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  • 对于一个多项式方程:a0+a1x+a2x2+...+anxn=0a_0+a_1x+a_2x^2+...+a^nx^n=0a0​+a1​x+a2​x2+...+anxn=0而言,想要准确求得解析解是一件比较困难的事,特别是次数比较高的时候,一般我们可以利用数值方法求得数值解...

    对于一个多项式方程:a0+a1x+a2x2+...+anxn=0a_0+a_1x+a_2x^2+...+a^nx^n=0而言,想要准确求得解析解是一件比较困难的事,特别是次数比较高的时候,一般我们可以利用数值方法求得数值解。

    先说明一下多项式方程的根的特点,对于n次多项式方程,实数根的可能情况包括(此处只说明实数根):
    1、有n个不同实根;
    2、根的数量小于n,大于0,即有多个相同实根;
    3、无实数根,即方程所表示的曲线与X轴无交点;

    在OpenCV中提供了cv::sovlePoly函数可以用来求解多项式方程的数值解,非常方便。
    官方文档中给出了定义:
    在这里插入图片描述

    输入为系数矩阵,从0次到n次排布,
    输出为一个列数为2的矩阵,每一行是一个根,由实部和虚部组成,从这也能看出这个函数能够求出方程所有的根,包括虚根。
    返回值为误差值。

    直接上测试代码:

    #include <iostream>
    #include <opencv2/opencv.hpp>
    #include <cmath>
    using std::cout;
    using std::endl;
    
    int main() {
        std::vector<double> coefs = {1, 0, 0};
        std::vector<double> coefs1 = {1, 5, 4};
        std::vector<double> coefs2 = {0, 0, 4};
        std::vector<double> coefs3 = {0, 0, 0};
        std::vector<double> roots;
        cv::Mat rots;
        auto ret = cv::solvePoly(coefs3, rots);
        cout<<rots.type()<<" "<<CV_64FC1<<endl;
        cout<<ret<<endl;
    
        cout<<rots<<endl;
    
        return 0;
    }
    

    注意区分使用不同的系数时求得的根的结果的不同。

    【参考】
    1、OpenCV:solvePoly多项式方程求解函数

    展开全文
  • 多项式方程的解法

    千次阅读 2018-06-06 12:09:43
    1、solve函数[x0,y0]=solve(f1==0,f2==0,x,y);注意等式里边必须写双...根据阿贝尔定理,当多项式阶次高于6阶的时候方程没有解析解此时不可以用solve函数进行求阶。2、vpasolve函数vpasolve函数与solve函数使用方法...

    1、solve函数

    [x0,y0]=solve(f1==0,f2==0,x,y);

    注意等式里边必须写双等号,x,y变量可以默认不写,如果写了x,y返回值按写的顺序进行返回。solve可以解决多变量低于6阶的方程,solve函数可以解出解析解。根据阿贝尔定理,当多项式阶次高于6阶的时候方程没有解析解此时不可以用solve函数进行求阶。

    2、vpasolve函数

    vpasolve函数与solve函数使用方法一致。vpasolve函数返回的是数值解。

    3、解析解与数值解比较


    4、非线性方程的求解方法

    以上的函数针对于线性方程的求阶,fsolve函数可以求解非线性的方程。

    fsolve函数的语句形式:

    [x,y,c]=fsolve(f(X),[x1,x2],OPT),

    注:返回值x是求得结果他可以是一个向量;返回值y是误差结果;c是标志位,当c=1是结果无误。

    另外输入变量里面F(X)中的X可以是向量,比如有n个变量可以设置为X=[x(0),x(1),x(2)...x(n-1)]这种形式。

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  • 一般来说,一元高次多项式方程很难有显示解析解,大多使用数值算法计算方程的根,例如牛顿法、割线法等。但这些算法的缺点是计算得到的解受到迭代初始值的影响,另外在某些特定情况下,迭代也有可能不收敛。对于拥有...

