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2020-08-19 12:09:15
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输入:x,y—数据点,n—多项式阶数
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多项式拟合(polynominal curve fitting)是一种线性模型,模型和拟合参数的关系是线性的。多项式拟合的输入是一维的,即 x=x x = x ,这是多项式拟合和线性回归问题的主要区别之一。
多项式拟合的目标是构造输入 x x 的阶多项式函数,使得该多项式能够近似表示输入 x x 和输出的关系,虽然实际上 x x 和的关系并不一定是多项式,但使用足够多的阶数,总是可以逼近表示输入 x x 和输出的关系的。
多项式拟合问题的输入可以表示如下:
D={(x1,y1),(x2,y2),...,(xi,yi),...,(xN,yN)}xi∈Ryi∈R D = { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , . . . , ( x i , y i ) , . . . , ( x N , y N ) } x i ∈ R y i ∈ R目标输出是得到一个多项式函数:
f(x)=w1x1+w2x2+wixi+...+wMxM+b=(∑i=1Mwixi)+b f ( x ) = w 1 x 1 + w 2 x 2 + w i x i + . . . + w M x M + b = ( ∑ i = 1 M w i x i ) + b其中 M M 表示最高阶数为。
可见在线性拟合的模型中,共包括了 (M+1) ( M + 1 ) 个参数,而该模型虽然不是输入 x x 的线性函数,但却是个拟合参数的线性函数,所以称多项式拟合为线性模型。对于多项式拟合问题,其实就是要确定这 (M+1) ( M + 1 ) 个参数,这里先假设阶数 M M 是固定的(是一个超参数,可以用验证集来确定 M M 最优的值,详细的关于值确定的问题,后面再讨论),重点就在于如何求出这 (M+1) ( M + 1 ) 个参数的值。
2.优化目标
多项式拟合是利用多项式函数逼近输入 x x 和输出的函数关系,通过什么指标来衡量某个多项式函数的逼近程度呢?(其实这就是误差/损失函数)。拟合/回归问题常用的评价指标是均方误差(在机器学习中的模型评估与度量博客中,我进行了介绍)。多项式拟合问题也同样采用该评价指标,以均方误差作为误差/损失函数,误差函数越小,模型越好。
E(w,b)=1N∑i=1N[f(xi)−yi]2 E ( w , b ) = 1 N ∑ i = 1 N [ f ( x i ) − y i ] 2系数 1N 1 N 是一常数,对优化结果无影响,可以去除,即将均方误差替换为平方误差:
E(w,b)=∑i=1N[f(xi)−yi]2 E ( w , b ) = ∑ i = 1 N [ f ( x i ) − y i ] 2
到这里,就成功把多项式拟合问题变成了最优化问题,优化问题可表示为:argminw,bE(w,b) arg min w , b E ( w , b )即需要求得参数 {w1,...,wM,b} { w 1 , . . . , w M , b } 的值,使得 E(w,b) E ( w , b ) 最小化。那么如何对该最优化问题求解呢?
