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  • 多项式方程解法

    千次阅读 2018-06-06 12:09:43
    1、solve函数[x0,y0]=solve(f1==0,f2==0,x,y);注意等式里边必须写双...根据阿贝尔定理,当多项式阶次高于6阶的时候方程没有解析解此时不可以用solve函数进行求阶。2、vpasolve函数vpasolve函数与solve函数使用方法...

    1、solve函数

    [x0,y0]=solve(f1==0,f2==0,x,y);

    注意等式里边必须写双等号,x,y变量可以默认不写,如果写了x,y返回值按写的顺序进行返回。solve可以解决多变量低于6阶的方程,solve函数可以解出解析解。根据阿贝尔定理,当多项式阶次高于6阶的时候方程没有解析解此时不可以用solve函数进行求阶。

    2、vpasolve函数

    vpasolve函数与solve函数使用方法一致。vpasolve函数返回的是数值解。

    3、解析解与数值解比较


    4、非线性方程的求解方法

    以上的函数针对于线性方程的求阶,fsolve函数可以求解非线性的方程。

    fsolve函数的语句形式:

    [x,y,c]=fsolve(f(X),[x1,x2],OPT),

    注:返回值x是求得结果他可以是一个向量;返回值y是误差结果;c是标志位,当c=1是结果无误。

    另外输入变量里面F(X)中的X可以是向量,比如有n个变量可以设置为X=[x(0),x(1),x(2)...x(n-1)]这种形式。

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  • 源地址:... 【问题描述】 f(x,n) 是一个整系数的x的n次多项式 例如 f(x,3) = -99x^3 + 71x^1 - 97 问题是求出最小的正整数解满足 f(x,n) = 0 ,  其中系数满足 FAC 【SOLUTION (1)】 f(x,n) = 0

    源地址:http://hi.baidu.com/aekdycoin/archive/tag/%E6%95%B0%E5%AD%A6

    【问题描述】

    f(x,n) 是一个整系数的x的n次多项式

    例如

    f(x,3) = -99x^3 + 71x^1 - 97

    问题是求出最小的正整数解满足 f(x,n) = 0 ,

     其中系数满足 FAC <= 10^8 , n <= 10

    【SOLUTION (1)】

    f(x,n) = 0

    假设f(x,n)的常数项为 a

    那么有

    f(x,n) = - a

    x  | f(x,n)

    所以 

    x | (-a)

    于是枚举(-a)的因子, 检查一遍即可。

    【SOLUTION(2)】

    哎……目前只会做 x 的上界有限制的

     限制条件改了又改……

    我想知道如果FAC <= 10^100 怎么做…… 分解肯定是没戏

     

     

    以上是大牛的博文。。我等菜鸟看完之后茅塞顿开,原来方程还可以这么玩。。。!!!

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  • 前一阵子(几个月前)在学习根轨迹方程,想要写出画根轨迹的代码,却无论如何都画不出来.因为教材上的根轨迹的法则是用来直到人类的,而不是直到机器画的.但是matlab却可以画根轨迹. 前一阵子,看到一篇关于分布式3D无人机...

    起因

    1. 前一阵子(几个月前)在学习根轨迹方程,想要写出画根轨迹的代码,却无论如何都画不出来.因为教材上的根轨迹的法则是用来直到人类的,而不是直到机器画的.但是matlab却可以画根轨迹.
    2. 前一阵子,看到一篇关于分布式3D无人机编队的论文中用到了SVD,半定规划的问题,其中求SVD需要用到求特征值的数值解法.无奈的是,线性代数当初根本就没有学懂,现在都还给老师了.
    3. 前一阵子要学图像处理,小波变换,但是我不想用matlab,自己的代码能力又没那么强,只能写出dct,并参照oiwiki的fft算法和蝴蝶变换翻译成javascript.后来有作业,要用matlab,还好老师推荐了GNU octave(于是我也画了根轨迹:>).

    octave的rlocus,之后猛然意识到,它是直接求根然后连线的.于是乎,我就在百度和必应上搜高阶方程的数值解法,结果硬是没搜到,甚至找到一篇cmu的课件,可他讲的是人如何解三阶或者四届方程,然后了解到高于四阶的一般方程无法通过各项系数无法通过简单的一些运算得到解.于是最终还是打开了roots.m文件(之前eig函数好像使用c++实现的,有些复杂,各种依赖好像).

    文件

    点击,可以自己去看
    octave 是开源的.