    求解一元高次多项式方程的所有实数根的算法

    一元高次多项式的形式可以表示为:
    f(x)=c0+c1x+c2x2+c3x3+...+cnxn=0 f(x) =c _0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+...+c_nx^n=0

    一般来说,一元高次多项式方程很难有显示解析解,大多使用数值算法计算方程的根,例如牛顿法、割线法等。但这些算法的缺点是计算得到的解受到迭代初始值的影响,另外在某些特定情况下,迭代也有可能不收敛。对于拥有多个实数根的多项式方程,使用这些迭代算法难以获得方程所有实数根。
    本文将介绍一种新的算法,通过递归降次,将高次多项式方程的求解问题逐步转化为可以解析求解的一元二次方程,进而求解出多项式的所有实数根。

    原理

    首先,为了求解多项式方程的所有实根,我们需要对多项式函数进行分段。使用x1,x2,x3,...,xkx_1,x_2,x_3,...,x_k这一系列的点将实数轴分成若干区间段,以使得在每一个区间段上函数f(x)都是单调的。
    当我们获得了这一系列的分隔点后,例如上述k个分隔点,将实数轴分为k+1个区间段,(包括(,x1](-\infin,x_1][xk,+)[x_k,+\infin)两个区间)。在每一个区间中函数都是单调的。对于区间[xi,xi+1][x_i,x_{i+1}],如果f(xi)f(x_i)f(xi+1)f(x_{i+1})符号相反,由于函数在区间中是单调的,在该区间中必然有且仅有一个实根。这时只要我们在该区间中使用最简单的二分法就能得到该区间中的或者一个实根。
    当然,如果f(xi)f(x_i)f(xi+1)f(x_{i+1})符号相同,由于函数单调,在该区间中必然不存在方程的实根。
    对于(,x1](-\infin,x_1]这个区间,可以先算出f(x1)f(x_1)f(x11)f(x_1-1),如果f(x11)f(x_1-1)f(x1)f(x_1)同号,且f(x11)f(x_1-1)f(x1)f(x_1)更远离0,由于函数的单调性,在这个区间上必然不存在实根。如果不是这种情况,我们就需要依次计算f(x11),f(x12),f(x14),...,f(x12m),...f(x_1-1),f(x_1-2),f(x_1-4),...,f(x_1-2^m),...,直到找到一个与f(x1)f(x_1)符号相反的值,例如x12mx_1-2^m,然后再在区间[x12m,x1][x_1-2^m,x_1]上使用二分法求解出相应的实数根。
    对于区间[xk,+)[x_k,+\infin)也使用一样的处理方法,只是将上面的减号变成加号即可。
    使用以上的方法,我们发现,只要我们能够找到这一系列的分隔点,使得分隔出的每一个区间上多项式函数都是单调的,那么这个多项式方程求解的问题就解决了。
    那么问题就转换为如何找到这一系列的分隔点。对于多项式函数,函数的一阶导数等于0的点,正好就是这样的分隔点。我们只要求解出函数f(x)的所有一阶导数等于0的点即可。即问题转化为求解方程f(x)=0f^{'}(x)=0也就是
    f(x)=c1+2c2x+3c3x2+4c4x3+...+ncnxn1=0 f^{'}(x) =c _1+2c_2x+3c_3x^2+4c_4x^3+...+nc_nx^{n-1}=0

    经过以上的处理,我们将求解f(x)=0方程的问题转换成了求解其一阶导函数等于0的方程求解问题,这样使得我们求解的方程的次数下降了一阶。
    使用这种方法,递归处理,我们最终一定能够将问题逐步转换为可以解析求解的一元二次方程。
    可以看到,以上求解的过程完全不需要外部指定任何初始值以及其他变量,只需要输入方程每一项的系数,就可以求解出所有了方程实根。

    代码实现(C#)

        /// <summary>
        /// 求解单一未知数多项式方程,c0+c1*x^1+c2*x^2+c3*x^3+...+cn*x^n=0
        /// </summary>
        public class SingleUnknownPolynomialSolver
        {
            /// <summary>
            /// 传入系数数组,构建实例
            /// </summary>
            /// <param name="coefs">方程系数:c0、c1、c2、c3、...、cn</param>
            public SingleUnknownPolynomialSolver(params double[] coefs)
            {
                if (coefs == null) _c = null;
                int cLength = 0;
                for (int i = 0; i < coefs.Length; i++)
                {
                    if (coefs[coefs.Length - 1 - i] == 0) continue;
                    cLength = coefs.Length - i;
                    break;
                }
                _c = coefs.Take(cLength).ToArray();
            }
    
    
            private double[] _c;
            private Mathematics.ApproxEqual _approx = new Mathematics.ApproxEqual();
    
