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  • 文章目录前言多项式回归泰勒公式多项式回归正规方程结语 前言 上一章,我们学习了多变量线性回归算法的原理实现过程。正如上一章最后所说,我们现实中面临的问题大部分都是线性的,这时候,我们需要对多变量线性...

    前言

    上一章,我们学习了多变量线性回归算法的原理和实现过程。正如上一章最后所说,我们现实中面临的问题大部分都是非线性的,这时候,我们需要对多变量线性回归做一些处理,就是我们这一章要学习的多项式回归算法。
      在进行回归算法学习的过程中,还面临着一个问题,就是如何验证算法的学习成果。对于单变量线性回归问题,我们将训练集和学习结果画出来就可以直观地判断学习成果是否达到预期的要求了。而对于多变量问题,我们没有办法将其通过图像化的方式直观地表示出来,这时候该如何验证我们的算法是否成功了呢?本章后半部分介绍正规方程的方法,可以对学习的成果进行验证。

    多项式回归

    泰勒公式

    如果你学习过高等数学,那么想必对泰勒公式并不陌生。我们这里介绍泰勒公式并不一定要求你对它有多深的了解,只是想说明一个道理,就是大部分情况下,一个复杂的非线性函数可以通过多项式来表达:f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+\cdots,其中a0,a1,a2,a3,a4,a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,\cdots是待定的常数项。如果你认同这件事,那么就可以跳过泰勒公式这一部分内容。
      泰勒公式是将一个在x=x0x=x_0处具有nn阶导数的函数f(x)f(x)利用关于(xx0)(x-x_0)nn次多项式来逼近函数f(x)f(x)的方法:
      若函数f(x)f(x)在包含x0x_0的某个闭区间[a,b][a,b]上具有nn阶导数,且在开区间(a,b)(a,b)上具有(n+1)(n+1)阶导数,则对闭区间[a,b][a,b]上任意一点xx,成立下式:
      f(x)=f(x0)0!+f(x0)1!(xx0)+f(x0)2!(xx0)2+f(x0)3!(xx0)3++f(n)(x0)n!(xx0)n+Rn(x)f(x)=\frac{f(x_0)}{0!}+\frac{f^{'}(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{''}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f^{'''}(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x),式中,f(n)(x0)f^{(n)}(x_0)是函数f(x)f(x)x0x_0处的nn阶导数值,Rn(x)R_n(x)nn阶展开的剩余项,它是(xx0)n(x-x_0)^n的高阶无穷小,其证明过程可见这里。如果令x0=0x_0=0就可以得到公式f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+\cdots

    多项式回归

    有了刚才的铺垫以后,我们就知道,对于一个多变量的非线性问题,我们可以将假设函数设为一个多变量的多项式。以两个特征的情况为例,我们可以令假设函数为:
      h(x)=θ0+θ1x1+θ2x2+θ3x12+θ4x22+θ5x1x2+θ6x13+θ7x23+h(x)=\theta_0+\theta_1x_1+\theta_2x_2+\theta_3x_1^2+\theta_4x_2^2+\theta_5x_1x_2+\theta_6x_1^3+\theta_7x_2^3+\cdots,针对每一个高次项,我们可以定义其为新的特征:x3=x12,x4=x22,x5=x1x2,x_3=x_1^2, x_4=x_2^2, x_5=x_1x_2, \cdots,于是我们的假设函数就又回到了多变量线性回归的形式:h(x)=θ0+θ1x1+θ2x2+θ3x3+h(x)=\theta_0+\theta_1x_1+\theta_2x_2+\theta_3x_3+\cdots,用矢量的形式表达,就是h=θTxh=\mathbf{\theta}^T\mathbf{x}
      在进行学习前,我们可以先计算出训练集中样本的高次项对应的特征值,并作为新的特征加入到训练集中,然后就可以按照多变量线性回归的方法来进行拟合优化了。
      至此,我们的回归算法就可以应用到解决各种函数关系的问题中了,当然,具体选择的特征的数量,选择那些特征就要结合具体的问题具体分析了。

