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  • 2020-08-19 12:09:15

    1.多项式拟合函数:p=polyfit(x,y,n)
    输入:x,y—数据点,n—多项式阶数
    输出:p 为幂次从高到低的多项式系数向量p

    2.多项式求值函数:y=polyval(p,x)
    其中, y为返回对应自变量x在给定系数p的多项式的值。

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      多项式拟合(polynominal curve fitting)是一种线性模型,模型和拟合参数的关系是线性的。多项式拟合的输入是一维的,即x=xx=x\textbf{x} = x,这是多项式拟合和线性回归问题的主要区别之一。   多项式拟合...

    1. 多项式拟合问题

      多项式拟合(polynominal curve fitting)是一种线性模型,模型和拟合参数的关系是线性的。多项式拟合的输入是一维的,即 x=x x = x ,这是多项式拟合和线性回归问题的主要区别之一。

      多项式拟合的目标是构造输入 x x M阶多项式函数,使得该多项式能够近似表示输入 x x 和输出y的关系,虽然实际上 x x y的关系并不一定是多项式,但使用足够多的阶数,总是可以逼近表示输入 x x 和输出y的关系的。

      多项式拟合问题的输入可以表示如下:

    D={(x1,y1),(x2,y2),...,(xi,yi),...,(xN,yN)}xiRyiR D = { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , . . . , ( x i , y i ) , . . . , ( x N , y N ) } x i ∈ R y i ∈ R

      目标输出是得到一个多项式函数:

    f(x)=w1x1+w2x2+wixi+...+wMxM+b=(i=1Mwixi)+b f ( x ) = w 1 x 1 + w 2 x 2 + w i x i + . . . + w M x M + b = ( ∑ i = 1 M w i x i ) + b

    其中 M M 表示最高阶数为M

      可见在线性拟合的模型中,共包括了 (M+1) ( M + 1 ) 个参数,而该模型虽然不是输入 x x 的线性函数,但却是(M+1)个拟合参数的线性函数,所以称多项式拟合为线性模型。对于多项式拟合问题,其实就是要确定这 (M+1) ( M + 1 ) 个参数,这里先假设阶数 M M 是固定的(M是一个超参数,可以用验证集来确定 M M 最优的值,详细的关于M值确定的问题,后面再讨论),重点就在于如何求出这 (M+1) ( M + 1 ) 个参数的值。

    2.优化目标

      多项式拟合是利用多项式函数逼近输入 x x 和输出y的函数关系,通过什么指标来衡量某个多项式函数的逼近程度呢?(其实这就是误差/损失函数)。拟合/回归问题常用的评价指标是均方误差(在机器学习中的模型评估与度量博客中,我进行了介绍)。多项式拟合问题也同样采用该评价指标,以均方误差作为误差/损失函数,误差函数越小,模型越好。

    E(w,b)=1Ni=1N[f(xi)yi]2 E ( w , b ) = 1 N ∑ i = 1 N [ f ( x i ) − y i ] 2

      系数 1N 1 N 是一常数,对优化结果无影响,可以去除,即将均方误差替换为平方误差:

    E(w,b)=i=1N[f(xi)yi]2 E ( w , b ) = ∑ i = 1 N [ f ( x i ) − y i ] 2

       到这里,就成功把多项式拟合问题变成了最优化问题,优化问题可表示为:

    argminw,bE(w,b) arg ⁡ min w , b ⁡ E ( w , b )

    即需要求得参数 {w1,...,wM,b} { w 1 , . . . , w M , b } 的值,使得 E(w,b) E ( w , b ) 最小化。那么如何对该最优化问题求解呢?

    3. 优化问题求解

    3.1 求偏导,联立方程求解

       直观的想法是,直接对所有参数求偏导,令偏导为0,再联立这 M+1 M + 1 个方程求解(因为共有 M+1 M + 1 个参数,故求偏导后也是得到 M+1 M + 1 个方程)。

    E(w,b)=i=1N[f(xi)yi]2=i=1N[(w1x1i+w2x2i+wixji+...+wMxMi+b)yi]2 E ( w , b ) = ∑ i = 1 N [ f ( x i ) − y i ] 2 = ∑ i = 1 N [ ( w 1 x i 1 + w 2 x i 2 + w i x i j + . . . + w M x i M + b ) − y i ] 2

    利用 E(w,b) E ( w , b ) 对各个参数求偏导,如下:

    E(w,b)wjE(w,b)b=2i=1N[(w1x1i+w2x2i+wixji+...+wMxMi+b)yi]xji=2i=1N[(w1x1i+w2x2i+wixji+...+wMxMi+b)yi] ∂ E ( w , b ) ∂ w j = 2 ∑ i = 1 N [ ( w 1 x i 1 + w 2 x i 2 + w i x i j + . . . + w M x i M + b ) − y i ] x i j ∂ E ( w , b ) ∂ b = 2 ∑ i = 1 N [ ( w 1 x i 1 + w 2 x i 2 + w i x i j + . . . + w M x i M + b ) − y i ]

    求导之后,将各个点 (xi,yi) ( x i , y i ) 的值带入偏导公式,联立方程求解即可。

      针对该解法,可以举个例子详细说明,比如有两个点 (2,3),(5,8) ( 2 , 3 ) , ( 5 , 8 ) ,需要利用二阶多项式 f(x)=w1x+w2x2+b f ( x ) = w 1 x + w 2 x 2 + b 拟合。求解过程如下:

    1. 该二阶多项式对参数求偏导得到

      E(w,b)wjE(w,b)b=2i=12[(w1x1i+w2x2i+b)yi]xji=[(w1x1+w2x21+b)y1]xj1+[(w1x2+w2x22+b)y2]xj2=2i=12[(w1x1i+w2x2i+b)yi]=[(w1x1+w2x21+b)y1]+[(w1x2+w2x22+b)y2] ∂ E ( w , b ) ∂ w j = 2 ∑ i = 1 2 [ ( w 1 x i 1 + w 2 x i 2 + b ) − y i ] x i j = [ ( w 1 x 1 + w 2 x 1 2 + b ) − y 1 ] x 1 j + [ ( w 1 x 2 + w 2 x 2 2 + b ) − y 2 ] x 2 j ∂ E ( w , b ) ∂ b = 2 ∑ i = 1 2 [ ( w 1 x i 1 + w 2 x i 2 + b ) − y i ] = [ ( w 1 x 1 + w 2 x 1 2 + b ) − y 1 ] + [ ( w 1 x 2 + w 2 x 2 2 + b ) − y 2 ]

    2. 将点 (2,3),(5,8) ( 2 , 3 ) , ( 5 , 8 ) 带入方程,可以得到3个方程,

      2b+7w1+29w2=117b+29w1+133w2=4629b+133w1+641w2=212 2 b + 7 w 1 + 29 w 2 = 11 7 b + 29 w 1 + 133 w 2 = 46 29 b + 133 w 1 + 641 w 2 = 212

    3. 联立这三个方程求解,发现有无穷多的解,只能得到 3w1+21w2=5 3 w 1 + 21 w 2 = 5 ,这三个方程是线性相关的,故没有唯一解。

      该方法通过求偏导,再联立方程求解,比较复杂,看着也很不美观。那么有没有更加方便的方法呢?

    3.2 最小二乘法

       其实求解该最优化问题(平方和的最小值)一般会采用最小二乘法(其实最小二乘法和求偏导再联立方程求解的方法无本质区别,求偏导也是最小二乘法,只是这里介绍最小二乘的矩阵形式而已)。最小二乘法(least squares),从英文名非常容易想到,该方法就是求解平方和的最小值的方法。

      可以将误差函数以矩阵的表示( N N 个点,最高M阶)为:

    Xwy2 ‖ X w − y ‖ 2

    其中,把偏置 b b 融合到了参数w中,

    w={b,w1,w2,...,wM} w = { b , w 1 , w 2 , . . . , w M }

    X X 则表示输入矩阵,

    11...1x1x2...xNx21x22...x2N............xM1xM2...xMN [ 1 x 1 x 1 2 . . . x 1 M 1 x 2 x 2 2 . . . x 2 M . . . . . . . . . . . . . . . 1 x N x N 2 . . . x N M ]

    y y 则表示标注向量,

    y={y1,y2,...,yN}T y = { y 1 , y 2 , . . . , y N } T

    因此,最优化问题可以重新表示为

    minwXwy2 min w ‖ X w − y ‖ 2

    对其求导,

    Xwy2w=(Xwy)T(Xwy)w=(wTXTyT)(Xwy)w=(wTXTXwyTXwwTXTy+yTy)w ∂ ‖ X w − y ‖ 2 ∂ w = ∂ ( X w − y ) T ( X w − y ) ∂ w = ∂ ( w T X T − y T ) ( X w − y ) ∂ w = ∂ ( w T X T X w − y T X w − w T X T y + y T y ) ∂ w

    在继续对其求导之前,需要先补充一些矩阵求导的先验知识(常见的一些矩阵求导公式可以参见转载的博客https://blog.csdn.net/lipengcn/article/details/52815429),如下:

    xTax=aaxx=aTxTAx=Ax+ATx ∂ x T a ∂ x = a ∂ a x ∂ x = a T ∂ x T A ∂ x = A x + A T x

