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  • 几乎没有调用内置函数,除了求多项式最高次数时用了一下 Exponent[] (*解析多项式*) (*将f=a0+a1*x+...+an*x^n解析成{{a0,0},{a1,1},...,{an,n}}的形式*) polyCoefficients[f_] := Module[{ rules1 = { c_*base_^...

    几乎没有调用内置函数,除了求多项式最高次数时用了一下 Exponent[]

    (*解析多项式*)
    (*将f=a0+a1*x+...+an*x^n解析成{{a0,0},{a1,1},...,{an,n}}的形式*)
    polyCoefficients[f_] := Module[{
       rules1 = {
         c_*base_^power_ -> {c, power},
         base_^power_ -> {1, power},
         c_*x_ -> {c, 1},
         c_ /; NumberQ[c] -> {c, 0},
         x_ /; AtomQ[x] -> {1, 1}},
       g = If[Head[f] === Plus, f, List[Expand[f]]]},
      Replace[List @@ g, rules1, 1]]
    
    (*把解析出来的列表还原成多项式*)
    toPolynomial[list_List] := 
     Sum[list[[i, 1]]*x^list[[i, 2]], {i, Length[list]}]
    
    (*两个多项式 "相除"*)
    divide[f_, g_] := 
     Module[{cf = polyCoefficients[f], cg = polyCoefficients[g], lf, lg, 
       p},
      lf = cf[[-1]]; lg = cg[[-1]];
      p = {{lf[[1]]/lg[[1]], lf[[2]] - lg[[2]]}};
      {toPolynomial[p], Simplify[f - g*toPolynomial[p]]}]
    
    (*多项式的带余除法*)
    (*对polyQuotient[f,g],输出{d,r}满足f=g*d+r且degree(r)<degree(g)*)
    polyQuotient[f_, g_] := Module[{q = 0, r = f, d = 0},
      While[Exponent[r, x] >= Exponent[g, x],
       {q, r} = Expand[divide[r, g]];
       d = d + q;
       ];
      {d, r}]
    

    简单验证:

    [In]:=
    f = x^7 + 6 x^5; g = x^3 + x;
    {u, r} = polyQuotient[f, g]
    u*g + r // Expand
    
    [Out]=
    {-5 + 5 x^2 + x^4, 5 x}
    6 x^5 + x^7
    
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  • deconv 反卷积和多项式除法 filter2 二维数字滤波器 cplxpair 将复数值分类为共轭对 fft 一维的快速傅立叶变换 fft2 二维快速傅立叶变换 fftshift 将FFT的DC分量移到频谱中心 ifft 一维快速反傅立叶变换 ifft2 二维...

    匿名用户

    1级

    2010-11-15 回答

    这个软件功能很强大,数学建模的时候可以用到它

    1、特殊变量与常数

    ans 计算结果的变量名

    computer 确定运行的计算机

    eps 浮点相对精度

    Inf 无穷大

    I 虚数单位

    inputname 输入参数名

    NaN 非数

    nargin 输入参数个数

    nargout 输出参数的数目

    pi 圆周率

    nargoutchk 有效的输出参数数目

    realmax 最大正浮点数

    realmin 最小正浮点数

    varargin 实际输入 的参量

    varargout 实际返回的参量

    操作符与特殊字符

    + 加 - 减

    * 矩阵乘法 .* 数组乘(对应元素相乘)

    ^ 矩阵幂 .^ 数组幂(各个元素求幂)

    \ 左除或反斜杠 / 右除或斜面杠

    ./ 数组除(对应元素除)

    kron Kronecker张量积

    : 冒号 () 圆括

    [] 方括 . 小数点

    .. 父目录 ... 继续

    , 逗号(分割多条命令) ; 分号(禁止结果显示)

