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    知识点

    比较图形的面积借助方格纸,能直接判断图形面积的大小。平面图形面积大小的比较有多种方法:根据图形面积的大小,可以直接进行比较;可以借助参照物进行比较;可以运用重叠的方法进行比较;借助方格,利用数方格的的方法进行比较;直接计算面积后再进行比较等。图形面积相同,其形状可以是不同的。补充知识点:确定一个图形面积的大小,不仅是根据图形的形状,更重要的是根据图形所占格子的多少来确定。地毯上的图形面积根据地毯上所给图案探求不规则图案面积的计算方法。直接通过数方格的方法,得出答案的面积。将图案进行“化整为零”式的计算,即根据图案的特点,将整体的图案分割为若干个相同面积的小图案,通过求小图案的面积,得出整个图案的面积。采用“大面积减小面积”的方法,即通过计算相关图形的面积,得到所求的面积。补充知识点:在解决问题时,策略和方法是多种多样的。动手做认识平行四边形、三角形与梯形的底和高。从平行四边形一边的某一点到对边画垂直线段,这条垂直线段就是平行四边形的高,这条对边是平行四边形的底。三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高,这条对边是三角形的底。从梯形的两条平行线中的一条上的某一点到对边画垂直线段,这条垂直线段就是梯形的高,这条对边就是梯形的底。高和底的关系是对应的。用三角板画出平行四边形的高的方法:把三角板的一条直角边与平行四边形的一条边重合,让三角板的另一条直角边过对边的某一点。从这一点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线,这条垂线(从点到垂足)就是平行四边形一条边上的高。注意:从一条边上的任意一点可以向它的对边画高,也可以从另一条边上的任意一点向它的对边画高。用三角板画出三角形的高的方法:把三角板的一条直角边对准三角形的一个顶点,另一条直角边与这个顶点的对边重合。从这个顶点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线,这条垂线(从顶点到垂足)就是三角形形一条边上的高。用三角板画梯形的高的方法:用同样的方法,画出梯形两条平行线之间的垂直线段,就是梯形的高。平行四边形的面积平行四边形的面积=拼成的长方形的面积长方形的长就是平行四边形的底;长方形的宽就是平行四边形的高。因此:平行四边形面积=底×高如果用S表示平行四边形的面积,用a和h分别表示平行四边形的底和高,那么,平行四边形的面积公式可以写成:S=ah运用平行四边形的面积计算公式计算相关图形的面积并解决一些实际问题。补充知识点:当平行四边形的底和高相同时,其面积也是相同的。三角形的面积三角形面积=两个相同三角形拼成的平行四边形的面积÷2三角形的底和高,也就是平行四边形的底和高。因此:三角形面积=平行四边形的面积÷2=底×高÷2如果用S表示三角形的面积,用a和h分别表示三角形的底和高,那么,三角形的面积公式可以写成:S=ah÷2运用三角形的面积公式,计算相关图形的面积,解决实际问题。补充知识点:决定三角形面积的大小的因素不是图形的形状,而是三角形的底与高的长度,只要底和高相同,不同形状的三角形的面积也是相同的。梯形的面积梯形面积=两个相同梯形拼成的平行四边形的面积÷2梯形的上底与下底的和就是平行四边形的底,梯形的高就是平行四边形的高。因此:梯形面积=平行四边形面积÷2=底×高÷2=(上底+下底)×高÷2如果用S表示梯形的面积,用a和b分别表示梯形的上底和下底,用h表示梯形的高,那么,梯形的面积公式可以写成:S=(a+b)h÷2运用梯形面积的计算公式,解决相应的实际问题。补充知识点:

    决定梯形面积的大小的因素不是图形的形状,而是梯形的上、下底之和与高的长度,只要上下底的和与高相同,不同形状的梯形的面积也是相同的。

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    一、比较图形的面积

    1、观察并比较下面各图形的面积大小有什么关系?

