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  • 给出了复指数多项式系在Banach空间Mpα(1≤p0,0
  • 数值分析:Hermite多项式

    万次阅读 2015-10-23 20:54:43
    Hermite埃尔米特多项式 在数学中,埃尔米特多项式是一种经典的正交多项式族,得名于法国数学家夏尔·埃尔米特。概率论里的埃奇沃斯级数的表达式中就要用到埃尔米特多项式。在组合数学中,埃尔米特多项式是阿佩尔方程...

    http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/49366047

    Hermite埃尔米特多项式

    在数学中,埃尔米特多项式是一种经典的正交多项式族,得名于法国数学家夏尔·埃尔米特。概率论里的埃奇沃斯级数的表达式中就要用到埃尔米特多项式。在组合数学中,埃尔米特多项式是阿佩尔方程的解。物理学中,埃尔米特多项式给出了量子谐振子本征态

    前4个(概率论中的)埃尔米特多项式的图像

    HermiteH

    The Hermite polynomials H_n(x) are set of orthogonal polynomials over the domain(-infty,infty) with weighting functione^(-x^2), illustrated above forn=1, 2, 3, and 4. Hermite polynomials are implemented in the Wolfram Language asHermiteH[n,x].

    The Hermite polynomial H_n(z) can be defined by the contour integral

    H_n(z)=(n!)/(2pii)∮e^(-t^2+2tz)t^(-n-1)dt,
    (1)

    where the contour encloses the origin and is traversed in a counterclockwise direction (Arfken 1985, p. 416).

    Hermite多项式,其正交域为(-∞, +∞),其一维形式是

    其中,Hk(x)前面的乘式为正交归一化因子,为计算简便可省略。

    前10个Hermite多项式

    H_0(x) = 1
    H_1(x) = 2x
    H_2(x) = 4x^2-2
    H_3(x) = 8x^3-12x
    H_4(x) = 16x^4-48x^2+12
    H_5(x) = 32x^5-160x^3+120x
    H_6(x) = 64x^6-480x^4+720x^2-120
    H_7(x) = 128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x
    H_8(x) = 256x^8-3584x^6+13440x^4-13440x^2+1680
    H_9(x) = 512x^9-9216x^7+48384x^5-80640x^3+30240x
    H_(10)(x) = 1024x^(10)-23040x^8+161280x^6-403200x^4+302400x^2-30240

    The values H_n(0) may be called Hermite numbers.When ordered from smallest to largest powers, the triangle of nonzero coefficientsis 1; 2; -2, 4; -12, 8; 12, -48, 16; 120, -160, 32; ... (OEISA059343).

    Hermite多项式的性质

    多项式Hn 是一个n次的多项式。概率论的埃尔米特多项式是首一多项式(最高次项系数等于1),而物理学的埃尔米特多项式的最高次项系数等于2n

    正交性

    多项式Hn 的次数与序号n 相同,所以不同的埃尔米特多项式的次数不一样。对于给定的权函数w,埃尔米特多项式的序列将会是正交序列。

    w(x) = \mathrm{e}^{-x^2/2}\,\!   (概率论)
    w(x) = \mathrm{e}^{-x^2}\,\!   (物理学)

    也就是说,当m ≠ n 时:

    \int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x)\, w(x) \, \mathrm{d}x = 0

    除此之外,还有:

    \int_{-\infty}^\infty H_m^\mathrm{prob}(x) H_n^\mathrm{prob}(x)\, \mathrm{e}^{-x^2/2} \, \mathrm{d}x = n! \, \sqrt{2 \pi}\delta_{mn}   (概率论)
    \int_{-\infty}^\infty H_m^\mathrm{phys}(x) H_n^\mathrm{phys}(x)\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x = n! \, 2^n \sqrt{\pi}\delta_{mn}   (物理学)

    其中\delta_{mn}克罗内克函数

    从上式可以看到,概率论中的埃尔米特多项式与标准正态分布正交。

    完备性

    在所有满足

    \int_{-\infty}^\infty\left|f(x)\right|^2\, w(x) \, \mathrm{d}x <\infty

    的函数所构成的完备空间中,埃尔米特多项式序列构成一组基。其中的内积定义如下:

    \langle f,g\rangle=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\, w(x) \, \mathrm{d}x

    埃尔米特微分方程

    概率论中的埃尔米特多项式是以下微分方程的解:

    (e^{-x^2/2}u')' + \lambda e^{-x^2/2}u = 0

    方程的的边界条件为:u应在无穷远处有界。

    其中\lambda是这个方程的本征值,是一个常数。要满足上述边界条件,应取\lambda\mathbb{N}。对于一个特定的本征值\lambda,对应着一个特定的本征函数解,即H_\lambda^{prob}(x)

    物理学中的埃尔米特多项式则是以下微分方程的解:

    u'' - 2xu'+2\lambda u=0

    其本征值同样为\lambda\mathbb{N},对应的本征函数解为H_\lambda^{phys}(x)

    以上两个微分方程都称为埃尔米特方程

    from:http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/49366047

    ref:mathworld Hermite Polynomial

    wikipedia 埃尔米特多项式


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  • 泛函分析 01.05 距离空间-完备性

    千次阅读 2018-03-23 14:56:49
    泛函分析 距离空间 完备性

    §1.4 

    1.4.1Cauchy 

    ,Cauchy. 
    ,Cauchy. 
    Cauchy,. 
    广. 
    {x n },, 
    . 

    1.4.1X=(0,1].{1n }X=(0,1] 
    Cauchy,X=(0,1],0 ¯ ¯  X. 
    ,Cauchy. 
    . 
    1.4.1X=(0,1]0. 
    ,{1n }. 
    ,X 1 =(0,1]{0}Cauchy. 
    ,:Cauchy. 
    ,,Cauchy. 

    1.4.2(X,d),{x n }  n=1 (X,d). 
    ε>0,N,m,nN, 
    d(x n ,x m )<ε(1.4.1) 
    {x n }Cauchy. 

    1.4.3{x n }(X,d)Cauchy, 
    {x 1 ,x 2 ,}. 
    Cauchy,. 
    :Cauchy, 
    ε=1,N,n,m>N,d(x n ,x m )<1. 
    β=max{d(x 1 ,x 2 ),d(x 1 ,x 3 ),,d(x 1 ,x N+1 )}, 
    ,n, 
    d(x 1 ,x n )<β+1 
    :{x 1 ,x 2 ,}B(x 1 ,β+1), 
    ,. 

    1.4.4Cauchy. 
    :Cauchy,. 
    :lim n x n =x 0 ,ε>0,N,n,m>N, 
    d(x n ,x 0 )<ε2 ,d(x m ,x 0 )<ε2  
    , 
    d(x n ,x m )d(x n ,x 0 )+d(x m ,x 0 )<ε,(n,m>N) 
    {x n }Cauchy. 

    1.4.2 

    Cauchy, 
    ,Cauchy. 
    Cauchy, 
    : 

    1.4.5(X,d)Cauchy, 
    X. 
    (). 
    ,,Cauchy. 

    1.4.6Q, 
    ,. 
    :πn{3,3.1,3.14,3.141,3.1415,} 
    Cauchy,Q,π. 
    :Cauchy,: 
    Cauchy, 
    ,. 
    1.4.6,. 

    1.4.7. 
    XX 1 X,X 1 . 
    X 1 .,X 1  
    CauchyX 1 . 
    {x n }  n=1 X 1 ,Cauchy. 
    X,{x n }x,xX. 
    X 1 ,X 1 xX 1 X 1 . 

    1.4.8. 
    :{x n }XCauchy, 
    Cauchy. 
    ,,Cauchy, 
    Cauchy. 
    {x n }XCauchy, 
    Cauchy,ε>0,N,n,m>N, 
    d(x n ,x m )<ε 
    X,{x n }{x n k  }x 0 X, 
    x n k  x 0 (k) 
    (x 0 x n X) 
    K=N,k>K,n k k>K=N, 
    d(x n ,x n k  )<ε(n>N) 
    k,d, 
    d(x n ,x 0 )ε(n>N), 
    x n x 0 ,x 0 X,X, 
    ,Cauchy{x n },x 0 , 
    x n x 0 (n) 

    1.4.9X{x n }XCauchy, 
    {x n }{x n k  }x 0 ,{x n }x 0 (n) 

    1.4.3 

    1.4.10R n . 

