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    python多项式回归

    Let’s start with an example. We want to predict the Price of a home based on the Area and Age. The function below was used to generate Home Prices and we can pretend this is “real-world data” and our “job” is to create a model which will predict the Price based on Area and Age:

    让我们从一个例子开始。 我们想根据面积和年龄来预测房屋价格。 下面的函数用于生成房屋价格,我们可以假装这是“真实数据”,而我们的“工作”是创建一个模型,该模型将根据面积和年龄预测价格:

    价格= -3 *面积-10 *年龄+ 0.033 *面积²-0.0000571 *面积³+ 500 (Price = -3*Area -10*Age + 0.033*Area² -0.0000571*Area³ + 500)

    Image for post
    Home Prices vs Area & Age
    房屋价格与面积和年龄

    线性模型 (Linear Model)

    Let’s suppose we just want to create a very simple Linear Regression model that predicts the Price using slope coefficients c1 and c2 and the y-intercept c0:

    假设我们只想创建一个非常简单的线性回归模型,该模型使用斜率系数c1和c2以及y轴截距 c0来预测价格:

    Price = c1*Area+c2*Age + c0

    价格= c1 *面积+ c2 *年龄+ c0

    We’ll load the data and implement Scikit-Learn’s Linear Regression. Behind the scenes, model coefficients (c0, c1, c2) are computed by minimizing the sum of squares of individual errors between target variable y and the model prediction:

    我们将加载数据并实现Scikit-Learn的线性回归 。 在幕后,通过最小化目标变量y与模型预测之间的各个误差的平方和来计算模型系数(c0,c1,c2):

    But you see we don’t do a very good job with this model.

    但是您会看到我们在此模型上做得不好。

    Image for post
    Simple Linear Regression Model (Mean Relative Error: 9.5%)
    简单线性回归模型(平均相对误差:9.5%)

    多项式回归模型 (Polynomial Regression Model)

    Next, let’s implement the Polynomial Regression model because it’s the right tool for the job. Rewriting the initial function used to generate the home Prices, where x1 = Area, and x2 = Age, we get the following:

    接下来,让我们实现多项式回归模型,因为它是这项工作的正确工具。 重写用于生成房屋价格的初始函数,其中x1 =面积,x2 =年龄,我们得到以下信息:

    价格= -3 * x1 -10 * x2 + 0.033 *x1²-0.0000571 *x1³+ 500 (Price = -3*x1 -10*x2 + 0.033*x1² -0.0000571*x1³ + 500)

    So now instead of the Linear model (Price = c1*x1 +c2*x2 + c0), Polynomial Regression requires we transform the variables x1 and x2. For example, if we want to fit a 2nd-degree polynomial, the input variables are transformed as follows:

    因此,现在多项式回归代替线性模型(价格= c1 * x1 + c2 * x2 + c0),需要转换变量x1和x2。 例如,如果要拟合二阶多项式,则输入变量的转换如下:

    1, x1, x2, x1², x1x2, x2²

    1,x1,x2,x1²,x1x2,x2²

    But our 3rd-degree polynomial version will be:

    但是我们的三阶多项式将是:

    1, x1, x2, x1², x1x2, x2², x1³, x1²x2, x1x2², x2³

    1,x1,x2,x1²,x1x2,x2²,x1³,x1²x2,x1x2²,x2³

    Then we can use the Linear model with the polynomially transformed input features and create a Polynomial Regression model in the form of:

    然后,我们可以将线性模型与多项式转换后的输入特征一起使用,并创建以下形式的多项式回归模型:

    Price = 0*1 + c1*x1 + c2*x2 +c3*x1² + c4*x1x2 + … + cn*x2³ + c0

    价格= 0 * 1 + c1 * x1 + c2 * x2 + c3 *x1²+ c4 * x1x2 +…+ cn *x2³+ c0

    (0*1 relates to the bias (1s) column)

    (0 * 1与偏置(1s)列有关)

    After training the model on the data we can check the coefficients and see if they match our original function used to generate home prices:

    在对数据进行模型训练之后,我们可以检查系数,看看它们是否与用于生成房屋价格的原始函数匹配:

    Original Function:

    原始功能:

    价格= -3 * x1 -10 * x2 + 0.033 *x1²-0.0000571 *x1³+ 500 (Price = -3*x1 -10*x2 + 0.033*x1² -0.0000571*x1³ + 500)

    Polynomial Regression model coefficients:

    多项式回归模型系数:

    Image for post
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    and indeed they match!

    确实匹配!

    Now you can see we do a much better job.

    现在您可以看到我们做得更好。

    Image for post
    Polynomial Regression Model (Mean Relative Error: 0%)
    多项式回归模型(平均相对误差:0%)

    And there you have it, now you know how to implement a Polynomial Regression model in Python. Entire code can be found here.

    有了它,现在您知道如何在Python中实现多项式回归模型。 完整的代码可以在这里找到。

    结束语 (Closing remarks)

    • If this were a real-world ML task, we should have split data into training and testing sets, and evaluated the model on the testing set.

      如果这是现实世界中的ML任务,我们应该将数据分为训练和测试集,并在测试集上评估模型。
    • It’s better to use other accuracy metrics such as RMSE because MRE will be undefined if there’s a 0 in the y values.

