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2021-04-01 10:42:12
个人用,大家也可以直接复制,直接调用即可
function yy = lag(x,y,xx) m=length(x); n=length(y); if m~=n, error('') end s=0; for i=1:n t=ones(1,length(xx)) ; for j=1:n if j~=i, t=t.*(xx-x(j))/(x(i)-x(j)); end end s=s+t*y(i); end yy=s;
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多项式回归
2018-10-02 23:08:37多项式回归 多项式回归,回归函数是回归变量多项式的回归。多项式回归模型是线性回归模型的一种,此时回归函数关于回归系数是线性的。由于任一函数都可以用多项式逼近,因此多项式回归有着广泛应用。 直线回归研究...多项式回归
多项式回归,回归函数是回归变量多项式的回归。多项式回归模型是线性回归模型的一种,此时回归函数关于回归系数是线性的。由于任一函数都可以用多项式逼近,因此多项式回归有着广泛应用。
直线回归研究的是一个因变量与一个自变量之间的回归问题,但在实际情况中,影响因变量的自变量往往不止一个,例如:羊毛的产量受到绵羊体重、体长、胸围等影响,因此需要进行一个因变量与多个自变量间的回归分析,即多元回归分析。
研究一个因变量与一个或多个自变量间多项式的回归分析方法,称为多项式回归(Polynomial Regression)。如果自变量只有一个时,称为一元多项式回归;如果自变量有多个时,称为多元多项式回归。在一元回归分析中,如果依变量y与自变量x的关系为非线性的,但是又找不到适当的函数曲线来拟合,则可以采用一元多项式回归。
一元m次多项式回归方程为:
二元二次多项式回归方程为:
上图的数据,我们可以使用一元2次多项式来拟合,首先,一个标准的一元高阶多项式函数如下:
m 表示多项式的阶数,
表示 x 的 j 次幂,w 则代表该多项式的系数。
当我们使用上面的多项式去拟合散点时,需要确定两个要素,分别是:多项式系数 w 以及多项式阶数 m,这也是多项式的两个基本要素。当然也可以手动指定多项式的阶数m的大小,这样就只需要确定系数w的值了。得到以下公式:
如何求解该公式呢?这里使用Scipy的方法。
使用Scipy提供的最小二乘法函数得到最佳拟合参数:
该方法:最小化一组方程的平方和(即可以用来实现最小二乘法)
import numpy as np from scipy.optimize import leastsq # 拟合数据集 x = [4, 8, 12, 25, 32, 43, 58, 63, 69, 79] y = [20, 33, 50, 56, 42, 31, 33, 46, 65, 75] def fun(p, x): """ 定义想要拟合的函数 """ w0,w1 = p #从参数p获得拟合的参数 # 如果是二次多项式则:w0,w1,w2 = p ;return w0 + w1*x + w2*x*x 以此类推 return w0 + w1*x def err(p, x, y): """ 定义误差函数 """ return fun(p,x) -y #定义起始的参数 即从 y = 1*x+1 开始,其实这个值可以随便设,只不过会影响到找到最优解的时间 p0 = [1,1] #p0 = [1,1,1] w系数的个数[w0,w1,w2...] #将list类型转换为 numpy.ndarray 类型,最初我直接使用 #list 类型,结果 leastsq函数报错,后来在别的blog上看到了,原来要将类型转 #换为numpy的类型 x1 = np.array(x) y1 = np.array(y) xishu = leastsq(err, p0, args=(x1,y1)) print(xishu[0]) # xishu[0],即为获得的参数
一般只要指定前三个参数就可以:
-
func 是我们自己定义的一个计算误差的函数,
-
x0 是计算的初始参数值
-
