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  • 多项式举例说明
    2021-04-01 10:42:12

    个人用,大家也可以直接复制,直接调用即可

    function yy = lag(x,y,xx)
        m=length(x);
        n=length(y);
     if m~=n,
         error('')
     end
        s=0;
     for i=1:n
        t=ones(1,length(xx))  ;
            for j=1:n
               if j~=i,
                   t=t.*(xx-x(j))/(x(i)-x(j));
               end
            end
        s=s+t*y(i);  
     end
     yy=s;
    
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  • 多项式回归

    万次阅读 多人点赞 2018-10-02 23:08:37
    多项式回归 多项式回归,回归函数是回归变量多项式的回归。多项式回归模型是线性回归模型的一种,此时回归函数关于回归系数是线性的。由于任一函数都可以用多项式逼近,因此多项式回归有着广泛应用。 直线回归研究...

    多项式回归

    多项式回归,回归函数是回归变量多项式的回归。多项式回归模型是线性回归模型的一种,此时回归函数关于回归系数是线性的。由于任一函数都可以用多项式逼近,因此多项式回归有着广泛应用。

    直线回归研究的是一个因变量与一个自变量之间的回归问题,但在实际情况中,影响因变量的自变量往往不止一个,例如:羊毛的产量受到绵羊体重、体长、胸围等影响,因此需要进行一个因变量与多个自变量间的回归分析,即多元回归分析。

    研究一个因变量与一个或多个自变量间多项式的回归分析方法,称为多项式回归(Polynomial Regression)。如果自变量只有一个时,称为一元多项式回归;如果自变量有多个时,称为多元多项式回归。在一元回归分析中,如果依变量y与自变量x的关系为非线性的,但是又找不到适当的函数曲线来拟合,则可以采用一元多项式回归。

    一元m次多项式回归方程为

    二元二次多项式回归方程为

     

    上图的数据,我们可以使用一元2次多项式来拟合,首先,一个标准的一元高阶多项式函数如下:

    m 表示多项式的阶数,x^{j}表示 x 的 j 次幂,w 则代表该多项式的系数。

    当我们使用上面的多项式去拟合散点时,需要确定两个要素,分别是:多项式系数 w 以及多项式阶数 m,这也是多项式的两个基本要素。当然也可以手动指定多项式的阶数m的大小,这样就只需要确定系数w的值了。得到以下公式:

    如何求解该公式呢?这里使用Scipy的方法。

    使用Scipy提供的最小二乘法函数得到最佳拟合参数:

    该方法:最小化一组方程的平方和(即可以用来实现最小二乘法) 

    import numpy as np
    from scipy.optimize import leastsq
    
    # 拟合数据集
    x = [4, 8, 12, 25, 32, 43, 58, 63, 69, 79]
    y = [20, 33, 50, 56, 42, 31, 33, 46, 65, 75]
    
    def fun(p, x):
        """
        定义想要拟合的函数
        """
        w0,w1 = p  #从参数p获得拟合的参数
        # 如果是二次多项式则:w0,w1,w2 = p ;return w0 + w1*x + w2*x*x  以此类推
        return w0 + w1*x
    
    def err(p, x, y):
        """
        定义误差函数
        """
        return fun(p,x) -y
    
    #定义起始的参数 即从 y = 1*x+1 开始,其实这个值可以随便设,只不过会影响到找到最优解的时间
    p0 = [1,1]   #p0 = [1,1,1]    w系数的个数[w0,w1,w2...]
    
    #将list类型转换为 numpy.ndarray 类型,最初我直接使用
    #list 类型,结果 leastsq函数报错,后来在别的blog上看到了,原来要将类型转
    #换为numpy的类型
    
    x1 = np.array(x)  
    y1 = np.array(y)
    
    xishu = leastsq(err, p0, args=(x1,y1))
    print(xishu[0])
    # xishu[0],即为获得的参数

    一般只要指定前三个参数就可以:

    • func 是我们自己定义的一个计算误差的函数,

    • x0 是计算的初始参数值

    • args 是指定func的其他参数

    通过实践后观察,上面实现1次多项式拟合(2次多项式,p0则需要3个值)但其效果都不是很好,所以下面修改代码尝试N(大于2)项拟合

    """
    	实现N次多项式拟合
    """
    def fit_func(p, x):
    	"""根据公式,定义 n 次多项式函数
    	"""
    	f = np.poly1d(p)   # 这里的np.poly1d函数是用来构造多项式使用的,默认格式为:ax**2+bx+c等,如:ax**3 + bx**2 + cx + d 以此类推
    	return f(x)
    
    def err_func(p, x, y):
    	"""残差函数(观测值与拟合值之间的差距)
    	"""
    	ret = fit_func(p, x) - y
    	return ret
    
    def n_poly(n):
    	"""n 次多项式拟合
    	"""
    	p_init = np.random.randn(n) # 生成 n 个随机数
    	parameters = leastsq(err_func, p_init, args=(np.array(x), np.array(y)))
    	return parameters[0]	# 返回多项式系数w0、w1、w2...
    
    k = n_poly(3)	# 与上面的二次多项式结果一致,只是公式顺序不同
    
    """绘制出 3,4,5,6,7, 8 次多项式的拟合图像
    """
    # 绘制拟合图像时需要的临时点
    x_temp = np.linspace(0, 80, 10000)
    # 绘制子图
    fig, axes = plt.subplots(2, 3, figsize=(15,10))
    
    axes[0,0].plot(x_temp, fit_func(n_poly(4), x_temp), 'r')
    axes[0,0].scatter(x, y)
    axes[0,0].set_title("m = 3")
    
    axes[0,1].plot(x_temp, fit_func(n_poly(5), x_temp), 'r')
    axes[0,1].scatter(x, y)
    axes[0,1].set_title("m = 4")
    
    axes[0,2].plot(x_temp, fit_func(n_poly(6), x_temp), 'r')
    axes[0,2].scatter(x, y)
    axes[0,2].set_title("m = 5")
    
    axes[1,0].plot(x_temp, fit_func(n_poly(7), x_temp), 'r')
    axes[1,0].scatter(x, y)
    axes[1,0].set_title("m = 6")
    
    axes[1,1].plot(x_temp, fit_func(n_poly(8), x_temp), 'r')
    axes[1,1].scatter(x, y)
    axes[1,1].set_title("m = 7")
    
    axes[1,2].plot(x_temp, fit_func(n_poly(9), x_temp), 'r')
    axes[1,2].scatter(x, y)
    axes[1,2].set_title("m = 8")
    plt.show()

    很简单,代码分为两部分,上面为主要的计算系数w的值,下面为直观查看每个次项拟合后的效果图,如下:

    可以清楚的看到当3次项(也就是m=3)时,效果还是一般,但从4次项(m=4)后,对于数据的拟合性就明显优于3次项了,当 m=8 时,曲线呈现出明显的震荡,这也就是线性回归实验中所讲到的过拟和(Overfitting)现象,后面再介绍如何解决这个问题。

    使用scikit-learn进行多项式拟合:

    对于一个二次多项式而言,我们知道它的标准形式为:y(x,w) = w_{0} + w_{1}x + w_{2}x^{2},但是,多项式回归其实相当于是线性回归的特殊形式(开头也提到)。例如,我们这里令x = x_{1}x^{2} = x_{2},那么原方程就转换为:y(x,w) = w_{0} + w_{1}x_{1} + w_{2}x_{2},这也就变成了多元线性回归。完成了一元高次多项式到多元一次项式之间的转换。(如下,看作将多元一次项合并为一个矩阵中线性求解

    举例说明,对于自变量向量 X 和因变量 y,如果 X

                          [[ 3]
              X  =     [-2]
                           [ 4]]

    则可以通过y = w_{0} + w_{1}x线性回归模型进行拟合。同样,如果对于一元二次多项式y(x,w) = w_{0} + w_{1}x + w_{2}x^{2},能得到x = x_{1}x^{2} = x_{2}构成的特征矩阵,即:

                                            [[ 3.  9.]
             X = \left [X X^{2} \right ] =       [-2.  4.]
                                             [ 4. 16.]]

