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  • “使用Smolyak-Chebyshev多项式进行拟合函数迭代:实践中的性能较差”的代码这些代码取决于以下两者: VFI工具包: JMMV2014 Chebyshev-Smolyak实现: WhatGoesWrong.m允许用户详细查看给定顺序的Chebyshev多项式...
  • 1.统计学习是关于计算机基于数据...3.本书主要讨论监督学习,监督学习可以概括如下:从给定有限的训练数据出发, 假设数据是独立同分布的,而且假设模型属于某个假设空间,应用某一评价准则,从假设空间中选取一个...

    1.统计学习是关于计算机基于数据构建概率统计模型并运用模型对数据进行分析与预测的一门学科。统计学习包括监督学习、非监督学习、半监督学习和强化学习。
    2.统计学习方法三要素——模型、策略、算法,对理解统计学习方法起到提纲挈领的作用。
    3.本书主要讨论监督学习,监督学习可以概括如下:从给定有限的训练数据出发, 假设数据是独立同分布的,而且假设模型属于某个假设空间,应用某一评价准则,从假设空间中选取一个最优的模型,使它对已给训练数据及未知测试数据在给定评价标准意义下有最准确的预测。
    4.统计学习中,进行模型选择或者说提高学习的泛化能力是一个重要问题。如果只考虑减少训练误差,就可能产生过拟合现象。模型选择的方法有正则化与交叉验证。学习方法泛化能力的分析是统计学习理论研究的重要课题。
    5.分类问题、标注问题和回归问题都是监督学习的重要问题。本书中介绍的统计学习方法包括感知机、K近邻法、朴素贝叶斯法、决策树、逻辑斯谛回归与最大熵模型、支持向量机、提升方法、EM 算法、隐马尔可夫模型和条件随机场。这些方法是主要的分类、标注以及回归方法。它们又可以归类为生成方法与判别方法。
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    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    from scipy.optimize import leastsq
    
    
    # 我们要拟合的目标函数
    def real_func(x):
        return np.sin(2*np.pi*x)
    
    
    # 我们自己定义的多项式函数
    def fit_func(p, x):
        f = np.poly1d(p)  # np.poly1d([2,3,5,7])返回的是函数,2x3 + 3x2 + 5x + 7
        ret = f(x)
        return ret
    
    
    # 计算残差
    def residuals_func(p, x, y):
        ret = fit_func(p, x) - y
        return ret
    
    
    def fitting(M=0):
        """
            M    为 多项式的次数
        """
        # 随机初始化多项式参数
        p_init = np.random.rand(M + 1)  # 返回M+1个随机数作为多项式的参数
        # 最小二乘法:具体函数的用法参见我的博客:残差函数,残差函数中参数一,其他的参数
        p_lsq = leastsq(residuals_func, p_init, args=(x, y))
        # 求解出来的是多项式当中的参数,就是最小二乘法中拟合曲线的系数
        # print('Fitting Parameters:', p_lsq[0])
        return p_lsq[0]
    
    
    # 书中10个点,对y加上了正态分布的残差
    x = np.linspace(0, 1, 10)
    y_old = real_func(x)
    y = [np.random.normal(0, 0.1) + yi for yi in y_old]
    
    
    x_real = np.linspace(0, 1, 1000)
    y_real = real_func(x_real)
    
    
    plt.plot(x_real, y_real, label="real")
    plt.plot(x, y, 'bo', label='point') 
    #  fiitting函数中args=(x, y)是条用的是上面定义的10个点的全局变量x,y
    plt.plot(x_real, fit_func(fitting(9), x_real), label="fitted curve")
    plt.legend()
    plt.show()
    

    M=0
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    M=1
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    M=3
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    M=9
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    W是参数,就是最小二乘法求得到的系数
    lambda是regularization,是自定义的系数。

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    from scipy.optimize import leastsq
    
    
    # 我们要拟合的目标函数
    def real_func(x):
        return np.sin(2*np.pi*x)
    
    
    # 我们自己定义的多项式函数
    def fit_func(p, x):
        f = np.poly1d(p)  # np.poly1d([2,3,5,7])返回的是函数,2x3 + 3x2 + 5x + 7
        ret = f(x)
        return ret
    