args 是指定func的其他参数
通过实践后观察,上面实现1次多项式拟合(2次多项式,p0则需要3个值)但其效果都不是很好,所以下面修改代码尝试N(大于2)项拟合
""" 实现N次多项式拟合 """ def fit_func(p, x): """根据公式,定义 n 次多项式函数 """ f = np.poly1d(p) # 这里的np.poly1d函数是用来构造多项式使用的,默认格式为:ax**2+bx+c等,如:ax**3 + bx**2 + cx + d 以此类推 return f(x) def err_func(p, x, y): """残差函数(观测值与拟合值之间的差距) """ ret = fit_func(p, x) - y return ret def n_poly(n): """n 次多项式拟合 """ p_init = np.random.randn(n) # 生成 n 个随机数 parameters = leastsq(err_func, p_init, args=(np.array(x), np.array(y))) return parameters[0] # 返回多项式系数w0、w1、w2... k = n_poly(3) # 与上面的二次多项式结果一致,只是公式顺序不同 """绘制出 3,4,5,6,7, 8 次多项式的拟合图像 """ # 绘制拟合图像时需要的临时点 x_temp = np.linspace(0, 80, 10000) # 绘制子图 fig, axes = plt.subplots(2, 3, figsize=(15,10)) axes[0,0].plot(x_temp, fit_func(n_poly(4), x_temp), 'r') axes[0,0].scatter(x, y) axes[0,0].set_title("m = 3") axes[0,1].plot(x_temp, fit_func(n_poly(5), x_temp), 'r') axes[0,1].scatter(x, y) axes[0,1].set_title("m = 4") axes[0,2].plot(x_temp, fit_func(n_poly(6), x_temp), 'r') axes[0,2].scatter(x, y) axes[0,2].set_title("m = 5") axes[1,0].plot(x_temp, fit_func(n_poly(7), x_temp), 'r') axes[1,0].scatter(x, y) axes[1,0].set_title("m = 6") axes[1,1].plot(x_temp, fit_func(n_poly(8), x_temp), 'r') axes[1,1].scatter(x, y) axes[1,1].set_title("m = 7") axes[1,2].plot(x_temp, fit_func(n_poly(9), x_temp), 'r') axes[1,2].scatter(x, y) axes[1,2].set_title("m = 8") plt.show()
很简单,代码分为两部分,上面为主要的计算系数w的值,下面为直观查看每个次项拟合后的效果图,如下:
可以清楚的看到当3次项(也就是m=3)时,效果还是一般,但从4次项(m=4)后,对于数据的拟合性就明显优于3次项了,当 m=8 时,曲线呈现出明显的震荡,这也就是线性回归实验中所讲到的过拟和(Overfitting)现象,后面再介绍如何解决这个问题。
使用scikit-learn进行多项式拟合:
对于一个二次多项式而言,我们知道它的标准形式为:
,但是,多项式回归其实相当于是线性回归的特殊形式(开头也提到)。例如,我们这里令
,
,那么原方程就转换为:
,这也就变成了多元线性回归。完成了一元高次多项式到多元一次项式之间的转换。(如下,看作将多元一次项合并为一个矩阵中线性求解)
举例说明,对于自变量向量
和因变量
,如果
:
[[ 3]
[-2]
[ 4]]则可以通过
线性回归模型进行拟合。同样,如果对于一元二次多项式
,能得到
,
构成的特征矩阵,即:
[[ 3. 9.]
[-2. 4.]