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    2、拼接 。两个完全一样的三角形(梯形)拼一个平行四边形。

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    3、割补法。通过分割、移补,图形的面积没有改变。在数学上叫出入相补原理。c3009119ea5c9f47ef8fb0ade7664b16.png

    二、认识底和高

    1、图形的高定义,从一个顶点向底引出的、与底垂直的线段就是图形的高。

    2、梯形的高。从上底的一点到下底的垂直线段叫做梯形的高。梯形高的画法:画高时一定要用虚线画,并标出垂足、相应的高和底。梯形的高有无数条

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    3、平行四边形的高。平行四边形的高就是可以从一边任意一点向对边画垂线,画出的这些线段都是高。平行四边形的高有无数条,可以分成两组

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    4、平行四边形高的画法:

    (1). 在平行四边形的一条边上选一点。

    (2). 从这一点到对边引一条垂线,这条垂线就是它的高。

    5、三角形的高。.三角形的高就是从三角形的一个顶点到它的对边垂线段的长度。三角形有三条高

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    6、三角形高的画法,每一条边都可以看成底,每一条底都有相对应的高。

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    三、探索活动:平行四边形的面积

    1、把平行四边形转化成长方形。长方形的长与平行四边形的底相等,宽和高相等。平行四边形的面积=长方形的面积  。长方形面积=长×宽    平行四边形面积=底×高  如果用S表示平行四边形的面积,a表示平行四边形的底 h表示平行四边形的高。平行四边形面积用字母表示:S=a × h

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    2、已知平行四边形的底和高,求平行四边行的面积。  

    3、等底等高的平行四边形面积相等。

    四、探索活动:三角形的面积

    1、把两个完全一样的三角形拼一个平行四边形,拼成的平行四边形面积是原来三角形面积的 2 倍,三角形面积是拼成平行四边形面积的一半。平行四边形面积=底×高   三角形面积=底×高÷2 。如果用S表示三角形的面积,用a和h分别表示底和高。那么三角形的面积公式可以写成:S=ah÷2

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    2、已知三角形的底和高求面积。

    3、等底等高的三角形面积相等

    五、探索活动:梯形的面积。

    1、把两个完全一样的梯形拼一个平行四边形,拼成的平行四边形面积是原来梯形面积的 2 倍,梯形面积是拼成平行四边形面积的一半。平行四边形的底等于梯形的上底与下底的和 ,平行四边形的高等于梯形的高。平行四边形面积=底×高,梯 形 的 面 积 =( 上底+下底 ) × 高  ÷2

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    2、如果用S表示梯形的面积,用a表示梯形的上底、b表示梯形的下底、h表示梯形的高。那么梯形的面积公式可以写成:s = ( a + b)×h ÷ 2

    3、梯形面积的计算。

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    练习题及答案一

    一、我会填。(每题2分)

    1、一个平行四边形的底为15分米,高为18分米,面积为(   )平方分米。如果一个平行四边形底为12分米,面积为180平方分米,则高为(   )分米。

    2、一个平行四边形的底扩大4倍,高缩小2倍,则面积(     );如果它的底缩小3倍,高扩大3倍,则面积(     )。

    3、一个梯形的面积是42平方米,它的上下底之和与一个平行四边形的底边相等,高与平行四边形的高相等,这个平行四边形的面积是(   )平方米。

    4、一个梯形的面积是24平方分米,下底是5分米,高是4分米,上底是(   )分米。

    5、一块直角三角形的地,两条直角边的长分别是36米、27米,这块地的面积是(   )平方米。

    6、一块直角梯形的地,它的下底是40米,如果上底增加38米,这块地就变成了正方形,原梯形的面积是(   )平方米。

    7、一个长方形木框,长10dm,宽8dm,将它拉成一个平行四边形,面积变(   ),这个平行四边形的周长为(   )dm。

    8、三角形有一条边的长为9厘米,这条边上的高为4厘米,另一条边长6厘米,这条边上的高是(   )厘米。

    9、一个三角形的面积为10平方分米,若底扩大2倍,高缩小4倍,则现在的面积为(   )平方分米。

    10、填“>”、“<”或“=”。

    ①A的面积(  )B的面积  ②A的面积(  )B的面积

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    ③A的面积(  )B的面积 ④空白的面积(  )阴影面积

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    二、认真选(每题只有唯一正确的答案,请将正确答案的序号填入括号内)。(每题2分)

    1、下面的四个平行四边形,根据已知条件(   )的面积可以算出。

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    2、将一个平行四边形拼成一个长方形,面积(   ),周长(   );

    ①变大       ②变小       ③不变       ④无法比较

    3、能拼成一个平行四边形的两个三角形必须具备(   )。

    ①面积相等   ②形状相同   ③完全一样   ④任意两个均可

    4、周长相等的一个正方形,一个长方形,一个平行四边形,(  )面积最大。

    ①正方形   ②长方形   ③平行四边形   ④无法比较

    5、梯形ABCD中,三角形AOD和三角形BOC的面积相比,(   )大。

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    ①三角形AOD   ②三角形BOC   ③同样多   ④无法比较