3. 优化问题求解
3.1 求偏导,联立方程求解
直观的想法是,直接对所有参数求偏导,令偏导为0,再联立这 M+1 M + 1 个方程求解(因为共有 M+1 M + 1 个参数,故求偏导后也是得到 M+1 M + 1 个方程)。
E(w,b)=∑i=1N[f(xi)−yi]2=∑i=1N[(w1x1i+w2x2i+wixji+...+wMxMi+b)−yi]2 E ( w , b ) = ∑ i = 1 N [ f ( x i ) − y i ] 2 = ∑ i = 1 N [ ( w 1 x i 1 + w 2 x i 2 + w i x i j + . . . + w M x i M + b ) − y i ] 2利用 E(w,b) E ( w , b ) 对各个参数求偏导,如下:
∂E(w,b)∂wj∂E(w,b)∂b=2∑i=1N[(w1x1i+w2x2i+wixji+...+wMxMi+b)−yi]xji=2∑i=1N[(w1x1i+w2x2i+wixji+...+wMxMi+b)−yi] ∂ E ( w , b ) ∂ w j = 2 ∑ i = 1 N [ ( w 1 x i 1 + w 2 x i 2 + w i x i j + . . . + w M x i M + b ) − y i ] x i j ∂ E ( w , b ) ∂ b = 2 ∑ i = 1 N [ ( w 1 x i 1 + w 2 x i 2 + w i x i j + . . . + w M x i M + b ) − y i ]求导之后,将各个点 (xi,yi) ( x i , y i ) 的值带入偏导公式,联立方程求解即可。
针对该解法,可以举个例子详细说明,比如有两个点 (2,3),(5,8) ( 2 , 3 ) , ( 5 , 8 ) ,需要利用二阶多项式 f(x)=w1x+w2x2+b f ( x ) = w 1 x + w 2 x 2 + b 拟合。求解过程如下:
该二阶多项式对参数求偏导得到
∂E(w,b)∂wj∂E(w,b)∂b=2∑i=12[(w1x1i+w2x2i+b)−yi]xji=[(w1x1+w2x21+b)−y1]xj1+[(w1x2+w2x22+b)−y2]xj2=2∑i=12[(w1x1i+w2x2i+b)−yi]=[(w1x1+w2x21+b)−y1]+[(w1x2+w2x22+b)−y2] ∂ E ( w , b ) ∂ w j = 2 ∑ i = 1 2 [ ( w 1 x i 1 + w 2 x i 2 + b ) − y i ] x i j = [ ( w 1 x 1 + w 2 x 1 2 + b ) − y 1 ] x 1 j + [ ( w 1 x 2 + w 2 x 2 2 + b ) − y 2 ] x 2 j ∂ E ( w , b ) ∂ b = 2 ∑ i = 1 2 [ ( w 1 x i 1 + w 2 x i 2 + b ) − y i ] = [ ( w 1 x 1 + w 2 x 1 2 + b ) − y 1 ] + [ ( w 1 x 2 + w 2 x 2 2 + b ) − y 2 ]将点 (2,3),(5,8) ( 2 , 3 ) , ( 5 , 8 ) 带入方程,可以得到3个方程,
2b+7w1+29w2=117b+29w1+133w2=4629b+133w1+641w2=212 2 b + 7 w 1 + 29 w 2 = 11 7 b + 29 w 1 + 133 w 2 = 46 29 b + 133 w 1 + 641 w 2 = 212联立这三个方程求解,发现有无穷多的解,只能得到 3w1+21w2=5 3 w 1 + 21 w 2 = 5 ,这三个方程是线性相关的,故没有唯一解。
该方法通过求偏导,再联立方程求解,比较复杂,看着也很不美观。那么有没有更加方便的方法呢?
3.2 最小二乘法
其实求解该最优化问题(平方和的最小值)一般会采用最小二乘法(其实最小二乘法和求偏导再联立方程求解的方法无本质区别,求偏导也是最小二乘法,只是这里介绍最小二乘的矩阵形式而已)。最小二乘法(least squares),从英文名非常容易想到,该方法就是求解平方和的最小值的方法。
可以将误差函数以矩阵的表示( N N 个点,最高阶)为:
∥Xw−y∥2 ‖ X w − y ‖ 2其中,把偏置 b b 融合到了参数中,
w={b,w1,w2,...,wM} w = { b , w 1 , w 2 , . . . , w M }X X 则表示输入矩阵,
⎡⎣⎢⎢⎢⎢11...1x1x2...xNx21x22...x2N............xM1xM2...xMN⎤⎦⎥⎥⎥⎥ [ 1 x 1 x 1 2 . . . x 1 M 1 x 2 x 2 2 . . . x 2 M . . . . . . . . . . . . . . . 1 x N x N 2 . . . x N M ]y y 则表示标注向量,
y={y1,y2,...,yN}T y = { y 1 , y 2 , . . . , y N } T因此,最优化问题可以重新表示为
minw∥Xw−y∥2 min w ‖ X w − y ‖ 2对其求导,
∂∥Xw−y∥2∂w=∂(Xw−y)T(Xw−y)∂w=∂(wTXT−yT)(Xw−y)∂w=∂(wTXTXw−yTXw−wTXTy+yTy)∂w ∂ ‖ X w − y ‖ 2 ∂ w = ∂ ( X w − y ) T ( X w − y ) ∂ w = ∂ ( w T X T − y T ) ( X w − y ) ∂ w = ∂ ( w T X T X w − y T X w − w T X T y + y T y ) ∂ w在继续对其求导之前,需要先补充一些矩阵求导的先验知识(常见的一些矩阵求导公式可以参见转载的博客https://blog.csdn.net/lipengcn/article/details/52815429),如下:
∂xTa∂x=a∂ax∂x=aT∂xTA∂x=Ax+ATx ∂ x T a ∂ x = a ∂ a x ∂ x = a T ∂ x T A ∂ x = A x + A T x根据上面的矩阵求导规则,继续进行损失函数的求导
∂∥Xw−y∥2∂w=∂(wTXTXw−yTXw−wTXTy+yTy)∂w=XTXw+(XTX)Tw−(yTX)T−XTy=2XTXw−2XTy ∂ ‖ X w − y ‖ 2 ∂ w = ∂ ( w T X T X w − y T X w − w T X T y + y T y ) ∂ w = X T X w + ( X T X ) T w − ( y T X ) T − X T y = 2 X T X w − 2 X T y其中 XTXw=(XTX)Tw X T X w = ( X T X ) T w .令求导结果等于0,即可以求导问题的最小值。
2XTXw−2XTy=0w=(XTX)−1XTy 2 X T X w − 2 X T y = 0 w = ( X T X ) − 1 X T y再利用最小二乘法的矩阵形式对前面的例子进行求解,用二阶多项式拟合即两个点 (2,3),(5,8) ( 2 , 3 ) , ( 5 , 8 ) 。
表示输入矩阵 X X 和标签向量 y y
X=[1125425]y=[38]T X = [ 1 2 4 1 5 25 ] y = [ 3 8 ] T计算 XTX X T X
XTX=⎡⎣⎢272972913329133641⎤⎦⎥ X T X = [ 2 7 29 7 29 133 29 133 641 ]矩阵求逆,再做矩阵乘法运算
但 XTX X T X 不可逆,故无唯一解。
关于矩阵的逆是否存在,可以通过判断矩阵的行列式是否为0( det(A)=?0 d e t ( A ) = ? 0 来判断,也可以通过初等行变换,观察矩阵的行向量是否线性相关,在这个例子下,矩阵不可逆,故有无穷多解。但如果新增一个点 (4,7) ( 4 , 7 ) ,则就可以解了。
其实这和数据集的点数和选择的阶数有关,如果点数小于阶数则会出现无穷解的情况,如果点数等于阶数,那么刚好有解可以完全拟合所有数据点,如果点数大于阶数,则会求的近似解。
那么对于点数小于阶数的情况,如何求解?在python的多项式拟合函数中是可以拟合的,而且效果不错,具体算法不是很了解,可以想办法参考python的ployfit()函数的实现。
4. 拟合阶数的选择
在前面的推导中,多项式的阶数被固定了,那么实际场景下应该如何选择合适的阶数 M M 呢?
- 一般会选择阶数小于点数 N N
- 把训练数据分为训练集合验证集,在训练集上,同时用不同的值训练多个模型,然后选择在验证集误差最小的阶数
M
M
<script type="math/tex" id="MathJax-Element-5573">M</script>
5. 后续
如果后续还想写的话,可以考虑正则化问题。
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多项式拟合
2019-01-18 11:02:43多项式拟合C# Class1.cs-拟合类 using System; using System.Collections.Generic; using System.Text; namespace 最小二乘法拟合多项式 { class Class1 { ///<summary> ///用最小二乘法拟合二元...多项式拟合C#
Class1.cs-拟合类
using System; using System.Collections.Generic; using System.Text; namespace 最小二乘法拟合多项式 { class Class1 { ///<summary> ///用最小二乘法拟合二元多次曲线 ///</summary> ///<param name="arrX">已知点的x坐标集合</param> ///<param name="arrY">已知点的y坐标集合</param> ///<param name="length">已知点的个数</param> ///<param name="dimension">方程的最高次数</param> public double[] MultiLine(double[] arrX, double[] arrY, int length, int dimension)//二元多次线性方程拟合曲线 { int n = dimension + 1; //dimension次方程需要求 dimension+1个 系数 double[,] Guass = new double[n, n + 1]; //高斯矩阵 例如:y=a0+a1*x+a2*x*x for (int i = 0; i < n; i++) { int j; for (j = 0; j < n; j++) { Guass[i, j] = SumArr(arrX, j + i, length); } Guass[i, j] = SumArr(arrX, i, arrY, 1, length); } return ComputGauss(Guass, n); } public double SumArr(double[] arr, int n, int length) //求数组的元素的n次方的和 { double s = 0; for (int i = 0; i < length; i++) { if (arr[i] != 0 || n != 0) s = s + Math.Pow(arr[i], n); else s = s + 1; } return s; } public double SumArr(double[] arr1, int n1, double[] arr2, int n2, int length) { double s = 0; for (int i = 0; i < length; i++) { if ((arr1[i] != 0 || n1 != 0) && (arr2[i] != 0 || n2 != 0)) s = s + Math.Pow(arr1[i], n1) * Math.Pow(arr2[i], n2); else s = s + 1; } return s; } public double[] ComputGauss(double[,] Guass, int n) { int i, j; int k, m; double temp; double max; double s; double[] x = new double[n]; for (i = 0; i < n; i++) x[i] = 0.0;//初始化 for (j = 0; j < n; j++) { max = 0; k = j; for (i = j; i < n; i++) { if (Math.Abs(Guass[i, j]) > max) { max = Guass[i, j]; k = i; } } if (k != j) { for (m = j; m < n + 1; m++) { temp = Guass[j, m]; Guass[j, m] = Guass[k, m]; Guass[k, m] = temp; } } if (0 == max) { // "此线性方程为奇异线性方程" return x; } for (i = j + 1; i < n; i++) { s = Guass[i, j]; for (m = j; m < n + 1; m++) { Guass[i, m] = Guass[i, m] - Guass[j, m] * s / (Guass[j, j]); } } }//结束for (j=0;j<n;j++) for (i = n - 1; i >= 0; i--) { s = 0; for (j = i + 1; j < n; j++) { s = s + Guass[i, j] * x[j]; } x[i] = (Guass[i, n] - s) / Guass[i, i]; } return x; }//返回值是函数的系数 //例如:y=a0+a1*x 返回值则为a0 a1 //例如:y=a0+a1*x+a2*x*x 返回值则为a0 a1 a2 } }
Progran.cs - 测试类
using System; using System.Collections.Generic; using System.Text; namespace 最小二乘法拟合多项式 { class Program { static void Main(string[] args) { double[] xCoe; double[] xLeastValue = { 0.005, 1.01, 2.019, 3.025, 4.027, 5.025, 6.016, 7.007, 7.999, 8.998, 10.006}; double[] zLeastValue = { 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1, 1.25, 1.5, 1.75, 2, 2.25, 2.5}; //例如:y=a0+a1*x+a2*x*x 返回值则为a0 a1 a2 Class1 sb = new Class1(); xCoe = sb.MultiLine(xLeastValue, zLeastValue, 11, 5); Console.WriteLine("5阶多项式因子:"); for(int i = 0;i < xCoe.Length; i++) { Console.WriteLine("a"+i+":"+xCoe[i]); } Console.WriteLine("多项式计算出来的位移值 标准位移值 两者差值 线性度:"); for (int i = 0; i < xLeastValue.Length; i++) { double Y = xCoe[0] + xCoe[1] * Math.Pow(xLeastValue[i], 1) + xCoe[2] * Math.Pow(xLeastValue[i], 2) + xCoe[3] * Math.Pow(xLeastValue[i], 3) + xCoe[4] * Math.Pow(xLeastValue[i], 4) + xCoe[5] * Math.Pow(xLeastValue[i], 5); double dev = Y - zLeastValue[i]; double error = dev / 2.5; Console.WriteLine(Y + " " + zLeastValue[i] + " " + dev + " " + error); } Console.ReadKey(true); } } }
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多项式拟合一般方程法详细推导
2020-09-20 16:16:24多项式拟合之一般方程法 文章目录多项式拟合之一般方程法1 什么是多项式拟合?2 怎样拟合?3 求bbb正交矩阵QR分解施密特正交化matlab测试函数 之前经常会用到多项式拟合来拟合函数关系,十分好用,得出的表达式使用...多项式拟合之一般方程法
之前经常会用到多项式拟合来拟合函数关系,十分好用,得出的表达式使用起来超级方便。在此对多项式拟合原理进行分析。
1 什么是多项式拟合?
y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n = ∑ i = 0 n a i x i \begin{aligned} y&=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n\\ &=\sum_{i=0}^{n}{a_ix^i} \end{aligned} y=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn=i=0∑naixi
这是多项式拟合的输出表达式。
2 怎样拟合?