[ 4. 16.]]那么也就可以使用线性回归进行拟合了。
所以这里有了一个方便的工具,scikit-learn 中,我们可以通过
PolynomialFeatures()
类自动产生多项式特征矩阵sklearn.preprocessing.PolynomialFeatures(degree=2, interaction_only=False, include_bias=True)
-
degree
: 多项式次数,默认为 2 次多项式 -
interaction_only
: 默认为 False,如果为 True 则产生相互影响的特征集。 -
include_bias
: 默认为 True,包含多项式中的截距项。
通过下面代码解决上面一样的问题:
""" 使用 PolynomialFeatures 自动生成特征矩阵 """ from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures x = np.array(x).reshape(len(x), 1) # 转换为列向量 y = np.array(y).reshape(len(y), 1) poly_features = PolynomialFeatures(degree=2, include_bias=False) # 特征矩阵模型构建用来多项式的特征矩阵 poly_x = poly_features.fit_transform(x) # 通过模型转换x数据 """ 用线性回归拟合上面转换后的数据 """ from sklearn.linear_model import LinearRegression model = LinearRegression() model.fit(poly_x,y) # 这里使用转换后的特征矩阵相当于将一元2次转换为二元一次 # print(model.intercept_,model.coef_) """绘制拟合图像 """ x_temp = np.linspace(0, 80, 10000) x_temp = np.array(x_temp).reshape(len(x_temp),1) poly_x_temp = poly_features.fit_transform(x_temp) plt.plot(x_temp, model.predict(poly_x_temp), 'r') plt.scatter(x, y) plt.show() # 得到的结果与上面用leastsq的二次项结果一致
这里二次项的图(degree=2),若设置更高的次项3,4,5(degree=3,4,5),则可以得到上面leastsq方法相同的效果,只需要通过PolynomialFeatures方法生成对应次项的特征矩阵就行。
评价指标
可以使用前一篇文章提到的 平均绝对误差(MAE)、均方误差(MSE)等方法来衡量,具体可以使用sklearn中的以下两个方法:
from sklearn.metrics import mean_absolute_error
from sklearn.metrics import mean_squared_error2次多项式不一定比线性回归的效果好,需要根据具体的测试结果做决定,可以试试更高次的多项式回归预测 ,下面我们便来验证以一下。
make_pipeline通道:
通过实例化
make_pipeline
管道类,实现调用一次fit
和predict
方法即可应用于所有预测器。make_pipeline
是使用 sklearn 过程中的技巧创新,其可以将一个处理流程封装起来使用。 更详细的使用可以参考这里上面的多项式回归中,我们需要先使用
PolynomialFeatures
完成特征矩阵转换,再放入LinearRegression
中。那么,PolynomialFeatures + LinearRegression
这一个处理流程,就可以通过make_pipeline
封装起来使用。以下数据集并非上面的x,y,如下数据(将Year作为特征列train_x,Values为目标值train_y,且数据是按0.7比例分割为训练、测试集):
"""更高次多项式回归预测 """ from sklearn.pipeline import make_pipeline train_x = train_x.reshape(len(train_x),1) test_x = test_x.reshape(len(test_x),1) train_y = train_y.reshape(len(train_y),1) for m in [3, 4, 5]: model = make_pipeline(PolynomialFeatures(m, include_bias=False), LinearRegression()) model.fit(train_x, train_y) pre_y = model.predict(test_x) print("{} 次多项式回归平均绝对误差: ".format(m), mean_absolute_error(test_y, pre_y.flatten())) print("{} 次多项式均方根误差: ".format(m), mean_squared_error(test_y, pre_y.flatten())) print("---")
可以看到高次项的误差都比线性回归要低,而2次项则要高,所以对于模型均需要进行验证后使用。
好了,上面介绍了 多项式回归的原理与Scipy实现、sklearn构建特征矩阵转为线性运算、Pipeline方便的通道运算、以及误差评判,但还有一个很重要的问题,那就是如何选择最佳的n次项?
几次项才是最佳的选择?