    正规方程

    除了基于梯度下降的回归算法以外,我们亦可以通过正规方程的方法来寻找最优的特征参数。
      我们换个方式来考虑问题,假设我们有四个输入特征,mm个样本,假设函数为h=θ0+θ1x1+θ2x2+θ3x3+θ4x4h=\theta_0+\theta_1x_1+\theta_2x_2+\theta_3x_3+\theta_4x_4。我们的目标是寻找最优的参数θ\mathbf\theta使所有样本都尽量满足h(i)=y(i)h^{(i)}=y^{(i)}。我们将所有样本都代入上式,即:
      {θ0+θ1x1(1)+θ2x2(1)+θ3x3(1)+θ4x4(1)=y(1)θ0+θ1x1(2)+θ2x2(2)+θ3x3(2)+θ4x4(2)=y(2)θ0+θ1x1(m)+θ2x2(m)+θ3x3(m)+θ4x4(m)=y(m)\left \{\begin{array}{}\theta_0+\theta_1x_1^{(1)}+\theta_2x_2^{(1)}+\theta_3x_3^{(1)}+\theta_4x_4^{(1)}&=&y^{(1)}\\\theta_0+\theta_1x_1^{(2)}+\theta_2x_2^{(2)}+\theta_3x_3^{(2)}+\theta_4x_4^{(2)}&=&y^{(2)}\\\vdots&&\vdots\\\theta_0+\theta_1x_1^{(m)}+\theta_2x_2^{(m)}+\theta_3x_3^{(m)}+\theta_4x_4^{(m)}&=&y^{(m)}\end{array}\right.
      我们令X=[1x1(1)x2(1)x3(1)x4(1)1x1(2)x2(2)x3(2)x4(2)1x1(m)x2(m)x3(m)x4(m)]\mathbf{X}=\left[\begin{matrix}1&x_1^{(1)}&x_2^{(1)}&x_3^{(1)}&x_4^{(1)}\\1&x_1^{(2)}&x_2^{(2)}&x_3^{(2)}&x_4^{(2)}\\&&\vdots\\1&x_1^{(m)}&x_2^{(m)}&x_3^{(m)}&x_4^{(m)}\end{matrix}\right]y=[y(1)y(2)y(m)]\mathbf{y}=\left[\begin{matrix}y^{(1)}\\y^{(2)}\\\vdots\\y^{(m)}\end{matrix}\right]θ=[θ0θ1θ4]\mathbf{\theta}=\left[\begin{matrix}\theta_0\\\theta_1\\\vdots\\\theta_4\end{matrix}\right]于是,上式可以表示为Xθ=y\mathbf{X\theta}=\mathbf{y}
      我们的目的现在就转化为求四元一次方程组Xθ=y\mathbf{X\theta}=\mathbf{y}的解。通常情况下,方程Xθ=y\mathbf{X\theta}=\mathbf{y}是一个超定方程组,也就是方程的数量大于特征数(m>nm>n)。显然,该方程是没有传统意义上的解的,但是我们可以通过最小二乘法找到一个最合适的解θ\mathbf{\theta}使得方程Xθ=y\mathbf{X\theta}=\mathbf{y}“尽量成立”,这个最合适的解可以通过下式求得:
      θ=(XTX)1XTy\mathbf{\theta}=(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^T\mathbf{y}
      其中,()T()^T表示矩阵的转置,()1()^{-1}表示矩阵的逆,该式的证明过程可以参考这里。在Matlab里,我们就可以通过下面的代码来计算θ\mathbf{\theta}

    theta=pinv(X'*X)*X'*y;
    

    可以看出,在n不大的情况下,使用正规方程的方法可以非常简单直接地计算出最优的参数值。然而,求解矩阵的逆(XTX)1(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}实际上是一个很复杂和耗时的过程,它所用的时间是O(n3)O(n^3),随着nn的增加会急剧增加,因此正规方程并不适用于nn很大的情况。在nn不大时,正规方程倒是一个验证梯度下降算法正确性的很好的选择,如果我们的梯度下降算法没有出错,那么这两种方法得到的参数值应该是相等的。

    结语

    至此,回归问题中常用的算法已经介绍完毕,下一章我们来学习监督算法中更常遇到的另一类问题即“分类问题”中常用的算法。

    展开全文
  • 首先,我们推导出移位的Chebyshev多项式一阶微分算子矩阵分数阶微分算子矩阵,然后将Sine-Gordon(SG)方程转化为线性代数方程组的形式,进而得到分数阶线性SG方程的数值解.根据所提出的误差校正相关理论,对数值解...
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  • 然而现实中的数据往往线性关系比较弱,甚至本来就不存在着线性关系,机器学习中有不少线性模型,这里主要讲由线性模型扩展至线性模型的多项式回归。多项式回归就是把一次特征转换成高次特征的线性组合多项式。 ...

