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  • 多边形定义的概念
    2020-12-21 09:58:33

    11.3.1 多边形 第十一章 三角形 优 翼 课 件 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 学练优八年级数学上(RJ) 教学课件 情境引入 学习目标 1.了解并掌握多边形及有关概念. 2.对角线条数与多边形的边数的关系.(重点) 3.理解正多边形及其有关概念.(难点) 导入新课 1.什么是三角形?有几条边,几个内角? 2.什么是三角形的外角?有几个外角? 复习引入 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.三角形有三条边,三个内角. 三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.一个三角形有三个外角. 讲授新课 多边形的概念 一 问题1 观察画多边形的过程,类比三角形的概念,你能说出什么是多边形吗? 我们学过三角形,类似地,在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 想一想:比较多边形的定义与三角形的定义,为什么要强调“在平面内”呢? 这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内,而四点,五点,甚至更多的点就有可能不在同一个平面内. 问题2 根据图示,类比三角形的有关概念,说明什么是多边形的边、顶点、内角、外角. 顶点 边 内角:多边形相邻两边组成的角 外角:多边形的边与它的邻边的延长线组成的角. n边形有n个顶点,n条边,n个内角,2n个外角. 多边形按它的边数可分为:三角形,四边形,五边形等等.其中三角形是最简单的多边形. 多边形的对角线 二 A B C D E 定义: 连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线. 线段AC是五边形ABCDE的一条对角线,多边形的对角线通常用虚线表示. 注意 画一画:画出下列多边形的全部对角线 想一想: (1)从上面n边形的一个顶点可以作出几条对角线? (2)n边形的对角线总条数与边数n有怎样的关系? (1) (n-3) (n≥3) (2)n边形共有对角线 条(n≥3). A B C D A B C D 我们现在研究的是如图1所示的多边形,整个多边形都在这条直线的同一侧,这样的多边形是凸多边形; 如图2所示的多边形,是凹多边形,但不在现在研究的范围中.今后如果不说明,我们讲的多边形都是凸多边形. 图1 图2 正多边形 三 定义: 像正方形这样,各个角都相等,各条边都相等的多边形. 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 想一想:下列多边形是正多边形吗?如不是,请说明为什么? (四条边都相等) (四个角都相等) 答:都不是,第一个图形不符合四个角都相等;第二个图形不符合各边都相等. 判断一个多边形是不是正多边形,各边都相等,各角都相等,两个条件必须同时具备. 注意 当堂练习 1.下列多边形中,不是凸多边形的是( ) A B C D B 2.把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角,剩下的部分是一个四边形,则这张纸片原来的形状不可能是( ) A. 六边形 B . 五边形 C.四边形 D.三角形 A 3.九边形的对角线有( ) A.25条 B.31条 C.27条 D.30条 C 4.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则这是 边形. 十三 5.过八边形的一个顶点画对角线,把这个八边形分割成 个三角形. 六

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    多边形的定义及其定理

    数学用语,由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的平面图形叫做多边形下面是百分网小编给大家整理的多边形的简介,希望能帮到大家!

    多边形的定义

    按照不同的标准,多边形可以分为正多边形和非正多边形、凸多边形及凹多边形等。

    由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连结且不相交所组成的封闭图形叫做多边形。在不同平面上的多条线段首尾顺次连结且不相交所组成的图形也被称为多边形,是广义的多边形。

    组成多边形的线段至少有3条,三角形是最简单的多边形。组成多边形的每一条线段叫做多边形的边;相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点;多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角;连接多边形的两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线。

    多边形内角的一边与另一边反向延长线所组成的角,叫做多边形的外角。

    在多边形的每一个定点处取这个多边形的一个外角,它们的和叫做多边形的外角和。

    多边形还可以分为正多边形和非正多边形。正多边形各边相等且各内角相等。

    多边形分平面多边形和空间多边形。平面多边形的所有顶点全在同一个平面上,空间多边形至少有一个顶点和其它的顶点不在同一个平面上。

    多边形也可以分为凸多边形及凹多边形,凸多边形全部都是平面多边形(平面多边形不等于凸多边形,还包括平面的凹多边形),但是凹多边形却非全是 空间多边形,也有平面凹多边形。

    有限个点A1、A2、A3、…、An-1、An和线段A1A2、A2A3、…、An-1An的总体,叫做折线。A1和An叫做这折线的端点;A2、A3、…、An-1叫做折线的顶点;A1A2、A2A3、…、An-1An叫做折线的段节。如果折线的端点和各顶点不在同一平面内,则叫做空间折线;如果各顶点和两端点都在同一平面内,就叫平面折线。两端点重合的折线,叫做多边形。由空间折线构成的多边形叫做空间多边形;由平面折线构成的多边形叫做平面多边形。如果折线A1A2A3…An-1An的'两端点A1和An重合,就成多边形A1A2A3…An-1An;A1A2、A2A3、 …、An-1An 叫做多边形的边;∠AnA1A2、∠A1A2A3、…叫做多边形的角;A1、A2、A3、…、An-1、An叫做这个多边形的顶点。平面多边形按边数分类,可分为三边形(三角形)、四边形、五边形、六边形等等。