其实这个问题很简单,我们可以设置一个误差指标(MSE、MAE等),然后绘制增加次项后,预测结果的误差值图。观察图形来选择一个合适的次项点(类似肘部法则也可以作为参考):
""" 计算 m 次多项式回归预测结果的 MSE 评价指标并绘图 """ mse = [] # 用于存储各最高次多项式 MSE 值 m = 1 # 初始 m 值 m_max = 10 # 设定最高次数 while m <= m_max: model = make_pipeline(PolynomialFeatures(m, include_bias=False), LinearRegression()) model.fit(train_x, train_y) # 训练模型 pre_y = model.predict(test_x) # 测试模型 mse.append(mean_squared_error(test_y, pre_y.flatten())) # 计算 MSE m = m + 1 # print("MSE 计算结果: ", mse) # 绘图 plt.plot([i for i in range(1, m_max + 1)], mse, 'b') plt.scatter([i for i in range(1, m_max + 1)], mse) # 绘制图名称等 plt.title("MSE of m degree of polynomial regression") plt.xlabel("m") plt.ylabel("MSE") plt.show()
如上图,可以明显看到当次数为3时,误差指标已经趋近于平稳了,所以这里选择3最好,当次数项越多可能会出现过拟合的问题,模型的泛化能力会降低。
参考文章:
https://baike.baidu.com/item/%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%9B%9E%E5%BD%92/21505384?fr=aladdin
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- 多项式的运算表示是一个很常见的算法问题。
- 问题描述
- 给予两个多项式A(x)与B(x),得出C(x)=A(x)B(x)。
- 例如,A(x)=3+2x+3x2+4x3,B(x)=2+x2,C(x)=6+4x+9x2+10x3+3x4+4x^5。
- 问题分析
- 一般情况下,使用系数表示多项式,不存在的项系数为0。但是,除了系数表示外,多项式还有一种表示叫做点值表示。
- 若多项式的度数为n,也就是多项式含有x^n项,则多项式可以被n+1对点值表示,前提是点不重复。
- 举例如下
A(x)=3+2x+3x^2+4x^3
- 取四个点:x=(0, 1, 2, 3)
- 点值对:(0, 3), (1, 12), (2, 51), (3, 144)
- 以上四个点足以表示多项式A(x),没有任何其他多项式拥有这四个点。
- 举例如下
- 当两个多项式相乘,只需要乘它们的点值对就可以得到结果多项式的点值表示。
- 对例题
- 多项式:
A(x)=3+2x+3x^2+4x^3,B(x)=2+x^2
- 取6个点:
x=(-2, -1, 0, 1, 2, 3)
- 点值对:
A(x):(-2, -21), (-1, 0), (0, 3), (1, 12), (2, 51), (3, 144);B(x):(-2, 6), (-1, 3), (0, 2), (1, 3), (2, 6), (3, 11)
- 点值乘积:
C(x):(-2, -126), (-1, 0), (0, 6), (1, 36), (2, 306), (3, 1584)
- 需要6个点,因为多项式C(x)度数为2+3=5。
- 多项式:
- 对例题
- 知道了如何将系数表示转换为点值表示、如何做多项式点值表示的乘法,就可以开始学习FFT(快速傅里叶变换)算法。FFT算法可以做如下工作。
- 找到单位的n+1次根,总共有n+1个。
- 通过分治快速计算A(x)与B(x)在这些单位根的值。
- 将A(x)与B(x)的点值相乘,得到C(x)的点值表示。
- 将C(x)的点值表示转换为系数表示。
- FFT的要点在于选值。如果只是随便选n+1个点,那就需要逐个计算这些点对应的值。但是,可以利用单位根的特性,从而采取分治算法。关于FFT算法以及单位根特性不细说,具体见代码。
- 代码
-
