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  • 知识总结知识点1:相似多边形的概念相似多边形:各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。定义:各角分别相等,各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。相似比:...

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    知识点总结

    知识点1:相似多边形的概念

    相似多边形:分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。

    定义:各角分别相等,各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。

    相似比:相似多边形对应边的比叫做相似比。

    知识点2:相似多边形的性质和判定

    相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边成比例。

    相似多边形的判定:各角分别相等,各边成比例的两个多边形相似。

    考点复习

    常见考法

    (1)判断某两个图形是不是相似;

    (2)判断一组数据是不是成比例线段;

    (3)已知图上距离和比例尺大小求实际距离;

    (4)利用比例的性质求值。

    误区提醒

    (1)在判断四条线段是否成比例问题时忽略单位统一;(2)在用图上距离求实际距离时忽略了单位换算问题。

    【典型例题】(2010江苏淮安)在比例尺为1:200的地图上,测得A,B两地间的图上距离为4.5 cm,则A,B两地间的实际距离为m.

    【解析】4.5×200=9000cm=9m

    初中数学相似多边形的性质知识点(二)

    相似三角形

    一、平行线分线段成比例定理及其推论:

    1.定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。

    2.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

    3.推论的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条线段平行于三角形的第三边。

    二、相似预备定理:

    平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

    三、相似三角形:

    1.定义:对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

    2.性质:(1)相似三角形的对应角相等;

    (2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例;

    (3)相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方。

    说明:①等高三角形的面积比等于底之比,等底三角形的面积比等于高之比;②要注意两个图形元素的对应。

    3. 判定定理:

    (1)两角对应相等,两三角形相似;

    (2)两边对应成比例,且夹角相等,两三角形相似;

    (3)三边对应成比例,两三角形相似;

    (4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例,那么这两个直角三角形相似。

    四、三角形相似的证题思路:

    五、利用相似三角形证明线段成比例的一般步骤:

    一“定”:先确定四条线段在哪两个可能相似的三角形中;

    二“找”:再找出两个三角形相似所需的条件;

    三“证”:根据分析,写出证明过程。

    如果这两个三角形不相似,只能采用其他方法,如找中间比或引平行线等。

    六、相似与全等:

    全等三角形是相似比为1的相似三角形,即全等三角形是相似三角形的特例,它们之间的区别与联系:

    1.共同点它们的对应角相等,不同点是边长的大小,全等三角形的对应边相等,而相似三角形的对应的边成比例。

    2.判定方法不同,相似三角形只求形状相同的,大小不一定相等,所以改“对应边相等”成“对应边成比例”。

    常见考法

    (1)利用判定定理证明三角形相似;(2)利用三角形相似解决圆、函数的有关问题。

    误区提醒

    (1)根据相似三角形找对应边时,出现失误找错对应边,因此在写比例式时出错,导致解题错误信息;(2)在定理的实际应用中,常常忽视“夹角相等”这个重条件,错误认为有两边对应比相等,再有一组角相等,就能得到两个三角形相似。

    习题精析

    如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P,若∠BPC=40°,则∠BAC的度数是           d9d82e4d398602a3ac1198314f956d98.png

    习题答案

    C

    试题分析:在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近,可以从比例关系入手,列出方程求解.

    试题解析:由题意可得:2f9918adaaaacbf4d36b841f85ae90cf.png

    解得:x=8,
    故选C

    在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:甲:将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距为1,则新三角形与原三角形相似.乙:将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张,得到新的矩形,它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形不相似.对于两人的观点,下列说法正确的是(  )

    A.两人都对B.两人都不对
    C.甲对,乙不对D.甲不对,乙对

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    解析:

    A

    试题分析:

    甲:根据题意得:AB∥A′B′,AC∥A′C′,BC∥B′C′,即可证得∠A=∠A′,∠B=∠B′,可得△ABC∽△A′B′C′;

    乙:根据题意得:AB=CD=3,AD=BC=5,则A′B′=C′D′=3+2=5,A′D′=B′C′=5+2=7,则可得83e8fcd98f9c77580a3ef830c307350d.png

    ,即新矩形与原矩形不相似.

    试题解析:

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    甲:根据题意得:AB∥A′B′,AC∥A′C′,BC∥B′C′,
    ∴∠A=∠A′,∠B=∠B′,
    ∴△ABC∽△A′B′C′,
    ∴甲说法正确;
    乙:∵根据题意得:AB=CD=3,AD=BC=5,则A′B′=C′D′=3+2=5,A′D′=B′C′=5+2=7,

    01d965f4d636c2ec0bbc169b1ad8da0a.png∴新矩形与原矩形不相似.
    ∴乙说法正确.
    故选:A.

