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  • 2020-12-08 14:28:29

    下面是simpy docs的一个例子:>>> from sympy import *

    >>> x = symbols('x')

    >>> from sympy import roots, solve_poly_system

    >>> solve(x**3 + 2*x + 3, x)

    ____ ____

    1 \/ 11 *I 1 \/ 11 *I

    [-1, - - --------, - + --------]

    2 2 2 2

    >>> p = Symbol('p')

    >>> q = Symbol('q')

    >>> sorted(solve(x**2 + p*x + q, x))

    __________ __________

    / 2 / 2

    p \/ p - 4*q p \/ p - 4*q

    [- - + -------------, - - - -------------]

    2 2 2 2

    >>> solve_poly_system([y - x, x - 5], x, y)

    [(5, 5)]

    >>> solve_poly_system([y**2 - x**3 + 1, y*x], x, y)

    ___ ___

    1 \/ 3 *I 1 \/ 3 *I

    [(0, I), (0, -I), (1, 0), (- - + -------, 0), (- - - -------, 0)]

    2 2 2 2

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  • 多项式方程解法

    万次阅读 2018-06-06 12:09:43
    1、solve函数[x0,y0]=solve(f1==0,f2==0,x,y);注意等式里边必须写双...根据阿贝尔定理,当多项式阶次高于6阶的时候方程没有解析解此时不可以用solve函数进行求阶。2、vpasolve函数vpasolve函数与solve函数使用方法...

    1、solve函数

    [x0,y0]=solve(f1==0,f2==0,x,y);

    注意等式里边必须写双等号,x,y变量可以默认不写,如果写了x,y返回值按写的顺序进行返回。solve可以解决多变量低于6阶的方程,solve函数可以解出解析解。根据阿贝尔定理,当多项式阶次高于6阶的时候方程没有解析解此时不可以用solve函数进行求阶。

    2、vpasolve函数

    vpasolve函数与solve函数使用方法一致。vpasolve函数返回的是数值解。

    3、解析解与数值解比较


    4、非线性方程的求解方法

    以上的函数针对于线性方程的求阶,fsolve函数可以求解非线性的方程。

    fsolve函数的语句形式:

    [x,y,c]=fsolve(f(X),[x1,x2],OPT),

    注:返回值x是求得结果他可以是一个向量;返回值y是误差结果;c是标志位,当c=1是结果无误。

    另外输入变量里面F(X)中的X可以是向量,比如有n个变量可以设置为X=[x(0),x(1),x(2)...x(n-1)]这种形式。

    展开全文
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  • 前一阵子(几个月前)在学习根轨迹方程,想要写出画根轨迹的代码,却无论如何都画不出来.因为教材上的根轨迹的法则是用来直到人类的,而不是直到机器画的.但是matlab却可以画根轨迹. 前一阵子,看到一篇关于分布式3D无人机...

    起因

    1. 前一阵子(几个月前)在学习根轨迹方程,想要写出画根轨迹的代码,却无论如何都画不出来.因为教材上的根轨迹的法则是用来直到人类的,而不是直到机器画的.但是matlab却可以画根轨迹.
    2. 前一阵子,看到一篇关于分布式3D无人机编队的论文中用到了SVD,半定规划的问题,其中求SVD需要用到求特征值的数值解法.无奈的是,线性代数当初根本就没有学懂,现在都还给老师了.
    3. 前一阵子要学图像处理,小波变换,但是我不想用matlab,自己的代码能力又没那么强,只能写出dct,并参照oiwiki的fft算法和蝴蝶变换翻译成javascript.后来有作业,要用matlab,还好老师推荐了GNU octave(于是我也画了根轨迹:>).

    octave的rlocus,之后猛然意识到,它是直接求根然后连线的.于是乎,我就在百度和必应上搜高阶方程的数值解法,结果硬是没搜到,甚至找到一篇cmu的课件,可他讲的是人如何解三阶或者四届方程,然后了解到高于四阶的一般方程无法通过各项系数无法通过简单的一些运算得到解.于是最终还是打开了roots.m文件(之前eig函数好像使用c++实现的,有些复杂,各种依赖好像).

    文件

    点击,可以自己去看
    octave 是开源的.

    算法

    1. 将多项式按降幂排列,移除头部的0: P ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + a n − 2 x n − 2 + ⋯ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots P(x)=anxn+an1xn1+an2xn2+.
    2. 将多项式除以最低项,即将最后一项化为常数: P ( x ) = a n x n − l + a n − 1 x n − 1 − l + a n − 2 x n − 2 − l + ⋯ + a l P(x)=a_nx^{n-l}+a_{n-1}x^{n-1-l}+a_{n-2}x^{n-2-l}+\cdots+a_l P(x)=anxnl+an1xn1l+an2xn2l++al.
    3. 取出各项的系数,不存在时记为0.
    4. 构造矩阵 [ − a n − 1 / a n − a n − 2 / a n − a n − 3 / a n ⋯ 1 0 0 ⋯ 0 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 0 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ] \begin{bmatrix}-a_{n-1}/a_n&-a_{n-2}/a_n&-a_{n-3}/a_n&\cdots\\1&0&0&\cdots\\0&1&0&\cdots\\0&0&1&\cdots\\0&0&0&\cdots\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\end{bmatrix} an1/an1000an2/an0100an3/an0010
    5. 求解矩阵的所有特征值.
    6. 所求得的特征值就是所要求的多项式的根.