# -*-coding:utf-8-*- from cmath import pi, exp def FFT(A, w): length = len(A) if length == 1: return [A[0]] A_even = [] A_odd = [] for i in range(0, length // 2): A_even.append(A[2 * i]) A_odd.append(A[2 * i + 1]) F_even = FFT(A_even, w ** 2) F_odd = FFT(A_odd, w ** 2) x = 1 values = [0 for i in range(length)] for i in range(0, length // 2): values[i] = F_even[i] + x * F_odd[i] values[i + length // 2] = F_even[i] - x * F_odd[i] x = x * w return values def solver(A, B): length = len(A) + len(B) - 1 n = 1 while 2 ** n < length: n += 1 length = 2 ** n A.extend([0 for i in range(length - len(A))]) B.extend([0 for i in range(length - len(B))]) w = exp(2 * pi * 1j / length) A_values = FFT(A, w) B_values = FFT(B, w) C_values = [A_values[i] * B_values[i] for i in range(length)] result = [int((x / length).real) for x in FFT(C_values, w ** -1)] while result[-1] == 0: del result[-1] return result if __name__ == '__main__': input_A, input_B = [3, 2, 3, 4], [2, 0, 1] print("A", input_A) print("B", input_B) result = solver(input_A, input_B) print("C", result)
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- 运行结果
- 补充说明
- 具体代码可以查看我的Github,欢迎Star或者Fork
- 对代码进行了一些修正
- 参考书《你也能看得懂的Python算法书
- 简介
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2020-12-17 22:10:10情况比较多,大家可以看我代码后面的注释,我是用举例来说明的,非常详细。 直接上代码: def print_polynomial(poly):#输出多项式 i = 0 # 这个i用来记录这一项是第一项 i=0表示第一项 str1 = 'Python实现多项式输出
兄弟们!!这个多项式输出考虑的情况有点多,说一下我的思路:
对于多项式的输出,简化来说就是两项的输出:即第一项和第二项的输出
这里我假设:第一项+第二项 = 2x^3 + 4x^5
这里考虑 2 3 4 5 取不同的值的时候的情况:
情况比较多,大家可以看我代码后面的注释,我是用举例来说明的,非常详细。
直接上代码:def print_polynomial(poly):#输出多项式 i = 0 # 这个i用来记录这一项是第一项 i=0表示第一项 str1 = '' #这个使用来拼接输出的多项式 for x,y in poly: # x表示系数 y表示指数 if x !=0: #系数!= 0 的时候才输出 if i == 0: #这个是第一项 i=i+1 #之后在输出的就不是第一项了 # x == 1 x==-1 , x<0 和 x>1 是一种情况 6x^4 + 5x^5 if x == 1: #如果系数 = 1 1x^6 + 5x^5 = x^6 + 5x^5 if y == 1: #如果指数 =1 则不必输出指数 x^1 + 5x^5 = x + 5x^5 str1 += "x" elif y == 0 : #如果指数=0, x^0 + 5x^5 = 1 + 5x^5 str1 += "1" else: #其余情况 1x^6 + 5x^5 = x^6 + 5x^5 str1 += "x^"+str(y) elif x == -1 : #如果系数等于 -1 , -x^1 + 5x^5 = -x + 5x^5 if y == 1: #如果指数 =1 -x^1 + 5x^5 = -x + 5x^5 str1 += "-x" elif y == 0 : #如果指数=0, -1x^0 + 5x^5 = -1 + 5x^5 str1 += "-1" else: #其余情况 -x^4 + 5x^5 = -x^4 + 5x^5 str1 += "-x^"+str(y) elif x < 0 or x>0 : # 6x^4 + 5x^5=6x^4+5x^5 或 -6x^4 + 5x^5 = -6x^4 + 5x^5 if y == 1: # 6x^1 + 5x^5=6x + 5x^5 或 -6x^1 + 5x^5 = -6x + 5x^5 str1 += str(x)+"x" elif y == 0 : # 6x^0 + 5x^5=6 + 5x^5 或 -6x^0 + 5x^5 = -6 + 5x^5 str1 += str(x) else: #其余情况 6x^4 + 5x^5=6x^4 + 5x^5 或 -6x^4 + 5x^5 = -6x^4 + 5x^5 str1 += str(x)+"x^"+str(y) elif i!