    
    # 计算残差
    def residuals_func(p, x, y):
        ret = fit_func(p, x) - y
        return ret
    
    
    # 返回残差和正则项
    def residuals_func_regularization(p, x, y):
        ret = fit_func(p, x) - y
        ret = np.append(ret,
                        np.sqrt(0.5 * regularization * np.square(p)))  # L2范数作为正则化项
        return ret
    
    
    def fitting(M=0):
        """
            M    为 多项式的次数
        """
        # 随机初始化多项式参数
        p_init = np.random.rand(M + 1)  # 返回M+1个随机数作为多项式的参数
        # 最小二乘法:具体函数的用法参见我的博客:残差函数,残差函数中参数一,其他的参数
        p_lsq = leastsq(residuals_func, p_init, args=(x, y))
        # 求解出来的是多项式当中的参数,就是最小二乘法中拟合曲线的系数
        # print('Fitting Parameters:', p_lsq[0])
        return p_lsq[0]
    
    
    # 书中10个点,对y加上了正态分布的残差
    x = np.linspace(0, 1, 10)
    y_old = real_func(x)
    y = [np.random.normal(0, 0.1) + yi for yi in y_old]
    
    
    x_real = np.linspace(0, 1, 1000)
    y_real = real_func(x_real)
    
    
    # # 画出10个散点,sin图像,和拟合的曲线
    # plt.plot(x_real, y_real, label="real")
    # plt.plot(x, y, 'bo', label='point')
    # plt.plot(x_real, fit_func(fitting(9), x_real), label="fitted curve")
    # plt.legend()
    # plt.show()
    
    
    # 画出添加正则项的曲线
    regularization = 0.0001
    p_init = np.random.rand(9 + 1)
    p_lsq_regularization = leastsq(
        residuals_func_regularization, p_init, args=(x, y))
    
    
    # 画出原sin图像,不加正则项的图像,加上正则项的图像,10个点的散点图
    # 不加正则项和加上正则项都是9次方,10个系数
    plt.plot(x_real, real_func(x_real), label='real')
    plt.plot(x_real, fit_func(fitting(9), x_real), label='fitted curve')
    plt.plot(
        x_real,
        fit_func(p_lsq_regularization[0], x_real),
        label='regularization')
    plt.plot(x, y, 'bo', label='noise')
    plt.legend()
    plt.show()
    

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  • 多项式拟合正弦函数

    2018-10-14 00:11:54
    2. 用高阶多项式函数拟合曲线; 3. 用解析解求解两种loss的最优解(无正则项和有正则项) 4. 优化方法求解最优解(梯度下降,共轭梯度); 5. 用你得到的实验数据,解释过拟合。 6. 用不同数据量,不同超参数,不同...
  • 目录 一、函数的近似表示—高次多项式 二、误差函数—最小二乘法 三、引出案例函数曲线 ...八、python编程实现拟合曲线函数 九、结果分析 一、函数的近似表示—高次多项式 为了研究一些复杂...

    原文地址:https://www.jianshu.com/p/af0a4f71c05a

    目录

    一、函数的近似表示—高次多项式

    二、误差函数—最小二乘法

    三、引出案例函数曲线

    四、目标函数

    五、优化目标函数

    六、优化目标函数—梯度下降法

    七、优化目标函数—求解线性方程组

    八、python编程实现拟合曲线函数

    九、结果分析


     

    一、函数的近似表示—高次多项式

    为了研究一些复杂的函数,我们希望对函数自变量进行有限的加、减、乘法三种算数运算,便可以求出原函数值,因此我们通常使用高次多项式来近似表示函数

                                                   高次多项式近似表示f(x)

    可以看到,我们可以用n阶多项式的系数线性组合来近似表示f(x)