    那么也就可以使用线性回归进行拟合了。

    所以这里有了一个方便的工具,scikit-learn 中,我们可以通过 PolynomialFeatures() 类自动产生多项式特征矩阵

    sklearn.preprocessing.PolynomialFeatures(degree=2, interaction_only=False, include_bias=True)

    • degree: 多项式次数,默认为 2 次多项式

    • interaction_only: 默认为 False,如果为 True 则产生相互影响的特征集。

    • include_bias: 默认为 True,包含多项式中的截距项。

    通过下面代码解决上面一样的问题:

    """
    	使用 PolynomialFeatures 自动生成特征矩阵
    """
    from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
    
    x = np.array(x).reshape(len(x), 1) # 转换为列向量
    y = np.array(y).reshape(len(y), 1)
    
    poly_features = PolynomialFeatures(degree=2, include_bias=False)    # 特征矩阵模型构建用来多项式的特征矩阵
    poly_x = poly_features.fit_transform(x)    # 通过模型转换x数据
    
    """
        用线性回归拟合上面转换后的数据
    """
    from sklearn.linear_model import LinearRegression
    
    model = LinearRegression()
    model.fit(poly_x,y)		# 这里使用转换后的特征矩阵相当于将一元2次转换为二元一次
    # print(model.intercept_,model.coef_)
    
    """绘制拟合图像
    """
    x_temp = np.linspace(0, 80, 10000)
    x_temp = np.array(x_temp).reshape(len(x_temp),1)
    poly_x_temp = poly_features.fit_transform(x_temp)
    
    plt.plot(x_temp, model.predict(poly_x_temp), 'r')
    plt.scatter(x, y)
    plt.show()         # 得到的结果与上面用leastsq的二次项结果一致

    这里二次项的图(degree=2),若设置更高的次项3,4,5(degree=3,4,5),则可以得到上面leastsq方法相同的效果,只需要通过PolynomialFeatures方法生成对应次项的特征矩阵就行。

    评价指标

    可以使用前一篇文章提到的 平均绝对误差(MAE)、均方误差(MSE)等方法来衡量,具体可以使用sklearn中的以下两个方法:

    from sklearn.metrics import mean_absolute_error
    from sklearn.metrics import mean_squared_error

    2次多项式不一定比线性回归的效果好,需要根据具体的测试结果做决定,可以试试更高次的多项式回归预测 ,下面我们便来验证以一下。

    make_pipeline通道:

    通过实例化 make_pipeline 管道类,实现调用一次 fitpredict 方法即可应用于所有预测器。make_pipeline 是使用 sklearn 过程中的技巧创新,其可以将一个处理流程封装起来使用。 更详细的使用可以参考这里

    上面的多项式回归中,我们需要先使用 PolynomialFeatures 完成特征矩阵转换,再放入 LinearRegression 中。那么,PolynomialFeatures + LinearRegression 这一个处理流程,就可以通过 make_pipeline 封装起来使用。

    以下数据集并非上面的x,y,如下数据(将Year作为特征列train_x,Values为目标值train_y,且数据是按0.7比例分割为训练、测试集):

    """更高次多项式回归预测
    """
    from sklearn.pipeline import make_pipeline
    
    train_x = train_x.reshape(len(train_x),1)
    test_x = test_x.reshape(len(test_x),1)
    train_y = train_y.reshape(len(train_y),1)
    
    for m in [3, 4, 5]:
        model = make_pipeline(PolynomialFeatures(m, include_bias=False), LinearRegression())
        model.fit(train_x, train_y)
        pre_y = model.predict(test_x)
        print("{} 次多项式回归平均绝对误差: ".format(m), mean_absolute_error(test_y, pre_y.flatten()))
        print("{} 次多项式均方根误差: ".format(m), mean_squared_error(test_y, pre_y.flatten()))
        print("---")

    可以看到高次项的误差都比线性回归要低,而2次项则要高,所以对于模型均需要进行验证后使用。

    好了,上面介绍了 多项式回归的原理与Scipy实现、sklearn构建特征矩阵转为线性运算、Pipeline方便的通道运算、以及误差评判,但还有一个很重要的问题,那就是如何选择最佳的n次项?

    几次项才是最佳的选择?