      最好使用其他精度度量标准,例如RMSE,因为如果y值中为0,则MRE将不确定。

    翻译自: https://medium.com/@nikola.kuzmic945/how-to-implement-a-polynomial-regression-model-in-python-6250ce96ba61

    python多项式回归

    展开全文
  • 具体博客可参考https://blog.csdn.net/qq_32478489/article/details/82495446
  • 有时候,一次项表达式进行回归误差比较大。给定这样的数据集,以y = 0.5 * X^2 + X + 2加入噪声生成,其图像    用线性回归获取回归方程,并用预测结果对比实际情况,得到    红色直线是通过回归方程得到的所有...
  • 多项式回归案例代码

    2019-02-10 20:29:03
    本案例使用房价预测的数据,使用Python做了线性回归、二次回归和三次回归,并分别得出三者的模型拟合得分,来探究针对本案例的模型拟合效果。也侧面分析了欠拟合、过拟合的现象。
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    多项式回归模型正则化(拉索,岭,弹性网)


    过拟合指学习时选择的模型所包含的参数过多,以至于出现模型对已知数据预测的很好,但对未知数据预测得很差得现象
    ——李航.《统计学习方法》

    通常来说,我们收集到得数据是包含噪声的,朴素多项式回归对数据有很好的拟合效果,以导致其过多的拟合出了噪音关系,结果导致训练出的模型对训练数据集的拟合很好,但是对测试数据集的拟合能力就变的很差,此时模型的泛化能力就很差。因此,文章介绍了三种降低过拟合现象以增加泛化能力的方式并且用代码进行了可视化。


    一、多项式回归模型正则化:

    多项式回归模型减少过度拟合的方法之一对模型正则化,模型复杂度越低,模型就越不容易过拟合,通常做法是降低多项式各式的权重。主要有三种正则化方法:L1正则化,L2正则化,L1+L2正则化。
    假设函数为:
    h θ ( x ) = θ 0 + θ 1 x 1 + θ 2 x 2 + ⋯ + θ n x n = [ θ 0 ⋮ θ n ] T ⋅ [ 1 x 1 x 2    ⋯    x n ] h_{\theta}\left( x \right) =\theta _0+\theta _1x_1+\theta _2x_2+\cdots +\theta _nx_n \\ =\left[ \begin{array}{c} \theta _0\\ \vdots\\ \theta _n\\ \end{array} \right] ^T\cdot \left[ \begin{matrix} 1& x_1& x_2\,\,\\ \end{matrix}\cdots \,\,x_n \right] hθ(x)=θ0+θ1x1+θ2x2++θnxn=θ0θnT[1x1x2xn]

    1.L1正则化(lasso)回归

    在原损失函数的基础上加上带训练参数θ的L1范数:
    J ( θ ) = 1 2 m [ ∑ i = 1 m ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) + λ ∑ j = 1 m ∥ θ j ∥ 1 ] J\left( \theta \right) =\frac{1}{2m}\left[ \sum_{i=1}^m{\left( h_{\theta}\left( x^{\left( i \right)} \right) -y^{\left( i \right)} \right)}+\lambda \sum_{j=1}^m{\left\| \theta _j \right\| _1} \right] J(θ)=2m1[i=1m(hθ(x(i))y(i))+λj=1mθj1]

    特点:
    (1)它将系数收缩为零(正好为零),这有助于特征选择;
    (2)如果一批预测变量高度相关,则Lasso只挑选其中一个,并将其他缩减为零。

    2.L2正则化(Ridge)回归

    在原损失函数的基础上加上带训练参数θ的L2范数:
    J ( θ ) = 1 2 m [ ∑ i = 1 m ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) + λ ∑ j = 1 m ∥ θ j ∥ 2 ] J\left( \theta \right) =\frac{1}{2m}\left[ \sum_{i=1}^m{\left( h_{\theta}\left( x^{\left( i \right)} \right) -y^{\left( i \right)} \right)}+\lambda \sum_{j=1}^m{\left\| \theta _j \right\| _2} \right] J(θ)=2m1[i=1m(hθ(x(i))y(i))+λj=1mθj2]
    特点:
    (1)收缩系数的值,但不会达到零,这表明没有特征选择特征;

    3.弹性网(ElasticNet)回归

    ElasticNet是Lasso和Ridge回归技术的混合模型。它是用L1和L2作为正则化训练的。当有多个相关的特征时,Lasso可能随机选择其中一个,Elastic-net很可能两个都选择。
    其损失函数为:
    J ( θ ) = 1 2 m [ ∑ i = 1 m ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) + λ ∑ j = 1 m ∥ θ j ∥ 1 + 1 − λ 2 ∑ j = 1 m ∥ θ j ∥ 2 ] J\left( \theta \right) =\frac{1}{2m}\left[ \sum_{i=1}^m{\left( h_{\theta}\left( x^{\left( i \right)} \right) -y^{\left( i \right)} \right)}+\lambda \sum_{j=1}^m{\left\| \theta _j \right\| _1+\frac{1-\lambda}{2}\sum_{j=1}^m{\left\| \theta _j \right\| _2}} \right] J(θ)=2m1[i=1m(hθ(x(i))y(i))+λj=1mθj1+21λj=1mθj2]
    弹性网络是岭回归和Lasso回归的结合,其正则项就是岭回归和Lasso回归的正则项的混合,混合比例通过r来控制,当r=0时,弹性网络即等同于岭回归,而当r=1时,即相当于Lasso回归。
    在Lasso和Ridge之间折衷的实际优点是它允许Elastic-Net继承一些Ridge的稳定性。

    二、python可视化

    代码如下:

    1.导入包

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    from sklearn.pipeline import Pipeline
    from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures##特征扩展器
    from sklearn.preprocessing import StandardScaler
    from sklearn.linear_model import LinearRegression,Ridge,ElasticNet,Lasso
    

    2.产生数据

    代码如下:

    ##生成原始数据
    np.random.seed=21
    x=(np.linspace(-3,3,50)).reshape((-1,1))
    def Y():
        return 0.2+x**2
    y=Y()
    y_train=y+np.random.normal(0,2,size=len(x)).reshape((-1,1))
                                     
    ###多项式特征扩展
    poly=PolynomialFeatures(degree=20)
    poly.fit(x)
    x_train=poly.transform(x)
    