= 0: #不是第一项输出的时候 # x > 0 的时候需要输出 + 号 6x^4 + 5x^5 = 6x^4 + 5x^5 这个需要输出+号 #x < 0 的时候需要输出 - 号 6x^4 - 5x^5 = 6x^4 - 5x^5 这个需要输出-号 if x == 1: #如果系数 = 1 6x^4 + 1x^5 = 6x^4 + x^5 if y == 1: #如果指数 =1 则不必输出指数 6x^4 + 1x^1 = 6x^4 + x str1 += "+x" elif y == 0 : #如果指数=0,则不必输出 6x^4 + 1x^0 = 6x^4 + 1 str1 += "+1" else: # 6x^4 + 1x^5 = 6x^4 + x^5 str1 += "+x^"+str(y) elif x == -1 : #x=-1 , 6x^4 -1x^5 = 6x^4 - x^5 if y == 1: # y=1 , 6x^4 -1x^1 = 6x^4 - x str1 += "-x" elif y == 0 : #如果指数=0,6x^4 -1x^0 = 6x^4 - 1 str1 += "-1" # 1*x^0 =1 else: #其余情况 6x^4 -1x^5 = 6x^4 - x^5 str1 += "-x^"+str(y) elif x < 0 : # 6x^4 - 5x^5 = 6x^4 - 5x^5 或 6x^4 + 5x^5 = 6x^4 + 5x^5 if y == 1: # 6x^4 - 5x^1 = 6x^4 - 5x 或 6x^4 + 5x^1 = 6x^4 + 5x str1 += str(x)+"x" elif y == 0 : # 6x^4 - 5x^0 = 6x^4 - 5 或 6x^4 + 5x^0 = 6x^4 + 5 str1 += str(x) else: # 6x^4 - 5x^4= 6x^4 - 5x^4 或 6x^4 + 5x^4 = 6x^4 + 5x^4 str1 += str(x)+"x^"+str(y) elif x > 0: if y == 1: # 6x^4 - 5x^1 = 6x^4 - 5x 或 6x^4 + 5x^1 = 6x^4 + 5x str1 += "+"+str(x)+"x" elif y == 0 : # 6x^4 - 5x^0 = 6x^4 - 5 或 6x^4 + 5x^0 = 6x^4 + 5 str1 += "+"+str(x) else: # 6x^4 - 5x^4= 6x^4 - 5x^4 或 6x^4 + 5x^4 = 6x^4 + 5x^4 str1 += "+"+str(x)+"x^"+str(y) return str1 if __name__=="__main__": poly = [(0,6),(0,4),(5,3),(-1,3),(1,0)] str1 = print_polynomial(poly) print(str1)
说明:poly列表中的元素时元组类型,(0,6)表示 0x^6 ,前一项是系数,后一项是指数
poly = [(0,6),(0,4),(5,3),(-1,3),(1,0)] str1 = print_polynomial(poly)
总结
写这个多项式的输出,确实很麻烦,需要大家耐心一点看!!!我这个代码应该是考虑到了所有的情况,如果大家在测试的时候发现不对的情况,欢迎在下方留言,我看到之后会改进代码!!!欢迎大家批评指正!!!!
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2021-05-25 03:21:02循环码的多项式述循环码的生成多项式系统循环6.1 循环码的多项式描述 6.2 循环码的生成多项式 6.3 系统循环码 6.4 多项式运算电路 6.5 循环码的编码电路 6.6 循环码的译码 6.7 循环汉明码 6.8 缩短循环码 (1) 循环码... -
高等代数 多项式环(第7章)1 一元多项式环,整除关系,带余除法
2020-08-11 16:04:16一.一元多项式环 二.整除关系与带余除法 三.最大公因式 -
【机器学习】多项式回归
