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多边形面积公式说明:
我们都知道已知A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三点的面积公式 |x1 x2 x3| 为:
S(A,B,C) = |y1 y2 y3| * 0.5 = [(x1-x3)*(y2-y3) - (x2-x3)*(y1-y3)]*0.5
多边形的面积公式:
|x1 y1| |x2 y2| ... |xn yn| = 0.5*abs(x1*y2-y1*x2+x2*y3-y2*x3+...+xn*y1-yn*x1)
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实心多边形重心的计算公式及推导
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假设
是某个多边形的顶点且逆时针排列,则
推导过程:
对于平面上一般区域,其重心计算公式为
利用散度定理:
先计算:
注意
恰好是
顺时针旋转90度得到的向量,于是他的横坐标为
,于是有
对i进行求和并注意到
,于是有
在和式中第一项指标减一,得到和式的值为
于是是
的横坐标为
,
同理可得到纵坐标为
剩下的就是计算面积了,这个不用多说就是
这样就得到了最后的结果。
推广:
可以看到上述公式变形后就是三角形
重心的加权平均,但是权重并不是他们的面积,这个面积具体表示什么暂时还没有想好,有兴趣的读者可以自己想一下,不知道可不可以推广到三维空间。
笔者水平有限,推导过程及公式如有纰漏,欢迎大家指出。
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x, y
坐标就能求图形重心。
但是缺陷在于没有对离散数据点所围图形做任何处理和分析
,
精度不够。
1. 2
算法一:在讲该算法时,先要明白下面几个定理。
定理
1
已知三角形
△
A1A2A3
的顶点坐标
Ai ( xi , yi ) ( i =1, 2, 3)
。它的重心坐标为
:
xg = (x1+x2+x3) / 3 ;
yg = (y1+y2+y3) / 3 ;
定理
2
已知三角形
△
A1A2A3
的顶点坐标
Ai ( xi , yi ) ( i =1, 2, 3)
。该三角形的面积为
:
S = ( (x2 - x1) * (y3 - y1) - (x3 - x1) * (y2 - y1) ) / 2 ;
△
A1A2A3
边界构成逆时针回路时取
+ ,
顺时针时取
-
。
另外在求解的过程中,不需要考虑点的输入顺序是顺时针还是逆时针,相除后就抵消了。
原理
:
将多边形划分成
n
个小区域
,
每个小区域面积为
σi ,
重心为
Gi ( xi ,
yi ) ,
利用求
平面薄板重心公式把积分变成累加和
:
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