    特别说明,由泰勒展开式可知,当pn(x)的各阶导数和f(x)的各阶导数都相等,则f(x)和pn(x)的误差只是(x-x0)^n的高阶无穷小

                                                              泰勒公式

    二、误差函数—最小二乘法

    我们用f(x)的真实函数值减去多项式函数的结果的平方,来表示f(x)和多项式函数的误差关系,即

                                                      最小二乘法表示误差

    我们令x0=0,则最小二乘法表示的误差为

                                                   最小二乘法表示误差

    三、引出案例函数曲线

    有了上述数学知识,下面我们用一个案例来介绍最小二乘法拟合非线性函数的算法步骤

    案例:求一个多项式来拟合下列函数的函数值

                                                                    案例函数

    其中我们加入了噪点数据noise,使得函数在定义域内随机的震荡

    我们画出f(x)在[-1, 1]之间的图像,即

                                                                                                  案例函数图像

    案例问题即为:已知上述N个数据点,求其函数f(x)的表达式?

    显然,f(x)也就是机器学习要学习的目标

    四、目标函数

    下面我们开始推导机器学习的过程

    机器学习的目标为:

    (1) 学习一个f(x)多项式,可以拟合真实数据的变化趋势

    (2)f(x)的目标:使每一个真实数值到f(x)的拟合数值的距离之和最小

    翻译为数学语言,即

                             学习到的f(x)

                                                   目标函数

    五、优化目标函数

    为了使目标函数最优,我们对每个系数求其偏导数为0,即

                                                     优化目标函数

    至此,我们需要根据上述k的等式,求出所有的系数ak,有两种方法可以求解

    (1)梯度下降法

    (2)求解线性方程

    六、优化目标函数—梯度下降法

    采用梯度下降法,可以避免我们用数学方法直接一步来求解上述k个方程的最优解,而是采用迭代逼近最优解的思路,其具体步骤为:

    (1)初始化k个系数值,开始迭代

    (2)每次迭代,分别求出各个系数ak对应的梯度值

    (3)用梯度值和学习率来更新每一个系数ak

    (4)保证每次更新完所有系数,对应的损失函数值都在减少(说明梯度一直在下降)

    翻译为数学语言为:

    计算ak对应的梯度值

                                                     计算ak的梯度值

    更新ak

                                  更新ak

    七、优化目标函数—求解线性方程组

    求解线性方程组让我们直接一步求出偏导数最优解,其具体步骤为:

    (1)将最优化偏导数的方程组写为矩阵乘法形式:XA=Y

    (2)利用数学消元算法来求解XA=Y

    我们对k个偏导数=0的等式进行化简处理,即

                                                        k个偏导数等式

    下面我们将其写为矩阵相乘的形式,将所有只含有x的系数写为第一个矩阵X,即

                                                 含有x的系数矩阵

    将只含有待求解的多项式系数ak写为第二个矩阵A,即

          含有a的系数矩阵

    最后将含有y的系数写为第三个矩阵Y,即

                  含有y的系数矩阵

    此时,我们就可以用矩阵的乘法来表示最初的k个偏导数为0的等式,即

             k个偏导数等式的矩阵形式

    注意:其中X是k*k的矩阵,A是k*1的矩阵,Y是k*1的矩阵,符合矩阵的乘法规则

    从矩阵表达式可以看出,X和Y矩阵是已知的,A矩阵只包含待求解的f(x)的所有多项式系数,则问题即转化为线性方程组:XA=Y

    求解线性方程组,大概有如下算法

    (1)高斯消元法(全主元、列主消元)

    (2)LU三角分解法

    (3)雅克比迭代法

    (4)逐次超松弛(SOR)迭代法

    (5)高斯-赛德尔迭代法

    这里我们采用高斯消元法来求解A,具体算法步骤较为复杂,我们在单独的章节介绍高斯消元算法

    八、python编程实现拟合曲线函数

    生成带有噪点的待拟合的数据集合

                                                                           生成带有噪点的待拟合的数据集合

    计算最小二乘法当前的误差

                                                                                计算最小二乘法当前的误差

    迭代解法:最小二乘法+梯度下降法

                                                                           迭代解法:最小二乘法+梯度下降法

    数学解法:最小二乘法+求解线性方程组

                                                                           数学解法:最小二乘法+求解线性方程组

    九、结果分析

    我们来拟合N=10次幂的多项式,分别用梯度下降法和求解线性方程组的算法来比较拟合结果

    (1)使用梯度下降法来优化目标函数,其拟合结果为:

                                                                                         梯度下降法拟合结果

    其误差变化为

                                                                                               梯度下降法优化的误差

    (2)使用求解线性方程组来优化目标函数,其拟合结果为:

                                                                                        求解线性方程组拟合结果

    其误差变化为

                               求解线性方程组优化的误差

    比较上述两种解法,以及多项式拟合的思想,我们可以总结出:

    • 利用函数的近似多项式表示,和最小二乘法来表示目标函数,我们可以高效的拟合非线性函数
    • 梯度下降法可以一步步迭代逼近目标函数的极值,而不用直接求出偏导数最优解
    • 求解方程组,使用数学消元的算法,直接一步优化完成了目标函数的偏导数最优解
    • 从结果上比较,求解方程组的效率和拟合结果要比梯度下降法好

    案例代码见:最小二乘法—多项式拟合非线性函数

    示例论文预测:基于非线性最小二乘曲线拟合法的电子商务预测模型

    展开全文
  • 多项式拟合函数

    2017-08-11 19:40:32
    多项式拟合函数,通过n组坐标拟合所要求点的坐标
  • %% 多项式拟合指令;% X = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 ];% Y = [9 7 6 3 -1 2 5 7 20];% P= polyfit (X,Y,3);%% x = 0:2:10;% y = polyval(P,x);% plot(x,y,X,Y,‘r*‘);%% 指定函数拟合x=[ 0;0.4;1.2; 2;2.8;3.6;4...

    clc;

    clear all;

    close all;

    %% 多项式拟合指令;

    % X = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 ];

    % Y = [9 7 6 3 -1 2 5 7 20];

    % P= polyfit (X,Y,3);

    %

    % x = 0:2:10;

    % y = polyval(P,x);

    % plot(x,y,X,Y,‘r*‘);

    %% 指定函数拟合

    x=[ 0;0.4;1.2; 2;2.8;3.6;4.4;5.2; 6;7.2; 8;9.2;10.4;11.6;12.4;13.6;14.4;15];

    y=[ 1;0.85;0.29;-0.27;-0.53;-0.4;-0.12;0.17;0.28;0.15;-0.03;-0.15;-0.071;0.059; 0.08;0.032;-0.015;-0.02];

    plot(x,y,‘r*‘)

    hold on

    f = fittype(‘a*cos(k*t)*exp(w*t)‘,‘independent‘,‘t‘,‘coefficients‘,{‘a‘,‘k‘,‘w‘});

    cfun = fit(x,y,f);

    xi = 0:1:20;

    yi = cfun(xi);

    plot(xi,yi,‘b-‘)

    %程序中,函数fittype是自定义拟合函数;cfun=fit( x, y, f)是根据自定义的拟合函数f 来拟合数据 x

    原文:http://www.cnblogs.com/Kermit-Li/p/4325614.html

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  • MatLab中多项式数据拟合(ployfit函数与polyval函数) ployfit函数 函数原型 p=polyfit(x,y,n) 其中x,y为拟合数据向量,要求维度相同,n为拟合多项式次数 结果返回: P-返回n次拟合多项式系数从高到低依次存放于...

    MatLab中多项式数据拟合(ployfit函数与polyval函数的线性拟合)

    ployfit函数

    函数原型
    p=polyfit(x,y,n)
    其中x,y为拟合数据向量,要求维度相同,n为拟合多项式次数
    结果返回:

    • P-返回n次拟合多项式系数从高到低依次存放于向量P中
    • S-包含三个值其中normr是残差平方和
    • mu-包含两个值 mean(x)均值,std(x)标准差。

    注意

    p向量返回一个一维的系数矩阵,这个一维的系数矩阵中的元素是按照多项式当中的次数由高到低排列的

    函数拟合的次数要小于数据的个数

    polyval函数

    函数原型
    y=polyval(p,x)
    其中p为多项式的系数矩阵,x为自变量矩阵,此函数的意义是计算以p为系数的多项式在各个自变量处的值,y返回的就是计算出的值