    6、把一个平行四边形任意分割成两个梯形,这两个梯形的(  )总是相等的。

    ①高       ②面积       ③上、下底的和       ④无法确定

    7、一个三角形和一个平行四边形底相等,面积也相等,如果平行四边形的高是6厘米,那么三角形的高是(   )厘米。

    ①6       ②3       ③12       ④18

    8、一个样形的上底长36dm,如果补上一块底为64dm,面积为64dm2的三角形,就变成了一个平行四边形,这个梯形的面积是(   )。

    ①20dm2       ②136dm2       ③272dm2       ④68dm2

    9、右图中,甲、乙两点分别为长方形宽的中点,那么图中面积相等的所有三角形是(   )。

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    ①A、B、C       ②D、E       

    ③A、B       ④B、C

    10、下图中的三角形,面积等于左边平行四边形面积的一半的是(   )。

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    ①A、B       ②A、B、C       ③A、B、C、D

    三、判断题(对的打“√”,错的打“×”)。(每题2分)

    1、周长相等的两个平行四边形面积相等。(   )  

    2、平行四边形的底扩大到它的2倍,高缩小到它的bcd0a6c335975c0e284c8a6c9de5ed66.png,则面积不变。(   )

    3、等底等高的两个三角形,形状不一定相同,但面积一定相等。(  )

    4、三角形的面积大小只与它的底和对应的高有关,与它的形状和位置无关。(   )

    5、在一个长方形内画一个最大的三角形,这个三角形的面积一定等于长方形面积的一半。(   )

    四、看图计算下列图形的面积。(每题2.5分)

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    五、求下列阴影部分的面积。(每题2.5分)

    ① 

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    ②已知S平=48dm2,求S阴。

    000a72400a1723b9b4198800007978b6.png

    ③已知:阴影部分的面积为24平方厘米,求梯形的面积。

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    ④求S阴。

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    六、解决问题。(每题4分)

    1、一个平行四边形的停车场,底是65米,高是24米。平均每辆车占地15平方米,这个停车场可停车多少辆?

    2、梯形菜园的面积是多少?

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    3、计算下面每个平行四边形的面积,你能发现什么?

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    4、一个三角形的底是5米。如果将底延长1米,面积就增加2平方米,原来三角形的面积是多少平方米?

    5、每平方米放养甲鱼苗20只,可放养甲鱼苗多少只?

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    七、填表(10分)

    平行四边形

    三角形

    梯   形

    17

    64

    49

    上底

    5

    60

    47

    12

    50

    下底

    7

    19

    22

    面积

    256

    面积

    125

    98

    6

    5

    54

    面积

    75

    3726

    552

    参考答案

    一、

    1、270;15     2、扩大2倍;不变     3、84    4、7    5、486    6、840

    7、小;36     8、6     9、5     10、(1)=(2)

    二、

    1、①  2、①,③  3、④  4、①  5、③  6、①  7、③ 8、② 9、① 10、①

    三、×√√√√

    四、(1)5×8=40(平方分米)(2)17×25÷2=175(平方米)

    (3)(10+8)×7÷2=63(平方厘米)(4)(26+34)×32÷2=960(平方分米)

    五、(1)13×16÷2=104(平方厘米)(2)48÷8×3÷2=9(平方分米)(3)38(平方厘米)(提示:先求三角形高)(4)24(平方分米)(提示:用整体减去空白就等于阴影)

    六、65×24÷15=104(辆)

    2、60×2÷15=8(米)

      (15+5)×8÷2=80(平方米)

    3、2×4=8      2×4=8        

    结论:同底等高的平行四边形面积相同

    4、2×2÷1=4(米)

    5×4÷2=10(平方米)

    5、[(30+80)×50÷2+40×80]×20=119000(只)

    七、略

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    练习题及答案二

    一、认真填空(每空1分)(21分)

    1、把平行四边形转化成长方形,因为平行四边形的底等于转化后的长方形的长,高等于转化后的长方形的(     ),长方形的面积=长×宽,所以,平行四边形的面积=(      )×(       ),用字母表示为s=(       )。