            /// <summary>
            /// 获取或设置近似相等比较器,近似相等比较器不可以为null,如果设置null则使用默认的近似相等比较器
            /// </summary>
            public Mathematics.ApproxEqual ApproxEqual
            {
                get => _approx;
                set
                {
                    if (value == null) _approx = new Mathematics.ApproxEqual();
                    else _approx = value;
                }
            }
    
            /// <summary>
            /// 求解方程的所有实数解
            /// </summary>
            /// <returns>返回所有实数解,无解返回空数组,无穷解返回null</returns>
            public double[] Solve()
            {
                if (_c == null || _c.Length == 0) return null;
                if (_c.Length == 1) return new double[] { };
                if (_c.Length == 2) return new double[] { -_c[0] / _c[1] };
                if (_c.Length == 3)
                {
                    double delta = _c[1] * _c[1] - 4 * _c[0] * _c[2];
                    if (delta < 0) return new double[] { };
                    double sqrtDelta = Math.Sqrt(delta);
                    if (_approx.IsEqual(sqrtDelta / _c[2], 0)) return new double[] { -_c[1] / _c[2] / 2 };
                    return new double[] { (-_c[1] + sqrtDelta) / _c[2] / 2, (-_c[1] - sqrtDelta) / _c[2] / 2 };
                }
                var partialSolver = PartialSolver();
                var partialSolutions = partialSolver.Solve();
                if (partialSolutions.Length == 0)
                {
                    double? x_down = OppositePoint(0, false);
                    if (x_down != null)
                    {
                        double? solution = SolvePoint(x_down ?? 0, 0);
                        if (solution != null) return new double[] { solution ?? 0 };
                        else return new double[] { };
                    }
                    double? x_up = OppositePoint(0, true);
                    if (x_up != null)
                    {
                        double? solution = SolvePoint(0, x_up ?? 0);
                        if (solution != null) return new double[] { solution ?? 0 };
                        else return new double[] { };
                    }
                    return new double[] { };
                }
                List<double> solutionList = new List<double>();
                var partialSolutionList = partialSolutions.ToList();
                partialSolutionList.Sort();
                partialSolutions = partialSolutionList.ToArray();
                double? x_d = OppositePoint(partialSolutions.First(), false);
                if (x_d != null)
                {
                    double? solution = SolvePoint(x_d ?? 0, partialSolutions.First());
                    if (solution != null) solutionList.Add(solution ?? 0);
                }
                double? x_u = OppositePoint(partialSolutions.Last(), true);
                if (x_u != null)
                {
                    double? solution = SolvePoint(partialSolutions.Last(), x_u ?? 0);
                    if (solution != null) solutionList.Add(solution ?? 0);
                }
                if (partialSolutions.Length >= 2)
                {
                    for (int i = 1; i < partialSolutions.Length; i++)
                    {
                        double? solution = SolvePoint(partialSolutions[i - 1], partialSolutions[i]);
                        if (solution != null) solutionList.Add(solution ?? 0);
                    }
                }
                solutionList.Sort();
                for (int i = 1; i < solutionList.Count; i++)
                {
                    if (_approx.IsEqual(solutionList[i - 1], solutionList[i]))
                    {
                        solutionList.RemoveAt(i);
                        i--;
                    }
                }
                return solutionList.ToArray();
            }
    
            /// <summary>
            /// 计算函数值
            /// </summary>
            /// <param name="x"></param>
            /// <returns></returns>
            private double CalcValue(double x)
            {
                double y = 0;
                for (int i = 0; i < _c.Length; i++)
                {
                    y += _c[i] * Math.Pow(x, i);
                }
                return y;
            }
    