    图文导学

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  • 1、高中数学知识总结空间几何体公式知识点直棱柱和正棱锥的表面积设棱柱高为h、底面多边形的周长为c、则得到直棱柱侧面面积计算公式:S=ch、即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积、正棱锥的侧面展开图是...

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    1、高中数学知识点总结空间几何体公式知识点直棱柱和正棱锥的表面积

    设棱柱高为h、底面多边形的周长为c、则得到直棱柱侧面面积计算公式:

    S=ch、即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积、

    正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形、底面是正多边形、

    如果设它的底面边长为a、底面周长为c、斜高为h'、则得到正n棱锥的侧面积计算公式

    S=1/2*nah'=1/2*ch'、即正棱锥的侧面积等于它的底面的周长和斜高乘积的一半、

    2、空间几何体公式知识点正棱台的表面积

    正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形、

    设棱台下底面边长为a、周长为c、上底面边长为a'、周长为c'、斜高为h'则得到正n棱台的侧面积公式: S=1/2*n(a+a')h'=1/2(c+c')h'、

    3、空间几何体公式知识点球的表面积

    S=4πR2、即球面面积等于它的大圆面积的四倍、

    4.空间几何体公式知识点圆台的表面积

    圆台的侧面展开图是一个扇环,它的表面积等于上,下两个底面的面积和加上侧面的面积,即

    S=π(r'2+r2+r'l+rl)

    空间几何体公式知识点空间几何体体积计算公式

    1、长方体体积

    V=abc=Sh

    2、柱体体积

    所有柱体

    V=Sh、即柱体的体积等于它的底面积S和高h的积、

    圆柱

    V=πr2h、

    3、棱锥

    V=1/3*Sh

    4、圆锥

    V=1/3*πr2h

    5、棱台

    V=1/3*h(S+(√SS')+S')

    6、圆台

    V=1/3*πh(r2+rr'+r'2)

    7、球

    V=4/3*πR3

    ▍ 来源:三好网

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  • 一、知识梳理 1 目标函数:P=2x+y是一个含有两个变量x和y的函数,称为目标函数。 2 可行域:约束条件表示的平面区域称为可行域。 3 整点:坐标为整数的点叫做整点。 4 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件...

    一、知识梳理

    1 目标函数:P=2x+y是一个含有两个变量x和y的函数,称为目标函数。

    2 可行域:约束条件表示的平面区域称为可行域。

    3 整点:坐标为整数的点叫做整点。

    4 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,通常称为线性规划问题。只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决。

    5 整数线性规划:要求量整数的线性规划称为整数线性规划。

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    二、疑难知识导析

    线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科,主要在以下两类问题中得到应用:一是在人力、物力、财务等资源一定和条件下,如何使用它们来完成最多的任务;二是给一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。

    1 对于不含边界的区域,要将边界画成虚线。

    2 确定二元一次不等式所表示的平面区域有种方法,常用的一种方法是“选点法”:任选一个不在直线上的点,检验它的坐标是否满足所给的不等式,若适合,则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域;否则,直线的另一端为所求的平面区域。若直线不过原点,通常选择原点代入检验。

    3 平移直线y=-kx+P时,直线必须经过可行域。

    4 对于有实际背景的线性规划问题,可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域,此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点。

    5 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,无论此类题目是以什么实际问题提出,其求解的格式与步骤是不变的:

    (1)寻找线性约束条件,线性目标函数;

    (2)由二元一次不等于表示的平面区域做出可行域;

    (3)在可行域内求目标函数的最优解。

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    积储知识:

    一、

    1.占P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上,则点P坐标适合方程,即Ax0+ y0+C=0

    2.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方(左上或右下),则当B>0时,Ax0+ y0+C >0;当B<0时,Ax0+ y0+C<0

    3.点P(x0+,y0)D在直线Ax0+ y0+C=0下方(左下或右下),当B>0时,Ax0+ y0+C<0;当B>0时,Ax0+ y0+C>0

    注意:(1)在直线Ax+ By+C=0同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入Ax+ By+C=0,所得实数的符号都相同。

    (2)在直线Ax+ By+C=0的两侧的两点,把它的坐标代入Ax+ By+C,所得实数的符号相反。

    即:

    1.点(P x1,y1)和Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的同侧,则有(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0