    算法

    1. 将多项式按降幂排列,移除头部的0:P(x)=anxn+an1xn1+an2xn2+P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots.
    2. 将多项式除以最低项,即将最后一项化为常数:P(x)=anxnl+an1xn1l+an2xn2l++alP(x)=a_nx^{n-l}+a_{n-1}x^{n-1-l}+a_{n-2}x^{n-2-l}+\cdots+a_l.
    3. 取出各项的系数,不存在时记为0.
    4. 构造矩阵[an1/anan2/anan3/an100010001000]\begin{bmatrix}-a_{n-1}/a_n&-a_{n-2}/a_n&-a_{n-3}/a_n&\cdots\\1&0&0&\cdots\\0&1&0&\cdots\\0&0&1&\cdots\\0&0&0&\cdots\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\end{bmatrix}
    5. 求解矩阵的所有特征值.
    6. 所求得的特征值就是所要求的多项式的根.

    简单说明

    • 首先我不会证明.
    • 学过线性代数的人都知道(:p),求解矩阵的特征值可以通过解特征方程(det(AλE)=0\det (A-\lambda E)=0)的方法,解出来的根就是矩阵A的特征值.
    • 这里通过构造一个特征方程为以所给参数为多项式的矩阵,并通过数值方法求解矩阵特征值的做法来反求特征方程的根.

    以下通过归纳法证明所构造的矩阵的特征方程是所给的多项式.

    1. 只考虑前两项则
      AxE=[an1/anx]A-x E=\begin{bmatrix}-a_{n-1}/a_n-x\end{bmatrix}
      则,A的特征多项式为det[an1/a1x]=0\det\begin{bmatrix}-a_{n-1}/a_1-x\end{bmatrix}=0,即anx+an1=0a_{n}x+a_{n-1}=0.
    2. 设只考虑前kk项的时候,矩阵的特征方程为an1xn1+an2xn2+an3xn3++ank+1xnk+1a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-3}x^{n-3}+\cdots+a_{n-k+1}x^{n-k+1},当考虑第k+1k+1项的时候,矩阵具有如下形式.
      [an1/anxan2/anank+1/anank/an1x00010000001x]\left[\begin{array}{cccc|c}-a_{n-1}/a_n-x&-a_{n-2}/a_n&\cdots&-a_{n-k+1}/a_n&-a_{n-k}/a_n\\1&-x&\cdots&0&0\\0&1&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\ddots&0&0\\\hline\\0&0&\cdots&1&-x\end{array}\right]
      由行列式的计算方法知当增加新的一行和新的一列时,原行列式中的每一项需要乘x-x,而新增加的ank/an-a_{n-k}/a_n所得的系数的正负号与原行列式的阶次相关且与其它各项的正负保持相同.

    结果

    可是我不知道如何求矩阵的特征值.计算方法里讲到的Jacobi方法当时是用来解是对称矩阵的特征值的.对于非对称的的实矩阵,其特征值为复数.我还不会:<

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    目录

    1 常微分方程的离散化  

    数值解法

    (i)用差商近似导数------差分方程初值问题

           (ii)用数值积分方法

          (iii)Taylor 多项式近似


    建立微分方程只是解决问题的第一步,通常需要求出方程的解来说明实际现象,并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的,但是我们知道,只有线 性常系数微分方程,并且自由项是某些特殊类型的函数时,才可以肯定得到这样的解, 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的,即使看起来非常简单的 方程如 \large \frac{\textup{dy}}{\textup{dx}}=y^{2}+x^{2} ,于是对于用微分方程解决实际问题来说,数值解法就是一个十 分重要的手段.

    1 常微分方程的离散化

    下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题,其一般形式是

    在下面的讨论中,我们总假定函数 f (x, y) 连续,且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件,即存在常数 L ,使得

    这样,由常微分方程理论知,初值问题(1)的解必定存在唯一。

    数值解法

    所谓数值解法,就是求问题(1)的解 y(x) 在若干点           

    建立数值解法,首先要将微分方程离散化,一般采用以下几种方法:

    (i)用差商近似导数------差分方程初值问题

    需要说明的是,用不同的差商近似导数,将得到不同的计算公式。

    (ii)用数值积分方法

    将问题(1)的解表成积分形式,用数值积分方法离散化。例如,对微分方程两端 积分,得

    右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。

    (iii)Taylor 多项式近似

    以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法,每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法,不仅可以得到求数值解的公式,而且容易估计截断 误差。


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空空如也

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