    1.4.11C[a,b]. 
    :{x n }  n=1 C[a,b]Cauchy. 
    : 
    (1)x(t)({x n }); 
    (2)x(t)C[a,b]; 
    (3)x n (t)x(t)(n)(C[a,b]) 
    (i){x n (t)}C[a,b]Cauchy, 
    ε>0,N,n,mN, 
    d(x n ,x m )<ε 
    :max atb |x n (t)x m (t)|<ε 
    t[a,b],|x n (t)x m (t)|<ε(n,mN) 
    {x n (t)}RCauchy, 
    R,x(t),使x n (t)x(t)(n). 
    (ii)x(t)C[a,b] 
    n,mN, 
    |x n (t)x m (t)|<ε,t[a,b](1.4.2) 
    t,m, 
    |x n (t)x(t)|ε(nN),t[a,b](1.4.3) 
    x n (t)x(t),x(t),x(t)C[a,b]. 
    (iii)nN 
    |x n (t)x(t)|ε,t[a,b], 
    max atb |x n (t)x(t)|ε, 
    d(x n ,x)ε,(nN),lim n x n =x. 

    1.4.12l  . 
    :{x n }l  Cauchy, 
    x n ={ξ (n) k }  k=1 .: 
    (1)x(({x n }); 
    (2)xl  ; 
    (3)x n x(n)(l  ) 
    :{x n }l  Cauchy, 
    x n ={ξ (n) k }  k=1 . 
    Cauchy,ε>0,N,n,mN, 
    d(x n ,x m )<ε 
    sup k |ξ (n) k ξ (m) k |<ε 
    k,|ξ (n) k ξ (m) k |<ε(n,mN). 
    {ξ (n) k }  k=1 RCauchy. 
    R,ξ k ,使lim n ξ (n) k =ξ k . 
    x={ξ k },xl  x n x(n) 
    (l  ). 
    n,mN,|ξ (n) k ξ (m) k |<ε,m, 
    |ξ (n) k ξ k |ε(nN)(1.4.4) 
    (1.4.4),k, 
    |ξ k ||ξ (N) k ξ k |+|ξ (N) k |ε+|ξ (N) k | 
    x N ={ξ (N) 1 ,ξ (N) 2 ,,ξ (N) k ,}, 
    {ξ k },{ξ k }l  ,nN, 
    k, 
    |ξ (n) k ξ k |ε, 
     
    d(x n ,x)=sup k |ξ (n) k ξ k |ε(nN), 
    x n x={ξ k }.l  . 

    1.4.13C[0,T],P[0,T][0,T]. 
    P[0,T]C[0,T],P[0,T]C[0,T]. 
    C[0,T],P[0,T]C[0,T]. 
    ,{1,1+t,1+t+12! t 2 ,1+t+12! t 2 +13! t 3 ,} 
    C[0,T]e t (,), 
    e t  ¯ ¯  P[0,T],P[0,T]C[0,T]. 
    1.4.4, 
    {1,1+t,1+t+12! t 2 ,1+t+12! t 2 +13! t 3 ,} 
    Cauchy,P[0,T],P[0,T] 
    d(p 1 ,p 2 )=max 0tT |p 1 (t)p 2 (t)| 
    (p 1 (t),p 2 (t)P[0,T]) 

    1.4.14X[0,1],X 
    d(x,y)= 1 0 |x(t)y(t)|dt(1.4.5) 
    X,. 
    Cauchy, 
    .{x n (t)}(n>2): 
    x n (t)=⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0,0t12 1n ,1,12 t1,线,.  
    图1.4.1 Cauchy列
    {x n }XCauchy, 
    d(x n ,x m )= 1 0 |x m (t)x n (t)|dt 
    =12 |1n 1m |0(m,n) 
    X,Xy(t),使 
    d(x n ,y)0,(n) 
     
    x(t)=⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0,0t<12 ,1,12 <t1,12 ,t=12 .  
     
     1 0 |x(t)y(t)|dt 
     1 0 |x(t)x n (t)|dt+ 1 0 |x n (t)y(t)|dt