    其实这个问题很简单,我们可以设置一个误差指标(MSE、MAE等),然后绘制增加次项后,预测结果的误差值图。观察图形来选择一个合适的次项点(类似肘部法则也可以作为参考):

    """
    	计算 m 次多项式回归预测结果的 MSE 评价指标并绘图
    """
    mse = [] # 用于存储各最高次多项式 MSE 值
    m = 1 # 初始 m 值
    m_max = 10 # 设定最高次数
    while m <= m_max:
        model = make_pipeline(PolynomialFeatures(m, include_bias=False), LinearRegression())
        model.fit(train_x, train_y) # 训练模型
        pre_y = model.predict(test_x) # 测试模型
        mse.append(mean_squared_error(test_y, pre_y.flatten())) # 计算 MSE
        m = m + 1
    
    # print("MSE 计算结果: ", mse)
    # 绘图
    plt.plot([i for i in range(1, m_max + 1)], mse, 'b')
    plt.scatter([i for i in range(1, m_max + 1)], mse)
    
    # 绘制图名称等
    plt.title("MSE of m degree of polynomial regression")
    plt.xlabel("m")
    plt.ylabel("MSE")
    plt.show()

    如上图,可以明显看到当次数为3时,误差指标已经趋近于平稳了,所以这里选择3最好,当次数项越多可能会出现过拟合的问题,模型的泛化能力会降低。

     

    参考文章:

    https://baike.baidu.com/item/%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%9B%9E%E5%BD%92/21505384?fr=aladdin

    https://blog.csdn.net/lanchunhui/article/details/50521648

    展开全文
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    多项式乘法

    • 简介
      • 多项式的运算表示是一个很常见的算法问题。
    • 问题描述
      • 给予两个多项式A(x)与B(x),得出C(x)=A(x)B(x)。
      • 例如,A(x)=3+2x+3x2+4x3,B(x)=2+x2,C(x)=6+4x+9x2+10x3+3x4+4x^5。
    • 问题分析
      • 一般情况下,使用系数表示多项式,不存在的项系数为0。但是,除了系数表示外,多项式还有一种表示叫做点值表示。
      • 若多项式的度数为n,也就是多项式含有x^n项,则多项式可以被n+1对点值表示,前提是点不重复。
        • 举例如下
          • A(x)=3+2x+3x^2+4x^3
          • 取四个点:x=(0, 1, 2, 3)
          • 点值对:(0, 3), (1, 12), (2, 51), (3, 144)
          • 以上四个点足以表示多项式A(x),没有任何其他多项式拥有这四个点。
      • 当两个多项式相乘,只需要乘它们的点值对就可以得到结果多项式的点值表示。
        • 对例题
          • 多项式:A(x)=3+2x+3x^2+4x^3,B(x)=2+x^2
          • 取6个点:x=(-2, -1, 0, 1, 2, 3)
          • 点值对:A(x):(-2, -21), (-1, 0), (0, 3), (1, 12), (2, 51), (3, 144);B(x):(-2, 6), (-1, 3), (0, 2), (1, 3), (2, 6), (3, 11)
          • 点值乘积:C(x):(-2, -126), (-1, 0), (0, 6), (1, 36), (2, 306), (3, 1584)
          • 需要6个点,因为多项式C(x)度数为2+3=5。
      • 知道了如何将系数表示转换为点值表示、如何做多项式点值表示的乘法,就可以开始学习FFT(快速傅里叶变换)算法。FFT算法可以做如下工作。
        • 找到单位的n+1次根,总共有n+1个。
        • 通过分治快速计算A(x)与B(x)在这些单位根的值。
        • 将A(x)与B(x)的点值相乘,得到C(x)的点值表示。
        • 将C(x)的点值表示转换为系数表示。
      • FFT的要点在于选值。如果只是随便选n+1个点,那就需要逐个计算这些点对应的值。但是,可以利用单位根的特性,从而采取分治算法。关于FFT算法以及单位根特性不细说,具体见代码。
    • 代码
      •   # -*-coding:utf-8-*-
          from cmath import pi, exp
          
          
          def FFT(A, w):
              length = len(A)
          
              if length == 1:
                  return [A[0]]
          