    简单说明

    • 首先我不会证明.
    • 学过线性代数的人都知道(:p),求解矩阵的特征值可以通过解特征方程( det ⁡ ( A − λ E ) = 0 \det (A-\lambda E)=0 det(AλE)=0)的方法,解出来的根就是矩阵A的特征值.
    • 这里通过构造一个特征方程为以所给参数为多项式的矩阵,并通过数值方法求解矩阵特征值的做法来反求特征方程的根.

    以下通过归纳法证明所构造的矩阵的特征方程是所给的多项式.

    1. 只考虑前两项则
      A − x E = [ − a n − 1 / a n − x ] A-x E=\begin{bmatrix}-a_{n-1}/a_n-x\end{bmatrix} AxE=[an1/anx]
      则,A的特征多项式为 det ⁡ [ − a n − 1 / a 1 − x ] = 0 \det\begin{bmatrix}-a_{n-1}/a_1-x\end{bmatrix}=0 det[an1/a1x]=0,即 a n x + a n − 1 = 0 a_{n}x+a_{n-1}=0 anx+an1=0.
    2. 设只考虑前 k k k项的时候,矩阵的特征方程为 a n − 1 x n − 1 + a n − 2 x n − 2 + a n − 3 x n − 3 + ⋯ + a n − k + 1 x n − k + 1 a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-3}x^{n-3}+\cdots+a_{n-k+1}x^{n-k+1} an1xn1+an2xn2+an3xn3++ank+1xnk+1,当考虑第 k + 1 k+1 k+1项的时候,矩阵具有如下形式.
      [ − a n − 1 / a n − x − a n − 2 / a n ⋯ − a n − k + 1 / a n − a n − k / a n 1 − x ⋯ 0 0 0 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋱ 0 0 0 0 ⋯ 1 − x ] \left[\begin{array}{cccc|c}-a_{n-1}/a_n-x&-a_{n-2}/a_n&\cdots&-a_{n-k+1}/a_n&-a_{n-k}/a_n\\1&-x&\cdots&0&0\\0&1&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\ddots&0&0\\\hline\\0&0&\cdots&1&-x\end{array}\right] an1/anx100an2/anx10ank+1/an0001ank/an000x
      由行列式的计算方法知当增加新的一行和新的一列时,原行列式中的每一项需要乘 − x -x x,而新增加的 − a n − k / a n -a_{n-k}/a_n ank/an所得的系数的正负号与原行列式的阶次相关且与其它各项的正负保持相同.

    结果

    可是我不知道如何求矩阵的特征值.计算方法里讲到的Jacobi方法当时是用来解是对称矩阵的特征值的.对于非对称的的实矩阵,其特征值为复数.我还不会:<

    展开全文
  • 多项式和线性方程

    2021-03-11 12:53:49
    1.创建多项式 import numpy as np # f(x) = x^3 - 2x + 1 a = np.array([1, 0, -2, 1])#从最高次方开始排 fx = np.poly1d(a) #poly1d([ 1, 0, -2, 1]) type(fx) #numpy.lib.polynomial.poly1d fx(1)#把1代入求解 ...

    1.创建多项式

    import numpy as np
    # f(x) = x^3 - 2x + 1
    a = np.array([1, 0, -2, 1])#从最高次方开始排
    fx = np.poly1d(a)
    #poly1d([ 1,  0, -2,  1])
    type(fx)
    #numpy.lib.polynomial.poly1d
    fx(1)#把1代入求解 得到结果为0
    
    #x为x-1
    # g = (x-1)^2 + 3(x-1) + 2
    p = np.poly1d([1, 3, 2])#系数1 3 2
    g = lambda x: p(x-1)#x转换成x-1
    #g=1 x^2 + 3 x + 2
    
    #方程式由根创建
    root = np.array([2, 3])
    p2 = np.poly1d(root, r=True)
    #p2=1 x^2 - 5 x + 6
    
    #更换变量x为k
    # 在显示上,更换变量
    p3 = np.poly1d(a, variable='k')
    #p3=1 k^3 - 2 k + 1
    

    2.多项式运算

    # f1(x) = x^3 - 2x + 1
    #f2(x)=x^2 - 5x + 6
    a = np.array([1, 0, -2, 1])
    b=np.array([1 ,-5 ,6])
    fx1 = np.poly1d(a)
    fx2 = np.poly1d(b)
    fx1+fx2 #1 x^3 + 1 x^2 - 7 x + 7
    fx1-fx2 #1 x^3 - 1 x^2 + 3 x - 5
    fx1*fx2 #1 x^5 - 5 x^4 + 4 x^3 + 11 x^2 - 17 x + 6
    fx1/fx2 #(poly1d([1., 5.]), poly1d([ 17., -29.]))
    

    多项式运算,本质是系数运算,系数可以用数组、列表表示

    a = np.array([1, 0, -2, 1])
    fx1 = np.poly1d(a)
    fx3 = fx1 + [-2, 1]
    fx4 = fx1 * np.array([-2, 1])
    #fx1=1 x^3 - 2 x + 1
    #fx3=1 x^3  - 4 x + 2
    #fx4=-2 x^4  + 1 x^3  + 4 x^2  - 4 x + 1
    

    微分求导、积分、求根

    #fx1=1 x^3 - 2 x + 1
    # 微分
    pd = fx1.deriv()
    #fd=3x^2 -2
    
    #积分
    pint = fx1.integ()
    #pint=0.25 x^4  - 1 x^2 + 1 x
    
    #求根
    r = np.roots(fx1)
    #[-1.61803399  1.          0.61803399]
    

    3.解线性方程组

    a = np.array([[3, 1], [1, 2]])#左边
    b = np.array([[9], [8]])#右边
    x = np.linalg.solve(a, b)
    #array([[2.],
    #       [3.]])
    

    在这里插入图片描述

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多项式方程的解法