    2、两个(        )的梯形可以拼成一个平行四边形。平行四边形的面积是这个梯形面积的(       )。

    3、一个直角三角形,它的两条直角边分别是6cm和8cm,它的面积是(     )c

    4、3.6㎡=(     )d㎡     450c㎡=(     )d㎡

    5、一个正方形的周长是16 dm,它的边长是(      )dm,面积是(     )d㎡。

    6、一个平行四边形,底是12cm,比高多3cm,它的面积是(       )平方厘米。

    7、一个平行四边形,底是1.6dm,面积是8d㎡,它的高是(  )dm。

    8、平行四边形的高不变,对应的底扩大到原来的3倍,面积就扩大到原来的(       )倍。

    9、一个梯形的面积是80平方米,上、下底之和是40米,这个梯形的高是(      )米。

    10、一个三角形的面积是24㎝²底是8㎝,它的高是(    ),一个平行四边形的面积和底都和它相等,这个平行四边形的高是(   )。

    11、把一个长方形框架拉成一个平行四边形周长(      ),面积(      )。

    12、两个完全相同的三角形拼成一个底是6.5厘米高是4厘米的平行四边形,三角形的底是(     )厘米,高是(      )厘米。

    二、仔细判断(16分)

    1、三角形的面积是平行四边形面积的一半。  (     )

    2、两个形状不同的平行四边形它们的面积一定不相等。(    )

    3、直角三角形只有一条高。                (    )

    4、等底等高的三角形,它们面积一定相等。(   )

    5、周长相等的两个正方形的面积相等。    (     )

    6、平行四边形的底越长,它的面积就越大。  (     )

    7、边长是4厘米的正方形它的面积和周长相等。(     )

    8、一个长方形它的长增加5厘米,宽增加3厘米,它的面积增加15平方厘米。                               (     )

    三、动脑选择(10分)

    1、一个梯形的面积是80平方厘米,它的上底减少3厘米,下底增加3厘米,它的面积是(     )

    ①86㎝²      ②74㎝²     ③80㎝²      ④无法确定

    2、一个直接三角形的三条边分别是3厘米、4厘米、5厘米,那么它的面积是(     )

    ①3×4÷2         ②3×5÷2          ③4×5÷2

    3、正方形的边长扩大4倍,它的面积扩大(   )倍。 

    ①4      ②8     ③16   ④32

    4、把一个三角形的底扩大2倍,高扩大4倍,它的面积扩大(    )倍。

    ①2          ②4       ③6        ④8

    5、(     )号和图A的面积一样大。

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    四、求下面图形的面积(12分)

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    五、请在下面的方格中画出一个三角形、一个平行四边形、一个梯形,使它们的面积都是6平方厘米。(每个方格表示1平方厘米)(9分)

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    六、解决问题

    1、一块平行四边形菜地的面积是480平方米,它的底是60米,这块菜地的高是多少米?(6分)

    2、一张正方形红纸,边长66厘米,可用它做成底是33厘米,高是22厘米的三角形小红旗,最多可以做多少面?(6分)

    3、放心超市门口的装饰牌是等腰梯形。它的上底是16米,下底是22米,高3米。油漆这块装饰牌(每平方米需要用油漆0.5千克),需要多少千克的漆?(7分)

    4、一个三角形的苗圃,底边长100米,高是底的一半多20米。这个苗圃的面积是多少平方米?(6分)

    5、一个加工厂运来一批钢管。把它堆成梯形状,最上层有6根,最下层有14根。从上往下数共有9层。这批钢管共有多少根?(7分)

    参考答案

    一、认真填空(每空1分)(21分)

    1、( 宽 ),( 底 )×(高 ),(ah )2、(完全一样) ( 2倍)

    3、(24)4、(360 )(4.5 ) 5、( 4 ),(16)6、( 108 )

    7、( 5)8、( 3)9、(4 )10、( 6㎝),(3㎝)11、(不变 ),(变小)12、(6.5),(4 )

    二、仔细判断(16分)

    1(×)2、(×)3、(×)4、(√)5、(√)6、(×)7、(×)8、(×)

    三、动脑选择(10分)

    1、(③)2、(①)3、(③)4、(④)5、(②)

    四、求下面图形的面积(12分)

       4厘米²     28.75米²     33米²

    五、(9分)(略)

    六、解决问题

    1、(8米)

    2、(12面)

    3、(28.5千克)

    4、(3500米²)

    5、(90根)

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  • 知识点总结知识点1:相似多边形的概念相似多边形:各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。定义:各角分别相等,各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。相似比:...