    3.模型对比及可视化

    ##--------数据标准化及模型选择,给polynomial regression,不加正则化
    model1 = Pipeline([
        ('sca', StandardScaler()),
        ('lin_reg', LinearRegression()),
    ])
    ##--------数据标准化及模型选择,给polynomial regression加入L2正则化
    model2 = Pipeline([
        ('sca', StandardScaler()),
        ('ridge', Ridge(solver='cholesky')),
    ])
    ##--------数据标准化及模型选择,给polynomial regression加入L1正则化
    model3 = Pipeline([
        ('sca', StandardScaler()),
        ('lasso', Lasso()),
    ])
    ##--------数据标准化及模型选择,给polynomial regression加入L2+L1正则化(弹性网回归 ElasticNet Regression)
    model4 = Pipeline([
        ('sca', StandardScaler()),
        ('elasticnet', ElasticNet()),
    ])
    
    model1.fit(x_train,y_train)
    model2.fit(x_train,y_train)
    model3.fit(x_train,y_train)
    model4.fit(x_train,y_train)
    
    plt.ylim(-2,11)
    plt.plot(x,y,'r')###无噪音原始函数关系
    plt.scatter(x,y_train)##加入噪音后的散点图
    plt.plot(x,model1.predict(x_train),'b')##无正则项的多项式回归
    plt.plot(x,model2.predict(x_train),'g')##L2正则化的多项式回归
    plt.plot(x,model3.predict(x_train),'black')##L1正则化的多项式回归
    plt.plot(x,model4.predict(x_train),'m')##加入弹性网的多项式回归
    plt.show()
    features=x_train.shape[1]
    print(features)
    x_train.shape
    

    模型对比
    上图红线为期望,输出蓝色线为无正则项的多项式回归结果,过拟合现象很严重,在加入正则项后过拟合现象基本消失。

    总结

    对于多项式回归过拟合现象,在其损失函数中加入正则项可有效缓解过拟合,降低模型复杂度。


    参考:
    1. 多项式回归下的过拟合和欠拟合原理解释
    2. 机器学习算法(8)之多元线性回归分析理论详解
    3. normal linear model
    展开全文
  • 机器学习算法之多项式回归

    千次阅读 2019-05-12 21:05:14
    机器学习算法之多项式回归 目录: 1.多项式回归简介 2.编程实验多项式回归 3.过拟合和欠拟合 4.学习曲线 5.验证数据集与交叉验证 6.偏差方差均衡 7.模型正则化 一、多项式回归简介 考虑下面的数据,虽然我们可以...

    机器学习算法之多项式回归

    目录:

    • 1.多项式回归简介
    • 2.编程实验多项式回归
    • 3.过拟合和欠拟合
    • 4.学习曲线
    • 5.验证数据集与交叉验证
    • 6.偏差方差均衡
    • 7.模型正则化

    一、多项式回归简介

    考虑下面的数据,虽然我们可以使用线性回归来拟合这些数据,但是这些数据更像是一条二次曲线,相应的方程是y=ax2+bx+c,这个式子虽然可以理解为二次方程,但是我们呢可以从另外一个角度来理解这个式子:

    如果将x2理解为一个特征,将x理解为另外一个特征,换句话说,本来我们的样本只有一个特征x,现在我们把他看成有两个特征的一个数据集。多了一个特征x2,那么从这个角度来看,这个式子依旧是一个线性回归的式子,但是从x的角度来看,他就是一个二次的方程

    多项式回归:相当于为样本添加了一些特征,这些特征是原来样本的多项式项,增加了这些特征之后,我们可以使用线性回归的思路更好的拟合我们的数据。

    二、编程实验多项式回归

    1.模拟多项式回归的数据集

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    %matplotlib inline
    
    x = np.random.uniform(-3,3,size=100)
    X = x.reshape(-1,1)
    y = 0.5*x**2 + x + 2+np.random.normal(0,1,size=100)
    
    plt.scatter(x,y)
    
    <matplotlib.collections.PathCollection at 0x1665e9db6a0>
    

    在这里插入图片描述

    2.使用线性回归拟合数据

    from sklearn.linear_model import LinearRegression
    
    lin_reg = LinearRegression()
    lin_reg.fit(X,y)
    y_predict = lin_reg.predict(X)
    
    plt.scatter(x,y)
    plt.plot(X,y_predict,color="r")
    
    [<matplotlib.lines.Line2D at 0x1665eefd940>]
    

    在这里插入图片描述

    很明显,用一条直线来拟合有弧度的曲线,效果是不好的。

    3.解决方案,添加一个特征

    原来的数据都在X中,现在对X中每一个数据都进行平方

    再将得到的数据集与原数据集进行拼接

    再用新的数据集进行线性回归

    (X**2).shape
    
    (100, 1)
    
    X2 = np.hstack([X,X**2])
    
    lin_reg2 = LinearRegression()
    lin_reg2.fit(X2,y)
    y_predict2 = lin_reg2.predict(X2)
    
    plt.scatter(x,y)
    plt.plot(np.sort(x),y_predict2[np.argsort(x)],color="r")
    
    [<matplotlib.lines.Line2D at 0x166615f3710>]
    

    在这里插入图片描述

    总之:

    多项式回归在机器学习算法上并没有新的地方,完全是使用线性回归的思路

    它的关键在于为原来的样本,添加新的特征,而我们得到新的特征的方式在在原有特征的多项式的组合。

    采用这样的方式,我们就可以解决一些非线性的问题。

    与此同时需要注意,PCA是对我们的数据机芯降维处理,而多项式回归是让数据升维,在升维之后使得算法可以更好的拟合高纬度的数据

    4.sklearn中的多项式回归

    # 数据进行处理
    from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
    
    poly = PolynomialFeatures()
    poly.fit(X)
    X3 = poly.transform(X)
    X3[:5]
    
    array([[ 1.        ,  2.4708992 ,  6.10534284],
           [ 1.        , -1.28689158,  1.65608995],
           [ 1.        ,  0.70399937,  0.49561511],
           [ 1.        , -0.91605936,  0.83916474],
           [ 1.        ,  1.36063097,  1.85131664]])
    
    # 调用LinearRegression对X2进行预测
    lin_reg3 = LinearRegression()
    lin_reg3.fit(X3,y)
    y_predict3 = lin_reg3.predict(X3)
    
    plt.scatter(x,y)
    plt.plot(np.sort(x),y_predict3[np.argsort(x)],color="r")
    
