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函数的连续性
2017-12-18 23:56:21函数的连续性定义函数的连续性的写法定义...多项式函数的连续性有理函数的连续性三角函数的连续性 函数连续的条件 绝对值函数的连续性绝对值函数的连续性例题例题例题例题间断点的分类例题例题 例题例题 例题函数的连续性定义
函数的连续性的写法定义
单侧连续
多项式函数的连续性
有理函数的连续性
三角函数的连续性
函数连续的条件
绝对值函数的连续性
绝对值函数的连续性
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7 函数的连续性
2017-12-26 05:19:42多项式函数的连续性 有理函数的连续性 三角函数的连续性 函数连续的条件 绝对值函数的连续性 绝对值函数的连续性 例题 例题 例题 例题 间断点的分类 例题 例题 例题 例题 例题 ...转载于:https://juejin.im/post/5a3d160f51882515945ac838
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多项式逼近连续函数
2020-12-21 22:04:44本文可作为线性代数实现线性回归的下篇,先简单回顾一下,线性代数实现线性回归中介绍了子空间的概念,把子空间想象成一个超平面,子空间中任意一个向量都可以用子空间的基线性组成,线性回归原理是已知一个超平面...本文可作为线性代数实现线性回归的下篇,先简单回顾一下,线性代数实现线性回归中介绍了子空间的概念,把子空间想象成一个超平面,子空间中任意一个向量都可以用子空间的基线性组成,线性回归原理是已知一个超平面和超平面外的一个向量,该向量与在超平面上的投影距离最短,或者说误差最小,在得到这个投影的同时就知道了未知参数,未知参数是投影在子空间基上的坐标。
上篇中介绍的空间是一个由向量组成的空间,向量中元素是实数。 本文将拓展子空间的概念,空间的元素是函数称之为函数空间,这个空间里面有我们熟悉的各种函数以及这些函数的线性组合。函数空间里的子空间是一系列性质相似的函数集合,比如三角函数可以组成一个子空间,由数学分析知道利用三角函数可以实现傅里叶变换,将其他函数表示为三角函数线性组合成的级数形式。本文中选取的空间是一个多项式空间,即其空间里基是x0,x1,x2,x3,...xn...等多项式,需要将其他函数投影到这个子空间里,其运用的知识还是来自于线性代数。
使用上图来说明函数空间,AP代表了函数空间里的一个函数,而下面的平面代表了多项式子空间,AP在多项式空间里的投影AC就是与AP误差最小的多项式,AC是x0,x1,x2,x3,...xn等多项式的线性组合,我们目标就是求出这个线性组合表达式中每个基前面的系数(坐标)。
一、一元多项式逼近任意一元连续函数
这里结合一段python代码说明,这段代码的功能是利用多项式逼近函数f(x)=sin(x)-3cos(x)。
import numpy as np import math from sympy import * from scipy.integrate import tplquad, dblquad, quad from scipy.linalg import * import matplotlib.pyplot as plt plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False NSplit_Num = 10000 class polynomialAppro(object): def __init__(self, split=1000): self.splitnum = split pass def genfunction(self): ar = [] t = np.linspace(-math.pi, math.pi, self.splitnum) for x in t: ar.append(math.sin(x) - 3 * math.cos(x)) sx = np.expand_dims(np.asarray(ar), 0) return sx def genpolynomialdata(self): ar = [] t = np.linspace(-math.pi, math.pi, self.splitnum) for x in t: ar.append([1, x, x ** 2, x ** 3, x ** 4, x ** 5]) polynomialdata = np.asarray(ar) return polynomialdata if __name__ == '__main__': appro = polynomialAppro(NSplit_Num) sx = appro.genfunction() # 1.1 b = sx.T # 1.2 A = appro.genpolynomialdata() # 1.3 ATAminus = np.linalg.inv(np.dot(A.T, A)) # 1.4 coordinate = np.round(np.dot(ATAminus, np.dot(A.T, b)), 4) # 1.5 # 打印图像验证 x = np.linspace(-math.pi, math.pi, NSplit_Num) y_x = coordinate[0]+ coordinate[1] * x + coordinate[2] * (x ** 2)+ coordinate[3] * (x ** 3) + coordinate[4] * ( x ** 4) + coordinate[5] * (x ** 5) plt.figure() plt.subplot(121) plt.title('原函数图像') plt.plot(x, b[..., 0]) plt.subplot(122) plt.title('多项式逼近的函数图像') plt.plot(x, y_x) plt.show()
来看下模拟的效果图:
可以看到利用线性回归求出的多项式函数可以较好的逼近目标函数,下面就代码中标红色部分说明:
#1.1 sx=appro.genfunction()
这里是得到目标函数f(x)=sin(x)-3cos(x)在-π ,π之间的数据,将其离散化变成计算机可以处理的向量形式,这里是为了说明采用了显式函数结构,真实的应用中可以是采集而来样本数据。
#1.2 b=sx.T
