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  • 对于平面上一般区域,其重心计算公式为 利用散度定理: 先计算: 注意恰好是顺时针旋转90度得到的向量,于是他的横坐标为,于是有 对i进行求和并注意到,于是有 在和式中第一项指标减一,得到和式的...

    先上结果:

    假设P^0,P^1,...,P^n是某个多边形的顶点且逆时针排列,则

    c=\frac{1}{3}\frac{1}{\sum\limits_{i}P^i_y(P^{i-1}_x-P^{i+1}_x)}\left( \sum\limits_{i}P^i_y(P^{i-1}_x-P^{i+1}_x)\left(P^{i-1}_x+P^{i}_x+P^{i+1}_x\right ) , -\sum\limits_{i}P^i_x(P^{i-1}_y-P^{i+1}_y)\left(P^{i-1}_y+P^{i}_y+P^{i+1}_y\right ) \right )

     

    推导过程:

     对于平面上一般区域,其重心计算公式为

                                                                  \mathbf{c}=\frac{\iint_D\mathbf{x}dv}{\iint_Ddv}=(\frac{\iint_D{x}dv}{\iint_Ddv},\frac{\iint_Dydv}{\iint_Ddv})

    利用散度定理:

    \iint_D{x}dv=\frac{1}{2}\iint_D\nabla\cdot(x^2,0)dv=\frac{1}{2}\int_{\partial D}(x^2,0)\cdot\mathbf{n}ds=\frac{1}{2}\sum_i\mathbf{n}_i\cdot\int_{P^iP^{i+1}}(x^2,0)ds

    先计算:

    \int_{P^iP^{i+1}}x^2ds=\int_0^1\left(P^i_x+t(P^{i+1}_x-P^i_x) \right )^2\|P^iP^{i+1}\|dt=\frac{1}{3}\|P^iP^{i+1}\|\left((P^{i+1}_x)^2+(P^{i+1}_xP_x^{i})+ (P^{i}_x)^2\right )

    注意\|P^iP^{i+1}\|\mathbf{n}_i恰好是P^iP^{i+1}顺时针旋转90度得到的向量,于是他的横坐标为P^{i+1}_y-P^i_y,于是有

    \mathbf{n}_i\cdot\int_{P^iP^{i+1}}(x^2,0)dv=\frac{1}{3}(P^{i+1}_y-P^i_y)((P^i_x)^2+(P_x^{i+1})^2+(P_x^iP_x^{i+1}))

    对i进行求和并注意到\sum P^{i+1}_y(P_x^{i+1})^2=\sum P^{i}_y(P_x^{i})^2,于是有

    \sum \mathbf{n}_i\cdot\int_{P^iP^{i+1}}(x^2,0)dv=\frac{1}{3}\sum P^{i+1}_y\left((P_x^i)^2+P_x^{i+1}P_x^i\right)-P_y^i\left((P_x^{i+1})^2+P_x^{i+1}P_x^{i} \right )

    在和式中第一项指标减一,得到和式的值为

    \frac{1}{3}\sum P_y^{i}\left(P^{i-1}_x-P_x^{i+1} \right )\left(P_x^{i-1}+P_x^i+P_x^{i+1} \right )

    于是是\iint_D\mathbf{x}dv的横坐标为

    \frac{1}{6}\sum P_y^{i}\left(P^{i-1}_x-P_x^{i+1} \right )\left(P_x^{i-1}+P_x^i+P_x^{i+1} \right )

    同理可得到纵坐标为

    -\frac{1}{6}\sum P_x^{i}\left(P^{i-1}_y-P_y^{i+1} \right )\left(P_y^{i-1}+P_y^i+P_y^{i+1} \right )

    剩下的就是计算面积了,这个不用多说就是\frac{1}{2}\sum P^i_y(P_x^{i-1}-P_x^{i+1})

    这样就得到了最后的结果。

     

    推广:

    可以看到上述公式变形后就是三角形\Delta P^{i-1}P^iP^{i+1}重心的加权平均,但是权重并不是他们的面积,这个面积具体表示什么暂时还没有想好,有兴趣的读者可以自己想一下,不知道可不可以推广到三维空间。

     

    笔者水平有限,推导过程及公式如有纰漏,欢迎大家指出。

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  • C# 多边形面积计算公式

    千次阅读 2019-06-26 16:46:48
    C# GMap.Net 计算多边形面积 https://www.cnblogs.com/JiNerd/p/3934372.html C# 多边形面积计算公式 https://www.cnblogs.com/Khan-Sadas/p/10135717.html
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  • 经纬度坐标下的球面多边形面积计算公式,这是古人的算法。
  • 多边形面积计算公式

    千次阅读 2015-02-25 11:46:40
    多边形面积公式说明: 我们都知道已知A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三点的面积公式  |x1 x2 x3|  为: S(A,B,C) = |y1 y2 y3| * 0.5 = [(x1-x3)*(y2-y3) - (x2-x3)*(y1-y3)]*0.5  多边形的面积公式...
    function polygonArea(points)
    {
    	var i, j;
    	var area = 0;
    	for (i = 0; i < points.length; i++)
    	{
    		j = (i + 1) % points.length;
    		area += points[i].x * points[j].y;
    		area -= points[i].y * points[j].x;
    	}
    	area /= 2;
    	return Math.abs(area);
    }


    多边形面积公式说明:

    我们都知道已知A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三点的面积公式 |x1 x2 x3| 为:
    S(A,B,C) = |y1 y2 y3| * 0.5 = [(x1-x3)*(y2-y3) - (x2-x3)*(y1-y3)]*0.5 

    多边形的面积公式:

    |x1 y1| |x2 y2| ... |xn yn| = 0.5*abs(x1*y2-y1*x2+x2*y3-y2*x3+...+xn*y1-yn*x1) 


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  • 任意多边形的面积公式多边形计算公式的计算和原点的选取没有关系,通常可以选点(0,0)或者多边形的第一个点(这个时候比较直观了,看起来就是把多边形分成一个个三角形和加起来,读者自己可以画个图)就可以了。...

    设Ω是m边形(如下图),顶点任意多边形面积计算公式 - qhn999 - 码代码的猿猿沿边界正向排列,,坐标依次为

    任意多边形面积计算公式 - qhn999 - 码代码的猿猿

    建立Ω的多边形区域向量图。

    由图知坐标原点与多边形任意相邻的两个顶点构成一个三角形,而三角形的面积可由三个顶点构成的两个平面向量的外积求得。

    任意多边形的面积公式

    任意多边形面积计算公式 - qhn999 - 码代码的猿猿

    多边形计算公式的计算和原点的选取没有关系,通常可以选点(0,0)或者多边形的第一个点(这个时候比较直观了,看起来就是把多边形分成一个个三角形和加起来,读者自己可以画个图)就可以了。


    任意多边形面积计算公式 - qhn999 - 码代码的猿猿
     

    转载于:https://www.cnblogs.com/CKboss/p/3350962.html

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  • * 计算多边形面积公式 * * @author Lion Li * @date 2020-05-07 */ public class PolygonArea { public static void main(String[] args) { //多边形面积 double sum = 0; //临时变量 ...
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    千次阅读 2015-01-21 14:56:27
    多边形重心公式算法,有需要的朋友可以参考下。 网上看了很多,但是有的需要序列逆序,但是,对顶点序列转置后计算的重心坐标还是不正确,话费好长时间找到这个,测试一些可以使用,如果有什么不正确的,希望可以指...
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     书中给出定理:任意多边形的面积可由任意一点与多边形上依次两点连线构成的三角形矢量面积求和得出。  矢量面积=三角形两边矢量的叉乘。  如下图:   按定理,多边形面积由P点与A-G的各顶点...
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空空如也

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多边形的边数计算公式