    [<matplotlib.lines.Line2D at 0x166616262b0>]
    

    在这里插入图片描述

    5.使用Pipline来实现多项式回归的过程

    pipline的英文名字是管道,那么如何使用管道呢,先考虑我们的多项式回归的过程

    • 1.使用PolynomialFeatures生成多项式特征的数据集
    • 2.如果生成数据幂特别的大,那么特征之间的差距就会很大,导致我们的搜索非常慢,这时候就需要数据归一化
    • 3.进行线性回归

    pipline的作用就是把上面的三个步骤合并,使得我们不用一直重复这三步

    # 准备数据
    x = np.random.uniform(-3,3,size=100)
    X = x.reshape(-1,1)
    y = 0.5*x**2 + x + 2+np.random.normal(0,1,size=100)
    
    # pipline
    from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
    from sklearn.preprocessing import StandardScaler
    from sklearn.pipeline import Pipeline
    # 传入每一步的对象名和类的实例化
    poly_reg = Pipeline([
        ("poly",PolynomialFeatures(degree=2)),
        ("std_scaler",StandardScaler()),
        ("lin_reg",LinearRegression())
    ])
    
    # 预测及绘图展示
    poly_reg.fit(X,y)
    y_predict = poly_reg.predict(X)
    
    plt.scatter(x,y)
    plt.plot(np.sort(x),y_predict[np.argsort(x)],color="r")
    
    [<matplotlib.lines.Line2D at 0x16661626208>]
    

    在这里插入图片描述

    三、过拟合和欠拟合

    1.什么是过拟合和欠拟合

    # 数据准备
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    from sklearn.linear_model import LinearRegression
    
    x = np.random.uniform(-3,3,size=100)
    X = x.reshape(-1,1)
    y = 0.5*x**2 + x + 2+np.random.normal(0,1,size=100)
    
    

    a.线性回归

    lin_reg = LinearRegression()
    lin_reg.fit(X,y)
    y_predict = lin_reg.predict(X)
    
    plt.scatter(x,y)
    plt.plot(X,y_predict,color='r')
    
    [<matplotlib.lines.Line2D at 0x16661682400>]
    

    在这里插入图片描述

    from sklearn.metrics import mean_squared_error
    
    y_predict = lin_reg.predict(X)
    mean_squared_error(y,y_predict)
    
    3.3341226155406303
    

    2.使用多项式回归

    # 使用Pipeline构建多项式回归
    def PolynomialRegression(degree):
        poly_reg = Pipeline([
            ('poly',PolynomialFeatures(degree=degree)),
            ('std_scaler',StandardScaler()),
            ('lin_reg',LinearRegression())
        ])
        return poly_reg
    
    poly_reg2 = PolynomialRegression(2)
    poly_reg2.fit(X,y)
    y2_predict = poly_reg2.predict(X)
    # 显然使用多项式回归得到的结果是更好的
    mean_squared_error(y,y2_predict)
    
    1.111897309325084
    
    plt.scatter(x,y)
    plt.plot(np.sort(x),y2_predict[np.argsort(x)],color='r')
    
    [<matplotlib.lines.Line2D at 0x1666175e470>]
    

    在这里插入图片描述

    3.使用更高的维度进行多项式回归

    a.使用10个维度

    # 使用10个维度
    poly_reg10 = PolynomialRegression(10)
    poly_reg10.fit(X,y)
    y10_predict = poly_reg10.predict(X)
    mean_squared_error(y,y10_predict)
    
    0.9427318831233271
    
    plt.scatter(x,y)
    plt.plot(np.sort(x),y10_predict[np.argsort(x)],color='r')
    
    [<matplotlib.lines.Line2D at 0x166617b25c0>]
    

    在这里插入图片描述

    b.使用100个维度

    poly_reg100 = PolynomialRegression(100)
    poly_reg100.fit(X,y)
    y100_predict = poly_reg100.predict(X)
    # 显然使用多项式回归得到的结果是更好的
    mean_squared_error(y,y100_predict)
    
    0.5566399955159339
    
    plt.scatter(x,y)
    plt.plot(np.sort(x),y100_predict[np.argsort(x)],color='r')
    
    [<matplotlib.lines.Line2D at 0x16661827208>]
    

    在这里插入图片描述

    X_plot = np.linspace(-3,3,100).reshape(100,1)
    y_plot = poly_reg100.predict(X_plot)
    
    plt.scatter(x,y)
    plt.plot(X_plot,y_plot,color='r')
    plt.axis([-3 , 3 , -1,10 ])
    
    [-3, 3, -1, 10]
    

    在这里插入图片描述

    总结

    degree从2到10到100的过程中,虽然均方误差是越来越小的,从均方误差的角度来看是更加小的
    但是他真的能更好的预测我们数据的走势吗,例如我们选择2.5到3的一个x,使用上图预测出来的y的大小(0或者-1之间)显然不符合我们的数据

    • 换句话说,我们使用了一个非常高的数据,虽然使得我们的样本点获得了更小的误差,但是这条曲线完全不是我们想要的样子,它为了拟合我们所有的样本点,变得太过于复杂了,这种情况就是过拟合
    • 相反,在最开始,我们直接使用一根直线来拟合我们的数据,也没有很好的拟合我们的样本特征,当然它犯的错误不是太过于复杂,而是太过简单,这种情况就是欠拟合

    对于上述这样的一个图,会有两条曲线:

    • 一个是对于训练数据集来说的,模型越复杂,模型准确率越高,因为模型越复杂,对训练数据集的拟合就越好,相应的模型准确率就越高
    • 对于测试数据集来说,在模型很简单的时候,模型的准确率也比较低,随着模型逐渐变复杂,对测试数据集的准确率在逐渐的提升,提升到一定程度后,如果模型继续变复杂,那么我们的模型准确率将会进行下降(欠拟合->正合适->过拟合)