    拟合时要注意

    • 在对已测数据不太明确满足什么关系时,需要假设为多种曲线拟合然后比较各自的residal(均方误差)越小者为优
    • 点不一定是越多越好,次数不一定是越高越好,数据不一定是越全面越好
    展开全文
  • 该程序找到 2 个多项式,Num(x) 和 Den(x),使得 Num(xi)/Den(xi) = y(xi) 在最小二乘意义上。 函数 y(xi) 可能具有无限值和零值。 这是对 Matlab 的 Polyfit 命令的升级。
  • 对于多维的两组同维数据,可以反复调用此函数,处理大批量类似问题
  • 其中包含部分原始数据,直接运行即可。
  • 函数执行2D矩阵的逐行多项式回归拟合。 每一行都是一个多项式回归问题。 该函数利用矩阵运算而不是遍历每个矩阵行,因此可以处理具有大量行的矩阵。 其他不同维度的矩阵,只要回归问题只沿一维,都可以重构为二维...
  • 多项式拟合: x=1:10; y=randn(size(x)); p=polyfit(x,y,7); % 7阶多项式,返回拟合多项式的降幂系数 x1=0:.1:10; y_hat=polyval(p,x1); plot(x1,y_hat,x,y,'r*') 或者直接使用matlab的拟合工具箱 写好x, y值 x=1:...
  • 多项式拟合在机器学习中有着重要的应用,下面我们通过一个案例来说明如何进行多项式曲线拟合以及拟合中会遇到的问题。内容主要包含了:问题定义拟合正则化总结需要使用到的Python库有:import matplotlib.pyplot as ...
  • MATLAB多项式函数拟合和曲线拟合

    千次阅读 2014-03-18 11:01:44
    MATLAB软件提供了基本的曲线拟合函数的命令. 多项式函数拟合:a=polyfit(xdata,ydata,n) 其中n表示多项式的最高阶数,xdata,ydata为将要拟合的数据,它是用数组的方式输入.输出参数a为拟合多项式 的系数 ...
  • 多项式曲线拟合

    2018-01-12 10:14:01
    用EMGU_OpenCV的矩阵实现的多项式拟合计算,得到曲线参数。可以更改代码实现不同高次多项式曲线拟合
  • %% 多项式拟合指令;% X = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 ];% Y = [9 7 6 3 -1 2 5 7 20]; % P= polyfit (X,Y,3);% % x = 0:2:10;% y = polyval(P,x);% plot(x,y,X,Y,'r*');%% 指定函数拟合 x=[ 0;0.4;1.2; 2;2.8;3....
  • 项目中遇到给出几个间隔时间点的数据,然后判断其他时刻的数据,需要整体考虑数据的变化趋势,不能通过插值来得到中间未知时刻的数据,所以需要使用多项式拟合来讲数据补全。 多项式函数是一个很重要的建模手段,...
  • 拟合多项式函数

    2019-01-05 16:50:54
    levenberg_marquardt算法拟合多项式和对数函数 python写的
  • MatLab中的多项式拟合(lsqcurvefit函数的非线性曲线拟合) lsqcurvefit函数 函数原型 x=lsqcurvefit(fun, x0, xdata, ydata) == 其中的参数表示为:== xdata ydata为给定数据横纵坐标 按照函数文件fun给定的函数...
  • 多项式拟合。 然后画出函数曲线来。以及给出函数形式。 求导。 再画出导数的曲线。以及给出导数函数形式。 matlab代码: clc close all clear %% 给出一列数 xx = 1:100; yy = xx.^3 - xx.^2; first = 1; ...
  • PRML系列:1.1 多项式函数拟合

    千次阅读 2017-12-08 13:42:31
    PRML系列:1.1 多项式函数拟合前言此系列关于Pattern Recognition and Machine Learning的总结,博文记录一些在阅读过程中遇到的难点和自己的感悟。话不多说,直接进入正题吧。正文第一章第一节的内容关于多项式函数...
  • 第12页用多项式函数拟合
  • 使损失函数Q最小,得到参数β0,β1,对这个两个参数求偏导数 复现了下面文章中最小二乘法的不同类型的拟合方法 文章链接: https://wenku.baidu.com/view/1071a6db6f1aff00bed51e66.html 1、线性拟合 已知一组数据...

空空如也

空空如也

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多项式可以拟合任何函数