2020-09-07 16:19:15文章目录多项式回归介绍多项式回归基础实现二次多项式拟合实现N次多项式拟合 多项式回归介绍 前面我们拟合直线用到了线性回归,而非线性回归中,则需要建立因变量和自变量之间的非线性关系。从直观上讲,也就是拟合... -
多项式回归详解 从零开始 从理论到实践
2021-01-21 22:12:09多项式回归详解 从零开始 从理论到实践一、多项式回归的理解1.1、字面含义1.2、引申1.2.1、多项式回归二、sklearn的使用2.1、方法与属性2.2、实例应用2.2.1、拟合非线性关系2.2.2、处理特征之间的影响 一、多项式... -
用matlab怎么求多项式的公因式
2021-04-18 15:34:12第一类换元法,也称为凑微分法,顾名思义,就是把f[g(x)]g'(x)dx转化为f[g(x)d(g(x))的形式,所以用好这一方法的关键就是把...除此,多项式的因式分解,三角函数恒等式等等都会用到。学习的方法就是多做题,多看典型... -
多项式乘法入门
2017-04-11 15:36:29多项式卷积入门By SemiWaker 关于FFT、DFT、CZT、NTT -
matlab多项式计算(求根、由根创建、导数、积分)
2020-02-05 21:19:46举例:求解多项式3x4-10x3+15x+1000的根 Matlab代码 %% 多项式求解 p = [3 -10 0 15 1000]; r = roots(p); 运行结果 r = 4.0283 + 2.8554i 4.0283 - 2.8554i -2.3616 + 2.8452i -2.3616 - 2.8452i .... -
3.多项式回归和模型评估(解决过拟合)
2021-12-02 23:48:41下面举例说明 一元的 线性回归的基本形式为 ax1+b+… 一般的多项式的形式是 a1x^2+a2x+a3 这样看是不是多项式回归只是多了一个值X2的特征,所以我们只要将特征多增加一个x2就可以了 下面看代码: from sklearn.linear_... -
Matlab中数据处理和多项式插值与曲线拟合
2020-12-30 08:48:19举例 对多项式p(x)=3*x^2+2*x+1,计算在x=5,7,9的值。 >> p = [3 2 1]; >> x=[5,7,9]; >> polyval(p,[5 7 9]) %结果为 ans = 86 162 262 x=(0:0.1:2.5);%x轴是0.5,只不过每隔0.1显示一个点(图中的圈) y=erf(x);%... -
【算法导论】多项式求和
2014-10-26 15:18:31一般情况下,一元n次多项式可写成: 其中,pi是指数为ei的项的非零系数,且满足 因此,我们可以采用线性表(定义:线性表是由n个数据元素构成的有限序列,比如数组、向量、链表等等)来表示: 其中,每一... -
多项式规约及其常见问题的规约方法
2020-11-28 11:32:24非对称 NPNPNP问题(Asymmetry of NP):回答 yesyesyes的实例仅仅需要很少的证明步骤 证明一个问题是 NPNPNP问题 给一个解,设计判定算法 ccc,说明这个算法能在多项式时间确定这个解是否正确 证明一个问题是 ... -
P问题、NP问题、NP完全问题和NP难问题理解
2021-01-07 03:09:041.P(polynominal)问题–多项式问题 存在多项式时间算法的问题。 2.NP(Nondeterministic Polynominal)问题–非确定多项式问题 能在多项式时间内验证得出一个正确解的问题。 关于P是否等于NP是一个存在了很久的... -
NTL密码算法开源库——GF2E上多项式(GF2EX)(一)
2021-12-07 21:42:332021SC@SDUSC 多项式mod的运算方法 伽罗华域(Galois Field,GF)中关于...计算的方法还是比较简单,但是要知道这个过程,其他项依次类推,不太会用公式编辑器,就不再举例了。再说明一点,同幂次间的加减计算都是模2和 -
抽象代数的代码实现(4)多项式与代数扩域
2019-05-01 17:32:06在实现多项式运算的代码时,突然觉得抽象急剧增加,感觉我的大脑要到极限了,写的代码完全就是调试出来的,对于代码的结构我自己都感到有点模糊,想表述清楚基本不可能了,凑活着记录一下吧。 现在我对抽象的理解是... -
【矩阵论总结(4)】特征值、特征向量、特征矩阵、特征多项式
2018-12-26 11:26:321、设T是数域K上的线性空间的线性变换,且对K中某一数,存在非零向量,使得 ...3、特征多项式为A的特征矩阵的行列式 4、复数域上n*n矩阵A的n个特征值的几何意义是复平面上的n个点 5、特征值的估计 更新中。。。... -
多项式的各种操作
2017-06-14 19:31:29多项式的各种操作By SemiWaker 多项式逆元 多项式除法 多项式牛顿迭代法 多项式对数 多项式指数函数 多项式幂函数 多项式三角函数 多项式多点求值 多项式快速插值