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  • 函数的连续性

    千次阅读 2017-12-18 23:56:21
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    单侧连续



    多项式函数的连续性

    有理函数的连续性

    三角函数的连续性


    函数连续的条件




    绝对值函数的连续性

    绝对值函数的连续性

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  • 7 函数的连续性

    2017-12-26 05:19:42
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    三角函数的连续性

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    绝对值函数的连续性

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  • 多项式逼近连续函数

    2020-12-21 22:04:44
    本文可作为线性代数实现线性回归下篇,先简单回顾一下,线性代数实现线性回归中介绍了子空间概念,把子空间想象成一个超平面,子空间中任意一个向量都可以用子空间基线组成,线性回归原理是已知一个超平面...

      本文可作为线性代数实现线性回归的下篇,先简单回顾一下,线性代数实现线性回归中介绍了子空间的概念,把子空间想象成一个超平面,子空间中任意一个向量都可以用子空间的基线性组成,线性回归原理是已知一个超平面和超平面外的一个向量,该向量与在超平面上的投影距离最短,或者说误差最小,在得到这个投影的同时就知道了未知参数,未知参数是投影在子空间基上的坐标。

        上篇中介绍的空间是一个由向量组成的空间,向量中元素是实数。 本文将拓展子空间的概念,空间的元素是函数称之为函数空间,这个空间里面有我们熟悉的各种函数以及这些函数的线性组合。函数空间里的子空间是一系列性质相似的函数集合,比如三角函数可以组成一个子空间,由数学分析知道利用三角函数可以实现傅里叶变换,将其他函数表示为三角函数线性组合成的级数形式。本文中选取的空间是一个多项式空间,即其空间里基是x0,x1,x2,x3,...xn...等多项式,需要将其他函数投影到这个子空间里,其运用的知识还是来自于线性代数。

    1600325959858016665.jpg

        使用上图来说明函数空间,AP代表了函数空间里的一个函数,而下面的平面代表了多项式子空间,AP在多项式空间里的投影AC就是与AP误差最小的多项式,AC是x0,x1,x2,x3,...xn等多项式的线性组合,我们目标就是求出这个线性组合表达式中每个基前面的系数(坐标)。

    一、一元多项式逼近任意一元连续函数

        这里结合一段python代码说明,这段代码的功能是利用多项式逼近函数f(x)=sin(x)-3cos(x)。 

    import numpy as np
    
    import math
    
    from sympy import *
    
    from scipy.integrate import tplquad, dblquad, quad
    
    from scipy.linalg import *
    
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    
    plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
    
    NSplit_Num = 10000
    
    
    class polynomialAppro(object):
    
        def __init__(self, split=1000):
    
            self.splitnum = split
    
            pass
    
        def genfunction(self):
    
            ar = []
    
            t = np.linspace(-math.pi, math.pi, self.splitnum)
    
            for x in t:
                ar.append(math.sin(x) - 3 * math.cos(x))
    
            sx = np.expand_dims(np.asarray(ar), 0)
    
            return sx
    
        def genpolynomialdata(self):
    
            ar = []
    
            t = np.linspace(-math.pi, math.pi, self.splitnum)
    
            for x in t:
                ar.append([1, x, x ** 2, x ** 3, x ** 4, x ** 5])
    
            polynomialdata = np.asarray(ar)
    
            return polynomialdata
    
    
    if __name__ == '__main__':
        appro = polynomialAppro(NSplit_Num)
    
        sx = appro.genfunction()  # 1.1
    
        b = sx.T  # 1.2
    
        A = appro.genpolynomialdata()  # 1.3
    
        ATAminus = np.linalg.inv(np.dot(A.T, A))  # 1.4
    
        coordinate = np.round(np.dot(ATAminus, np.dot(A.T, b)), 4)  # 1.5
    
        # 打印图像验证
    
        x = np.linspace(-math.pi, math.pi, NSplit_Num)
    
        y_x = coordinate[0]+ coordinate[1] * x + coordinate[2] * (x ** 2)+  coordinate[3] * (x ** 3) + coordinate[4] * (
                x ** 4) + coordinate[5] * (x ** 5)
    
        plt.figure()
    
        plt.subplot(121)
    
        plt.title('原函数图像')
    
        plt.plot(x, b[..., 0])
    
        plt.subplot(122)
    
        plt.title('多项式逼近的函数图像')
    
        plt.plot(x, y_x)
    
        plt.show()

     

    来看下模拟的效果图:

    Figure_1.png

    可以看到利用线性回归求出的多项式函数可以较好的逼近目标函数,下面就代码中标红色部分说明:

    #1.1 sx=appro.genfunction()

    这里是得到目标函数f(x)=sin(x)-3cos(x)在-π ,π之间的数据,将其离散化变成计算机可以处理的向量形式,这里是为了说明采用了显式函数结构,真实的应用中可以是采集而来样本数据。

    #1.2 b=sx.T

    为了后期处理方便,将其处理成10000*1的向量形式。

    #1.3 A=appro.genpolynomialdata()

    选取x0,x1,x2,x3,x4,x5作为子空间的基,并将其向量化,这里将得到一个10000*6的矩阵,此时A就是在介绍线性回归问题时的子空间。这里将函数空间元素赋值,使一个函数空间问题变为一个线性代数问题,这种离散化数据手段在计算机处理中会经常使用。

    #1.4、1.5 

     

    ATAminus=np.linalg.inv( np.dot(A.T,A))

     

    coordinate= np.round(np.dot(ATAminus,np.dot(A.T,b)),4)

