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  • 2020-06-29 05:11:00

    UA MATH566 统计理论 完备性的证明方法

    完备性是统计量的非常重要的性质之一,但完备性的证明有时并不是是一件容易的事情,这一讲介绍一些常用的证明完备性的方法:定义法完备分布族法指数分布族法

    假设 T ( X ) T(X) T(X)是基于样本 X = ( X 1 , ⋯   , X n ) X=(X_1,\cdots,X_n) X=(X1,,Xn)的一个统计量,它的分布函数为 F T ( t ) F_T(t) FT(t),概率密度为 f T ( t ) f_T(t) fT(t),总体的分布函数为 F X ( x ) F_X(x) FX(x),总体的概率密度为 f X ( x ) f_X(x) fX(x),假设总体定义在概率空间 ( X , F , P θ ) (\mathcal{X},\mathcal{F},P_{\theta}) (X,F,Pθ)上。总体的分布族的完备性定义是:假设 g ( X ) g(X) g(X) ( X , F , P θ ) (\mathcal{X},\mathcal{F},P_{\theta}) (X,F,Pθ)上的任一可测函数,如果
    E θ [ g ( X ) ] = 0 ⇔ g ( x ) = 0   a . s . E_{\theta}[g(X)] = 0 \Leftrightarrow g(x) = 0\ a.s. Eθ[g(X)]=0g(x)=0 a.s.

    则称总体的分布族是完备的。与之类似,假设 h ( T ) h(T) h(T)是基于 T ( X ) T(X) T(X) ( Ω , F , P θ ) (\Omega,\mathcal{F},P_{\theta}) (Ω,F,Pθ)的导出概率空间 ( T , F T , P θ T ) (\mathcal{T},\mathcal{F}^T,P^T_{\theta}) (T,FT,PθT)上的任一可测函数,如果
    E θ [ h ( T ) ] = 0 ⇔ h ( t ) = 0   a . s . E_{\theta}[h(T)] = 0 \Leftrightarrow h(t) = 0 \ a.s. Eθ[h(T)]=0h(t)=0 a.s.

    则称统计量 T ( X ) T(X) T(X)是完备统计量。基于这个定义验证某个统计量是否是完备统计量的方法叫定义法

    下面进一步考察完备统计量的定义,
    E θ [ h ( T ) ] = ∫ T h ( t ) f T ( t ) d t = ∫ X h ( t ( x ) ) f X ( x ) d x E_{\theta}[h(T)] = \int_{\mathcal{T}}h(t)f_T(t)dt = \int_{\mathcal{X}}h(t(x))f_X(x)dx Eθ[h(T)]=Th(t)fT(t)dt=Xh(t(x))fX(x)dx

    如果分布族是完备的,那么 E θ [ h ( T ) ] = 0 ⇔ h ( t ( x ) ) = 0   a . s . ⇔ P θ ( { x ∈ X : h ( t ( x ) ) ≠ 0 } ) = 0 E_{\theta}[h(T)] = 0 \Leftrightarrow h(t(x)) = 0\ a.s. \Leftrightarrow P_{\theta}(\{x \in \mathcal{X}:h(t(x)) \ne 0\}) = 0 Eθ[h(T)]=0h(t(x))=0 a.s.Pθ({xX:h(t(x))=0})=0

    根据导出概率的含义计算
    P θ T ( { t ∈ T : h ( t ) ≠ 0 } ) = P θ ( T − 1 ( { t ∈ T : h ( t ) ≠ 0 } ) ) ≤ P θ ( { x ∈ X : h ( t ( x ) ) ≠ 0 } ) P_{\theta}^T(\{t \in \mathcal{T}:h(t)\ne 0\}) = P_{\theta}(T^{-1}(\{t \in \mathcal{T}:h(t)\ne 0\})) \le P_{\theta}(\{x \in \mathcal{X}:h(t(x)) \ne 0\}) PθT({tT:h(t)=0})=Pθ(T1({tT:h(t)=0}))Pθ({xX:h(t(x))=0})