    多项式回归
    线性回归模型尽管是最简单的模型,但它却有不少假设前提,其中最重要的一条就是响应变量和解释变量之间的确存在着线性关系,否则建立线性模型就是白搭。然而现实中的数据往往线性关系比较弱,甚至本来就不存在着线性关系,机器学习中有不少非线性模型,这里主要讲由线性模型扩展至非线性模型的多项式回归。多项式回归就是把一次特征转换成高次特征的线性组合多项式。
    在这里插入图片描述

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
    from sklearn.linear_model import LinearRegression
    
    
    # In[6]:
    
    
    # 载入数据
    data = np.genfromtxt("job.csv", delimiter=",")
    print(data)
    x_data = data[1:,1]
    y_data = data[1:,2]
    all_data = data[1:,:]
    plt.scatter(x_data,y_data)
    plt.show()
    
    
    
    x_data = x_data[:,np.newaxis]
    y_data = y_data[:,np.newaxis]
    
    # 创建并拟合模型
    model = LinearRegression()
    model.fit(x_data, y_data)
    
    # 画图
    plt.plot(x_data, y_data, 'b.')
    plt.plot(x_data, model.predict(x_data), 'r')
    plt.show()
    #一元线性回归的图省略
    
    
    # 定义多项式回归,degree的值可以调节多项式的特征
    poly_reg  = PolynomialFeatures(degree=6) 
    # 特征处理
    x_poly = poly_reg.fit_transform(x_data)
    # 定义回归模型
    lin_reg = LinearRegression()
    # 训练模型
    lin_reg.fit(x_poly, y_data)
    
    
    # 画图
    plt.plot(x_data, y_data, 'b.')
    plt.plot(x_data, lin_reg.predict(poly_reg.fit_transform(x_data)), c='r')
    plt.title('Truth or Bluff (Polynomial Regression)')
    plt.xlabel('Position level')
    plt.ylabel('Salary')
    plt.show()
    
    
    

    在这里插入图片描述
    标准方程法
    转化为函数求解极值问题
    在这里插入图片描述
    将代价函数转化为矩阵向量的形式:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    最终的表示形式为:
    在这里插入图片描述
    标准方程法和梯度下降法的比较:
    在这里插入图片描述
    代码实现:

    import numpy as np
    from numpy import genfromtxt
    import matplotlib.pyplot as plt  
    
    # 载入数据
    data = np.genfromtxt("data.csv", delimiter=",")
    x_data = data[:,0,np.newaxis]
    y_data = data[:,1,np.newaxis]
    plt.scatter(x_data,y_data)
    plt.show()
    
    print(np.mat(x_data).shape)
    print(np.mat(y_data).shape)
    # 给样本添加偏置项
    X_data = np.concatenate((np.ones((100,1)),x_data),axis=1)
    print(X_data.shape)
    
    
    print(X_data[:3])
    
    # 标准方程法求解回归参数
    def weights(xArr, yArr):
        xMat = np.mat(xArr)
        yMat = np.mat(yArr)
        xTx = xMat.T*xMat # 矩阵乘法
        # 计算矩阵的值,如果值为0,说明该矩阵没有逆矩阵
        if np.linalg.det(xTx) == 0.0:
            print("This matrix cannot do inverse")
            return
        # xTx.I为xTx的逆矩阵
        ws = xTx.I*xMat.T*yMat
        return ws
    
    ws = weights(X_data,y_data)
    print(ws)
    
    
    # 画图
    x_test = np.array([[20],[80]])
    y_test = ws[0] + x_test*ws[1]
    plt.plot(x_data, y_data, 'b.')
    plt.plot(x_test, y_test, 'r')
    plt.show()
    #只打印最后拟合结果
    

    在这里插入图片描述

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  • 4 基本数值算法4.3 线性方程组4.3.1 线性方程的特性存在性唯一性线性方程解存在性唯一性的情形,要比线性方程复杂得多一个线性方程的解,可能的情形有很多种如果f是闭区间 上的连续函数,且有 ,则在...