    % 注释 ! 感叹号

    ' 转置或引用 = 赋值

    == 相等 不等于

    逻辑与 | 逻辑或

    ~ 逻辑非 xor 逻辑异或

    2、基本数学函数

    abs 绝对值和复数模长

    acos,acodh 反余弦,反双曲余弦

    acot,acoth 反余切,反双曲余切

    acsc,acsch 反余割,反双曲余割

    angle 相角

    asec,asech 反正割,反双曲正割

    secant 正切

    asin,asinh 反正弦,反双曲正弦

    atan,atanh 反正切,双曲正切

    tangent 正切

    atan2 四象限反正切

    ceil 向着无穷大舍入

    complex 建立一个复数

    conj 复数配对

    cos,cosh 余弦,双曲余弦

    csc,csch 余切,双曲余切

    cot,coth 余切,双曲余切

    exp 指数

    fix 朝0方向取整

    floor 朝负无穷取整

    gcd 最大公因数

    imag 复数值的虚部

    lcm 最小公倍数

    log 自然对数

    log2 以2为底的对数

    log10 常用对数

    mod 有符号的求余

    nchoosek 二项式系数和全部组合数

    real 复数的实部

    rem 相除后求余

    round 取整为最近的整数

    sec,sech 正割,双曲正割

    sign 符号数

    sin,sinh 正弦,双曲正弦

    sqrt 平方根

    tan,tanh 正切,双曲正切

    3、基本矩阵和矩阵操作

    blkding 从输入参量建立块对角矩阵

    eye 单位矩阵

    linespace 产生线性间隔的向量

    logspace 产生对数间隔的向量

    numel 元素个数

    ones 产生全为1的数组

    rand 均匀颁随机数和数组

    randn 正态分布随机数和数组

    zeros 建立一个全0矩阵 colon) 等间隔向量

    cat 连接数组

    diag 对角矩阵和矩阵对角线

    fliplr 从左自右翻转矩阵

    flipud 从上到下翻转矩阵

    repmat 复制一个数组

    reshape 改造矩阵

    roy90 矩阵翻转90度

    tril 矩阵的下三角

    triu 矩阵的上三角

    dot 向量点集

    cross 向量叉集

    ismember 检测一个集合的元素

    intersect 向量的交集

    setxor 向量异或集

    setdiff 向是的差集

    union 向量的并集

    数值分析和傅立叶变换

    cumprod 累积

    cumsum 累加

    cumtrapz 累计梯形法计算数值微分

    factor 质因子

    inpolygon 删除多边形区域内的点

    max 最大值

    mean 数组的均值

    mediam 中值

    min 最小值

    perms 所有可能的转换

    polyarea 多边形区域

    primes 生成质数列表

    prod 数组元素的乘积

    rectint 矩形交集区域

    sort 按升序排列矩阵元素

    sortrows 按升序排列行

    std 标准偏差

    sum 求和

    trapz 梯形数值积分

    var 方差

    del2 离散拉普拉斯

    diff 差值和微分估计

    gradient 数值梯度

    cov 协方差矩阵

    corrcoef 相关系数

    conv2 二维卷积

    conv 卷积和多项式乘法

    filter IIR或FIR滤波器

    deconv 反卷积和多项式除法

    filter2 二维数字滤波器

    cplxpair 将复数值分类为共轭对

    fft 一维的快速傅立叶变换

    fft2 二维快速傅立叶变换

    fftshift 将FFT的DC分量移到频谱中心

    ifft 一维快速反傅立叶变换

    ifft2 二维傅立叶反变换

    ifftn 多维快速傅立叶变换

    ifftshift 反FFT偏移

    nextpow2 最靠近的2的幂次

    unwrap 校正相位角

    多项式与插值

    conv 卷积和多项式乘法

    roots 多项式的根

    poly 具有设定根的多项式

    polyder 多项式微分

    polyeig 多项式的特征根

    polyfit 多项式拟合

    polyint 解析多项式积分

    polyval 多项式求值

    polyvalm 矩阵变量多项式求值

    residue 部分分式展开

    interp1 一维插值

    interp2 二维插值

    interp3 三维插值

    interpft 使用FFT的一维插值

    interpn 多维插值

    meshgrid 为3维点生成x和y的网格

    ndgrid 生成多维函数和插值的数组

    pchip 分段3次Hermite插值多项式

    ppval 分段多项式的值

    spline 3次样条数据插值

    绘图函数

    bar 竖直条图

    barh 水平条图

    hist 直方图

    histc 直方图计数

    hold 保持当前图形

    loglog x,y对数坐标图

    pie 饼状图

    plot 绘二维图

    polar 极坐标图

    semilogy y轴对数坐标图

    semilogx x轴对数坐标

    subplot 绘制子图

    bar3 数值3D竖条图

    bar3h 水平3D条形图