    因此 P θ ( T − 1 ( { t ∈ T : h ( t ) ≠ 0 } ) ) = 0 P_{\theta}(T^{-1}(\{t \in \mathcal{T}:h(t)\ne 0\}))=0 Pθ(T1({tT:h(t)=0}))=0。这个推导说明如果分布族 F X F_X FX是完备的,那么统计量 T ( X ) T(X) T(X)就是完备的,但反过来不一定成立。这个推导还可以说明完备统计量的函数页数完备统计量。基于这个思路证明完备统计量的方法叫做完备分布族法

    自然形式的指数分布族有非常完美的性质,假设 f ( x ; θ ) = h ( x ) exp ⁡ { θ T T ( x ) − b ( θ ) } f(x;\theta) = h(x)\exp\{\theta^T T(x)-b(\theta)\} f(x;θ)=h(x)exp{θTT(x)b(θ)},称这个是有自然参数 θ \theta θ的指数分布族,此时 T ( X ) T(X) T(X)就是 θ \theta θ的完备最小充分统计量。基于一组样本 { X i } i = 1 n \{X_i\}_{i=1}^n {Xi}i=1n的完备最小充分统计量是 ∑ i = 1 n T ( X i ) \sum_{i=1}^n T(X_i) i=1nT(Xi)。根据完备分布族法,只需证明第一条断言:自然形式的指数分布族 T T T的密度核为
    f T ( t ) ∝ h ∗ ( t ) e θ T t − b ( θ ) f_T(t) \propto h^*(t)e^{\theta^T t- b(\theta)} fT(t)h(t)eθTtb(θ)

    如果 E θ [ g ( T ) ] = 0 E_{\theta}[g(T)]=0 Eθ[g(T)]=0,则
    ∫ T g ( t ) h ∗ ( t ) e θ T t − b ( θ ) d t = 0 ⇒ ∫ T g ( t ) h ∗ ( t ) e θ T t d t = 0 \int_{\mathcal{T}} g(t)h^*(t)e^{\theta^T t- b(\theta)}dt = 0 \Rightarrow \int_{\mathcal{T}} g(t)h^*(t)e^{\theta^T t}dt = 0 Tg(t)h(t)eθTtb(θ)dt=0Tg(t)h(t)eθTtdt=0

    根据Laplace变换的唯一性, g ( t ) h ∗ ( t ) = 0   a . s . g(t)h^*(t) = 0\ a.s. g(t)h(t)=0 a.s.,因此 g ( t ) = 0   a . s . g(t)=0\ a.s. g(t)=0 a.s.。基于自然形式的指数分布族找完备统计量的方法叫指数分布族法

    定义法

    使用定义法证明某个统计量是完备统计量的核心是论证对 ( T , F T , P θ T ) (\mathcal{T},\mathcal{F}^T,P^T_{\theta}) (T,FT,PθT)上的任一可测函数 h ( T ) h(T) h(T)
    E θ [ h ( T ) ] = 0 ⇔ h ( t ) = 0   a . s . E_{\theta}[h(T)] = 0 \Leftrightarrow h(t) = 0 \ a.s. Eθ[h(T)]=0h(t)=0 a.s.

    ϕ ( θ ) = E θ [ h ( T ) ] \phi(\theta) = E_{\theta}[h(T)] ϕ(θ)=Eθ[h(T)] ϕ \phi ϕ的本质是从样本空间到参数空间的一个变换,
    ϕ ( θ ) = ∫ T h ( t ) f T ( t , θ ) d t \phi(\theta) = \int_{\mathcal{T}} h(t)f_T(t,\theta)dt ϕ(θ)=Th(t)fT(t,θ)dt

    方法一 求导:
    如果 T \mathcal{T} T等于端点为 θ \theta θ的区间,并且 f T ( t , θ ) f_T(t,\theta) fT(t,θ) t , θ t,\theta t,θ可分,即存在分解
    f T ( t , θ ) = f 1 ( t ) f 2 ( θ ) f_T(t,\theta) = f_1(t)f_2(\theta) fT(t,θ)=f1(t)f2(θ)