    2. 点(P x1,y1)和Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的同侧,则有(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0

    二、二元一次不等式表示平面区域:

    ①二元一次不等式Ax+By+C>0(或

    ②二元一次不等式Ax+By+C≥0(≤0)在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C0

    某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;

    注意:作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线。

    三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:

    方法一:取特殊点检验:“直线定界、特殊点定域”

    原因:由于对在直线Ax+By+C0的同一侧的所有点(x,y)把它的坐标系(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域。特殊地,当C≠0时,常把原点作为特殊点,当C=0时,可用(0,1)或(1,0)当特殊点,若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域,否则是另一侧区域为需画区域。

    方法二:利用规律:

    1.Ax+By+C>0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0上方(左上或右上),当B<0时表示直线Ax+By+C=0下方(左下或右下);

    2.Ax+By+C<0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0下方(左下或右下)当B>0时表示直线Ax+By+C=0上方(左上或右上)。

    四、线性规划的有关概念:

    ①线性约束条件:

    ②线性目标函数:

    ③线性规划问题:

    ④可行解、可行域和最优解:

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    典型例题

    典型例题——————画区域

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    典型例题——————画区域

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    典型例题——————求最值

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  • 凸包算法知识总结

    2020-04-16 22:05:42
    假设平面上有p0~p12共13个点,过某些点作一个多边形,使这个多边形能把所有点都“包”起来。当这个多边形是凸多边形的时候,我们就叫它“凸包”。 处理何种问题:凸包可以看成在木板上钉许多钉子,用一根橡皮筋框...

    首先,什么是凸包?
    假设平面上有p0~p12共13个点,过某些点作一个多边形,使这个多边形能把所有点都“包”起来。当这个多边形是凸多边形的时候,我们就叫它“凸包”。
    处理何种问题:凸包可以看成在木板上钉许多钉子,用一根橡皮筋框住所有钉子所得到的多边形,最终能求得都由哪些钉子构成该凸包。如下图所示:
    在这里插入图片描述
    然后,什么是凸包问题?
    我们把这些点放在二维坐标系里面,那么每个点都能用 (x,y) 来表示。
    现给出点的数目13,和各个点的坐标。求构成凸包的点?

    解一:穷举法(蛮力法)

    时间复杂度:O(n³)。
    思路:两点确定一条直线,如果剩余的其它点都在这条直线的同一侧,则这两个点是凸包上的点,否则就不是。
    步骤:

    将点集里面的所有点两两配对,组成 n(n-1)/2 条直线。
    对于每条直线,再检查剩余的 (n-2) 个点是否在直线的同一侧。
    如何判断一个点 p3 是在直线 p1p2 的左边还是右边呢?(坐标:p1(x1,y1),p2(x2,y2),p3(x3,y3))

    这里写图片描述
    当上式结果为正时,p3在直线 p1p2 的左侧;当结果为负时,p3在直线 p1p2 的右边。

    解二:分治法

    时间复杂度:O(n㏒n)。
    思路:应用分治法思想,把一个大问题分成几个结构相同的子问题,把子问题再分成几个更小的子问题……。然后我们就能用递归的方法,分别求这些子问题的解。最后把每个子问题的解“组装”成原来大问题的解。
    步骤:

    1.把所有的点都放在二维坐标系里面。那么横坐标最小和最大的两个点 P1 和 Pn 一定是凸包上的点(为什么呢?用反证法很容易证明,这里不详讲)。直线 P1Pn 把点集分成了两部分,即 X 轴上面和下面两部分,分别叫做上包和下包。
    2.对上包:求距离直线 P1Pn 最远的点,即下图中的点 Pmax 。
    3.作直线 P1Pmax 、PnPmax,把直线 P1Pmax 左侧的点当成是上包,把直线 PnPmax 右侧的点也当成是上包。
    4.重复步骤 2、3。
    对下包也作类似操作。
    在这里插入图片描述
    然而怎么求距离某直线最远的点呢?我们还是用到解一中的公式:
    这里写图片描述
    设有一个点 P3 和直线 P1P2 。(坐标:p1(x1,y1),p2(x2,y2),p3(x3,y3))
    对上式的结果取绝对值,绝对值越大,则距离直线越远。

    注意:在步骤一,如果横坐标最小的点不止一个,那么这几个点都是凸包上的点,此时上包和下包的划分就有点不同了,需要注意。
    解三:Jarvis步进法
    时间复杂度:O(nH)。(其中 n 是点的总个数,H 是凸包上的点的个数)
    思路:

    纵坐标最小的那个点一定是凸包上的点,例如图上的 P0。
    从 P0 开始,按逆时针的方向,逐个找凸包上的点,每前进一步找到一个点,所以叫作步进法。
    怎么找下一个点呢?利用夹角。假设现在已经找到 {P0,P1,P2} 了,要找下一个点:剩下的点分别和 P2 组成向量,设这个向量与向量P1P2的夹角为 β 。当 β 最小时就是所要求的下一个点了,此处为 P3 。
    这里写图片描述

    注意:

    找第二个点 P1 时,因为已经找到的只有 P0 一个点,所以向量只能和水平线作夹角 α,当 α 最小时求得第二个点。
    共线情况:如果直线 P2P3 上还有一个点 P4,即三个点共线,此时由向量P2P3 和向量P2P4 产生的两个 β 是相同的。我们应该把 P3、P4 都当做凸包上的点,并且把距离 P2 最远的那个点(即图中的P4)作为最后搜索到的点,继续找它的下一个连接点。

    解四:Graham扫描法
    时间复杂度:O(n㏒n)
    思路:Graham扫描的思想和Jarris步进法类似,也是先找到凸包上的一个点,然后从那个点开始按逆时针方向逐个找凸包上的点,但它不是利用夹角。
    在这里插入图片描述
    步骤:

    把所有点放在二维坐标系中,则纵坐标最小的点一定是凸包上的点,如图中的P0。
    把所有点的坐标平移一下,使 P0 作为原点,如上图。
    计算各个点相对于 P0 的幅角 α ,按从小到大的顺序对各个点排序。当 α 相同时,距离 P0 比较近的排在前面。例如上图得到的结果为 P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8。我们由几何知识可以知道,结果中第一个点 P1 和最后一个点 P8 一定是凸包上的点。
    (以上是准备步骤,以下开始求凸包)
    以上,我们已经知道了凸包上的第一个点 P0 和第二个点 P1,我们把它们放在栈里面。现在从步骤3求得的那个结果里,把 P1 后面的那个点拿出来做当前点,即 P2 。接下来开始找第三个点:
    连接 栈最上面的连个元素(即P0和栈顶)的那个点,得到直线 L 。看当前点是在直线 L 的右边还是左边。如果在直线的右边就执行步骤5;如果在直线上,或者在直线的左边就执行步骤6。
    如果在右边,则栈顶的那个元素不是凸包上的点,把栈顶元素出栈。执行步骤4。
    当前点是凸包上的点,把它压入栈,执行步骤7。
    检查当前的点 P2 是不是步骤3那个结果的最后一个元素。是最后一个元素的话就结束。如果不是的话就把 P2 后面那个点做当前点,返回步骤4。
    最后,栈中的元素就是凸包上的点了。

    解五:Melkman算法
    在这里插入图片描述
    说真的,这个算法我也还没有看清。网上的资料也少的可怜,我暂且把网上的解释截个图在这里,往后搞懂以后再回来补上。
    性能:由一个快排(O(nlogn))和一个遍历找点(O(n)),总体时间复杂度为O(nlogn)。

    原理:

    点:A(x1,y1),B(x2,y2)

    向量AB=(x2-x1,y2-y1)=(x,y)

    向量的叉积:a X b =

    通过结果的正负判断两矢量之间的顺逆时针关系

    l 若a X b > 0,表示a在b的顺时针方向上

    l 若a X b < 0,表示a在b的逆时针方向上

    l 若a X b == 0,表示a与b共线,但不确定方向是否相同

    例如:

    在这里插入图片描述

    A(0,0)

    B(2,2)

    C(3,1)

    D(2,-1)

    AB(2,2),AC(3,1),AD(2,-1)

    AC X AB = 32-12 = 4>0

    AC在AB的顺时针方向上,即点C在向量AB的下面。

    实现步骤:

    排序:按照x由小到大排序,如果x相同,按照y由小到大排序。
    排序之后第一个点必为凸包上的点(证明自己意淫一下,有x最大、x最小、y最小、y最大的点都必在凸包上)。
    选最近两个刚入凸包的点,再在排序中依次选点,根据上面所提及到的原理,判断该点在凸包那两点的顺时针还是逆时针方向。
    如果在逆时针方向,将该点加入凸包,否则判定出之前进入凸包的点不合格,删除该凸包点,重复第三步,直到该点加入凸包(也就是说每个点都曾进过凸包,只是后来有些被删了)。
    以上就是下凸包的构成步骤,上凸包参考下凸包,基本没有什么差别,因为在判断时是判断是否为逆时针,别误以为是在判段该点在向量的下方,上凸包就不可用了,对于逆时针而言都是一样的。
    这种方法求出来的点是凸包沿着逆时针方向找出来的,首位相接且第一个点重复两次,所以除了点只有一个的情况下,记得点的个数减一。

