriangulation();
        cout << "最优三角剖分的权值和是:" << endl;
        cout << t[1][n]<< endl;
        cout << "三角剖分顶点:"<< endl;
        Traceback(1,n);
        return 0;
    }
    

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空空如也

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多边形三角剖分算法

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