    多边形定理

    内角

    1、n边形的内角和等于(n-2)x180;

    注:此定理适用所有的平面多边形,包括凸多边形和平面凹多边形。

    2、在平面多边形中,边数相等的凸多边形和凹多边形内角和相等。但是空间多边形不适用。可逆用:

    n边形的边=(内角和÷180°)+2;

    过n边形一个顶点有(n-3)条对角线;

    n边形共有n×(n-3)÷2=对角线;

    3、 n边形过一个顶点引出所有对角线后,把多边形分成n-2个三角形

    推论:

    (1)任意凸形多边形的外角和都等于360°;

    (2)多边形对角线的计算公式:n边形的对角线条数等于1/2·n(n-3);

    (3)在平面内,各边相等,各内角也都相等的多边形叫做正多边形。【两个条件必须同时满足】

    反例:矩形(各内角相等,各边不一定相等);菱形(各边相等,各内角不一定相等)。

    外角

    多边形外角和定理:

    1、n边形外角和等于n·180°-(n-2)·180°=360°

    2、多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角,所以n边形内角和加外角和等于n·180°

    3、多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角,叫这个多边形的外角,(这样的产生外角有两个,由于他们相等,但我们通常只取其中一个)。

    拓展:四边形简介

    定义

    由不在同一直线上的不交叉的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形或立体图形叫四边形。

    凸四边形

    四个顶点在同一平面内,对边不相交且作出一边所在直线,其余各边均在其同侧。

    平行四边形(包括:普通平行四边形,矩形,菱形,正方形)。

    梯形(包括:普通梯形,直角梯形,等腰梯形)。

    凸四边形的内角和和外角和均为360度。

    凹四边形

    凹四边形四个顶点在同一平面内,对边不相交且作出一边所在直线,其余各边有些在其异侧。

    依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变,中点四边形的形状始终是平行四边形。中点四边形的形状取决于原四边形的对角线。若原四边形的对角线垂直,则中点四边形为矩形;若原四边形的对角线相等,则中点四边形为菱形;若原四边形的对角线既垂直又相等,则中点四边形为正方形。

    不稳定性

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    基础概念

    简单多边形 P 的核(kernel),K(p)定义如下:K(p)由多边形内部的点构成,这些点与多边形的任何顶点相连所构成的线段完全包含在 P 中。
    一个重要的性质是现,K(p)作为半平面的交集,它或者为空或者为完全包含在P 内的有界凸集。
    在这里插入图片描述
    红色部分。

    半平面,在数学定义下就是
    ax + by + c >= 0
    所控制的一个的半空间。半空间在不同维度下意义不同,如果是2维的话,其实此时ax + by + c >= 0 就是二维中一条直线的一侧。

    此时如果你再看核,其实可以理解为线性规划时得到的一个可行域。

    我们上面说到 如果是2维的话,其实此时ax + by + c >= 0 就是二维中一条直线的一侧。所以直线(也就是决定半平面的直线)切割多边形 ,让直线不断的去切割当前多边形,然后得到新的多边形。

    不难想象,其实结果可能是一个多边形(一定是凸的)、一个线段、空、一个点等等。我们记录顶点的数据来进行描述。

    综上,如果计算半平面的交集,可以使用一个

    • 将直线们极角排序,角度相同的保留下需要的一个
    • 用一个双端队列存储当前半平面交,每次通过判断队首与队尾第一个交点是否满足当前直线来更新
    • 先用队尾判定队首交点是否合法,再用队首判断队尾交点是否合法
    • 最后求出来的半平面交是一个凸多边形

    同理如果计算多边形交,可以将每一个边对应到一个半平面,从而运行半平面交集进行计算。

    Ref

    https://blog.csdn.net/weixin_30345577/article/details/97505934
    https://blog.csdn.net/accry/article/details/6070621

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    所谓凹多边形,简单的理解就是至少有一个内角大于180°的多边形,直观的感受一下:

    想要了解更加严谨的定义,请自行百度,不过意思差不多。

    与凸多边形做个对比:

    除了直观的看,如何用数学的方法来判断凹(凸)多边形呢?毕竟计算机只能通过0和1来识别各种信息。

    看下面这张图:

    这是一个凹多边形,选定一个方向(顺时针或者逆时针),将其中的每一个边都按选定的方向看成一个向量,然后相邻的向量进行叉乘,若所得到的的所有结果为同号,那么为凸多边形,反之,只要存在一个异号(说明有大于180°的内角出现),则该多边形为凹多边形。

    不懂叉乘的小伙伴自行搜索哦!

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