    ϕ ( θ ) = 0 ⇒ ∫ T h ( t ) f 1 ( t ) d t = 0 \phi(\theta) = 0 \Rightarrow \int_{\mathcal{T}}h(t)f_1(t) dt= 0 ϕ(θ)=0Th(t)f1(t)dt=0,对 θ \theta θ求导得
    h ( θ ) f 1 ( θ ) = 0 , ∀ θ h(\theta)f_1(\theta) = 0,\forall \theta h(θ)f1(θ)=0,θ

    因为 f 1 ( t ) f_1(t) f1(t)不会恒等于0,所以 h ( t ) = 0   a . s . h(t) = 0\ a.s. h(t)=0 a.s.,因此 T ( X ) T(X) T(X)是完备统计量。

    方法二 Laplace变换:
    函数 g ( t ) g(t) g(t)的Laplace变换为
    ϕ ( s ) = L [ g ( t ) ] = ∫ 0 ∞ g ( t ) e − s t d t = ∫ T h ( t ) f T ( t , θ ) d t \phi(s) = L[g(t)] = \int_{0}^{\infty}g(t)e^{-s t} dt = \int_{\mathcal{T}} h(t)f_T(t,\theta)dt ϕ(s)=L[g(t)]=0g(t)estdt=Th(t)fT(t,θ)dt

    所以,当积分域可以表示或扩展为 [ 0 , ∞ ) [0,\infty) [0,)时,可以考虑令
    g ( t ) = h ( t ) f T ( t , θ ) e s ( θ ) t g(t) = h(t)f_T(t,\theta)e^{s(\theta) t} g(t)=h(t)fT(t,θ)es(θ)t

    ϕ ( θ ) = 0 , ∀ θ \phi(\theta)=0,\forall \theta ϕ(θ)=0,θ(或者对 θ = 0 \theta=0 θ=0的领域成立)时, g ( t ) = 0   a . s . g(t)=0\ a.s. g(t)=0 a.s.,因此
    h ( t ) f ( t , θ ) e s ( θ ) t = 0   a . s . h(t)f(t,\theta)e^{s(\theta) t} = 0 \ a.s. h(t)f(t,θ)es(θ)t=0 a.s.

    如果这个推得出 h ( t ) = 0   a . s . h(t) = 0\ a.s. h(t)=0 a.s.,那么 T ( X ) T(X) T(X)就是完备统计量。

    例1 证明 X ∼ U ( 0 , θ ) X \sim U(0,\theta) XU(0,θ)是完备分布族。
    证明
    假设 g ( x ) g(x) g(x)是一个可测函数,考虑
    E θ [ g ( X ) ] = ∫ 0 θ g ( x ) 1 2 θ d x = 0 ⇒ ∫ 0 θ g ( x ) d x = 0 E_{\theta}[g(X)] = \int_{0}^{\theta} g(x)\frac{1}{2\theta}dx = 0 \Rightarrow\int_{0}^{\theta} g(x)dx = 0 Eθ[g(X)]=0θg(x)2θ1dx=00θg(x)dx=0

    ϕ ( θ ) = ∫ 0 θ g ( x ) d x \phi(\theta) = \int_{0}^{\theta} g(x)dx ϕ(θ)=0θg(x)dx,则
    ϕ ′ ( θ ) = g ( θ ) = 0 , ∀ θ \phi'(\theta) = g(\theta) = 0,\forall \theta ϕ(θ)=g(θ)=0,θ

    因此 X ∼ U ( 0 , θ ) X \sim U(0,\theta) XU(0,θ)是完备分布族。

    假设两个端点都是参数, X ∼ U ( a , b ) X \sim U(a,b) XU(a,b),则
    E a , b [ g ( X ) ] = ∫ a b g ( x ) 1 b − a d x = 0 ⇒ ∫ a b g ( x ) d x = 0 E_{a,b}[g(X)] = \int_{a}^{b} g(x)\frac{1}{b-a}dx = 0 \Rightarrow\int_{a}^{b} g(x)dx = 0 Ea,b[g(X)]=abg(x)ba1dx=0abg(x)dx=0