考虑输入样本数据如下:
x = [ x 1 , x 2 , . . . , x m ] T y = [ y 1 , y 2 , . . . , y m ] T x=[x_1,x_2,...,x_m]^T\\ y=[y_1,y_2,...,y_m]^T x=[x1,x2,...,xm]Ty=[y1,y2,...,ym]T
构建方程组:
y 1 = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 1 2 + ⋯ + a n x 1 n y 2 = a 0 + a 1 x 2 + a 2 x 2 2 + ⋯ + a n x 2 n ⋮ y m = a 0 + a 1 x m + a 2 x m 2 + ⋯ + a n x m n \begin{aligned} y_1&=a_0+a_1x_1+a_2x_1^2+\cdots +a_nx_1^n\\ y_2&=a_0+a_1x_2+a_2x_2^2+\cdots +a_nx_2^n\\ \vdots\\ y_m&=a_0+a_1x_m+a_2x_m^2+\cdots +a_nx_m^n\\ \end{aligned} y1y2⋮ym=a0+a1x1+a2x12+⋯+anx1n=a0+a1x2+a2x22+⋯+anx2n=a0+a1xm+a2xm2+⋯+anxmn令:
则上面的方程组可以写为:
A b = f Ab=f Ab=f
拟合过程就是求 b b b的过程3 求 b b b
现在一个很直观的想法,就是:
A b = f b = A − 1 f \begin{aligned} Ab=f\\ b=A^{-1}f \end{aligned} Ab=fb=A−1f
但是,没这么简单。考虑一下矩阵维度
A [ m , n + 1 ] b [ n + 1 , 1 ] = f [ m , 1 ] A_{[m,n+1]}b_{[n+1,1]}=f_{[m,1]} A[m,n+1]b[n+1,1]=f[m,1]
强行规定输入的 x = [ x 1 , x 2 , . . . , x m ] x=[x_1,x_2,...,x_m] x=[x1,x2,...,xm]不能重复,则 A A A的各个列向量都线性无关-
当 m = n + 1 m=n+1 m=n+1时, A A A是可逆矩阵,可以直接计算
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当 m < n + 1 m<n+1 m<n+1时,方程数少于未知数个数,方程不可解,拟合失败
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当 m > n + 1 m>n+1 m>n+1时,怎么算呢?
正交矩阵
对于一个矩阵A,如果有 A A T = E AA^T=E AAT=E,则称之为正交矩阵
QR分解
将一个矩阵A,分解为一个正交矩阵和一个非奇异上三角阵的过程
A [ m , n + 1 ] = Q [ m , n + 1 ] R [ n + 1 , n + 1 ] A_{[m,n+1]}=Q_{[m,n+1]}R_{[n+1,n+1]} A[m,n+1]=Q[m,n+1]R[n+1,n+1]
其中 Q Q Q是正交矩阵, R R R是非奇异上三角阵那么,如何进行QR分解呢?
