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  • 1、高中数学知识点总结空间几何体公式知识点直棱柱和正棱锥的表面积设棱柱高为h、底面多边形的周长为c、则得到直棱柱侧面面积计算公式:S=ch、即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积、正棱锥的侧面展开图是...

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    1、高中数学知识点总结空间几何体公式知识点直棱柱和正棱锥的表面积

    设棱柱高为h、底面多边形的周长为c、则得到直棱柱侧面面积计算公式:

    S=ch、即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积、

    正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形、底面是正多边形、

    如果设它的底面边长为a、底面周长为c、斜高为h'、则得到正n棱锥的侧面积计算公式

    S=1/2*nah'=1/2*ch'、即正棱锥的侧面积等于它的底面的周长和斜高乘积的一半、

    2、空间几何体公式知识点正棱台的表面积

    正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形、

    设棱台下底面边长为a、周长为c、上底面边长为a'、周长为c'、斜高为h'则得到正n棱台的侧面积公式: S=1/2*n(a+a')h'=1/2(c+c')h'、

    3、空间几何体公式知识点球的表面积

    S=4πR2、即球面面积等于它的大圆面积的四倍、

    4.空间几何体公式知识点圆台的表面积

    圆台的侧面展开图是一个扇环,它的表面积等于上,下两个底面的面积和加上侧面的面积,即

    S=π(r'2+r2+r'l+rl)

    空间几何体公式知识点空间几何体体积计算公式

    1、长方体体积

    V=abc=Sh

    2、柱体体积

    所有柱体

    V=Sh、即柱体的体积等于它的底面积S和高h的积、

    圆柱

    V=πr2h、

    3、棱锥

    V=1/3*Sh

    4、圆锥

    V=1/3*πr2h

    5、棱台

    V=1/3*h(S+(√SS')+S')

    6、圆台

    V=1/3*πh(r2+rr'+r'2)

    7、球

    V=4/3*πR3

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  • 知识点总结知识点1:相似多边形的概念相似多边形:各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。定义:各角分别相等,各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。相似比:...

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    知识点总结

    知识点1:相似多边形的概念

    相似多边形:分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。

    定义:各角分别相等,各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。

    相似比:相似多边形对应边的比叫做相似比。

    知识点2:相似多边形的性质和判定

    相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边成比例。

    相似多边形的判定:各角分别相等,各边成比例的两个多边形相似。

    考点复习

    常见考法

    (1)判断某两个图形是不是相似;

    (2)判断一组数据是不是成比例线段;

    (3)已知图上距离和比例尺大小求实际距离;

    (4)利用比例的性质求值。

    误区提醒

    (1)在判断四条线段是否成比例问题时忽略单位统一;(2)在用图上距离求实际距离时忽略了单位换算问题。

    【典型例题】(2010江苏淮安)在比例尺为1:200的地图上,测得A,B两地间的图上距离为4.5 cm,则A,B两地间的实际距离为m.

    【解析】4.5×200=9000cm=9m

    初中数学相似多边形的性质知识点(二)

    相似三角形

    一、平行线分线段成比例定理及其推论:

    1.定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。

    2.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

    3.推论的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条线段平行于三角形的第三边。

    二、相似预备定理:

    平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

    三、相似三角形:

    1.定义:对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

    2.性质:(1)相似三角形的对应角相等;

    (2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例;

    (3)相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方。

    说明:①等高三角形的面积比等于底之比,等底三角形的面积比等于高之比;②要注意两个图形元素的对应。

    3. 判定定理:

    (1)两角对应相等,两三角形相似;

    (2)两边对应成比例,且夹角相等,两三角形相似;

    (3)三边对应成比例,两三角形相似;

    (4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例,那么这两个直角三角形相似。

    四、三角形相似的证题思路:

    五、利用相似三角形证明线段成比例的一般步骤:

    一“定”:先确定四条线段在哪两个可能相似的三角形中;

    二“找”:再找出两个三角形相似所需的条件;