    ϕ ( a , b ) = ∫ a b g ( x ) d x \phi(a,b) = \int_{a}^{b} g(x)dx ϕ(a,b)=abg(x)dx,则
    ϕ a ( a , b ) = − g ( a ) = 0 , ∀ a ϕ b ( a , b ) = g ( b ) = 0 , ∀ b \phi_a(a,b) = -g(a) = 0,\forall a \\ \phi_b(a,b) = g(b) = 0,\forall b ϕa(a,b)=g(a)=0,aϕb(a,b)=g(b)=0,b

    这个例子说明固定一个端点或者无固定端点的均匀分布都是完备分布族。

    例2 考察正态分布的完备性:

    1. N ( μ 0 , σ 2 ) N(\mu_0,\sigma^2) N(μ0,σ2)不是完备分布族;
    2. N ( μ , σ 0 2 ) N(\mu,\sigma^2_0) N(μ,σ02)是完备分布族;
    3. N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)是完备分布族;

    首先针对第一点给出一个反例,假设 g ( x ) = x − μ 0 g(x)=x-\mu_0 g(x)=xμ0,显然 g ( x ) ≠ 0   a . s . g(x) \ne 0\ a.s. g(x)=0 a.s.,但
    E [ g ( X ) ] = E X − μ 0 = 0 E[g(X)] = EX - \mu_0 = 0 E[g(X)]=EXμ0=0

    因此 N ( μ 0 , σ 2 ) N(\mu_0,\sigma^2) N(μ0,σ2)不是完备分布族。接下来证明第二点:假设 g ( x ) g(x) g(x)是任意可测函数,则
    E [ g ( X ) ] = ∫ − ∞ ∞ g ( x ) 1 2 π σ 0 e − ( x − μ ) 2 2 σ 0 2 d x = 0 ⇒ ∫ − ∞ ∞ g ( x ) e − ( x − μ ) 2 d x = ∫ − ∞ ∞ g ( x ) e − x 2 e 2 μ x d x = 0 E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_0}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2_0}}dx = 0 \\ \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} g(x)e^{-(x-\mu)^2}dx =\int_{-\infty}^{\infty} g(x)e^{-x^2}e^{2\mu x}dx = 0 E[g(X)]=g(x)2π σ01e2σ02(xμ)2dx=0g(x)e(xμ)2dx=g(x)ex2e2μxdx=0

    s = − 2 μ s = -2\mu s=2μ,则0是 s s s的取值范围的内点,上式是 g ( x ) e − x 2 g(x)e^{-x^2} g(x)ex2的Laplace变换,根据Laplace变换的唯一性,
    g ( x ) e − x 2 = 0   a . s . ⇒ g ( x ) = 0   a . s . g(x)e^{-x^2} = 0\ a.s. \Rightarrow g(x) = 0 \ a.s. g(x)ex2=0 a.s.g(x)=0 a.s.

    因此 N ( μ , σ 0 2 ) N(\mu,\sigma^2_0) N(μ,σ02)是完备分布族。因为证明第三点,下面给出一个引理。

    引理1 假设 F X ( x , θ ) , θ ∈ Θ 0 F_X(x,\theta),\theta \in \Theta_0 FX(x,θ),θΘ0是完备分布族, Θ 0 ⊂ Θ \Theta_0 \subset \Theta Θ0Θ,则 F X ( x , θ ) , θ ∈ Θ F_X(x,\theta),\theta \in \Theta FX(x,θ),θΘ是完备分布族
    证明
    因为 F X ( x , θ ) , θ ∈ Θ 0 F_X(x,\theta),\theta \in \Theta_0 FX(x,θ),θΘ0是完备分布族,根据方法二,令
    g ( t ) = h ( t ) f X ( t , θ ) e s ( θ ) x g(t) = h(t)f_X(t,\theta)e^{s(\theta) x} g(t)=h(t)fX(t,θ)es(θ)x

    ϕ ( θ ) = 0 , ∀ θ \phi(\theta)=0,\forall \theta ϕ(θ)=0,θ(或者对 θ = 0 \theta=0 θ=0的某个邻域成立)时, g ( t ) = 0   a . s . g(t)=0\ a.s. g(t)=0 a.s.推出
    h ( t ) f ( t , θ ) e s ( θ ) t = 0   a . s . h(t)f(t,\theta)e^{s(\theta) t} = 0 \ a.s. h(t)f(t,θ)es(θ)t=0 a.s.