    a99b8c509bc66d19d3ca6fb48d4aad97.png

    4 基本数值算法

    4.3 非线性方程组

    4.3.1 非线性方程的特性

    存在性和唯一性

    非线性方程解存在性和唯一性的情形,要比线性方程复杂得多

    一个非线性方程的解,可能的情形有很多种

    如果f是闭区间

    上的连续函数,且有
    ,则在区间
    内一定有一维非线性方程
    的解,但这个有根判别准则很难推广到n维空间。

    如果

    但是
    ,则
    是非线性方程的m重根。

    敏感性和变态性

    非线性方程

    是方程的近似解,可能有两种描述:

    说明残差很小

    近似解与真解的接近程度,前向误差(更为准确)

    只有在问题良态的条件下,残差小才意味着解是精确的。

    方程

    的绝对条件数为
    ,函数求值
    的绝对条件数为
    ,因为
    ,所以不能用相对条件数。

    非线性方程

    ,如果在解
    处的切线接近水平,则求根问题是病态的,所以具有重根的问题是病态的。

    4.3.2 非线性方程的求解

    二分法、不动点迭代、牛顿法、割线法、反插

    两大类方法,第一类需要知道根所在的区间,但求解过程相对简单,收敛性能保证;另一类从某个初值出发进行迭代,求解过程相对复杂,而且收敛性不能保证,和初值的选取很有关系。

    第一类的代表方法是二分法;第二类方法包括牛顿法、割线法等。

    二分法:每次确定解在某一半区间内

    迭代法的讨论:设方程的真解为

    ,第k步得到的近似解为
    ,则相应的误差为
    ,如果满足下式(C为大于零的常数),称迭代法的收敛速度为r

    若r=1且C<1,收敛是线性的;若r>1,收敛是超线性的;若r=2,收敛是平方的。

    二分法的收敛速度是线性的。

    线性收敛和超线性收敛,差别在于每次迭代后,近似解的有效数字增加是否是一个常数。

    解是否足够好,还需要关注问题的病态性和残差

    不动点迭代:

    若对于函数

    ,存在x满足
    ,则称x为g的不动点。记
    ,则g的不动点就是方程
    的根。

    不动点迭代就是利用迭代式

    ,求解方程

    有很多不动点函数,但是不同的不动点函数,迭代求解的效果完全不同。

    不动点迭代的收敛性:

    ,对于不动点迭代
    是前向误差,而
    是后向误差,因此函数g在
    的绝对条件数为
    。因此当不动点迭代线性收敛时,条件数
    正好是收敛速度。而
    ,则表明不动点迭代的收敛速度是超线性的。

    为g的不动点:

    如果

    ,存在一个包含
    的区间,如果初值落在这个区间内,则不动点迭代是收敛的;

    如果

    ,不动点迭代是发散的;

    如果

    ,不动点收敛的速度是线性的;

    如果

    ,不动点收敛的速度至少是超线性的。

    牛顿法

    按照这个迭代公式求解非线性方程

    的方法叫牛顿法:

    ,则符合不动点迭代的形式

    牛顿法至少是超线性收敛的。

    经过一通暴算得到:

    ,所以牛顿法是平方收敛的。

    需要注意:初值的选取很重要,必须接近方程的根,并且

    举一个例子:

    求解

    ,导数

    牛顿迭代法公式:

    ,迭代求解的过程如下:

    多重根

    如果

    是非线性方程
    的m重根,
    ,则:

    牛顿迭代公式:

    对多重根的迭代收敛速度退化为线性。

    割线法:

    是一种准牛顿法,采用迭代过程前面两个点

    形成的割线来拟合切线:

    割线法的迭代公式为:

    反插:

    割线法利用前两次的迭代值决定一条直线,用这条直线与x轴的交点作为下一次的迭代值。

    可以通过高阶的多项式拟合来提高收敛速度,但如果

    与x轴没有交点,迭代就会失败。

    因此,拟合二次多项式

    与x轴的交点为下一次的迭代值,这样的插值方法被称为反二次插值,收敛速度是超线性的。

    保护法:综合二分法的安全和牛顿法的超线性收敛,在一个较小的有根区间外采用安全的二分法,在区间内采用高效的迭代方法。

    展开全文
  • //实训(二)一元多项式分段插值 //内插法,针对的是主要是拉格朗插值,牛顿插值等 #include using namespace std ; const double x[ 7 ]={ 1.0 , 1.5 , 2.3 , 3.5 , 5.0 , 6.2 , 7.0 } const ...
    // 实训一 二分法解线性方程
    // f(x)=x^2-x-2=0  有俩个精确实根
    // 使用迭代方法
    #include<iostream>
    #include<cmath>
    using namespace std;
    double fx(double x)
    int main()
    {
        const double eps=1.e-5; //计算精度:允许误差**1.e和1e
        double L,R,M;           //区间左端点、右端点R、中点M
        double fL,fM;           //区间左端点和中点的函数值
        int Count=0;            //迭代次数
        cout<<"单调区间左端点L="cin>>L;
        cout<<"单调区间右端点R="cin>>R;
        cout<<"f(L)="<<fx(L)<<",f(R)"<<fx(R)<<endl;
        if(fx(L)*fx(R)>0)       //有解区间:俩端点函数值异号
        {
            cout<<"非有解区间:\n";system("pause");return 0;
        }
        while(fabs(R-L)>eps)    //收敛性判断:精度控制
            {
                cout<<++Count<<"次:";
                M=(L+R)/2;
                fL=fx(L);fM=fx(M);
                if(fL*fM<0)R=M; //解在左区间:右端点移位
                else if(fL*fM>0)L=M;//解在右区间:左端点移位
                else break//注1;
                cout<<L<<","<<R<<endl;
            }
            cout<<"方程的解:"<<"x="<<M<<"\n函数值:"<<fx(M)<<endl;
            system("pause");return 0;
    }
    //注1的作用:恰好中值输出为0
        //do 循环 while 判断
        //for(;判断;)
    //若不用break,while语句添加&&fL*fR!=0
    