    三“证”:根据分析,写出证明过程。

    如果这两个三角形不相似,只能采用其他方法,如找中间比或引平行线等。

    六、相似与全等:

    全等三角形是相似比为1的相似三角形,即全等三角形是相似三角形的特例,它们之间的区别与联系:

    1.共同点它们的对应角相等,不同点是边长的大小,全等三角形的对应边相等,而相似三角形的对应的边成比例。

    2.判定方法不同,相似三角形只求形状相同的,大小不一定相等,所以改“对应边相等”成“对应边成比例”。

    常见考法

    (1)利用判定定理证明三角形相似;(2)利用三角形相似解决圆、函数的有关问题。

    误区提醒

    (1)根据相似三角形找对应边时,出现失误找错对应边,因此在写比例式时出错,导致解题错误信息;(2)在定理的实际应用中,常常忽视“夹角相等”这个重条件,错误认为有两边对应比相等,再有一组角相等,就能得到两个三角形相似。

    习题精析

    如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P,若∠BPC=40°,则∠BAC的度数是           d9d82e4d398602a3ac1198314f956d98.png

    习题答案

    C

    试题分析:在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近,可以从比例关系入手,列出方程求解.

    试题解析:由题意可得:2f9918adaaaacbf4d36b841f85ae90cf.png

    解得:x=8,
    故选C

    在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:甲:将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距为1,则新三角形与原三角形相似.乙:将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张,得到新的矩形,它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形不相似.对于两人的观点,下列说法正确的是(  )

    A.两人都对B.两人都不对
    C.甲对,乙不对D.甲不对,乙对

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    解析:

    A

    试题分析:

    甲:根据题意得:AB∥A′B′,AC∥A′C′,BC∥B′C′,即可证得∠A=∠A′,∠B=∠B′,可得△ABC∽△A′B′C′;

    乙:根据题意得:AB=CD=3,AD=BC=5,则A′B′=C′D′=3+2=5,A′D′=B′C′=5+2=7,则可得83e8fcd98f9c77580a3ef830c307350d.png

    ,即新矩形与原矩形不相似.

    试题解析:

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    甲:根据题意得:AB∥A′B′,AC∥A′C′,BC∥B′C′,
    ∴∠A=∠A′,∠B=∠B′,
    ∴△ABC∽△A′B′C′,
    ∴甲说法正确;
    乙:∵根据题意得:AB=CD=3,AD=BC=5,则A′B′=C′D′=3+2=5,A′D′=B′C′=5+2=7,

    01d965f4d636c2ec0bbc169b1ad8da0a.png∴新矩形与原矩形不相似.
    ∴乙说法正确.
    故选:A.

    图文导学

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  • 3 整点:坐标为整数的点叫做整点。 4 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下最大值或最小值问题,通常称为线性规划问题。只含有两个变量简单线性规划问题可用图解法来解决。 5 整数线性规划:要求量...

    一、知识梳理

    1 目标函数:P=2x+y是一个含有两个变量x和y的函数,称为目标函数。

    2 可行域:约束条件表示的平面区域称为可行域。

    3 整点:坐标为整数的点叫做整点。

    4 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,通常称为线性规划问题。只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决。

    5 整数线性规划:要求量整数的线性规划称为整数线性规划。

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    二、疑难知识导析

    线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科,主要在以下两类问题中得到应用:一是在人力、物力、财务等资源一定和条件下,如何使用它们来完成最多的任务;二是给一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。

    1 对于不含边界的区域,要将边界画成虚线。

    2 确定二元一次不等式所表示的平面区域有种方法,常用的一种方法是“选点法”:任选一个不在直线上的点,检验它的坐标是否满足所给的不等式,若适合,则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域;否则,直线的另一端为所求的平面区域。若直线不过原点,通常选择原点代入检验。

    3 平移直线y=-kx+P时,直线必须经过可行域。

    4 对于有实际背景的线性规划问题,可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域,此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点。

