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  • 多项式回归 项目链接:https://github.com/Wchenguang/gglearn/blob/master/PolynomialClassifier/李航机器学习-讲解/PolynomialClassifier.ipynb 公式推导 损失函数定义为平方损失函数 cos⁡t=12(f(X)−Y)2L=1N×...

    多项式回归

    项目链接:https://github.com/Wchenguang/gglearn/blob/master/PolynomialClassifier/李航机器学习-讲解/PolynomialClassifier.ipynb

    公式推导

    • 损失函数定义为平方损失函数

    cost=12(f(X)Y)2L=1N×i=1N12(j=0M(wjxij)yi)2 \begin{array}{l}{\cos t=\frac{1}{2}(f(X)-Y)^{2}} \\ {L=\frac{1}{N} \times \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2}\left(\sum_{j=0}^{M}\left(w_{j} x_{i}^{j}\right)-y_{i}\right)^{2}}\end{array}

    • 求导并使导数为0,直接求出权值

    Lwk=1N×i=1N12×2(xik×(j=0M(wjxik)yi))=1N×i=1N(xik×j=0M(wjxij)xik×yi)=0x1kj=1mwjx1j+x2Kj=1mwjx2jxnKj=1mwjxnj=i=1nxikyi[x1kxnk][x10 x1m xn0 xnm][w0wm]=[x1k xnk][y1yn] \begin{array}{c}\begin{array}{l}{\frac{\partial L}{\partial w_{k}}=\frac{1}{N} \times \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} \times 2\left(x_{i}^{k} \times\left(\sum_{j=0}^{M}\left(w_{j} x_{i}^{k}\right)-y_{i}\right)\right)} \\ {=\frac{1}{N} \times \sum_{i=1}^{N}\left(x_{i}^{k} \times \sum_{j=0}^{M}\left(w_{j} x_{i}^{j}\right)-x_{i}^{k} \times y_{i}\right)} \\ {=0}\end{array} \\ {\downarrow} \\ x_{1}^{k} \sum_{j=1}^{m} w_{j} x_{1}^{j}+x_{2}^{K} \sum_{j=1}^{m} w_{j} x_{2}^{j} \cdots x_{n}^{K} \sum_{j=1}^{m} w_{j} x_{n}^{j}=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{k} y_{i} \\ {\downarrow} \\ \left[x_{1}^{k} \dots x_{n}^{k}\right] \begin{bmatrix} x_{1}^{0}& \cdots\ &x_{1}^{m}\\ & \cdots\ &\\ &\vdots \\ x_{n}^{0}& \cdots\ &x_{n}^{m} \end{bmatrix} \left[\begin{array}{c}{w_{0}} \\ {\vdots} \\ {w_{m}}\end{array}\right] = \left[x_{1}^{k} \cdots\ x_{n}^{k}\right] \left[\begin{array}{c}{y_{1}} \\ {\vdots} \\ {y_{n}}\end{array}\right] \end{array}

    • 上式所求的wkw_{k}可以用含有w0w1 wk1wk+1 wmw_{0} w_{1} \cdots\ w_{k-1} w_{k+1}\cdots\ w_{m} 的式子表示,这些ww值表示的是相应权重值的最优解,因而可以利用线性代数将所有权重值求出