    可以进一步推得出 h ( t ) = 0   a . s . h(t) = 0\ a.s. h(t)=0 a.s.(也就是说 f ( t , θ ) e s ( θ ) t f(t,\theta)e^{s(\theta) t} f(t,θ)es(θ)t可约)。显然 Θ 0 \Theta_0 Θ0包含 θ = 0 \theta = 0 θ=0的某个邻域,因为 Θ 0 ⊂ Θ \Theta_0 \subset \Theta Θ0Θ,因此 Θ \Theta Θ也必然包含 θ = 0 \theta = 0 θ=0的某个邻域。因此在 Θ \Theta Θ中,同样可以由 ϕ ( θ ) = 0 , ∀ θ \phi(\theta)=0,\forall \theta ϕ(θ)=0,θ推出 g ( t ) = 0   a . s . g(t)=0\ a.s. g(t)=0 a.s.,也就是
    h ( t ) f ( t , θ ) e s ( θ ) t = 0   a . s . h(t)f(t,\theta)e^{s(\theta) t} = 0 \ a.s. h(t)f(t,θ)es(θ)t=0 a.s.

    因为 f ( t , θ ) e s ( θ ) t f(t,\theta)e^{s(\theta) t} f(t,θ)es(θ)t可约,同样可以进一步推得出 h ( t ) = 0   a . s . h(t) = 0\ a.s. h(t)=0 a.s.

    注意到参数空间 { ( μ , σ 0 2 ) : ∀ μ } ⊂ { ( μ , σ 2 ) : ∀ μ , σ 2 } \{(\mu,\sigma^2_0):\forall \mu\} \subset \{(\mu,\sigma^2):\forall \mu,\sigma^2\} {(μ,σ02):μ}{(μ,σ2):μ,σ2},根据引理1知例2的第三点成立。

    例3 讨论Gamma分布族的完备性:

    1. Γ ( α , β ) \Gamma(\alpha,\beta) Γ(α,β)是完备分布族;
    2. μ + E X P ( 1 ) \mu+EXP(1) μ+EXP(1)是完备分布族;

    先讨论第一点,假设 g ( x ) g(x) g(x)是任意可测函数,则
    E α , β [ g ( X ) ] = ∫ 0 ∞ g ( x ) β α x α − 1 Γ ( α ) e − β x d x = 0 ⇒ ∫ 0 ∞ g ( x ) x α − 1 e − β x d x = 0 E_{\alpha,\beta}[g(X)] = \int_{0}^{\infty}g(x) \frac{\beta^{\alpha}x^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}e^{-\beta x}dx = 0 \Rightarrow \int_{0}^{\infty} g(x)x^{\alpha-1}e^{-\beta x}dx=0 Eα,β[g(X)]=0g(x)Γ(α)βαxα1eβxdx=00g(x)xα1eβxdx=0

    这是 g ( x ) x α − 1 g(x)x^{\alpha-1} g(x)xα1的Laplace变换,因此 g ( x ) x α − 1 = 0   a . s . ⇒ g ( x ) = 0   a . s . g(x)x^{\alpha-1} = 0 \ a.s. \Rightarrow g(x) = 0\ a.s. g(x)xα1=0 a.s.g(x)=0 a.s.,所以 Γ ( α , β ) \Gamma(\alpha,\beta) Γ(α,β)是完备分布族;下面讨论第二点,UA MATH566 统计理论 位置-尺度参数族中讨论了对Gamma分布族做位置变换的结果,这里可以直接用结论。假设 h ( x ) h(x) h(x)是任意可测函数,则
    E μ [ h ( X ) ] = ∫ μ ∞ h ( x ) e − ( x − μ ) d x = ∫ μ ∞ h ( x ) e − x d x = 0 E_{\mu}[h(X)] = \int_{\mu}^{\infty} h(x)e^{-(x-\mu)}dx = \int_{\mu}^{\infty} h(x)e^{-x}dx =0 Eμ[h(X)]=μh(x)e(xμ)dx=μh(x)exdx=0