            /// <summary>
            /// 一阶导函数方程
            /// </summary>
            /// <returns></returns>
            private SingleUnknownPolynomialSolver PartialSolver()
            {
                double[] coefs = new double[_c.Length - 1];
                for (int i = 1; i < _c.Length; i++)
                {
                    coefs[i - 1] = _c[i] * i;
                }
                SingleUnknownPolynomialSolver solver = new SingleUnknownPolynomialSolver(coefs);
                solver.ApproxEqual = _approx;
                return solver;
            }
    
            /// <summary>
            /// 求解x点函数值符号相反的点,要求指定的方向上函数是单调的
            /// </summary>
            /// <param name="x"></param>
            /// <param name="upper">向上搜索还是向下搜索</param>
            /// <returns></returns>
            private double? OppositePoint(double x, bool upper = false)
            {
                double s = upper ? 1 : -1;
                double y = CalcValue(x);
                if (y == 0) return x;
                double m = 1;
                while (m < double.MaxValue)
                {
                    double xp = x + m * s;
                    double yp = CalcValue(xp);
                    if (yp == 0) return xp;
                    if (yp == y) return null;
                    if (yp > y && y > 0) return null;
                    if (yp < y && y < 0) return null;
                    if (yp > 0 && y < 0) return xp;
                    if (xp < 0 && y > 0) return xp;
                    m = m * 2;
                }
                return null;
            }
    
            /// <summary>
            /// 求解两个点中间的方程解,要求在两点之间函数单调
            /// </summary>
            /// <param name="xl">下方点</param>
            /// <param name="xu">上方点</param>
            /// <returns></returns>
            private double? SolvePoint(double xl, double xu)
            {
                if (xl > xu) return null;
                if (xl == xu)
                {
                    if (CalcValue(xl) == 0) return xl;
                    else return null;
                }
                double l = xl;
                double u = xu;
                while (!_approx.IsEqual(l, u))
                {
                    double yl = CalcValue(l);
                    if (yl == 0) return l;
                    double yu = CalcValue(u);
                    if (yu == 0) return u;
                    if (yl > 0 && yu > 0) return null;
                    if (yl < 0 && yu < 0) return null;
                    double m = (l + u) / 2;
                    double ym = CalcValue(m);
                    if (ym == 0) return m;
                    if (ym > 0 && yl < 0) u = m;
                    else if (ym > 0 && yl > 0) l = m;
                    else if (ym < 0 && yl < 0) l = m;
                    else u = m;
                }
                return (u + l) / 2;
            }
    
        }
    
    

    关于代码的一些说明

    1、算法的核心在于Solve方法中,采用嵌套调用的形式。OppositePoint方法用于处理边界区间搜索异号函数值点,SolvePoint方法用于求解在指定的区间上使用二分法求出区间上的方程根。
    2、在构造函数中对输入的系数数组进行了预处理,以保证多项式的最高次项的系数不为0。
    3、上述代码中没有给出Mathematics.ApproxEqual类的具体定义。实际上ApproxEqual是一个近似相等比较器,它的IsEqual方法可以比较两个实数在指定的精度和算法下是否近似相等。在实际的应用中,读者可以根据自己的需要定义自己的近似相等比较器的具体算法和参数。
    4、完整的代码可以下载:https://download.csdn.net/download/weixin_45107579/13712341

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  • 一、对比 对于受均布荷载的简支梁,假设梁的长度L=1,均布荷载大小为1,弹模E为1,惯性矩I为1,那么梁的挠曲线方程解析解为 $$v(x)=-\left(\frac{x^4}{24}-\frac{x^3}{12}+\frac{x}{24}\right)$$ 梁单元的形函数...