    [x1kxnk][x10 x1m xn0 xnm][w0wm]=[x1k xnk][y1yn][x10 xn0 x1m xnm][x10 x1m xn0 xnm][w0wm]=[x10 xn0 x1m xnm][y1yn] \begin{array}{c}\left[x_{1}^{k} \dots x_{n}^{k}\right] \begin{bmatrix} x_{1}^{0}& \cdots\ &x_{1}^{m}\\ & \cdots\ &\\ &\vdots \\ x_{n}^{0}& \cdots\ &x_{n}^{m} \end{bmatrix} \left[\begin{array}{c}{w_{0}} \\ {\vdots} \\ {w_{m}}\end{array}\right] = \left[x_{1}^{k} \cdots\ x_{n}^{k}\right] \left[\begin{array}{c}{y_{1}} \\ {\vdots} \\ {y_{n}}\end{array}\right] \\ {\downarrow} \\ \begin{bmatrix} x_{1}^{0}& \cdots\ &x_{n}^{0}\\ & \cdots\ &\\ &\vdots \\ x_{1}^{m}& \cdots\ &x_{n}^{m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}^{0}& \cdots\ &x_{1}^{m}\\ & \cdots\ &\\ &\vdots \\ x_{n}^{0}& \cdots\ &x_{n}^{m} \end{bmatrix} \left[\begin{array}{c}{w_{0}} \\ {\vdots} \\ {w_{m}}\end{array}\right] = \begin{bmatrix} x_{1}^{0}& \cdots\ &x_{n}^{0}\\ & \cdots\ &\\ &\vdots \\ x_{1}^{m}& \cdots\ &x_{n}^{m} \end{bmatrix} \left[\begin{array}{c}{y_{1}} \\ {\vdots} \\ {y_{n}}\end{array}\right] \end{array}

    • 由上式即可得梯度下降中的正规方程
      xxw=xyw=(xx)1xy \begin{array}{c} x^{\top} x w =x^{\top} y \\ {\downarrow} \\ w =\left(x^{\top} x\right)^{-1} x^{\top} y \end{array}

    实现多项式分类器PolynomialRegression

    import numpy as np
    class PolynomialRegression:
        '''
        只支持numpy数组的输入
        '''
        def __init__(self):
            pass
        def fit(self, x, y):
            '''
            只支持二维数组
            '''
            x= np.hstack((np.ones((len(x), 1)), x))
            x = np.mat(x)
            y = np.mat(y)
            self.w = np.mat((x.T * x).I * x.T * y)
            return self
        def transform(self, x):
            x= np.hstack((np.ones((len(x), 1)), x))
            x = np.mat(x)
            return x * self.w
        def fit_transform(self, x, y):
            x= np.hstack((np.ones((len(x), 1)), x))
            x = np.mat(x)
            y = np.mat(y)
            self.w = (x.T * x).I * x.T * y
            return x * self.w
               #if __name__ == 'main':
    for i in range(10, 51, 10):
        x = np.random.randint(1, 100, (40, i))
        y = np.random.randint(1, 100, (40, 1))
        reg_result = PolynomialRegression().fit(x, y).transform(x)
        import matplotlib.pyplot as plt
        fig = plt.figure(num = 1, figsize = (15, 8))
        plt.plot(np.arange(len(y)), y, label = 'real_y')
        plt.plot(np.arange(len(reg_result)), reg_result, label = 'pred_y')
        plt.legend()
        plt.show()
    
    • 运行结果
      在这里插入图片描述
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  • 多变量线性回归代价函数为: 其中:  正规方程是通过求解下面的方程来找出使得代价函数最小的参数: 设有m个训练实例,每个实例有n个特征,则训练实例集为:   其中表示第i个实例第j个特征。 特征参数为...

    多变量线性回归代价函数为:

    其中: 

    正规方程是通过求解下面的方程来找出使得代价函数最小的参数:

    设有m个训练实例,每个实例有n个特征,则训练实例集为:

    这里写图片描述 
    其中这里写图片描述表示第i个实例第j个特征。

    特征参数为:

    这里写图片描述

    输出变量为:

    这里写图片描述

    故代价函数为:

    这里写图片描述

    进行求导,等价于如下的形式:

    这里写图片描述

    求导公式:

    • 其中第一项:

    这里写图片描述

    • 第二项:

    这里写图片描述 
    该矩阵求导为分母布局下的标量/向量形式: 
    故有, 
    这里写图片描述

    • 第三项:

    这里写图片描述 
    该矩阵求导为分母布局下的标量/向量形式: 
    故有: 
    这里写图片描述

    • 第四项:

    这里写图片描述 
    其中这里写图片描述为标量,可看成一个常数。 
    该矩阵求导为分母布局下的标量/向量形式: 
    故有: 
    这里写图片描述

    综上,正规方程为:

    这里写图片描述

    最终可得特征参数的表示:

    这里写图片描述

    展开全文
  • 之前我们曾经学习了简单线性回归模型的推导、sklearn实战,并尝试从零搭建了一个简单线性回归的模型工具。...一、快速理解多项式回归原理 我们先来回顾一下简单线性回归的假设: y^=α+βx\hat{y}=...

    之前我们曾经学习了简单线性回归模型的推导、sklearn实战,并尝试从零搭建了一个简单线性回归的模型工具。

    但是我们遇到的数据并不总是线性的,这时如果我们还拿线性模型去拟合,我们模型的效果就会大打折扣。不过不用担心,我们仍然可以使用线性回归的方法来拟合非线性的数据,只不过我们要先对输入数据做一些处理。

    一、快速理解多项式回归原理

    我们先来回顾一下简单线性回归的假设:

    y^=α+βx\hat{y}=\alpha + \beta x

    假如我们通过散点图发现变量y与x之间的关系大致符合二次分布,那么上述的假设就不太合适了,我们可以假设:

    y^=α+β1x+β2x2\hat{y}=\alpha + \beta_1 x + \beta_2 x^2

    我们的残差依然是:

    error=yy^error = y - \hat{y}

    与简单线性回归相同,我们的目标是最小化残差平方和:

    RSS(SSE)=i=1n(yiyi^)2=i=1n[yi(α+β1xi+β2xi2)]2RSS(SSE) = \sum_{i=1}^{n}{(y_i-\hat{y_i})^2} = \sum_{i=1}^{n}{[y_i-(\alpha + \beta_1 x_i + \beta_2 x_i^2)]^2}

    然后我们分别对α、β1和β2求偏导,使其为0,我们可以得到三个等式,求解即可。

    这部分推理与简单线性回归的推理部分极为相似,感兴趣的可以直接阅读我的《三步教你从零掌握简单线性回归》一文。

    二、scikit-learn实战

    那么接下来,我们就直接来看scikit-learn实战部分了。先放代码和输出,然后我们再详解一下:

    import numpy as np
    from sklearn.linear_model import LinearRegression
    from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
    import matplotlib.pyplot as plt
    import seaborn as sns
    sns.set()
    
    X_train = [[6], [8], [10], [14], [18]]
    y_train = [[7], [9], [13], [17.5], [18]]
    X_test = [[6], [8], [11], [16]]
    y_test = [[8], [12], [15], [18]]
    
    # 简单线性回归
    model = LinearRegression()
    model.fit(X_train, y_train)
    xx = np.linspace(0, 26, 100)
    yy = model.predict(xx.reshape(xx.shape[0], 1))
    plt.scatter(x=X_train, y=y_train, color='k')
    plt.plot(xx, yy, '-g')
    
    # 多项式回归
    quadratic_featurizer = PolynomialFeatures(degree=2)
    X_train_quadratic = quadratic_featurizer.fit_transform(X_train)
    X_test_quadratic = quadratic_featurizer.fit_transform(X_test)
    model2 = LinearRegression()
    model2.fit(X_train_quadratic, y_train)
    xx2 = quadratic_featurizer.transform(xx[:, np.newaxis])
    yy2 = model2.predict(xx2)
    plt.plot(xx, yy2, '-r')
    
    print('X_train:\n', X_train)
    print('X_train_quadratic:\n', X_train_quadratic)
    print('X_test:\n', X_test)
    print('X_test_quadratic:\n', X_test_quadratic)
    print('简单线性回归R2:', model.score(X_test, y_test))
    print('二次回归R2:', model2.score(X_test_quadratic, y_test));
    