    //其他的方法:计算机数值弦割法
    //若不能确定若干个单调小区间有多少个值,那么分块求解。
    //可以通过判断二次求导,判断单调性。
    //实训(二)一元多项式分段插值
    //内插法,针对的是主要是拉格朗插值,牛顿插值等
    #include<iostream>
    using namespace std;
    const double x[7]={1.0,1.5,2.3,3.5,5.0,6.2,7.0}
    const double fx[7]={0.8,1.0,2.0,2.5,1.6,1.8,1.4}
    double Linear(double xx,int L)
    {
        double y;
        y=fx[L]*(xx-x[L+1])/(x[L]-x[L+1])+fx[L+1]*(xx-x[L])/(x[L+1]-x[L]);
        return y;
    }
    double Parabola(double xx,int L)
    {
        double y;
        y=fx[L]*(xx-x[L+1])*(xx-x[L+2])/(x[L]-x[L+1])*(x[L]-x[L+2])+
        fx[L+1]*(xx-x[L])*(xx-x[L+2])/((x[L+1]-x[L])*(x[L+1]-x[L+2]))+
        fx[L+2]*(xx-x[L])*(xx-x[L+1])/((x[L+2]-x[L])*(x[L+2]-x[L+1]));
        return y;
    }
    int main()
    {
        double xx=0;//插值点
        cout<<" 输入-1结束"<<endl;
        while(xx!=-1)
        {
            cout<<" 输入插值点:";
            cin>>xx;
            if(xx==-1)
            {
                cout<<"结束\n";
                system("pause")
                ;
                return 0;
            }
            if(xx<1||xx>7){
                cout<<"插值点越界!\n";continue;
            }
            if(xx>x[4])cout<<"f(x)="<<Parabola(xx,4)<<endl;
            else if(xx>x[3])cout<<"f(x)="<<Linear(xx,3)<<endl;
            else if(xx>x[2])cout<<"f(x)="<<Linear(xx,2)<<endl;
            else cout<<"f(x)="<<Parabola(xx,0)<<endl;
        }
        system("pause");
        return 0;
    }
    //插值8位的在上一篇http://blog.csdn.net/think_self/article/details/70147930
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  • 为求变分数阶微分方程的数值解,应用Bernstein多项式求解一类线性、线性变分数阶微分方程.结合Bernstein多项式,求得3种不同类型的微分算子矩阵.通过微分算子矩阵,将原方程转化一系列矩阵的乘积.最后离散变量,将矩阵...
  • 在状态空间方程中引入输入状态的多项式函数, 以此多项式函数表示线性因素. 为了辨识多项式非线性系统中的各系统矩阵, 对于矢量化各系统矩阵组成的未知参数矢量, 分别在无约束有约束条件下采用两并行分布算法...
  • 各种不同类型方程的求根方法:牛顿法求解线性方程,高次多项式方程求解,逆矩阵求根,方程组求根。程序均由MATLAB书写
  • 将静电势视为恒定值会产生一个二阶微分方程,该方程可与相对论量子力学中对于某些键合态能谱已知电势的可解模型相比较。 通过这种比较,可以通过相对论模型来写出标称场势相对论能量,并且自旋将与正交...
  • 1引言线性科学研究的一个重要方面就是讨论孤立子的性质、相互作用及其随时间运动演化的特点,因此线性演化方程的求解越来越显得具有理论实际意义。组合KdV方程是KdVmKdV方程的复合,既包含有线性效应,又包含...
  • 本资源涵盖解多元方程组、线性方程和常微分方程的软件组合,介绍如下: 线性方程组的数值解法: 线性方程组亦即多元一次方程组。在自然科学与工程技术中,很多问题的解决常常归结为解线性方程组,如电学中的网络...
  • 求解模型线性的数值方法,例如Riccati微分方程,Logistic微分方程和多阶ODE。 给出了第二种移位的契比雪夫多项式的性质。 有限差分法用于求解该方程组。 提供了几个数值示例,以验证所提出方法的可靠性和有效性。
  • 曲线拟合,即以一条函数曲线去逼近已知测量数据点的过程,考察化学理论值...式中,bj为拟合系数,N组数据点按照上述多项式可组成N个方程,改写成矩阵形式如下: 记作: 由前文知,B的最小二乘解为: 则...
  • 在一元回归分析中,如果自变量x因变量y之间的关系是线性的,在找不到合适的函数曲线来拟合的情况下,可以采用一元多项式回归。如果自变量不止一个,则采用多元多项式回归。 多项式回归可以处理相当一类线性...
  • 多项式回归,原理线性回归是一样的,无非现在是高次多项式一次多项式。比如说我们想要拟合方程: 我们可以先设置参数方程: 代码实现:导入相关包,torch用来创建模型,matplotlib用来可视化。POLY_DEGREE指...
  • 微分方程指含有未知函数及其导数的关系式,解微分方程就是找出未知函数。...相关前置知识: 泰勒公式在0点展开的原因:多项式函数能够拟合线性问题原理 求行列式:行列式代数余子式 特征值...
  • 线性方程:包括代数方程和含三角函数指数函数或其他超越函数。1)roots:解代数方程,无法解超越方程。多项式方程求根,p是次数由高到低排列的多项式系数p = [3 -2 -1];%p表示次数由高到低排列的多项式的系数,...
  • 但是涉及到复杂的线性方程比如高阶多项式方程线性性方程也是很那直接求解的,在数值分析的角度就很容易来求解这类方程了。下面介绍的就是几种简单的线性方程的数值解法。 二分法 由根的存在性定理:如果f(a)...
  • 方程组二、fsolve() 数值求解:线性方程三、fzero():解方程组的根四、roots() 语句的用法:求解多项式的根五、求解线性方程组 一、solve() 语句符号求解 1. 解单变量方程 2. 解数值方程 >> syms x; &...
  • 多项式线性回归是一种线性回归,他研究了两个变量之间的多项式关系。在得到自变量的N组观测值之后,计算X的均值,计算Y的均值,解响应的方程,进行显著性的检验,包括F检验值t检验值。
  • 对于每个叶节点,有c+2c+2c+2个儿子,其中有c∈Ac\in Ac∈A个叶子节点2个叶节点 且点的编号满足父亲小于儿子 按照套路设f[i]f[i]f[i]为iii个点的答案可以列出dpdpdp式 f[i]=12∑j∑k[i−j−k−1∈A](i−1j)...
  • 我们在学习因式分解的时候,对一元三次多项式分解,比较常用的方法有公式法分组分解...上面的方程组是一个线性方程组,一般不容易求解,为此我们推荐给大家一种方法,这就是列表试数法。 其步骤如下:第一步,列...
  • 线性方程:包括代数方程和含三角函数指数函数或其他超越函数。1)roots:解代数方程,无法解超越方程。多项式方程求根,p是次数由高到低排列的多项式系数p = [3 -2 -1];%p表示次数由高到低排列的多项式的系数,...

空空如也

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多项式方程和非多项式方程