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    知识点总结

    知识点1:相似多边形的概念

    相似多边形:分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。

    定义:各角分别相等,各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。

    相似比:相似多边形对应边的比叫做相似比。

    知识点2:相似多边形的性质和判定

    相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边成比例。

    相似多边形的判定:各角分别相等,各边成比例的两个多边形相似。

    考点复习

    常见考法

    (1)判断某两个图形是不是相似;

    (2)判断一组数据是不是成比例线段;

    (3)已知图上距离和比例尺大小求实际距离;

    (4)利用比例的性质求值。

    误区提醒

    (1)在判断四条线段是否成比例问题时忽略单位统一;(2)在用图上距离求实际距离时忽略了单位换算问题。

    【典型例题】(2010江苏淮安)在比例尺为1:200的地图上,测得A,B两地间的图上距离为4.5 cm,则A,B两地间的实际距离为m.

    【解析】4.5×200=9000cm=9m

    初中数学相似多边形的性质知识点(二)

    相似三角形

    一、平行线分线段成比例定理及其推论:

    1.定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。

    2.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

    3.推论的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条线段平行于三角形的第三边。

    二、相似预备定理:

    平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

    三、相似三角形:

    1.定义:对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

    2.性质:(1)相似三角形的对应角相等;

    (2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例;

    (3)相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方。

    说明:①等高三角形的面积比等于底之比,等底三角形的面积比等于高之比;②要注意两个图形元素的对应。

    3. 判定定理:

    (1)两角对应相等,两三角形相似;

    (2)两边对应成比例,且夹角相等,两三角形相似;

    (3)三边对应成比例,两三角形相似;

    (4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例,那么这两个直角三角形相似。

    四、三角形相似的证题思路:

    五、利用相似三角形证明线段成比例的一般步骤:

    一“定”:先确定四条线段在哪两个可能相似的三角形中;

    二“找”:再找出两个三角形相似所需的条件;

    三“证”:根据分析,写出证明过程。

    如果这两个三角形不相似,只能采用其他方法,如找中间比或引平行线等。

    六、相似与全等:

    全等三角形是相似比为1的相似三角形,即全等三角形是相似三角形的特例,它们之间的区别与联系:

    1.共同点它们的对应角相等,不同点是边长的大小,全等三角形的对应边相等,而相似三角形的对应的边成比例。

    2.判定方法不同,相似三角形只求形状相同的,大小不一定相等,所以改“对应边相等”成“对应边成比例”。

    常见考法

    (1)利用判定定理证明三角形相似;(2)利用三角形相似解决圆、函数的有关问题。

    误区提醒

    (1)根据相似三角形找对应边时,出现失误找错对应边,因此在写比例式时出错,导致解题错误信息;(2)在定理的实际应用中,常常忽视“夹角相等”这个重条件,错误认为有两边对应比相等,再有一组角相等,就能得到两个三角形相似。

    习题精析

    如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P,若∠BPC=40°,则∠BAC的度数是           d9d82e4d398602a3ac1198314f956d98.png

    习题答案

    C

    试题分析:在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近,可以从比例关系入手,列出方程求解.

    试题解析:由题意可得:2f9918adaaaacbf4d36b841f85ae90cf.png

    解得:x=8,
    故选C

    在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:甲:将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距为1,则新三角形与原三角形相似.乙:将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张,得到新的矩形,它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形不相似.对于两人的观点,下列说法正确的是(  )

    A.两人都对B.两人都不对
    C.甲对,乙不对D.甲不对,乙对

    2247b750ebc8f0d6d454f9155f21f88b.png

    解析:

    A

    试题分析:

    甲:根据题意得:AB∥A′B′,AC∥A′C′,BC∥B′C′,即可证得∠A=∠A′,∠B=∠B′,可得△ABC∽△A′B′C′;

    乙:根据题意得:AB=CD=3,AD=BC=5,则A′B′=C′D′=3+2=5,A′D′=B′C′=5+2=7,则可得83e8fcd98f9c77580a3ef830c307350d.png

    ,即新矩形与原矩形不相似.