    输出为:

    X_train:
     [[6], [8], [10], [14], [18]]
    X_train_quadratic:
     [[  1.   6.  36.]
     [  1.   8.  64.]
     [  1.  10. 100.]
     [  1.  14. 196.]
     [  1.  18. 324.]]
    X_test:
     [[6], [8], [11], [16]]
    X_test_quadratic:
     [[  1.   6.  36.]
     [  1.   8.  64.]
     [  1.  11. 121.]
     [  1.  16. 256.]]
    简单线性回归R2: 0.809726797707665
    二次回归R2: 0.8675443656345073
    

    三、步骤详解

    我们来看看在每一步我们都做了什么。

    第一步,我们导入了必要的库。

    第二步,我们创建了训练集和测试集。

    第三步,我们拟合了简单线性回归,并且绘制了预测的直线。

    第四步,我们使用sklearn.preprocessing.PolynomialFeatures方法,将我们的原始特征集生成了n*3的数据集,其中第一列对应常数项α,相当于x的零次方,因此这一列都是1;第二列对应一次项,因此这一列与我们的原始数据是一致的;第三列对应二次项,因此这一列是我们原始数据的平方。

    第四步,我们拿前边用PolynomialFeatures处理的数据集做一个多元线性回归,然后用训练好的模型预测一条曲线,并将其绘制出来。

    第五步,输出数据方便理解;输出模型分数用于对比效果。

    看到这里你可能已经明白了,多项式回归虽然拟合了多项式曲线,但其本质仍然是线性回归,只不过我们将输入的特征做了些调整,增加了它们的多次项数据作为新特征。其实除了多项式回归,我们还可以使用这种方法拟合更多的曲线,我们只需要对原始特征作出不同的处理即可。

    你学会了吗?

    展开全文
  • 之前我们曾经学习了简单线性回归模型的推导、sklearn实战,并尝试从零搭建了一个简单线性回归的模型工具。 有任何问题都可以在下方留言,我都会耐心解答。 但是我们遇到的数据并不总是线性的,这时如果我们还拿...

    https://www.toutiao.com/a6642221691839709704/

     

    2019-01-03 18:52:31

    之前我们曾经学习了简单线性回归模型的推导、sklearn实战,并尝试从零搭建了一个简单线性回归的模型工具。


    有任何问题都可以在下方留言,我都会耐心解答。


    但是我们遇到的数据并不总是线性的,这时如果我们还拿线性模型去拟合,我们模型的效果就会大打折扣。不过不用担心,我们仍然可以使用线性回归的方法来拟合非线性的数据,只不过我们要先对输入数据做一些处理。

    一、快速理解多项式回归原理

    我们先来回顾一下简单线性回归的假设:

    十分钟掌握多项式回归:非线性预测

     

     

    假如我们通过散点图发现变量y与x之间的关系大致符合二次分布,那么上述的假设就不太合适了,我们可以假设:

    十分钟掌握多项式回归:非线性预测

     

     

    我们的残差依然是:

    十分钟掌握多项式回归:非线性预测

     

     

    与简单线性回归相同,我们的目标是最小化残差平方和:

    十分钟掌握多项式回归:非线性预测

     

     

    然后我们分别对α、β1和β2求偏导,使其为0,我们可以得到三个等式,求解即可。

    这部分推理与简单线性回归的推理部分极为相似,感兴趣的可以直接阅读我的《三步教你从零掌握简单线性回归》一文。

    二、scikit-learn实战

    那么接下来,我们就直接来看scikit-learn实战部分了。先放代码和输出,然后我们再详解一下:

    import numpy as np
    from sklearn.linear_model import LinearRegression
    from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
    import matplotlib.pyplot as plt
    import seaborn as sns
    sns.set()
    X_train = [[6], [8], [10], [14], [18]]
    y_train = [[7], [9], [13], [17.5], [18]]
    X_test = [[6], [8], [11], [16]]
    y_test = [[8], [12], [15], [18]]
    # 简单线性回归
    model = LinearRegression()
    model.fit(X_train, y_train)
    xx = np.linspace(0, 26, 100)
    yy = model.predict(xx.reshape(xx.shape[0], 1))
    plt.scatter(x=X_train, y=y_train, color='k')
    plt.plot(xx, yy, '-g')
    # 多项式回归
    quadratic_featurizer = PolynomialFeatures(degree=2)
    X_train_quadratic = quadratic_featurizer.fit_transform(X_train)
    X_test_quadratic = quadratic_featurizer.fit_transform(X_test)
    model2 = LinearRegression()
    model2.fit(X_train_quadratic, y_train)
    xx2 = quadratic_featurizer.transform(xx[:, np.newaxis])
    yy2 = model2.predict(xx2)
    plt.plot(xx, yy2, '-r')
    print('X_train:
    ', X_train)
    print('X_train_quadratic:
    ', X_train_quadratic)
    print('X_test:
    ', X_test)
    print('X_test_quadratic:
    ', X_test_quadratic)
    print('简单线性回归R2:', model.score(X_test, y_test))
    print('二次回归R2:', model2.score(X_test_quadratic, y_test));
    

    输出为:

    X_train:
     [[6], [8], [10], [14], [18]]
    X_train_quadratic:
     [[ 1. 6. 36.]
     [ 1. 8. 64.]
     [ 1. 10. 100.]
     [ 1. 14. 196.]
     [ 1. 18. 324.]]
    X_test:
     [[6], [8], [11], [16]]
    X_test_quadratic:
     [[ 1. 6. 36.]
     [ 1. 8. 64.]
     [ 1. 11. 121.]
     [ 1. 16. 256.]]
    简单线性回归R2: 0.809726797707665
    二次回归R2: 0.8675443656345073
    

    十分钟掌握多项式回归:非线性预测

     

    三、步骤详解

    我们来看看在每一步我们都做了什么。

    第一步,我们导入了必要的库。

    第二步,我们创建了训练集和测试集。

    第三步,我们拟合了简单线性回归,并且绘制了预测的直线。

    第四步,我们使用sklearn.preprocessing.PolynomialFeatures方法,将我们的原始特征集生成了n*3的数据集,其中第一列对应常数项α,相当于x的零次方,因此这一列都是1;第二列对应一次项,因此这一列与我们的原始数据是一致的;第三列对应二次项,因此这一列是我们原始数据的平方。

    第四步,我们拿前边用PolynomialFeatures处理的数据集做一个多元线性回归,然后用训练好的模型预测一条曲线,并将其绘制出来。

    第五步,输出数据方便理解;输出模型分数用于对比效果。

    看到这里你可能已经明白了,多项式回归虽然拟合了多项式曲线,但其本质仍然是线性回归,只不过我们将输入的特征做了些调整,增加了它们的多次项数据作为新特征。其实除了多项式回归,我们还可以使用这种方法拟合更多的曲线,我们只需要对原始特征作出不同的处理即可。

    你学会了吗?

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    2018-12-07 14:31:11
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  • 机器学习算法1_线性回归

    千次阅读 2018-10-04 17:00:29
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  • 人工智能基础算法公式推导

    千次阅读 2018-04-03 17:49:51
    1、最小二乘法(拟合)功能描述:在进行线性回归时,通过一系列的实验所得到的值,来反推多项式的最佳参数。关键点:所得到的参数使得参数拟合的等式与实验所得值的差(向量)模最小。推导过程参考博客:...
  • 假设我们使用多项式回归来做模拟,阶次为2,有4个特征,易知,我们的多项式展开为: 由上式易知,4个特征加一个偏置项bias,完全展开后有15项,当有m个特征,阶次为2时,展开后项数为 (m+1)*(m+2)/2,当阶次为3 4 5时请自行...

空空如也

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多项式回归推导