    备注:对于题目要求求凸包构成的面积时,可以参考以下图示求法:
    在这里插入图片描述
    输入样例解释:

    11—散点样例个数

    5 8 —散点坐标

    12 56

    5 2

    125 1

    15 66

    45 77

    55 6

    45 2

    232 5

    45 12

    54 66

    输出样例解释:

    tot=7 —构成凸包点的个数

    1: 5.00 , 2.00 —沿着凸包逆时针方向,且保留两位小数

    2: 125.00 , 1.00

    3: 232.00 , 5.00

    4: 45.00 , 77.00

    5: 15.00 , 66.00

    6: 12.00 , 56.00

    7: 5.00 , 8.00

    //求凸包,时间复杂度nlogn
    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    #include<cmath>
    #include<cstring>
    using namespace std;
    
    const int MaxN=10010;
    
    int n,tot;//n为点的个数,tot为凸点的个数
    struct point
    {
        double x,y;
    };
    point p[MaxN],CHP[MaxN];//CHP为凸包最后所构成的点
    
    bool cmp(point a,point b)//水平排序,按x从大到小排,如果x相同,按y从大到小排序
    {
        return (a.x<b.x||(a.x==b.x&&a.y<b.y));
    }
    
    double xmul(point a,point b,point c)//叉积
    {
        return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(b.y-a.y)*(c.x-a.x);
    }
    
    void Andrew()
    {
        sort(p,p+n,cmp);
        tot=0;
    
        for(int i=0; i<n; ++i) //计算下半个凸包
        {
            while(tot>1&&xmul(CHP[tot-2],CHP[tot-1],p[i])<0)
                --tot;
            CHP[tot++]=p[i];
        }
    
        int k=tot;
        for(int i=n-2; i>=0; --i) //计算上半个凸包
        {
            while(tot>k&&xmul(CHP[tot-2],CHP[tot-1],p[i])<0)
                --tot;
            CHP[tot++]=p[i];
        }
    
        if(n>1)//对于只有一个点的包再单独判断
            --tot;
    }
    
    
    int main()
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=0; i<n; ++i)
        {
            scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
        }
        Andrew();
        printf("tot=%d\n",tot);
        for(int i=0; i<tot; ++i)
        {
            printf("%d: %.2lf , %.2lf\n",i+1,CHP[i].x,CHP[i].y);
        }
        return 0;
    }
    
    

    一些预备知识点:

    首先在二维坐标下介绍一些定义:
    点:A(x1,y1),B(x2,y2)

    向量:向量AB=( x2 - x1 , y2 - y1 )= ( x , y );

    向量的模 |AB| = sqrt ( xx+yy );

    向量的点积: 结果为 x1x2 + y1y2。

    点积的结果是一个数值。

    点积的集合意义:我们以向量 a 向向量 b 做垂线,则 | a | * cos(a,b)为 a 在向量 b 上的投影,即点积是一个向量在另一个向量上的投影乘以另一个向量。且满足交换律

    应用:可以根据集合意义求两向量的夹角,
    cos(a,b) =( 向量a * 向量b ) / (| a | * | b |) = (x1x2 + y1y2) / (| a | * | b |)

    向量的叉积: 结果为 x1y2-x2y1

    叉积的结果也是一个向量,是垂直于向量a,b所形成的平面,如果看成三维坐标的话是在 z 轴上,上面结果是它的模。

    方向判定:右手定则,(右手半握,大拇指垂直向上,四指右向量a握向b,大拇指的方向就是叉积的方向)

    叉积的集合意义:1:其结果是a和b为相邻边形成平行四边形的面积。

    2:结果有正有负,有sin(a,b)可知和其夹角有关,夹角大于180°为负值。

    3:叉积不满足交换律

    应用:

    1:通过结果的正负判断两矢量之间的顺逆时针关系

    若 a x b > 0表示a在b的顺时针方向上

    若 a x b < 0表示a在b的逆时针方向上

    若 a x b == 0表示a在b共线,但不确定方向是否相同

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空空如也

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