    试题解析:

    2e2906fec0c6fdbd465c2c559e810fe3.png

    甲:根据题意得:AB∥A′B′,AC∥A′C′,BC∥B′C′,
    ∴∠A=∠A′,∠B=∠B′,
    ∴△ABC∽△A′B′C′,
    ∴甲说法正确;
    乙:∵根据题意得:AB=CD=3,AD=BC=5,则A′B′=C′D′=3+2=5,A′D′=B′C′=5+2=7,

    01d965f4d636c2ec0bbc169b1ad8da0a.png∴新矩形与原矩形不相似.
    ∴乙说法正确.
    故选:A.

    图文导学

    4dcb78c9461fa8be24378da6a49b1158.png8cf7b23f8f1312fe391bd8c5e3f28f2c.pngff449dff4d25d33bb5e8e82f309097ca.pnga50a0f90cc5d034b292c78e6c21251fa.png1b3c86d52903efef1acf891a6badec56.png8c94ff6fa375374c4ffd046febb1a52b.png2932d8053656532dca6285c5f5b4bef4.png748693c6530bfb314d83480dcc4b57d9.png555a5df1ed9184cbfb981291f398b082.png00b19bb108c493297caede25a2dde90d.pngefe0bdd888e4731c0d923e93f0694f14.png27c17fe2337353204cbbd5f758f9ddcb.png172de1c564d3098fd7a572a7da66b2a7.png30f9f40a8615ff21616ed618c829bdf2.png8701fa7b59554d5d6dfb219b21c39dcd.pngf618346bcc35e4e514f5993484bc1c1b.pngadb46053d6f86cfe2f24016f22ca354d.png450c69ee61d6c0fbb44885c0a82597f4.png

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  • 求任意多边形的面积

    2018-04-28 20:57:36
    给定多边形的顶点坐标(有序),让你来求这个多边形的面积,你会怎么做?我们知道,任意多边形都可以分割为N个三角形,所以,如果以这为突破,那么我们第一步就是把给定的多边形,分割为数个三角形,分别求面积,...

    给定多边形的顶点坐标(有序),让你来求这个多边形的面积,你会怎么做?
    我们知道,任意多边形都可以分割为N个三角形,所以,如果以这为突破点,那么我们第一步就是把给定的多边形,分割为数个三角形,分别求面积,最后累加就可以了,把多边形分割为三角形的方式多种多样,在这里,我们按照如下图的方法分割:

    图1

    S点作为起始点(点1),a->e依次作为点2,3……。
    一个三角形的面积是怎样的呢?
    根据线性代数的知识,我们有如下的三角形面积公式,称之为有向面积(signed area):

    将这个行列式以第三列展开可以得到:

    这就是以点1、2、3构成的三角形的有向面积(点如果是顺时针给出,有向面积为负,逆时针给出,有向面积为正),那么继续我们的工作,通过三角形的面积公式,来得到多边形的面积公式:
    对于图1而言,多边形的面积就是:
    S(1->6)=S(1,2,3)+S(1,3,4)+S(1,4,5)+S(1,5,6)
    这里我们不免有些疑问,第一,图1所给出的是凸多边形,那这种算法对于非凸多边形是否同样适用呢?比如下面这个最简单的凸多边形的图形:

    图2

    用刚才的划分方法的话,就会出现一个诡异的问题,那就是有一个三角形出现在了图形的外面,而另外一个又超出了多边形的范围(划分为了Sab,Sbc两个图形),那么这样再用刚才的公式求面积,结果还是正确的么?
    S(1->4)=S(1,2,3)+S(1,3,4)
    先公布结论,这个式子是正确的,等等,为什么?还记得刚才我提到了那个“有向面积”的概念么?忘了的话,请回头看看加重了的字。
    请注意从图中看,Sab点为顺时针排列,Sbc点为逆时针排列,面积从数值上就是从Sab这个超过范围的大三角形中去掉Sbc这个小三角形,最后的结果神奇的就是多边形Sabc的面积,那么这个结论能否推广到任意多边形呢?