施密特正交化
这个请大家自行学习。
完成QR分解后
A b = f Q R b = f R b = Q T f b = R − 1 Q t f \begin{aligned} Ab &= f\\ QRb&=f\\ Rb&=Q^Tf\\ b&=R^{-1}Q^tf \end{aligned} AbQRbRbb=f=f=QTf=R−1Qtf
matlab测试函数
测试数据
%% 准备测试数据 x=1:0.1:50; y=0.001*x.^4+100*rand(size(x)); plot(x,y,'b') title('测试数据')
拟合与测试
%% 拟合 n=4; c = mypolyfit(x',y',n); %% 测试效果 y1 = mypolyval(c,x'); plot(x,y,'b',x,y1','r') title('测试拟合效果')
mypolyfit函数
function c = mypolyfit(x,f,n) A = x.^(0:n); c = A\f;
mypolyval函数
function y = mypolyval(c,s) n = length(c)-1; B = s.^(0:n); y = B*c;
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2021-09-12 22:46:01理论部分参考多项式曲线拟合(Polynomial Curve Fitting)。 注意,如果样本数过少且拟合多项式阶数较高可能会出现过拟合。原理很简单,最终转换成线性代数的问题。 用python可以很方便的实现: from scipy import ... -
多项式模型与多项式拟合
2020-08-17 20:36:393.1 多项式拟合 在有些数据分布中,使用一条曲线比直线能更好拟合数据,这就需要用到多项式拟合。如下图所示分布: 多项式的一般形式: y=p0xn+p1xn−1+p2xn−2+p3xn−3+...+pn y=p_{0}x^n + p_{1}x^{n-1} + p_{2}x... -
Java多项式函数拟合的实现方法
2020-08-27 20:51:27项目中遇到给出几个间隔时间点的数据,然后判断其他时刻的数据,需要整体考虑数据的变化趋势,不能通过插值来得到中间未知时刻的数据,所以需要使用多项式拟合来讲数据补全。 多项式函数是一个很重要的建模手段,... -
c++多项式拟合
2021-02-28 13:25:38基本原理:幂函数可逼近任意函数。...下面是使用C++实现的多项式拟合的程序,程序中使用opencv进行矩阵运算和图像显示。程序分别运行了N=3,5,7,9时的情况,结果如下: #include <opencv2\opencv.hpp> #include -
最小二乘法进行多项式拟合
2018-10-28 23:24:47最小二乘法实现多项式拟合,用到库函数leastsq行曲线拟合,并绘制拟合曲线。内含详细注释! -
matlab正交多项式拟合
2021-04-22 06:17:15在实验模态分析中用 Matlab 实现离散化正交多项式算法 [C], 马永列; 陈章 位; 胡海清 4.在实验模态分析中用 Matlab 实现离散化正交...435 ④在实际应用中还可以利用正交多项式求拟合多项式。一种方法是构造离散........ -
基于多项式拟合函数趋势项与阶数估计加速度、速度、位移的方法与流程
2021-04-24 16:52:53本发明属于信号处理领域,尤其涉及一种基于多项式拟合函数趋势项与阶数估计加速度、速度、位移的方法。背景技术:目前信号处理领域常用的加速度积分方法主要有时域积分和频域积分两种。时域积分常数项经积分会产生较... -
多项式拟合——正规方程法
2019-10-11 13:10:24这几天师哥给我布置多项式拟合的作业,可我只是一个大一菜鸡,只会一点点c++(T_T) 在b站看了几天吴老大(吴恩达)的机器学习视频,好不容易打出了梯度下降结果 连我的电脑都觉得南 面对精度问题手足无措的我选择... -
C++——多项式拟合
2018-07-20 15:37:32C++——多项式拟合 目标:利用C++对txt或者xml中的数据,进行高阶或低阶多项式拟合 为方便以后查找,代码以及详细资料已打包,并上传至云盘(链接:https://pan.baidu.com/s/1bvUBIoxv7Avxeq_Cz6xOZQ 密码:u9qe... -
数值计算之 拟合法,线性拟合,多项式拟合
2021-11-22 11:42:28数值计算之 拟合法之线性拟合,多项式拟合前言最小二乘法多项式拟合线性拟合后记 前言 拟合法是另一种由采样数据求取潜在函数的方法。插值要求函数必须经过每一个采样节点,而拟合则要求函数与全部节点之间的距离较... -
matlab中数据的多项式拟合
2020-08-13 17:05:31很多时候我们需要对数据进行拟合,使用一次拟合或者多项式拟合,同时绘制拟合的置信区间以及多项式拟合图。 2、使用的数据和方法 使用matlab读取存储在excel中的数据,然后采用一次或者多次多项式进行拟合,并画出... -
【计算方法】曲线拟合——多项式拟合
2021-05-14 12:21:39【问题描述】根据N个数据点构造最小二乘多项式拟合。 【输入形式】在屏幕上依次输入多项式的次数m,数据点的个数N,和N对数据点的x和y坐标。 【输出形式】输出最小二乘多项式和误差。如果有多位小数,则保留6位有效...