    comet3 3D慧星图

    cylinder 圆柱体

    fill3 填充的3D多边形

    plot3 3维空间绘图

    quiver3 3D震动(速度)图

    slice 体积薄片图

    sphere 球

    stem3 绘制离散表面数据

    waterfall 绘制瀑布

    trisurf 三角表面

    clabel 增加轮廓标签到等高线图中

    datetick 数据格式标记

    grid 加网格线

    gtext 用鼠标将文本放在2D图中

    legend 图注

    plotyy 左右边都绘Y轴

    title 标题

    xlabel X轴标签

    ylabel Y轴标签

    zlabel Z轴标签

    contour 等高线图

    contourc 等高线计算

    contourf 填充的等高线图

    hidden 网格线消影

    meshc 连接网格/等高线

    mesh 具有参考轴的3D网格

    peaks 具有两个变量的采样函数

    surf 3D阴影表面图

    surface 建立表面低层对象

    surfc 海浪和等高线的结合

    surfl 具有光照的3D阴影表面

    trimesh 三角网格图

    展开全文
  • 一元多项式带余除法

    千次阅读 2018-01-21 02:04:46
    多项式的度 定义 非零多项式 f(x)=∑ni=0aixif \left (x \right ) = \sum _{i = 0} ^ {n} a_i x^i (其中首项 an≠0 a_n \neq 0 )的度 deg(f(x))=n \deg \left (f \left (x \right ) \right ) = n 性质 f...

    多项式的度

    定义

    非零多项式 f(x)=ni=0aixi (其中首项 an0 )的度 deg(f(x))=n

    性质

    1. f(x)0,g(x)0deg(f(x)g(x))=deg(f(x))+deg(g(x))
    2. f(x)0,g(x)0,f(x)+g(x)0deg(f(x)+g(x))max{deg(f(x)),deg(g(x))}
    3. deg(f(x))=0f(x) 是非零常数。

    多项式运算的性质

    1. f(x)+g(x)=g(x)+f(x)
    2. [f(x)+g(x)]+h(x)=f(x)+[g(x)+h(x)]
    3. f(x)g(x)=g(x)f(x)
    4. [f(x)g(x)]h(x)=f(x)[g(x)h(x)]
    5. f(x)[g(x)+h(x)]=f(x)g(x)+f(x)h(x)
    6. f(x)0,f(x)g(x)=f(x)h(x)g(x)=h(x)
      证明:
      f(x)g(x)=f(x)h(x)f(x)[g(x)h(x)]=0
      由于 f(x)0, 因此若 g(x)h(x)g(x)h(x)0,
      于是 f(x)[g(x)h(x)]0,f(x)[g(x)h(x)]=0 矛盾。

    带余除法

    设多项式 g(x)0, 则对于任意一个多项式 f(x), 存在多项式 q(x),r(x),
    使得 f(x)=q(x)g(x)+r(x),
    其中 r(x)=0deg(r(x))<deg(g(x))
    q(x),r(x) 是唯一的。

    证明

    存在性

    f(x)=0,f(x)=0=0g(x)+0 。命题成立。
    下面只考虑 f(x)0 的情况。
    假设对于任意一个多项式 f(x), deg(f(x))<n 时命题成立。
    deg(f(x))=n 时,令 m=deg(g(x))
    1. 若 n<m,f(x)=0g(x)+f(x) 。命题成立。
    2. 若 nm,f(x)=ni=0aixi,g(x)=mi=0bixi,
    f(x)anb1mxnmg(x)
    =ni=0aixianb1mxnmmi=0bixi
    =ni=0aixianb1mmi=0bixi+nm
    =ni=0aixianb1mni=nmbi(nm)xi
    =n1i=0aixianb1mn1i=nmbi(nm)xi
    =n1i=0(aici)xi,
    其中 ci={anb1mbi(nm),0,nmin1,0i<nm,
    因此 f(x)anb1mxnmg(x)=0deg(f(x)anb1mxnmg(x))<n,
    于是存在多项式 q(x),r(x), 使得
    f(x)anb1mxnmg(x)=q(x)g(x)+r(x),
    其中 r(x)=0deg(r(x))<deg(g(x))
    因此 f(x)=[anb1mxnm+q(x)]g(x)+r(x) 。命题成立。

    唯一性

    设存在多项式 q(x),r(x) 同样满足条件,则
    f(x)=q(x)g(x)+r(x)=q(x)g(x)+r(x)[q(x)q(x)]g(x)=r(x)r(x)
    q(x)q(x),[q(x)q(x)]g(x)0deg([q(x)q(x)]g(x))=deg(q(x)q(x))+deg(g(x))deg(g(x)),
    于是 r(x)r(x)0deg(r(x)r(x))=deg([q(x)q(x)]g(x))deg(g(x))
    但是 r(x)=0deg(r(x))<deg(g(x)),
    r(x)=0deg(r(x))<deg(g(x)),
    因此 deg(r(x)r(x))<deg(g(x)),deg(r(x)r(x))deg(g(x)) 矛盾。
    因此 q(x)=q(x), 于是 r(x)=r(x)

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  • 本节我们就考研中常考的两点,多项式带余除法与整除关系进行分析讲解,并且给出大家在考研中,是如何应用带余除法和整除,并且给大家补充了n次单位根的的知识,在其解决整除问题中的应用,大家务必要熟练掌握!...

