function polygonArea(points)
{
	var i, j;
	var area = 0;
	for (i = 0; i < points.length; i++)
	{
		j = (i + 1) % points.length;
		area += points[i].x * points[j].y;
		area -= points[i].y * points[j].x;
	}
	area /= 2;
	return Math.abs(area);
}

多边形面积公式说明：

我们都知道已知A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三点的面积公式 |x1 x2 x3| 为：
S(A,B,C) = |y1 y2 y3| * 0.5 = [(x1-x3)*(y2-y3) - (x2-x3)*(y1-y3)]*0.5 

多边形的面积公式：

|x1 y1| |x2 y2| ... |xn yn| = 0.5*abs(x1*y2-y1*x2+x2*y3-y2*x3+...+xn*y1-yn*x1) 

先上结果：

假设是某个多边形的顶点且逆时针排列，则

推导过程：

 对于平面上一般区域，其重心计算公式为

利用散度定理：

先计算：

注意恰好是顺时针旋转90度得到的向量，于是他的横坐标为，于是有

对i进行求和并注意到，于是有

在和式中第一项指标减一，得到和式的值为

于是是的横坐标为

，

同理可得到纵坐标为

剩下的就是计算面积了，这个不用多说就是

这样就得到了最后的结果。

推广：

可以看到上述公式变形后就是三角形重心的加权平均，但是权重并不是他们的面积，这个面积具体表示什么暂时还没有想好，有兴趣的读者可以自己想一下，不知道可不可以推广到三维空间。

笔者水平有限，推导过程及公式如有纰漏，欢迎大家指出。