    显然这符合方法一的条件,对左右两边求导,可以得出 h ( μ ) e − μ = 0 h(\mu)e^{-\mu}=0 h(μ)eμ=0,因为 e − μ e^{-\mu} eμ不会恒等于0,因此 h ( μ ) = 0 ,   a . s . ∀ μ h(\mu)=0,\ a.s. \forall \mu h(μ)=0, a.s.μ,所以 μ + E X P ( 1 ) \mu+EXP(1) μ+EXP(1)是完备分布族;注意到
    { μ + E X P ( 1 ) } ⊂ { μ + E X P ( λ ) } ⊂ { μ + Γ ( α , β ) } \{\mu+EXP(1)\} \subset \{\mu + EXP(\lambda)\} \subset \{\mu + \Gamma(\alpha,\beta)\} {μ+EXP(1)}{μ+EXP(λ)}{μ+Γ(α,β)}

    因此根据引理1,后两个分布族也是完备分布族。

    完备分布族法

    只有在已知统计量 T ( X ) T(X) T(X)的分布或者 T ( X ) T(X) T(X)的分布很容易得到的情况下才考虑用定义法直接判断统计量的完备性,否则需要浪费额外的精力计算 T ( X ) T(X) T(X)的分布。当 T ( X ) T(X) T(X)的形式过于复杂时,可以尝试论证其总体是完备分布族。这个方法有个很大的缺点,完备分布族可以推出完备统计量,但不完备的分布族也会有完备统计量,因此有一些分布族不能使用完备分布族法,比如下面的例子。

    例4 总体 X ∼ N ( 0 , σ 2 ) X \sim N(0,\sigma^2) XN(0,σ2),例2说明了总体不是完备分布族。 { X i } i = 1 n \{X_i\}_{i=1}^n {Xi}i=1n是一组简单随机样本,证明 T ( X ) = ∑ i = 1 n X i 2 T(X) = \sum_{i=1}^n X_i^2 T(X)=i=1nXi2是完备统计量。注意到 T ( X ) T(X) T(X) σ 2 χ n 2 \sigma^2 \chi^2_n σ2χn2同分布,也就是说它的分布为 Γ ( 1 2 , n 2 σ 2 ) \Gamma(\frac{1}{2},\frac{n}{2\sigma^2}) Γ(21,2σ2n)。前面论证过Gamma分布是完备的,因此服从Gamma分布的 T ( X ) T(X) T(X)完备。

    正是因为完备统计量与完备分布族的复杂性,具有良好性质的指数分布族就显得格外亲切。常见的自然形式的指数分布族有正态分布、二项分布、Poisson分布、Gamma分布、Beta分布等,这些分布族的 T ( X ) T(X) T(X)就是他们的完备最小充分统计量。

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    在数学中,埃尔米特多项式是一种经典的正交多项式族,得名于法国数学家夏尔·埃尔米特。概率论里的埃奇沃斯级数的表达式中就要用到埃尔米特多项式。在组合数学中,埃尔米特多项式是阿佩尔方程的解。物理学中,埃尔米特多项式给出了量子谐振子本征态

    前4个(概率论中的)埃尔米特多项式的图像

    HermiteH

    The Hermite polynomials H_n(x) are set of orthogonal polynomials over the domain(-infty,infty) with weighting functione^(-x^2), illustrated above forn=1, 2, 3, and 4. Hermite polynomials are implemented in the Wolfram Language asHermiteH[n,x].