    图3

    在这里不做证明,下面给出的公式,就是任意多边形的面积公式:

    题目:hdu2036     http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2036


    代码:

    1. #include<iostream>  
    2. #include<cstdio>  
    3. #include<string.h>  
    4. #include<math.h>  
    5. #include<string>  
    6. #include<map>  
    7. #include<set>  
    8. #include<vector>  
    9. #include<algorithm>  
    10. #include<queue>  
    11. #include<iomanip>  
    12. using namespace std;  
    13. struct P{  
    14.     int x;  
    15.     int y;  
    16. };  
    17. P p[105];  
    18. double area(int a)  
    19. {  
    20.     int b = a-1;  
    21.     return (p[b].x*p[a].y-p[a].x*p[b].y)-(p[0].x*p[a].y-p[a].x*p[0].y)+(p[0].x*p[b].y-p[b].x*p[0].y);  
    22. }  
    23. int main()  
    24. {  
    25.     int n;  
    26.     while(cin >> n){  
    27.         if(n==0) break;  
    28.         for(int i=0;i<n;i++)  
    29.             cin >> p[i].x >> p[i].y;  
    30.         double sum = 0;  
    31.         for(int i=2;i<n;i++){  
    32.             sum += 1.0/2.0*area(i);  
    33.         }  
    34.         cout << fixed << setprecision(1) << sum << endl;  
    35.     }  
    36.     return 0;  
    37. }  
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    丨逻辑判断思维导图

    本篇是图形推理的最后一节,主要分享的内容是图形中的特殊规律、空间重构题型,以及解题思路,纯干货,大家可以拿小本本记下来哦!

    图形推理解题思路:整体识别图形特征,根据特征判断题型,再用相应的方法解题,看不出来相邻比较

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    01特殊规律

    01、功能元素

    1.图形特征:每幅图都出现小元素(小黑点/小白点/小箭头/小图形等)

    2.方法:看标记位置

    (1)单个功能元素

    ①点:直线/曲线/曲直交点、顶点、奇点/偶点

    ②线/边:直线/曲线、最长边/最短边、横线/竖线

    ③面:相交面/单独面、最大面/最小面、直线面/曲线面、标记面的数量、标记面的边形

    ④角:直角/锐角/钝角、最大角/最小角

    (2)多个功能元素

    ①连线与图形线条的关系:垂直/平行/重合、穿过的直线/曲线条数

    ②连线将图形分割成多个面:边形、面积(1/2)

    ③连线构成三角形:等腰/直角/等边…

    02、图形间关系

    图形特征:每幅图都出现两个或多个封闭图形挨着

    1.相离:图形分开,没有公共部分

    2.相交

    (1)相交于点

    (2)相交于边

    细化考法①相交边的数量/形状(曲线、直线)

    ②最长边/最短边

    ③整体/部分

    【补充】真题中出现过的相交于边

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    (3)相交于面

    细化考法①相交面的形状(n边形/与原来图形的关系)

    ②面积(与原来图形相比>1/2或<1/2)

    8e9f1d859624a170753a167e50e55cd6.png6b2c3767b04a7371bd617cc608c6c7d7.png85a55f6ac6114c79485a405be8de3dc8.png

    02空间重构

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    01、六面体

    1.相对面(不能同时出现):同行或同列相隔一个面、“Z”字形两端

    2.相邻面(折叠前后相邻关系不变)

    (1)平面图中直接相邻的两个面的公共边

    (2)平面图中构成直角的两条边是同一条边

    (3)一排4个面,两头的两条边是同一条边

    (4)相对位置:图形指向明显

    (5)画边法

    ①结合选项,找一个特殊面的唯一点

    ②顺时针方向画边,并标出序号

    ③题干与选项对应:面不一致排除

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    02、四面体

    1.展开图中构成一条直线的两条边是同一条边

    2.平行四边形展开图中两条短边是同一条边

    3.方法:相对位置、画边法

    【补充】六面体/四面体思考顺序

    1.确定选项面分别是谁——无中生有直接排除

    2.判定面与面之间的位置关系

    ①相对面同时出现——排除

    ②辨别两个面的位置关系——相对位置法(公共边)

    ③有唯一点的特殊面——画边法

    03、三视图

    1.轮廓定视角:通过外框确定观察的角度

    2.细节排选项

    04、立体切割

    1.六面体

    矩形(拦腰切、上下切、斜切)

    梯形(斜切)

    锐角三角形(从棱上的某一点开始斜着切)

    2.圆柱、圆锥、圆台

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    【注意】六面体只能切出锐角三角形

    圆柱斜切,切不出梯形和矩形

    切到挖空面时,一定没有线封口

    05、不规则多面体折纸盒

    1.图形特征:题干图形不是六面体、四面体等常规多面体

    2.解题思路:从展开图的公共边入手

    (1)成V”字形的两条边折合之后是公共边(非0°、180°即可)

    (2)公共边等长且不能有“单身狗”

    (3)结合选项找区别,从区别明显处入手

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