    一、对比

    image

    对于受均布荷载的简支梁,假设梁的长度L=1,均布荷载大小为1,弹模E为1,惯性矩I为1,那么梁的挠曲线方程的解析解为

    $$
    v(x)=-\left(\frac{x^4}{24}-\frac{x^3}{12}+\frac{x}{24}\right)
    $$

    梁单元的形函数如下

    111943497397939.png

    根据形函数的定义,只要知道了单元两端节点的位移,即可用形函数求出单元上任意位置的挠度。即

    $$
    v(x)=N(x)\cdot q^{e}
    $$

    其中$q^{e}$为节点的位移列阵。

    下面对比一下,由形函数得到的挠度曲线与挠曲线的解析解之间的差别,为了对比方便,这里采用形函数时,节点的位移均由挠曲线解析解求出,换言之,在节点处的位移是精确的。

    1.假设将上图结构中梁看作一个单元

    $$
    \begin{split}
    v(0)=0\quad & v'(0)=-\dfrac{1}{24}\\
    v(1)=0\quad & v'(1)=\dfrac{1}{24}
    \end{split}
    $$

    把形函数行矩阵与上面的节点位移列阵相乘,可以得到挠曲线方程

    $$
    v1(x)=\frac{x^2}{24}-\frac{x}{24}
    $$

    2.假设将上图中梁看着2个单元

    每个单元的长度L=1/2
    利用MM求得挠曲线方程的分段函数为

    image

    分别把解析解,1个单元,2个单元求得的挠曲线方程画出来

    image

    可以看到,采用2个单元时,挠曲线方程与解析解十分接近,几乎重合;而采用1个单元时,较解析解差别较大。考察在1/4处的数值

    类型 1/4处挠度值
    解析解 -0.00927734
    1个单元 -0.0078125
    2个单元 -0.00911458

    差别很明显。

     

    二、假设采用有限元法计算简支梁两端节点的位移,同样测试采用1个单元和采用2个单元所得的结果

    1、采用1个单元

    单刚矩阵为

    $$
    \left(
    \begin{array}{cccc}
    12 & 6 & -12 & 6 \\
    6 & 4 & -6 & 2 \\
    -12 & -6 & 12 & -6 \\
    6 & 2 & -6 & 4 \\
    \end{array}
    \right)
    $$

    由于$v_{1}$和$v_{2}$均为0,所以最终的求解矩阵为

    $$
    \begin{bmatrix}4 & 2\\
    2 & 4
    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\theta_{1}\\
    \theta_{2}
    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{12}\\
    \frac{1}{12}
    \end{bmatrix}
    $$

    求得$\theta_{1}=-\frac{1}{24}$,$\theta_{2}=\frac{1}{24}$

    可以看到,和解析解方程求得该处的转角是相等的。

    2、采用2个单元

    由于长度L为1/2,所以每个单元的单刚矩阵均为

    $$
    \left(
    \begin{array}{cccc}
    96 & 24 & -96 & 24 \\
    24 & 8 & -24 & 4 \\
    -96 & -24 & 96 & -24 \\
    24 & 4 & -24 & 8 \\
    \end{array}
    \right)
    $$

    对于3个节点的位移列阵,$v_{1}$,$v_{3}$均为零,删除相对应的矩阵行和列,最终的求解矩阵为

    $$
    \begin{bmatrix}8 & -24 & 4 & 0\\
    -24 & 192 & 0 & 24\\
    4 & 0 & 16 & 4\\
    0 & 24 & 4 & 8
    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\theta_{1}\\
    v_{2}\\
    \theta_{2}\\
    \theta_{3}
    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{48}\\
    -\frac{1}{2}\\
    0\\
    \frac{1}{48}
    \end{bmatrix}
    $$

    求得最终结果为

    $$
    \begin{bmatrix}\theta_{1}\\
    v_{2}\\
    \theta_{2}\\
    \theta_{3}
    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{24}\\
    -\frac{5}{384}\\
    0\\
    \frac{1}{24}
    \end{bmatrix}
    $$

    可以看到求得的结果与解析解求得结果是一样的。

    3、总结

    有限元法也是采用了试函数,属于近似方法,为什么在节点处求得的结果与解析解是一样的?

    具体原因我也回答不上来,我个人的理解是因为试函数是采用了4次多项式,而解析解同样也是4次多项式,但这也无法解释上述问题。期待解答。

    假如有限元方法在所有单元节点处的位移是精确的,那么把单元划分的越多,结果就与真实解约接近。

    转载于:https://www.cnblogs.com/SimuLife/p/4722707.html

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