    欠拟合和过拟合的标准定义

    • 欠拟合:算法所训练的模型不能完整表述数据关系
    • 过拟合:算法所训练的模型过多的表达了数据间的噪音关系

    四、学习曲线

    1.什么是学习曲线

    随着训练样本的逐渐增大,算法训练出的模型的表现能力

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    np.random.seed(666)
    x = np.random.uniform(-3,3,size=100)
    X = x.reshape(-1,1)
    y = 0.5 * x**2 + x + 2 + np.random.normal(0,1,size=100)
    
    plt.scatter(x,y)
    
    <matplotlib.collections.PathCollection at 0x166618de2e8>
    

    在这里插入图片描述

    2.实际编程实现学习曲线

    from sklearn.model_selection import train_test_split
    X_train,X_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y,random_state=10)
    
    print(X_train.shape,type(X_train))
    print(X_test.shape,type(X_test))
    print(y_train.shape,type(y_train))
    print(y_test.shape,type(y_test))
    
    (75, 1) <class 'numpy.ndarray'>
    (25, 1) <class 'numpy.ndarray'>
    (75,) <class 'numpy.ndarray'>
    (25,) <class 'numpy.ndarray'>
    

    a.观察线性回归的学习曲线

    观察线性回归的模型,随着训练数据集增加,性能的变化

    from sklearn.linear_model import LinearRegression
    from sklearn.metrics import mean_squared_error
    
    def plot_learning_curve(algo,X_train,X_test,y_train,y_test):
        train_score = []
        test_score = []
    
        # 计算学习曲线数据
        for i in range(1,len(X_train)+1):
            algo.fit(X_train[:i],y_train[:i])
    
            y_train_predict = algo.predict(X_train[:i])
            train_score.append(mean_squared_error(y_train[:i],y_train_predict))
    
            y_test_predict = algo.predict(X_test)
            test_score.append(mean_squared_error(y_test,y_test_predict))
    
        # 绘制学习曲线
        plt.plot([i for i in range(1,len(X_train)+1)],np.sqrt(train_score),label = 'train')
        plt.plot([i for i in range(1,len(X_train)+1)],np.sqrt(test_score),label = 'test')
        plt.axis([0,len(X_train)+1,0,4])
        plt.legend()
    
        
    plot_learning_curve(LinearRegression(),X_train,X_test,y_train,y_test)
    

    在这里插入图片描述

    从趋势上看:

    • 在训练数据集上,误差是逐渐升高的。这是因为我们的训练数据越来越多,我们的数据点越难得到全部的累积,不过整体而言,在刚开始的时候误差变化的比较快,后来就几乎不变了
    • 在测试数据集上,在使用非常少的样本进行训练的时候,刚开始我们的测试误差非常的大,当训练样本大到一定程度以后,我们的测试误差就会逐渐减小,减小到一定程度后,也不会小太多,达到一种相对稳定的情况
    • 在最终,测试误差和训练误差趋于相等,不过测试误差还是高于训练误差一些,这是因为,训练数据在数据非常多的情况下,可以将数据拟合的比较好,误差小一些,但是泛化到测试数据集的时候,还是有可能多一些误差

    b.观察多项式回归的学习曲线

    from sklearn.preprocessing import StandardScaler
    from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
    from sklearn.pipeline import Pipeline
    
    # 使用Pipline构建多项式回归模型
    def PolynomialRegression(degree):
        return Pipeline([
        ("poly",PolynomialFeatures(degree=degree)),
        ("std_scaler",StandardScaler()),
        ("lin_reg",LinearRegression())
        ])
    
    # 使用二阶多项式回归
    poly2_reg = PolynomialRegression(2)
    plot_learning_curve(poly2_reg,X_train,X_test,y_train,y_test)
    

    在这里插入图片描述

    首先整体从趋势上,和线性回归的学习曲线是类似的

    仔细观察,和线性回归曲线的不同在于,线性回归的学习曲线1.5,1.8左右;2阶多项式回归稳定在了1.0,0.9左右,2阶多项式稳定的误差比较低,说明使用二阶线性回归的性能是比较好的

    # 使用20阶多项式回归
    poly20_reg = PolynomialRegression(20)
    plot_learning_curve(poly20_reg,X_train,X_test,y_train,y_test)
    

    在这里插入图片描述

    在使用20阶多项式回归训练模型的时候可以发现,在数据量偏多的时候,我们的训练数据集拟合的是比较好的,但是测试数据集的误差相对来说增大了很多,离训练数据集比较远,通常这就是过拟合的结果,他的泛化能力是不够的

    五、验证数据集与交叉验证

    使用分割训练数据集合测试数据集来判断我们的机器学习性能的好坏,虽然是一个非常好的方案,但是会产生一个问题:针对特定测试数据集过拟合

    我们每次使用测试数据来分析性能的好坏,一旦发现结果不好,我们就换一个参数(可能是degree也可能是其他超参数)重新进行训练。这种情况下,我们的模型在一定程度上围绕着测试数据集打转。也就是说我们在寻找一组参数,使得这组参数训练出来的模型在测试结果集上表现的最好。但是由于这组测试数据集是已知的,我们相当于在针对这组测试数据集进行调参,那么他也有可能产生过拟合的情况,也就是我们得到的模型针对测试数据集过拟合了

    那么怎么解决这个问题呢?

