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    多边形面积公式说明: 我们都知道已知A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三点的面积公式  |x1 x2 x3|  为: S(A,B,C) = |y1 y2 y3| * 0.5 = [(x1-x3)*(y2-y3) - (x2-x3)*(y1-y3)]*0.5  多边形的面积公式...
    function polygonArea(points)
    {
    	var i, j;
    	var area = 0;
    	for (i = 0; i < points.length; i++)
    	{
    		j = (i + 1) % points.length;
    		area += points[i].x * points[j].y;
    		area -= points[i].y * points[j].x;
    	}
    	area /= 2;
    	return Math.abs(area);
    }


    多边形面积公式说明:

    我们都知道已知A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三点的面积公式 |x1 x2 x3| 为:
    S(A,B,C) = |y1 y2 y3| * 0.5 = [(x1-x3)*(y2-y3) - (x2-x3)*(y1-y3)]*0.5 

    多边形的面积公式:

    |x1 y1| |x2 y2| ... |xn yn| = 0.5*abs(x1*y2-y1*x2+x2*y3-y2*x3+...+xn*y1-yn*x1) 


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  • 实心多边形重心的计算公式及推导

    千次阅读 2020-05-27 11:05:23
    对于平面上一般区域,其重心计算公式为 利用散度定理: 先计算: 注意恰好是顺时针旋转90度得到的向量,于是他的横坐标为,于是有 对i进行求和并注意到,于是有 在和式中第一项指标减一,得到和式的...

    先上结果:

    假设P^0,P^1,...,P^n是某个多边形的顶点且逆时针排列,则

    c=\frac{1}{3}\frac{1}{\sum\limits_{i}P^i_y(P^{i-1}_x-P^{i+1}_x)}\left( \sum\limits_{i}P^i_y(P^{i-1}_x-P^{i+1}_x)\left(P^{i-1}_x+P^{i}_x+P^{i+1}_x\right ) , -\sum\limits_{i}P^i_x(P^{i-1}_y-P^{i+1}_y)\left(P^{i-1}_y+P^{i}_y+P^{i+1}_y\right ) \right )

     

    推导过程:

     对于平面上一般区域,其重心计算公式为

                                                                  \mathbf{c}=\frac{\iint_D\mathbf{x}dv}{\iint_Ddv}=(\frac{\iint_D{x}dv}{\iint_Ddv},\frac{\iint_Dydv}{\iint_Ddv})

    利用散度定理:

    \iint_D{x}dv=\frac{1}{2}\iint_D\nabla\cdot(x^2,0)dv=\frac{1}{2}\int_{\partial D}(x^2,0)\cdot\mathbf{n}ds=\frac{1}{2}\sum_i\mathbf{n}_i\cdot\int_{P^iP^{i+1}}(x^2,0)ds

    先计算:

    \int_{P^iP^{i+1}}x^2ds=\int_0^1\left(P^i_x+t(P^{i+1}_x-P^i_x) \right )^2\|P^iP^{i+1}\|dt=\frac{1}{3}\|P^iP^{i+1}\|\left((P^{i+1}_x)^2+(P^{i+1}_xP_x^{i})+ (P^{i}_x)^2\right )

    注意\|P^iP^{i+1}\|\mathbf{n}_i恰好是P^iP^{i+1}顺时针旋转90度得到的向量,于是他的横坐标为P^{i+1}_y-P^i_y,于是有

    \mathbf{n}_i\cdot\int_{P^iP^{i+1}}(x^2,0)dv=\frac{1}{3}(P^{i+1}_y-P^i_y)((P^i_x)^2+(P_x^{i+1})^2+(P_x^iP_x^{i+1}))

    对i进行求和并注意到\sum P^{i+1}_y(P_x^{i+1})^2=\sum P^{i}_y(P_x^{i})^2,于是有

    \sum \mathbf{n}_i\cdot\int_{P^iP^{i+1}}(x^2,0)dv=\frac{1}{3}\sum P^{i+1}_y\left((P_x^i)^2+P_x^{i+1}P_x^i\right)-P_y^i\left((P_x^{i+1})^2+P_x^{i+1}P_x^{i} \right )

    在和式中第一项指标减一,得到和式的值为

    \frac{1}{3}\sum P_y^{i}\left(P^{i-1}_x-P_x^{i+1} \right )\left(P_x^{i-1}+P_x^i+P_x^{i+1} \right )

    于是是\iint_D\mathbf{x}dv的横坐标为

    \frac{1}{6}\sum P_y^{i}\left(P^{i-1}_x-P_x^{i+1} \right )\left(P_x^{i-1}+P_x^i+P_x^{i+1} \right )

    同理可得到纵坐标为

    -\frac{1}{6}\sum P_x^{i}\left(P^{i-1}_y-P_y^{i+1} \right )\left(P_y^{i-1}+P_y^i+P_y^{i+1} \right )

    剩下的就是计算面积了,这个不用多说就是\frac{1}{2}\sum P^i_y(P_x^{i-1}-P_x^{i+1})

    这样就得到了最后的结果。

     

    推广:

    可以看到上述公式变形后就是三角形\Delta P^{i-1}P^iP^{i+1}重心的加权平均,但是权重并不是他们的面积,这个面积具体表示什么暂时还没有想好,有兴趣的读者可以自己想一下,不知道可不可以推广到三维空间。

     

    笔者水平有限,推导过程及公式如有纰漏,欢迎大家指出。

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  • 这是求多边形最简单直观的方法。可以直接利用离散数据点的x,y坐标就能求图形重心。但是缺陷在于没有对离散数据点所围图形做任何处理和分析,精度不够。1.2算法一:在讲该算法时,先要明白下面几个定理。定理1已知...

    这是求多边形最简单直观的方法。可以直接利用离散数据点的

    x, y

    坐标就能求图形重心。

    但是缺陷在于没有对离散数据点所围图形做任何处理和分析

    ,

    精度不够。

    1. 2

    算法一:在讲该算法时,先要明白下面几个定理。

    定理

    1

    已知三角形

    A1A2A3

    的顶点坐标

    Ai ( xi , yi ) ( i =1, 2, 3)

    。它的重心坐标为

    :

    xg = (x1+x2+x3) / 3 ;

    yg = (y1+y2+y3) / 3 ;

    定理

    2

    已知三角形

    A1A2A3

    的顶点坐标

    Ai ( xi , yi ) ( i =1, 2, 3)

    。该三角形的面积为

    :

    S =  ( (x2 - x1) * (y3 - y1) - (x3 - x1) * (y2 - y1) ) / 2 ;

    A1A2A3

    边界构成逆时针回路时取

    + ,

    顺时针时取

    -

    另外在求解的过程中,不需要考虑点的输入顺序是顺时针还是逆时针,相除后就抵消了。

    原理

    :

    将多边形划分成

    n

    个小区域

    ,

    每个小区域面积为

    σi ,

    重心为

    Gi ( xi ,

    yi ) ,

    利用求

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    :

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