    根据上面的矩阵求导规则,继续进行损失函数的求导

    Xwy2w=(wTXTXwyTXwwTXTy+yTy)w=XTXw+(XTX)Tw(yTX)TXTy=2XTXw2XTy ∂ ‖ X w − y ‖ 2 ∂ w = ∂ ( w T X T X w − y T X w − w T X T y + y T y ) ∂ w = X T X w + ( X T X ) T w − ( y T X ) T − X T y = 2 X T X w − 2 X T y

    其中 XTXw=(XTX)Tw X T X w = ( X T X ) T w .令求导结果等于0,即可以求导问题的最小值。

    2XTXw2XTy=0w=(XTX)1XTy 2 X T X w − 2 X T y = 0 w = ( X T X ) − 1 X T y

      再利用最小二乘法的矩阵形式对前面的例子进行求解,用二阶多项式拟合即两个点 (2,3),(5,8) ( 2 , 3 ) , ( 5 , 8 )

    1. 表示输入矩阵 X X 和标签向量 y y

      X=[1125425]y=[38]T X = [ 1 2 4 1 5 25 ] y = [ 3 8 ] T

    2. 计算 XTX X T X

      XTX=272972913329133641 X T X = [ 2 7 29 7 29 133 29 133 641 ]

    3. 矩阵求逆,再做矩阵乘法运算
      XTX X T X 不可逆,故无唯一解。

      关于矩阵的逆是否存在,可以通过判断矩阵的行列式是否为0( det(A)=?0 d e t ( A ) = ? 0 来判断,也可以通过初等行变换,观察矩阵的行向量是否线性相关,在这个例子下,矩阵不可逆,故有无穷多解。但如果新增一个点 (4,7) ( 4 , 7 ) ,则就可以解了。

      其实这和数据集的点数和选择的阶数有关,如果点数小于阶数则会出现无穷解的情况,如果点数等于阶数,那么刚好有解可以完全拟合所有数据点,如果点数大于阶数,则会求的近似解。

      那么对于点数小于阶数的情况,如何求解?在python的多项式拟合函数中是可以拟合的,而且效果不错,具体算法不是很了解,可以想办法参考python的ployfit()函数的实现。

    4. 拟合阶数的选择

       在前面的推导中,多项式的阶数被固定了,那么实际场景下应该如何选择合适的阶数 M M 呢?

    1. 一般会选择阶数M小于点数 N N
    2. 把训练数据分为训练集合验证集,在训练集上,同时用不同的M值训练多个模型,然后选择在验证集误差最小的阶数 M M <script type="math/tex" id="MathJax-Element-5573">M</script>

      5. 后续

        如果后续还想写的话,可以考虑正则化问题。

    展开全文
  • 多项式拟合

    2019-01-18 11:02:43
    多项式拟合C# Class1.cs-拟合类 using System; using System.Collections.Generic; using System.Text; namespace 最小二乘法拟合多项式 { class Class1 { ///&lt;summary&gt; ///用最小二乘法拟合二元...

    多项式拟合C#

    Class1.cs-拟合类

    using System;
    using System.Collections.Generic;
    using System.Text;
    
    namespace 最小二乘法拟合多项式
    {
        class Class1
        {
            ///<summary>
            ///用最小二乘法拟合二元多次曲线
            ///</summary>
            ///<param name="arrX">已知点的x坐标集合</param>
            ///<param name="arrY">已知点的y坐标集合</param>
            ///<param name="length">已知点的个数</param>
            ///<param name="dimension">方程的最高次数</param>
            public double[] MultiLine(double[] arrX, double[] arrY, int length, int dimension)//二元多次线性方程拟合曲线
            {
                int n = dimension + 1;                  //dimension次方程需要求 dimension+1个 系数
                double[,] Guass = new double[n, n + 1];      //高斯矩阵 例如:y=a0+a1*x+a2*x*x
                for (int i = 0; i < n; i++)
                {
                    int j;
                    for (j = 0; j < n; j++)
                    {
                        Guass[i, j] = SumArr(arrX, j + i, length);
                    }
                    Guass[i, j] = SumArr(arrX, i, arrY, 1, length);
                }
                return ComputGauss(Guass, n);
            }
    
            public double SumArr(double[] arr, int n, int length) //求数组的元素的n次方的和
            {
                double s = 0;
                for (int i = 0; i < length; i++)
                {
                    if (arr[i] != 0 || n != 0)
                        s = s + Math.Pow(arr[i], n);
                    else
                        s = s + 1;
                }
                return s;
            }
    
            public double SumArr(double[] arr1, int n1, double[] arr2, int n2, int length)
            {
                double s = 0;
                for (int i = 0; i < length; i++)
                {
                    if ((arr1[i] != 0 || n1 != 0) && (arr2[i] != 0 || n2 != 0))
                        s = s + Math.Pow(arr1[i], n1) * Math.Pow(arr2[i], n2);
                    else
                        s = s + 1;
                }
                return s;
    