    解决的方式就是:我们需要将我们的数据集分为三部分,这三部分分别是训练数据集,验证数据集,测试数据集。

    我们使用训练数据集训练好模型之后,将验证数据集送给这个模型,看看这个训练数据集训练的效果是怎么样的,如果效果不好,我们重新换参数,重新训练模型,直到我们的模型针对验证数据集已经达到最优。

    这样我们的模型达到最优之后,再将测试数据集送给模型,这样才能作为衡量模型最终的性能。

    换句话说我们的测试数据集是不参与模型的创建的,而其他两个数据集都参与了训练。但是我们的测试数据集对于模型是完全不可知的,相当于我们在模型这个模型完全不知道的数据

    这种方法还会有一个问题。由于我们的模型可能会针对验证数据集过拟合,而我们只有一份验证数据集,一旦我们的数据集里有比较极端的情况,那么模型的性能就会下降很多,那么为了解决这个问题,就有了交叉验证。

    1.交叉验证

    交叉验证相对来说是比较正规的、比较标准的在我们调整我们的模型参数的时候看我们的性能的方式

    交叉验证:在训练模型的时候,通常把数据分成k份,例如分成3份(ABC)(分成k分,k属于超参数),这三份分别作为验证数据集和训练数据集。这样组合后可以分别产生三个模型,这三个模型,每个模型在测试数据集上都会产生一个性能的指标,这三个指标的平均值作为当前这个算法训练处的模型衡量的标准是怎样的。

    由于我们有一个求平均的过程,所以不会由于一份验证数据集中有比较极端的数据而导致模型有过大的偏差,这比我们只分成训练、验证、测试数据集要更加准确

    2.编程实现

    import numpy as np
    from sklearn import datasets
    
    digits = datasets.load_digits()
    X = digits.data
    y = digits.target
    
    from sklearn.model_selection import train_test_split
    
    X_train,X_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y,test_size=0.4,random_state =666)
    
    from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier
    
    best_score,best_k,best_p = 0,0,0
    # k为k近邻中的寻找k个最近元素
    for k in range(2,10):
        # p为明科夫斯基距离的p
        for p in range(1,5):
            knn_clf = KNeighborsClassifier(weights='distance',n_neighbors=k,p=p)
            knn_clf.fit(X_train,y_train)
            score = knn_clf.score(X_test,y_test)
            if score > best_score:
                best_score,best_k,best_p = score,k,p
    print("Best_score = ",best_score)
    print("Best_k = ",best_k)
    print("Best_p = ",best_p)
    
    Best_score =  0.9860917941585535
    Best_k =  3
    Best_p =  4
    

    3.交叉验证

    # 使用sklearn提供的交叉验证
    from sklearn.model_selection import cross_val_score
    # 使用交叉验证的方式来进行调参的过程
    best_score,best_k,best_p = 0,0,0
    # k为k近邻中的寻找k个最近元素
    for k in range(2,10):
        # p为明科夫斯基距离的p
        for p in range(1,5):
            knn_clf = KNeighborsClassifier(weights='distance',n_neighbors=k,p=p)
            scores = cross_val_score(knn_clf,X_train,y_train)
            score = np.mean(scores)
            if score > best_score:
                best_score,best_k,best_p = score,k,p
    print("Best_score = ",best_score)
    print("Best_k = ",best_k)
    print("Best_p = ",best_p)
    
    Best_score =  0.9823599874006478
    Best_k =  2
    Best_p =  2
    

    通过观察两组调参过程的结果可以发现

    • 1.两组调参得出的参数结果是不同的,通常这时候我们更愿意详细使用交叉验证的方式得出的结果。
      因为使用train_test_split很有可能只是过拟合了测试数据集得出的结果
    • 2.使用交叉验证得出的最好分数0.982是小于使用分割训练测试数据集得出的0.986,因为在交叉验证的
      过程中,通常不会过拟合某一组的测试数据,所以平均来讲这个分数会稍微低一些

    但是使用交叉验证得到的最好参数Best_score并不是真正的最好的结果,我们使用这种方式只是为了拿到
    一组超参数而已,拿到这组超参数后我们就可以训练处我们的最佳模型

    knn_clf = KNeighborsClassifier(weights='distance',n_neighbors=2,p=2)
    # 用我们找到的k和p。来对X_train,y_train整体fit一下,来看他对X_test,y_test的测试结果
    knn_clf.fit(X_train,y_train)
    # 注意这个X_test,y_test在交叉验证过程中是完全没有用过的,也就是说我们这样得出的结果是可信的
    knn_clf.score(X_test,y_test)
    
    0.980528511821975
    

    4.网格搜索

    我们上面的操作,实际上在网格搜索的过程中已经进行了,只不过这个过程是sklean的网格搜索自带的一个过程

    # GridSearchCV里的cv实际上就是交叉验证的方式
    from sklearn.model_selection import GridSearchCV
    
    param_grid = [
    {
    "weights":['distance'],
    "n_neighbors":[i for i in range(2,10)],
    "p":[i for i in range(1,6)]
    }
    ]
    knn_clf = KNeighborsClassifier()
    # cv默认为3,可以修改改参数,修改修改不同分数的数据集
    grid_search = GridSearchCV(knn_clf,param_grid,verbose=1,cv=3)
    grid_search.fit(X_train,y_train)
    
    Fitting 3 folds for each of 40 candidates, totalling 120 fits
    
    
    [Parallel(n_jobs=1)]: Using backend SequentialBackend with 1 concurrent workers.
    [Parallel(n_jobs=1)]: Done 120 out of 120 | elapsed:  1.5min finished
    
    
    
    
    
    GridSearchCV(cv=3, error_score='raise-deprecating',
           estimator=KNeighborsClassifier(algorithm='auto', leaf_size=30, metric='minkowski',
               metric_params=None, n_jobs=None, n_neighbors=5, p=2,
               weights='uniform'),
           fit_params=None, iid='warn', n_jobs=None,
           param_grid=[{'weights': ['distance'], 'n_neighbors': [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9], 'p': [1, 2, 3, 4, 5]}],
           pre_dispatch='2*n_jobs', refit=True, return_train_score='warn',
           scoring=None, verbose=1)
    
    grid_search.best_score_
    # 和我们上面得到的best_score 是吻合的
    
    0.9823747680890538
    
    grid_search.best_params_
    
    {'n_neighbors': 2, 'p': 2, 'weights': 'distance'}
    
    best_knn_clf = grid_search.best_estimator_
    best_knn_clf.fit(X_train,y_train)
    best_knn_clf.score(X_test,y_test)
    