              A_even = []
              A_odd = []
              for i in range(0, length // 2):
                  A_even.append(A[2 * i])
                  A_odd.append(A[2 * i + 1])
              F_even = FFT(A_even, w ** 2)
              F_odd = FFT(A_odd, w ** 2)
              x = 1
              values = [0 for i in range(length)]
              for i in range(0, length // 2):
                  values[i] = F_even[i] + x * F_odd[i]
                  values[i + length // 2] = F_even[i] - x * F_odd[i]
                  x = x * w
              return values
          
          
          def solver(A, B):
              length = len(A) + len(B) - 1
              n = 1
              while 2 ** n < length:
                  n += 1
              length = 2 ** n
              A.extend([0 for i in range(length - len(A))])
              B.extend([0 for i in range(length - len(B))])
          
              w = exp(2 * pi * 1j / length)
              A_values = FFT(A, w)
              B_values = FFT(B, w)
              C_values = [A_values[i] * B_values[i] for i in range(length)]
              result = [int((x / length).real) for x in FFT(C_values, w ** -1)]
          
              while result[-1] == 0:
                  del result[-1]
              return result
          
          
          if __name__ == '__main__':
              input_A, input_B = [3, 2, 3, 4], [2, 0, 1]
              print("A", input_A)
              print("B", input_B)
              result = solver(input_A, input_B)
              print("C", result)
          
        
    • 运行结果
    • 补充说明
      • 具体代码可以查看我的Github,欢迎Star或者Fork
      • 对代码进行了一些修正
      • 参考书《你也能看得懂的Python算法书
    展开全文
  • 研究得到了n-秩轮图及其导出图构形的Orlik-Solomon代数的计算公式,n-秩轮图关于某条边的删除Bn以及n-秩轮图的Tutte多项式的一般表达式,并计算了n-秩轮图(n=5,6)的双变量着色多项式举例说明图的双变量着色多项式...
  • Python多项式输出

    千次阅读 2020-12-17 22:10:10
    情况比较多,大家可以看我代码后面的注释,我是用举例说明的,非常详细。 直接上代码: def print_polynomial(poly):#输出多项式 i = 0 # 这个i用来记录这一项是第一项 i=0表示第一项 str1 = '

    Python实现多项式输出

    兄弟们!!这个多项式输出考虑的情况有点多,说一下我的思路:

    对于多项式的输出,简化来说就是两项的输出:即第一项和第二项的输出
    这里我假设:第一项+第二项 = 2x^3 + 4x^5
    这里考虑 2 3 4 5 取不同的值的时候的情况:
    情况比较多,大家可以看我代码后面的注释,我是用举例来说明的,非常详细。
    直接上代码:

    def print_polynomial(poly):#输出多项式
        i = 0 # 这个i用来记录这一项是第一项 i=0表示第一项
        str1 = '' #这个使用来拼接输出的多项式
        for x,y in poly: # x表示系数  y表示指数
            if x !=0: #系数!= 0 的时候才输出
                if i == 0: #这个是第一项
                    i=i+1 #之后在输出的就不是第一项了
                    # x == 1 x==-1  , x<0 和 x>1 是一种情况   6x^4 + 5x^5
                    if x == 1: #如果系数 = 1    1x^6 + 5x^5 = x^6 + 5x^5
                        if y == 1: #如果指数 =1 则不必输出指数  x^1 + 5x^5 = x + 5x^5
                            str1 += "x"
                        elif y == 0 : #如果指数=0, x^0 + 5x^5 = 1 + 5x^5
                            str1 += "1"
                        else:  #其余情况 1x^6 + 5x^5 = x^6 + 5x^5
                            str1 += "x^"+str(y)
                    elif x == -1 : #如果系数等于 -1 , -x^1 + 5x^5 = -x + 5x^5
                        if y == 1: #如果指数 =1    -x^1 + 5x^5 = -x + 5x^5
                            str1 += "-x"
                        elif y == 0 : #如果指数=0, -1x^0 + 5x^5 = -1 + 5x^5
                            str1 += "-1"
                        else:  #其余情况  -x^4 + 5x^5 = -x^4 + 5x^5
                            str1 += "-x^"+str(y)
                    elif x < 0 or x>0 : # 6x^4 + 5x^5=6x^4+5x^5 或 -6x^4 + 5x^5 = -6x^4 + 5x^5
                        if y == 1: # 6x^1 + 5x^5=6x + 5x^5  或 -6x^1 + 5x^5 = -6x + 5x^5
                            str1 += str(x)+"x"
                        elif y == 0 : # 6x^0 + 5x^5=6 + 5x^5  或 -6x^0 + 5x^5 = -6 + 5x^5
                            str1 += str(x)
                        else:  #其余情况 6x^4 + 5x^5=6x^4 + 5x^5  或 -6x^4 + 5x^5 = -6x^4 + 5x^5
                            str1 += str(x)+"x^"+str(y)
                elif i!= 0: #不是第一项输出的时候
                    # x > 0 的时候需要输出 + 号  6x^4 + 5x^5 = 6x^4 + 5x^5 这个需要输出+号
                    #x < 0 的时候需要输出 - 号   6x^4 - 5x^5 = 6x^4 - 5x^5 这个需要输出-号
                    if x == 1: #如果系数 = 1  6x^4 + 1x^5 = 6x^4 + x^5
                        if y == 1: #如果指数 =1 则不必输出指数  6x^4 + 1x^1 = 6x^4 + x
                            str1 += "+x"
                        elif y == 0 : #如果指数=0,则不必输出 6x^4 + 1x^0 = 6x^4 + 1
                            str1 += "+1"
                        else:  #  6x^4 + 1x^5 = 6x^4 + x^5
                            str1 += "+x^"+str(y)
                    elif x == -1 : #x=-1 , 6x^4 -1x^5 = 6x^4 - x^5
                        if y == 1: # y=1 , 6x^4 -1x^1 = 6x^4 - x
                            str1 += "-x"
                        elif y == 0 : #如果指数=0,6x^4 -1x^0  = 6x^4 - 1
                            str1 += "-1"  # 1*x^0 =1
                        else:  #其余情况  6x^4 -1x^5 = 6x^4 - x^5
                            str1 += "-x^"+str(y)
                    elif x < 0  : # 6x^4 - 5x^5 = 6x^4 - 5x^5 或 6x^4 + 5x^5 = 6x^4 + 5x^5
                        if y == 1: # 6x^4 - 5x^1 = 6x^4 - 5x 或 6x^4 + 5x^1 = 6x^4 + 5x
                            str1 += str(x)+"x"
                        elif y == 0 : # 6x^4 - 5x^0 = 6x^4 - 5 或 6x^4 + 5x^0 = 6x^4 + 5
                            str1 += str(x)
                        else:  # 6x^4 - 5x^4= 6x^4 - 5x^4 或 6x^4 + 5x^4 = 6x^4 + 5x^4
                            str1 += str(x)+"x^"+str(y)
                    elif x > 0:
                        if y == 1: # 6x^4 - 5x^1 = 6x^4 - 5x 或 6x^4 + 5x^1 = 6x^4 + 5x
                            str1 += "+"+str(x)+"x"
                        elif y == 0 : # 6x^4 - 5x^0 = 6x^4 - 5 或 6x^4 + 5x^0 = 6x^4 + 5
                            str1 += "+"+str(x)
                        else:  # 6x^4 - 5x^4= 6x^4 - 5x^4 或 6x^4 + 5x^4 = 6x^4 + 5x^4
                            str1 += "+"+str(x)+"x^"+str(y)
        return str1
    if __name__=="__main__":
        poly = [(0,6),(0,4),(5,3),(-1,3),(1,0)]
        str1 = print_polynomial(poly)
        print(str1)
    

    说明:poly列表中的元素时元组类型,(0,6)表示 0x^6 ,前一项是系数,后一项是指数

    poly = [(0,6),(0,4),(5,3),(-1,3),(1,0)]
        str1 = print_polynomial(poly)
    

    总结

    写这个多项式的输出,确实很麻烦,需要大家耐心一点看!!!我这个代码应该是考虑到了所有的情况,如果大家在测试的时候发现不对的情况,欢迎在下方留言,我看到之后会改进代码!!!欢迎大家批评指正!!!!

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