    The Hermite polynomial H_n(z) can be defined by the contour integral

     H_n(z)=(n!)/(2pii)∮e^(-t^2+2tz)t^(-n-1)dt,
    (1)

    where the contour encloses the origin and is traversed in a counterclockwise direction (Arfken 1985, p. 416).

    Hermite多项式,其正交域为(-∞, +∞),其一维形式是

    其中,H k(x)前面的乘式为正交归一化因子,为计算简便可省略。

    前10个Hermite多项式

    H_0(x) = 1
    H_1(x) = 2x
    H_2(x) = 4x^2-2
    H_3(x) = 8x^3-12x
    H_4(x) = 16x^4-48x^2+12
    H_5(x) = 32x^5-160x^3+120x
    H_6(x) = 64x^6-480x^4+720x^2-120
    H_7(x) = 128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x
    H_8(x) = 256x^8-3584x^6+13440x^4-13440x^2+1680
    H_9(x) = 512x^9-9216x^7+48384x^5-80640x^3+30240x
    H_(10)(x) = 1024x^(10)-23040x^8+161280x^6-403200x^4+302400x^2-30240

    The values H_n(0) may be called Hermite numbers.When ordered from smallest to largest powers, the triangle of nonzero coefficientsis 1; 2; -2, 4; -12, 8; 12, -48, 16; 120, -160, 32; ... (OEISA059343).

    Hermite多项式的性质

    多项式Hn 是一个n次的多项式。概率论的埃尔米特多项式是首一多项式(最高次项系数等于1),而物理学的埃尔米特多项式的最高次项系数等于2n

    正交性

    多项式Hn 的次数与序号n 相同,所以不同的埃尔米特多项式的次数不一样。对于给定的权函数w,埃尔米特多项式的序列将会是正交序列。

    w(x) = \mathrm{e}^{-x^2/2}\,\!   (概率论)
    w(x) = \mathrm{e}^{-x^2}\,\!   (物理学)

    也就是说,当m ≠ n 时:

    \int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x)\, w(x) \, \mathrm{d}x = 0

    除此之外,还有:

    \int_{-\infty}^\infty H_m^\mathrm{prob}(x) H_n^\mathrm{prob}(x)\, \mathrm{e}^{-x^2/2} \, \mathrm{d}x = n! \, \sqrt{2 \pi}\delta_{mn}   (概率论)
    \int_{-\infty}^\infty H_m^\mathrm{phys}(x) H_n^\mathrm{phys}(x)\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x = n! \, 2^n \sqrt{\pi}\delta_{mn}   (物理学)

    其中\delta_{mn}克罗内克函数

    从上式可以看到,概率论中的埃尔米特多项式与标准正态分布正交。

    完备性

    在所有满足

    \int_{-\infty}^\infty\left|f(x)\right|^2\, w(x) \, \mathrm{d}x <\infty

    的函数所构成的完备空间中,埃尔米特多项式序列构成一组基。其中的内积定义如下:

    \langle f,g\rangle=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\, w(x) \, \mathrm{d}x

    埃尔米特微分方程

    概率论中的埃尔米特多项式是以下微分方程的解:

    (e^{-x^2/2}u')' + \lambda e^{-x^2/2}u = 0

    方程的的边界条件为:u应在无穷远处有界。

    其中\lambda是这个方程的本征值,是一个常数。要满足上述边界条件,应取\lambda\mathbb{N}。对于一个特定的本征值\lambda,对应着一个特定的本征函数解,即H_\lambda^{prob}(x)

    物理学中的埃尔米特多项式则是以下微分方程的解:

    u'' - 2xu'+2\lambda u=0

    其本征值同样为\lambda\mathbb{N},对应的本征函数解为H_\lambda^{phys}(x)

    以上两个微分方程都称为埃尔米特方程

    from: http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/49366047

    ref:mathworld Hermite Polynomial

    wikipedia 埃尔米特多项式


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  • 应评论区要求把答案写成英文,但我实在不知道“统计结构”的英文是啥。我就一坨英文夹中文吧。 Let be a 统计结构 and be the distribution of ...在这个意义上,题中「统计结构的完备性」和「空间的完备性」是等价的。

    应评论区要求把答案写成英文,但我实在不知道“统计结构”的英文是啥。我就一坨英文夹中文吧。

    Let

    be a 统计结构 and

    be the distribution of

    .