    0.980528511821975
    

    5.总结

    虽然整体速度慢了,但是这个结果却是可信赖的
    极端情况下,K-folds cross validation可以叫做留一法

    六、偏差方差均衡

    模型误差=偏差(Bias)均差(Variance)+不可避免的误差

    1.偏差

    2.方差

    模型没有完全的学到数据的中心,而学习到了噪音。

    机器学习的主要调整来源于方差(这是站在算法的角度上,而不是问题的角度上,比如对金融市场的理解,很多人尝试用历史的数据预测未来的金融走势,这样的尝试通常都不太理想。很有可能因为历史的金融趋势不能很好的反应未来的走向,这种预测方法本身带来的非常大的偏差)换句话说,我们很容易让模型变的很复杂,从而降低模型的偏差,但是由于这样的模型的方差非常的大,最终也没有很好的性能。

    3.解决高方差的通常手段

    • 1.降低模型复杂度
    • 2.减少数据维度;降噪;
    • 3.增加样本数
    • 4.使用验证集
    • 5.模型正则化

    七、模型正则化

    1.模型正则化

    下面是我们之前使用多项式回归过拟合一个样本的例子,可以看到这条模型曲线非常的弯曲,而且非常的陡峭,可以想象这条曲线的一些θ系数会非常的大。

    模型正则化需要做的事情就是限制这些系数的大小。

    2.模型正则化基本原理

    3.岭回归Ridge Regression

    编程实现岭回归

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    # 模型样本
    np.random.seed(42)
    x = np.random.uniform(-3.0,3.0,size=100)
    X = x.reshape(-1,1)
    y = 0.5 * x + 3 + np.random.normal(0,1,size=100)
    
    # 绘制样本曲线
    plt.scatter(x,y)
    
    <matplotlib.collections.PathCollection at 0x16661d39a90>
    

    在这里插入图片描述

    from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
    from sklearn.preprocessing import StandardScaler
    from sklearn.linear_model import LinearRegression
    from sklearn.pipeline import Pipeline
    
    # 定义多项式回归函数
    def PolynomialRegression(degree):
        return Pipeline([
        ("poly",PolynomialFeatures(degree=degree)),
        ("std_scaler",StandardScaler()),
        ("lin_reg",LinearRegression())
        ])
    
    from sklearn.model_selection import train_test_split
    
    # 分割数据集
    np.random.seed(666)
    X_train,X_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y)
    
    from sklearn.metrics import mean_squared_error
    
    # 多项式回归对样本进行训练,使用20个维度
    poly20_reg = PolynomialRegression(20)
    poly20_reg.fit(X_train,y_train)
    
    y20_predict = poly20_reg.predict(X_test)
    mean_squared_error(y_test,y20_predict)
    
    167.9401085999025
    
    # 定义绘图模型
    def plot_module(module):
        X_plot = np.linspace(-3,3,100).reshape(100,1)
        y_plot = module.predict(X_plot)
    
        plt.scatter(x,y)
        plt.plot(X_plot[:,0],y_plot,color='r')
        plt.axis([-3,3,0,6])
    
    # 绘制模型曲线--过拟合(非常的完全,两段有极端的情况)
    plot_module(poly20_reg)
    

    在这里插入图片描述

    from sklearn.linear_model import Ridge
    
    def RidgeRegression(degree,alpha):
        return Pipeline([
        ("poly",PolynomialFeatures(degree=degree)),
        ("std_scaler",StandardScaler()),
        ("ridge_reg",Ridge(alpha=alpha))
        ])
    
    # 注意alpha后面的参数是所有theta的平方和,而对于多项式回归来说,岭回归之前得到的θ都非常大
    # 所以为了限制让他们比较小,我们前面系数可以取的小一些
    ridge1_reg = RidgeRegression(degree=20,alpha=0.00001)
    ridge1_reg.fit(X_train,y_train)
    ridge1_predict = ridge1_reg.predict(X_test)
    mean_squared_error(y_test,ridge1_predict)
    
    1.3874378026530747
    
    # 通过使用岭回归,使得我们的均方误差小了非常多,曲线也缓和了非常多
    plot_module(ridge1_reg)
    

    在这里插入图片描述

    ridge2_reg = RidgeRegression(degree=20,alpha=1)
    ridge2_reg.fit(X_train,y_train)
    ridge2_predict = ridge2_reg.predict(X_test)
    mean_squared_error(y_test,ridge2_predict)
    
    1.1888759304218461
    
    # 让ridge2_reg 的alpha值等于1,均差误差更加的缩小,并且曲线越来越趋近于一根倾斜的直线
    plot_module(ridge2_reg)
    

    在这里插入图片描述

    ridge3_reg = RidgeRegression(degree=20,alpha=100)
    ridge3_reg.fit(X_train,y_train)
    ridge3_predict = ridge3_reg.predict(X_test)
    mean_squared_error(y_test,ridge3_predict)
    
    1.3196456113086197
    
    # 得到的误差依然是比较小,但是比之前的1.18大了些,说明正则化做的有些过头了
    plot_module(ridge3_reg)
    

    在这里插入图片描述

    ridge4_reg = RidgeRegression(degree=20,alpha=100000)
    ridge4_reg.fit(X_train,y_train)
    ridge4_predict = ridge4_reg.predict(X_test)
    mean_squared_error(y_test,ridge4_predict)
    # 当alpha非常大,我们的模型实际上相当于就是在优化θ的平方和这一项,使得其最小(因为MSE的部分相对非常小)
    # 而使得θ的平方和最小,就是使得每一个θ都趋近于0,这个时候曲线就趋近于一根直线了
    plot_module(ridge4_reg)
    

    在这里插入图片描述

    4.LASSO

    编程实现LASSO

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    # 模型样本
    np.random.seed(42)
    x = np.random.uniform(-3.0,3.0,size=100)
    X = x.reshape(-1,1)
    y = 0.5 * x + 3 + np.random.normal(0,1,size=100)
    