    5 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,无论此类题目是以什么实际问题提出,其求解的格式与步骤是不变的:

    (1)寻找线性约束条件,线性目标函数;

    (2)由二元一次不等于表示的平面区域做出可行域;

    (3)在可行域内求目标函数的最优解。

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    积储知识:

    一、

    1.占P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上,则点P坐标适合方程,即Ax0+ y0+C=0

    2.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方(左上或右下),则当B>0时,Ax0+ y0+C >0;当B<0时,Ax0+ y0+C<0

    3.点P(x0+,y0)D在直线Ax0+ y0+C=0下方(左下或右下),当B>0时,Ax0+ y0+C<0;当B>0时,Ax0+ y0+C>0

    注意:(1)在直线Ax+ By+C=0同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入Ax+ By+C=0,所得实数的符号都相同。

    (2)在直线Ax+ By+C=0的两侧的两点,把它的坐标代入Ax+ By+C,所得实数的符号相反。

    即:

    1.点(P x1,y1)和Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的同侧,则有(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0

    2. 点(P x1,y1)和Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的同侧,则有(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0

    二、二元一次不等式表示平面区域:

    ①二元一次不等式Ax+By+C>0(或

    ②二元一次不等式Ax+By+C≥0(≤0)在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C0

    某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;

    注意:作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线。

    三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:

    方法一:取特殊点检验:“直线定界、特殊点定域”

    原因:由于对在直线Ax+By+C0的同一侧的所有点(x,y)把它的坐标系(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域。特殊地,当C≠0时,常把原点作为特殊点,当C=0时,可用(0,1)或(1,0)当特殊点,若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域,否则是另一侧区域为需画区域。

    方法二:利用规律:

    1.Ax+By+C>0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0上方(左上或右上),当B<0时表示直线Ax+By+C=0下方(左下或右下);

    2.Ax+By+C<0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0下方(左下或右下)当B>0时表示直线Ax+By+C=0上方(左上或右上)。

    四、线性规划的有关概念:

    ①线性约束条件:

    ②线性目标函数:

    ③线性规划问题:

    ④可行解、可行域和最优解:

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    典型例题

    典型例题——————画区域

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    典型例题——————画区域

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    典型例题——————求最值

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    数学是实用类学科,但每当中考前老师都叮嘱大家要“回归课本”,因为所有的方法都是从基础开始延伸的,把基础打牢固,做试题才能活学活用。

    三角形知识点、概念总结

    1. 三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

    2. 三角形的分类

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    3. 三角形的三边关系:三角形任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边。

    4. 高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

    5. 中线:在三角形中,连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

    6. 角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

    7. 高线、中线、角平分线的意义和做法

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    8. 三角形的稳定性:三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

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    9. 三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°

    推论1 直角三角形的两个锐角互余

    推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和

    推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;三角形的内角和是外角和的一半

    10. 三角形的外角:三角形的一条边与另一条边延长线的夹角,叫做三角形的外角。

    11. 三角形外角的性质

    (1)顶点是三角形的一个顶点,一边是三角形的一边,另一边是三角形的一边的延长线;

    (2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和;

    (3)三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角;

    (4)三角形的外角和是360°。

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    四边形(含多边形)知识点、概念总结

    一、平行四边形的定义、性质及判定

    1. 两组对边平行的四边形是平行四边形。

    2. 性质:

    (1)平行四边形的对边相等且平行

    (2)平行四边形的对角相等,邻角互补

    (3)平行四边形的对角线互相平分

    3. 判定:

    (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形

    (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形

    (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

    (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形

    (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形

    4. 对称性:平行四边形是中心对称图形

    二、矩形的定义、性质及判定

    1. 定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

    2. 性质:矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等

    3. 判定:

    (1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

    (2)有三个角是直角的四边形是矩形

    (3)两条对角线相等的平行四边形是矩形

    4. 对称性:矩形是轴对称图形也是中心对称图形。

    三、菱形的定义、性质及判定

    1. 定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

    (1)菱形的四条边都相等

    (2)菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角

    (3)菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形

    (4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半

    2. s菱=争6(n、6分别为对角线长)