为了后期处理方便,将其处理成10000*1的向量形式。
#1.3 A=appro.genpolynomialdata()
选取x0,x1,x2,x3,x4,x5作为子空间的基,并将其向量化,这里将得到一个10000*6的矩阵,此时A就是在介绍线性回归问题时的子空间。这里将函数空间元素赋值,使一个函数空间问题变为一个线性代数问题,这种离散化数据手段在计算机处理中会经常使用。
#1.4、1.5
ATAminus=np.linalg.inv( np.dot(A.T,A))
coordinate= np.round(np.dot(ATAminus,np.dot(A.T,b)),4)
经过前面离散化处理,此时问题就变成利用线性空间求解线性回归问题,#1.4、1.5 是求出函数f(x)=sin(x)-3cos(x)在多项式子空间上的投影,这个处理过程 在之前已经讨论过,这里再复盘一遍。
二、 二元多项式逼近任意连续二元连续函数
二元乃至多元多项式逼近任意连续函数与一元函数类似,都是最终转化为实数矩阵形式,然后利用公式(1)求解系数,只不过在构造多项式形式上略有不同,掌握二元多项式逼近问题即可推广至任意元函数的情形,这里还是先展示一段python代码。
from matplotlib import pyplot as plt from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D import numpy as np import math fig = plt.figure() #定义新的三维坐标轴 ax3 = fig.add_subplot(211,projection='3d') ax2 = fig.add_subplot(212,projection='3d') #定义三维数据 NSTP=500 nstart=-math.pi nend= math.pi Lens= nend-nstart xx = np.arange(nstart,nend,Lens/NSTP) yy = np.arange(nstart,nend,Lens/NSTP) X, Y = np.meshgrid(xx, yy) Z = np.sin(X)-np.cos(Y) ar=[] tempa=[] for x in xx: for y in yy: ar.append( math.sin(x)-math.cos(y)) tempa.append([1,(y**1) ,(y**2) ,(y**3) , (x**1) ,(y**1)*(x**1),(y**2)*(x**1) ,(x**1)*(y**3),(x**2)*(y**0),(x**2)*(y**1),(x**2)*(y**2),(x**2)*(y**3) ,(x**3)*(y**0),(x**3)*(y**1),(x**3)*(y**2),(x**3)*(y**3)])#2.1 pass A=np.array(tempa) b=np.array(ar).reshape([NSTP**2,1]) aminus = np.linalg.inv(np.dot(A.T, A)) temp = np.dot(A.T, b) c = np.dot(aminus, temp) #作图验证 Z2 = c[0,0]*1+ c[1,0]*Y + c[2,0]*(Y**2) + c[3,0]*(Y**3) + c[4,0]*(X**1) + c[5,0]*(X**1)*(Y**1) + c[6,0]*(X**1)*(Y**2) + c[7,0]*(X**1)*(Y**3) + c[8,0]*(X**2) + c[9,0]*(X**2)*(Y**1)+ c[10,0]*(X**2)*(Y**2) + c[11,0]*(X**2)*(Y**3) + c[12,0]*(X**3) + c[13,0]*(X**3)*(Y**1) + c[14,0]*(X**3)*(Y**2)+ c[15,0]*(X**3)*(Y**3) ax3.plot_surface(X,Y,Z,cmap='Blues') ax2.plot_surface(X,Y,Z2,cmap='Greens') #ax3.contour(X,Y,Z, zdim='z',offset=-2,cmap='rainbow) #等高线图,要设置offset,为Z的最小值 plt.show()
效果图如下,上面是目标函数f(x,y)=sin(x)-cos(y)图像,下面是多项式拟合的函数图像:
可以发现多元函数求解系数与一元函数一模一样,可以完全使用一元函数时所使用的代码,如上面的红色区域,唯一不同的是这里是二元函数,本例选择多项式最高为6次,即X,Y最高次数为3次,可以选择更高次数以加强精确度。这里需要关心的问题是次数定下来后,基的组合有哪些,既然说到组合,首先想到应该是组合数学。
余下文章链接 多项式逼近
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Bernstein多项式与RBF函数
2020-11-28 21:23:58对于[0, 1]区间上任意连续函数 f(x) 和任意正整数n,在n趋于无穷的时候,Bernstein多项式可以一致逼近 f(x)。 Bernstein基函数有很多良好的性质: 非负性 权性(和为1) 凸包性 逼近结果优秀 当把b(n在做函数拟合时,我们会选用多项式作为基函数,因为多项式易于计算、表现良好、光滑,表达能力足够。然而多项式插值存在一定问题,存在振荡现象和对插值点数的高度敏感性。为此,我们需要更好的基函数来做插值,由此引入Bernstein基函数。
n次Bernstein基函数定义为:
对于[0, 1]区间上任意连续函数 f(x) 和任意正整数n,在n趋于无穷的时候,Bernstein多项式可以一致逼近 f(x)。
Bernstein基函数有很多良好的性质:
- 非负性
- 权性(和为1)
- 凸包性
- 逼近结果优秀
当把b(n,j)看作是系数时,当n趋于无穷大时,点足够密,对于拟合之后的函数就会逼近到原值。把f看成系数时,就会变成一个新的函数。
RBF就是高斯函数在高维的情况,我们同样可以通过把RBF函数作为基函数实现函数拟合。
但是当均值μ和方差δ选取的不够好的时候,效果也不好。所以,我们可以想办法让均值和方差一起来优化。
机器学习就是在做拟合,在RBF神经网络就是用高斯函数作为激活函数。通过输入和输出来训练方差和均值。 -
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