    经过前面离散化处理,此时问题就变成利用线性空间求解线性回归问题,#1.4、1.5 是求出函数f(x)=sin(x)-3cos(x)在多项式子空间上的投影,这个处理过程 在之前已经讨论过,这里再复盘一遍。

    一元多项式.jpg

    二、 二元多项式逼近任意连续二元连续函数

        二元乃至多元多项式逼近任意连续函数与一元函数类似,都是最终转化为实数矩阵形式,然后利用公式(1)求解系数,只不过在构造多项式形式上略有不同,掌握二元多项式逼近问题即可推广至任意元函数的情形,这里还是先展示一段python代码。

    from matplotlib import pyplot as plt
    
    from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
    
    import numpy as np
    
    import  math
    
    fig = plt.figure()  #定义新的三维坐标轴
    
    ax3 =  fig.add_subplot(211,projection='3d')
    
    ax2 =  fig.add_subplot(212,projection='3d')
    
    #定义三维数据
    
    NSTP=500
    
    nstart=-math.pi
    
    nend= math.pi
    
    Lens= nend-nstart
    
    xx = np.arange(nstart,nend,Lens/NSTP)
    
    yy = np.arange(nstart,nend,Lens/NSTP)
    
    X, Y = np.meshgrid(xx, yy)
    
    Z =  np.sin(X)-np.cos(Y)
    
    
    
    
    
    ar=[]
    
    tempa=[]
    
    for x in xx:
    
        for y in yy:
    
            ar.append(   math.sin(x)-math.cos(y))
    
            tempa.append([1,(y**1) ,(y**2) ,(y**3)  , (x**1) ,(y**1)*(x**1),(y**2)*(x**1) ,(x**1)*(y**3),(x**2)*(y**0),(x**2)*(y**1),(x**2)*(y**2),(x**2)*(y**3)
    
                          ,(x**3)*(y**0),(x**3)*(y**1),(x**3)*(y**2),(x**3)*(y**3)])#2.1
    
        pass
    
    A=np.array(tempa)
    
    b=np.array(ar).reshape([NSTP**2,1])
    
    aminus = np.linalg.inv(np.dot(A.T, A))
    
    temp = np.dot(A.T, b)
    
    c = np.dot(aminus, temp)
    
    
    
    #作图验证
    
    Z2 = c[0,0]*1+ c[1,0]*Y + c[2,0]*(Y**2) +  c[3,0]*(Y**3) + c[4,0]*(X**1) + c[5,0]*(X**1)*(Y**1) + c[6,0]*(X**1)*(Y**2) + c[7,0]*(X**1)*(Y**3) + c[8,0]*(X**2) + c[9,0]*(X**2)*(Y**1)+ c[10,0]*(X**2)*(Y**2) + c[11,0]*(X**2)*(Y**3) + c[12,0]*(X**3) + c[13,0]*(X**3)*(Y**1) + c[14,0]*(X**3)*(Y**2)+  c[15,0]*(X**3)*(Y**3)
    
    ax3.plot_surface(X,Y,Z,cmap='Blues')
    
    ax2.plot_surface(X,Y,Z2,cmap='Greens')
    
    #ax3.contour(X,Y,Z, zdim='z',offset=-2,cmap='rainbow)   #等高线图,要设置offset,为Z的最小值
    
    plt.show()

    效果图如下,上面是目标函数f(x,y)=sin(x)-cos(y)图像,下面是多项式拟合的函数图像:

    Figure_2.png

    可以发现多元函数求解系数与一元函数一模一样,可以完全使用一元函数时所使用的代码,如上面的红色区域,唯一不同的是这里是二元函数,本例选择多项式最高为6次,即X,Y最高次数为3次,可以选择更高次数以加强精确度。这里需要关心的问题是次数定下来后,基的组合有哪些,既然说到组合,首先想到应该是组合数学。

    余下文章链接 多项式逼近

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  • 对于[0, 1]区间上任意连续函数 f(x) 和任意正整数n,在n趋于无穷时候,Bernstein多项式可以一致逼近 f(x)。 Bernstein基函数有很多良好性质: 非负性 权(和为1) 凸包 逼近结果优秀 当把b(n

    在做函数拟合时,我们会选用多项式作为基函数,因为多项式易于计算、表现良好、光滑,表达能力足够。然而多项式插值存在一定问题,存在振荡现象和对插值点数的高度敏感性。为此,我们需要更好的基函数来做插值,由此引入Bernstein基函数。

    n次Bernstein基函数定义为:
    Bernstein基函数
    对于[0, 1]区间上任意连续函数 f(x) 和任意正整数n,在n趋于无穷的时候,Bernstein多项式可以一致逼近 f(x)。
    Bernstein多项式
    Bernstein基函数

    Bernstein基函数有很多良好的性质:

    • 非负性
    • 权性(和为1)
    • 凸包性
    • 逼近结果优秀
      代入插值点的拟合函数
      当把b(n,j)看作是系数时,当n趋于无穷大时,点足够密,对于拟合之后的函数就会逼近到原值。把f看成系数时,就会变成一个新的函数。

    RBF就是高斯函数在高维的情况,我们同样可以通过把RBF函数作为基函数实现函数拟合。
    高斯函数
    RBF函数
    但是当均值μ和方差δ选取的不够好的时候,效果也不好。所以,我们可以想办法让均值和方差一起来优化。

    高斯函数
    高斯函数
    机器学习就是在做拟合,在RBF神经网络就是用高斯函数作为激活函数。通过输入和输出来训练方差和均值。

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