            }
    
            public double[] ComputGauss(double[,] Guass, int n)
            {
                int i, j;
                int k, m;
                double temp;
                double max;
                double s;
                double[] x = new double[n];
                for (i = 0; i < n; i++) x[i] = 0.0;//初始化
    
                for (j = 0; j < n; j++)
                {
                    max = 0;
                    k = j;
                    for (i = j; i < n; i++)
                    {
                        if (Math.Abs(Guass[i, j]) > max)
                        {
                            max = Guass[i, j];
                            k = i;
                        }
                    }
    
    
                    if (k != j)
                    {
                        for (m = j; m < n + 1; m++)
                        {
                            temp = Guass[j, m];
                            Guass[j, m] = Guass[k, m];
                            Guass[k, m] = temp;
                        }
                    }
                    if (0 == max)
                    {
                        // "此线性方程为奇异线性方程" 
                        return x;
                    }
    
                    for (i = j + 1; i < n; i++)
                    {
                        s = Guass[i, j];
                        for (m = j; m < n + 1; m++)
                        {
                            Guass[i, m] = Guass[i, m] - Guass[j, m] * s / (Guass[j, j]);
                        }
                    }
    
                }//结束for (j=0;j<n;j++)
    
                for (i = n - 1; i >= 0; i--)
                {
                    s = 0;
                    for (j = i + 1; j < n; j++)
                    {
                        s = s + Guass[i, j] * x[j];
                    }
                    x[i] = (Guass[i, n] - s) / Guass[i, i];
                }
                return x;
            }//返回值是函数的系数
            //例如:y=a0+a1*x 返回值则为a0 a1
            //例如:y=a0+a1*x+a2*x*x 返回值则为a0 a1 a2
        }
    }
    
    

    Progran.cs - 测试类

    using System;
    using System.Collections.Generic;
    using System.Text;
    
    namespace 最小二乘法拟合多项式
    {
        class Program
        {
            static void Main(string[] args)
            {
                double[] xCoe;
    
                double[] xLeastValue = {
    0.005,
    1.01,
    2.019,
    3.025,
    4.027,
    5.025,
    6.016,
    7.007,
    7.999,
    8.998,
    10.006};
                double[] zLeastValue = {
    0,
    0.25,
    0.5,
    0.75,
    1,
    1.25,
    1.5,
    1.75,
    2,
    2.25,
    2.5};
                //例如:y=a0+a1*x+a2*x*x 返回值则为a0 a1 a2
                Class1 sb = new Class1();
                xCoe = sb.MultiLine(xLeastValue, zLeastValue, 11, 5);
                Console.WriteLine("5阶多项式因子:");
                for(int i = 0;i < xCoe.Length; i++)
                {
                    Console.WriteLine("a"+i+":"+xCoe[i]);
                }
    
                Console.WriteLine("多项式计算出来的位移值 标准位移值 两者差值 线性度:");
                for (int i = 0; i < xLeastValue.Length; i++)
                {
                    double Y = xCoe[0] + xCoe[1] * Math.Pow(xLeastValue[i], 1) + xCoe[2] * Math.Pow(xLeastValue[i], 2) + xCoe[3] * Math.Pow(xLeastValue[i], 3)
                        + xCoe[4] * Math.Pow(xLeastValue[i], 4) + xCoe[5] * Math.Pow(xLeastValue[i], 5);
                    double dev = Y - zLeastValue[i];
                    double error = dev / 2.5;
                    Console.WriteLine(Y + "   " + zLeastValue[i] + "  " + dev + "    " + error);
                }
    
                 Console.ReadKey(true);
            }
    
    
        }
    }
    
    
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  • 多项式拟合一般方程法详细推导

    千次阅读 2020-09-20 16:16:24
    多项式拟合之一般方程法 文章目录多项式拟合之一般方程法1 什么是多项式拟合?2 怎样拟合?3 求bbb正交矩阵QR分解施密特正交化matlab测试函数 之前经常会用到多项式拟合来拟合函数关系,十分好用,得出的表达式使用...