    3. 判定:

    (1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

    (2)四条边都相等的四边形是菱形

    (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形

    4. 对称性:菱形是轴对称图形也是中心对称图形

    四、正方形定义、性质及判定

    1. 定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形

    2. 性质:

    (1)正方形四个角都是直角,四条边都相等

    (2)正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角

    (3)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形

    (4)正方形的对角线与边的夹角是45°

    (5)正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形

    3. 判定:

    (1)先判定一个四边形是矩形,再判定出有一组邻边相等

    (2)先判定一个四边形是菱形,再判定出有一个角是直角

    4. 对称性:正方形是轴对称图形也是中心对称图形

    五、梯形的定义、等腰梯形的性质及判定

    1. 定义:一组对边平行,另一组对边不平行的四边形是梯形.两腰相等的梯形是等腰梯形.一腰垂直于底的梯形是直角梯形

    2. 等腰梯形的性质:等腰梯形的两腰相等;同一底上的两个角相等;两条对角线相等

    3. 等腰梯形的判定:两腰相等的梯形是等腰梯形;同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形;两条对角线相等的梯形是等腰梯形

    4. 对称性:等腰梯形是轴对称图形

    六、三角形的中位线平行于三角形的第三边并等于第三边的一半;梯形的中位线平行于梯形的两底并等于两底和的一半。

    七、线段的重心是线段的中点;平行四边形的重心是两对角线的交点;三角形的重心是三条中线的交点。

    八、依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形。

    九、多边形

    1. 多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

    2. 多边形的内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

    3. 多边形的外角:多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

    4. 多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。

    5. 多边形的分类:分为凸多边形及凹多边形,凸多边形又可称为平面多边形,凹多边形又称空间多边形。多边形还可以分为正多边形和非正多边形。正多边形各边相等且各内角相等。

    6. 正多边形:在平面内,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形。

    7. 平面镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,叫做用多边形覆盖平面。

    8. 公式与性质

    多边形内角和公式:n边形的内角和等于(n-2)·180°

    9. 多边形外角和定理:

    ① n边形外角和等于n·180°-(n-2)·180°=360°

    ② 边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角,所以n边形内角和加外角和等于n·180°

    10. 多边形对角线的条数:

    (1)从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线,把多边形分词(n-2)个三角形

    (2)n边形共有n(n-3)/2条对角线

    圆知识点、概念总结

    1. 不在同一直线上的三点确定一个圆。

    2. 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

    推论1

    ① (不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧

    ② 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧

    ③ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧

    推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

    3. 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

    4. 圆是定点的距离等于定长的点的集合

    5. 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

    6. 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

    7. 同圆或等圆的半径相等

    8. 到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆

    9. 定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦 相等,所对的弦的弦心距相等

    10. 推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。

    11. 定理:圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它 的内对角

    12.① 直线L和⊙O相交 d ② 直线L和⊙O相切 d=r ③ 直线L和⊙O相离 d>r

    13. 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

    14. 切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径

    15. 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

    16. 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

    17. 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

    18. 圆的外切四边形的两组对边的和相等 ,外角等于内对角

    19. 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上

    20. ① 两圆外离 d>R+r

    ② 两圆外切 d=R+r

    ③ 两圆相交 R-rr)

    ④ 两圆内切 d=R-r(R>r)

    ⑤两圆内含dr)

    21. 定理:相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

    22. 定理:把圆分成n(n≥3):

    ① 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

    ② 经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

    23. 定理:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆

    24. 正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n

    25. 定理:正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

    26. 正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长

    27. 正三角形面积√3a/4 a表示边长

    28. 如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为 360°,因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4

    29. 弧长计算公式:L=n兀R/180

    30. 扇形面积公式:S扇形=n兀R^2/360=LR/2

    31. 内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)

    32. 定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

    33. 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等

    34. 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径

    35. 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*

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