    # 绘制样本曲线
    plt.scatter(x,y)
    
    <matplotlib.collections.PathCollection at 0x16661cf8dd8>
    

    在这里插入图片描述

    from sklearn.linear_model import Lasso
    
    def LassoRegression(degree,alpha):
        return Pipeline([
        ("poly",PolynomialFeatures(degree=degree)),
        ("std_scatter",StandardScaler()),
        ("lasso_reg",Lasso(alpha=alpha))
        ])
    
    # 这里的alpha起始值比岭回归的时候大了很多,是由于现在是绝对值
    lasso1_reg = LassoRegression(degree=20,alpha=0.01)
    lasso1_reg.fit(X_train,y_train)
    lasso1_predict = lasso1_reg.predict(X_test)
    mean_squared_error(lasso1_predict,y_test)
    
    1.149608084325997
    
    plot_module(lasso1_reg)
    
    

    在这里插入图片描述

    # 增大alpha继续试验
    lasso2_reg = LassoRegression(degree=20,alpha=0.1)
    lasso2_reg.fit(X_train,y_train)
    lasso2_predict = lasso2_reg.predict(X_test)
    mean_squared_error(lasso2_predict,y_test)
    
    1.1213911351818648
    
    # 非常接近一根直线
    plot_module(lasso2_reg)
    

    在这里插入图片描述

    # 增大alpha继续试验
    lasso3_reg = LassoRegression(degree=20,alpha=1)
    lasso3_reg.fit(X_train,y_train)
    lasso3_predict = lasso3_reg.predict(X_test)
    mean_squared_error(lasso3_predict,y_test)
    
    1.8408939659515595
    
    # alpha=1的时候正则化已经过头了
    plot_module(lasso3_reg)
    

    在这里插入图片描述

    5.总结

    展开全文
  • 这节我们会介绍多项式回归和在机器学习中最常遇到的问题过拟合.欠拟合 主要介绍使用模型正则化来解决过拟合的问题, 1.多项式回归 之前学习过线性回归的,我们学习多项式回归会很简单.我们遇到的很多都是非线性的...

    这节我们会介绍多项式回归和在机器学习中最常遇到的问题过拟合.欠拟合
    主要介绍使用模型正则化来解决过拟合的问题,

    1.多项式回归

    之前学习过线性回归的,我们学习多项式回归会很简单.我们遇到的很多都是非线性的问题.
    下面举例说明 一元的
    线性回归的基本形式为 ax1+b+…
    一般的多项式的形式是 a1x^2+a2x+a3
    这样看是不是多项式回归只是多了一个值X2的特征,所以我们只要将特征多增加一个x2就可以了
    下面看代码:

    from sklearn.linear_model import LinearRegression
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    np.random.seed(666)
    x_data=np.random.randint(-3,3,size=(100,1))
    y_data=(2*x_data-3)**2   #x^2-4x+4
    reg1=LinearRegression()
    x_add=x_data**2
    x=np.hstack([x_data,x_add])
    reg1.fit(x,y_data)
    print(reg1.coef_)
    x_x=np.linspace(-3,3,num=100)
    plt.plot(x_x,(x_x**2)*reg1.coef_[1]+x_x*reg1.coef_[0]+reg1.incepetion_,'r')
    plt.show()
    

    就是加入多的特征就行
    我们在sklearn里面可以使用他的方法 PolynomialFeatures类
    注意一个有趣的事情:这个类会自动给你加一个常数项,但是LinearRegression里面也会给你加常数项,所以
    记住每次得到的参数里面会有一个0

    我这里面搭配sklearn里面的pipeline管道配合使用 pipeline就是依次调用fit等方法

    from sklearn.pipeline import Pipeline
    from sklearn.preprocessing import StandardScaler
    from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
    from sklearn.linear_model import LinearRegression
    def getPolynomial(degree):
        return Pipeline([
            ("polynomial", PolynomialFeatures(degree=degree)),
            ("standardscaler", StandardScaler()),
            ("linearRegression", LinearRegression())
        ])
    
    x = np.random.uniform(-100, 100, size=100)
    X = x.reshape(-1, 1)
    y = 0.5 * x**2 + x + 2 + np.random.normal(0, 1, 100)
    pipe=getPolynomial(degree=2)
    pipe.fit(X,y)
    print(pipe.score(X,y))
    

    2.机器学习里面的过拟合和欠拟合问题

    这个问题牵涉到很多相关概念,我都会简单提一下。(重点解决过拟合问题)
    什么是过拟合,欠拟合?

    先简单的理解就是过拟合就是你的模型设计的非常复杂,很好的拟合你的训练数据集但是对于你的
    测试集,模型表现的能力很差劲,欠拟合就是你的模型简单了,方法不能很好的解决问题,与目标结果
    差的很远

    解决方法:
    1,我们将我们的train_test_split,这样就能一定程度避免过拟合训练集
    说道这里,在训练数据集时,我们一般使用交叉验证的方式(cross validation),将训练集分为k份,
    k份里面每部分都轮流当测试集,其他都分别当训练集
    2. 模型的正则化处理
    我们在我们的瞬时函数后面在上一个用于参数大小的项,岭回归一般是我们用的
    这里解释一下:一般的过拟合出现都是因为模型复杂,所以出现过拟合时参数都是非常大的
    我们一般都采用 RidgeRegression和LassoRegression来解决问题,给他们加的项分别叫L2正则项 ,L1正则项

    Lasso回归会让可能一些参数变为0,所以一般有参数选择的作用,但是也有可能出现错误
    Ridge回归很好,准确度高,他让每个都尽量小,但是计算速度慢
    弹性网络是均衡他们两个回归的特点

    超参数为:alpha
    他们的基本形式:
    在这里插入图片描述

    基本用法:(弹性网络多个超参)

    from sklearn.linear_model import Lasso
    from sklearn.linear_model import Ridge
    from sklearn.linear_model import ElasticNet
    def getPipeLine(degree,alpha):
        return  Pipeline([
            ("polynomialFeatures",PolynomialFeatures(degree=degree)),
            ("standard",StandardScaler()),
            ("linear",Lasso(alpha=alpha)),
        ])
    
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空空如也

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