    多项式拟合之一般方程法

    之前经常会用到多项式拟合来拟合函数关系,十分好用,得出的表达式使用起来超级方便。在此对多项式拟合原理进行分析。

    1 什么是多项式拟合?

    y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n = ∑ i = 0 n a i x i \begin{aligned} y&=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n\\ &=\sum_{i=0}^{n}{a_ix^i} \end{aligned} y=a0+a1x+a2x2++anxn=i=0naixi

    这是多项式拟合的输出表达式。

    2 怎样拟合?

    考虑输入样本数据如下:
    x = [ x 1 , x 2 , . . . , x m ] T y = [ y 1 , y 2 , . . . , y m ] T x=[x_1,x_2,...,x_m]^T\\ y=[y_1,y_2,...,y_m]^T x=[x1,x2,...,xm]Ty=[y1,y2,...,ym]T
    构建方程组:
    y 1 = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 1 2 + ⋯ + a n x 1 n y 2 = a 0 + a 1 x 2 + a 2 x 2 2 + ⋯ + a n x 2 n ⋮ y m = a 0 + a 1 x m + a 2 x m 2 + ⋯ + a n x m n \begin{aligned} y_1&=a_0+a_1x_1+a_2x_1^2+\cdots +a_nx_1^n\\ y_2&=a_0+a_1x_2+a_2x_2^2+\cdots +a_nx_2^n\\ \vdots\\ y_m&=a_0+a_1x_m+a_2x_m^2+\cdots +a_nx_m^n\\ \end{aligned} y1y2ym=a0+a1x1+a2x12++anx1n=a0+a1x2+a2x22++anx2n=a0+a1xm+a2xm2++anxmn

    令:
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    则上面的方程组可以写为:
    A b = f Ab=f Ab=f
    拟合过程就是求 b b b的过程

    3 求 b b b

    现在一个很直观的想法,就是:
    A b = f b = A − 1 f \begin{aligned} Ab=f\\ b=A^{-1}f \end{aligned} Ab=fb=A1f
    但是,没这么简单。考虑一下矩阵维度
    A [ m , n + 1 ] b [ n + 1 , 1 ] = f [ m , 1 ] A_{[m,n+1]}b_{[n+1,1]}=f_{[m,1]} A[m,n+1]b[n+1,1]=f[m,1]
    强行规定输入的 x = [ x 1 , x 2 , . . . , x m ] x=[x_1,x_2,...,x_m] x=[x1,x2,...,xm]不能重复,则 A A A的各个列向量都线性无关

    • m = n + 1 m=n+1 m=n+1时, A A A是可逆矩阵,可以直接计算

    • m < n + 1 m<n+1 m<n+1时,方程数少于未知数个数,方程不可解,拟合失败

    • m > n + 1 m>n+1 m>n+1时,怎么算呢?

      正交矩阵

      对于一个矩阵A,如果有 A A T = E AA^T=E AAT=E,则称之为正交矩阵

      QR分解

      将一个矩阵A,分解为一个正交矩阵和一个非奇异上三角阵的过程
      A [ m , n + 1 ] = Q [ m , n + 1 ] R [ n + 1 , n + 1 ] A_{[m,n+1]}=Q_{[m,n+1]}R_{[n+1,n+1]} A[m,n+1]=Q[m,n+1]R[n+1,n+1]
      其中 Q Q Q是正交矩阵, R R R是非奇异上三角阵

      那么,如何进行QR分解呢?

      施密特正交化

      这个请大家自行学习。

      完成QR分解后
      A b = f Q R b = f R b = Q T f b = R − 1 Q t f \begin{aligned} Ab &= f\\ QRb&=f\\ Rb&=Q^Tf\\ b&=R^{-1}Q^tf \end{aligned} AbQRbRbb=f=f=QTf=R1Qtf

    matlab测试函数

    测试数据
    在这里插入图片描述

    %% 准备测试数据
    x=1:0.1:50;
    y=0.001*x.^4+100*rand(size(x));
    
    plot(x,y,'b')
    title('测试数据')
    

    拟合与测试

    在这里插入图片描述

    %% 拟合
    n=4;
    c = mypolyfit(x',y',n);
    %% 测试效果
    y1 = mypolyval(c,x');
    plot(x,y,'b',x,y1','r')
    title('测试拟合效果')
    

    mypolyfit函数

    function c = mypolyfit(x,f,n)
    A = x.^(0:n);
    c = A\f;
    

    mypolyval函数

    function y = mypolyval(c,s)
    n = length(c)-1;
    B = s.^(0:n);
    y = B*c;
    
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空空如也

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多项式拟合求解