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    本节我们就考研中常考的两点,多项式的带余除法与整除关系进行分析讲解,并且给出大家在考研中,是如何应用带余除法和整除,并且给大家补充了n次单位根的的知识,在其解决整除问题中的应用,大家务必要熟练掌握!!!

    定理1:(带余除法)对于任意的

    则存在唯一的
    使得

    岩宝小提示:对于带余除法的证明,请大家务必熟悉,有的多项式证明的题目就直接利用带余除法证明的原理进行说明,详见北大课本第九页.

    【例1】已知
    求商式和余式.

    解:

    ee1da4bce3f29ea01d9a3625ebc6ccce.png

    这里求得的商式为

    余式为
    所得结果可以写成


    定义 1. 设

    如果存在
    使得

    那么称

    否则称

    时,记作
    否则,称
    .的一个因式,称
    的一个倍式 .

    岩宝小提示:对于我们多项式一节中,两个多项式f(x),g(x)的关系,考察点在于整除或者互素,这是考研的重点!!!(对于互素的讲解,我们放在下次给大家讲解.)


    定义2. 多项式的n次单位根:就是在复数范围内1的n个不同的n次方根都称为n次单位根,简称单位根,他们是

    这里要注意n次单位根是方程

    的n个不同的根,

    外,其他n-1个也是n-1次方程
    的n-1个不同根.

    岩宝小提醒:就是在做题时常常是这样出现的

    其中

    .

    多项整除的性质★

    证明:由于

    因此存在

    使得

    从而

    因此


    【例2】(2003西南师范大学)设多项式
    除后,余式分别为4 , 8 , 16,试求

    解得

    故所求的余式为

    岩宝小提醒:就是在我们设余式的时候,一定要比除式的次数低,比如本题,除式是三次,那么设余式的时候,就设余式为二次函数,然后带值求解即可.

    【例3】(2013华东师范大学)
    求次数最低的多项式
    ,使得

    解:由条件可以设

    其中

    为待定多项式,于是

    为了使得多项式

    次数最低,

    已知

    不能是零次多项式,若

    则有

    此方程无解.

    则解得:

    故所求多项式为

    【例4】设
    是实系数多项式,且
    求证:

    证明:
    方法1:条件中的两式相减得


    条件中的两式相加可得

    所以

    方法2:令

    代入条件中两式得
    解得
    同理可得

    岩宝小提示:对于本题的方法2而言,大家要掌握整除的一个性质即

    那么本题就是

    即可解得

    即代入原式中即可
    例5.(2006河南大学)设
    求证:

    证:

    可得

    故结论成立.

    岩宝小提示:上式中有的同学肯定会疑惑,为啥

    之后我们把

    当做未知量,即我们看这个齐次线性方程组的系数行列式,即

    即系数行列式不等于0,齐次线性方程组只有零解,从而


    岩宝同步思考练习:

    1.(2012湖南大学)
    是实系数多项式,且
    证明:
    2.(2013宁波大学)设
    是实系数多项式,且
    证明:
    3.(2016南京大学)证明:如果多项式
    则对任意的1
    我们总有

    4.(2016河北大学) 设
    是数域P上的一元多项式,且满足
    证明:

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  • 设$f(x)$和$g(x)$是$F[x]$的任意两个多项式,并且$g(x)\neq 0$.那么在$F[x]$中可以找到多项式$q(x)$和$r(x)$,使\begin{equation}f(x)=g(x)q(x)+r(x)\end{equation}这里或者$r(x)=0$,或者$r(x)$的次数小于$g(x)$的...
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    2019-10-06 16:39:30
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  • 除法/取模 # include # include # include # include # define gc getchar() # define lint long long # define p 998244353 # define N 800010 # define clr(a,n) memset(a,0,sizeof...
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  • 这次我们单独来谈谈整系数多项式环 首先来看...这是 中的带余除法,其中 。但在 中不可能存在 使得 。事实上如 , 的首项系数为偶数,谷 的次数一定大于或等于 。生成的理想 中的任何理想都是由一个元素生成的,但...
  • 这个除法是带余除法,所以并不能直接求逆解决。 要求的就是给定两个多项式\(A(x),B(x)\),其项数为\(n,m\) 求解一个\(n-m\)项的多项式\(C(x)\),以及一个小于\(n-m\)项的多项式\(R(x)\)。 满足:\(A(x)=B(x)*C(x)+R...
  • 多项式全家桶

    2019-03-07 08:04:00
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    2019-02-27 23:04:00
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  • 多项式整除

    2019-09-16 15:15:49
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  • 一元多项式整除

    2018-01-21 20:03:14
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空空如也

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多项式带余除法