    We said that a 统计结构 is complete when for the sigma-algebra

    if for every measurable function

    , the following implication holds:

    ,

    implies that

    for all distribution

    in

    .

    i.e.

    = 0 implies that

    For the other hands, the definition of complete is:

    is a complete space.

    BTW...A probability space

    is said to be a complete probability space if for all

    with

    and all

    one has

    and 统计结构 is a probability space essentially.

    ——茅屋为秋风所破,割——

    等等。我发现我记错了。

    完备统计量的定义是和这个统计量所服从的分布张成的空间是完备空间有关系的。原答案搁着好了,提醒我多么智障orz

    ——原答案——

    蟹妖。

    我们先claim一下「完备」。

    如果你说的「完备」如果是「完备统计量(complete statistics)」的「完备」……那两个完备差不多就是同名不同质。看定义就好了。

    但我觉得你应该是想说的是这种case:

    统计所做的事情,可以简单地概括为对观测数据进行压缩、简化,然后从中提取出有用的信息。而统计量是我们对数据加工、压缩的常用工具。

    统计量本质上是一个可测映射。这个映射可以定义在各种空间,也就是一个统计结构

    上。只是在初等情况下,我们喜欢把统计量定义在一个欧氏空间里。

    不严谨的简而言之,统计量定义在的空间,被称为一个统计结构。(严谨定义请翻茆诗松《高等数理统计》)

    进一步的,回到题目本身,一个统计结构的完备性,其实是说的就是在说统计量所定义在的空间完备。在这个意义上,题中「统计结构的完备性」和「空间的完备性」是等价的。

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  • 《数值分析》-- 正交多项式

    千次阅读 2021-12-04 14:37:08
    正交多项式,勒让德多项式,切比雪夫多项式


    一、正交函数族和正交多项式

    1.1 定义

    在这里插入图片描述
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    1.2 正交多项式的构造

    3

    φ n ( x ) \varphi_n(x) φn(x)是最高次项系数为1的 n n n次多项式。

    1.3 正交多项式的性质

    (1) 正交多项式 φ 0 ( x ) \varphi_0(x) φ0(x), φ 1 ( x ) \varphi_1(x) φ1(x),…, φ n ( x ) \varphi_n(x) φn(x)线性无关.
    (2) 任一 n n n次多项式$P_n(x)均可表示为 φ 0 ( x ) \varphi_0(x) φ0(x), φ 1 ( x ) \varphi_1(x) φ1(x),…, φ n ( x ) \varphi_n(x) φn(x)的线性组合。
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    以上性质证明参见课本P58


    二、常用的正交多项式⭐

    2.1 Legendre(勒让德)多项式

    这里的权函数 ρ ( x ) \rho_(x) ρ(x) =1

    1. 定义
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    2. 性质
    • 正交性
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    • 递推关系
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    • 奇偶性
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    2.2 切比雪夫多项式

    这里的权函数 ρ ( x ) = 1 1 − x 2 \rho_(x) = \dfrac {1} {\sqrt{1 - x^2} } ρ(x)=1x2 1

    1. 定义
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      切比雪夫多项式
    • 性质
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      T n ( x ) T_n(x) Tn(x) n n n次多项式
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    • 奇偶性
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    • 正交性
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    最小零偏差问题

    在这里插入图片描述
    即: P n ( x ) P_n(x) Pn(x)为0在给定的有界闭区间上最佳一致逼近
    最小0偏差多项式可由 T n ( x ) T_n(x) Tn(x)获得。

    • 最佳一致逼近
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      在[-1,1]上所有首项系数为1的n次多项式 P n ( x ) P_n(x) Pn(x)中, 2 1 − n T n ( x ) 2^{1-n}T_n(x) 21nTn(x)对0的偏差最小:
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    • 例题

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空空如也

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多项式完备性

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