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  • 在代数学中的最大公因式问题,利用程序实现。
  • (f,g)= (g,r)= (r,r1)=…=(r(i), r(i+1))= r(i+1) r(i+1)=r(i-1)-r(i)·h(i+1) 将 r(i-1)=r(i-3)-r(i-2)·h(i-1) r(i)=r(i-2)-r(i-1)·h(i) h(i-1)=(r(i-3)-r(i-1)) / r(i-2) 代入上 不断回代可将r(i+1)化为h,r,...

    求(f,g)
    deg(f)>=deg(g)
    f=g·h+r
    r为0时,(f,g)=g
    r!=0时,(f,g)= (g,r)

    求(g,r)
    deg(g)>deg®
    g=r·h1+r1
    r1为0时,(g,r)=r
    r1!=0时,(g,r)= (r,r1)

    ……
    r(i-2)=r(i-1)·h(i)+r(i)
    r(i-1)=r(i)·h(i+1)+r(i+1)
    r(i)=r(i+1)·h(i+2)+r(i+2)
    ……

    设第一个为0的余数为r(i+2)
    (一定会存在一个r(k)使得r(k+2)为0,最坏的情况就是(f,g)=1,使得r(k+2)=0)

    (f,g)= (g,r)= (r,r1)=…=(r(i), r(i+1))= r(i+1)
    r(i+1)=r(i-1)-r(i)·h(i+1)

    r(i-1)=r(i-3)-r(i-2)·h(i-1)
    r(i)=r(i-2)-r(i-1)·h(i)
    h(i-1)=(r(i-3)-r(i-1)) / r(i-2)
    代入上式
    不断回代可将r(i+1)化为h,r,r1,r2之积进而求(f,g)

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  • 如果d(x)是不全为零的多项式f1(x),f2(x),…,fn(x)的一个最大公因式,则存在多项式u1(x),u2(x),…un(x)使得d(x)=u1(x)f1(x)+u2(x)f2(x)+…+un(x)fn(x)成立。本文利用矩阵的初等变换...
  • 文章目录最大公因式小结互素最大公因式及互素的推广参考资料 最大公因式 定义\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义} }}定义​ 设 f(x),g(x),d(x)∈F[x],f(x), g(x), d(x) \in F[x],f(x),g(x),d(x)∈F[x]...
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  • GF(2)域求两多项式最大公因式

    千次阅读 2013-05-14 00:12:54
    一种办法是:在GF(2)域上求两多项式最大公因式。若最大公因式不是常数,则两多项式构成的卷积码是恶性卷积码。 在matlab的help文件里查了下,没有找到现成的GF(2)域求两多项式最大公因式的函数,于是自己动手写了...

    信息论作业中有一道题目要求判断两个生成函数g1(x)和g2(x)构成的(2,1,m)卷积码是否为恶性卷积码。解题的关键是判断两多项式g1(x)和g2(x)是否有非常数的公因式。一种办法是:在GF(2)域上求两多项式的最大公因式。若最大公因式不是常数,则两多项式构成的卷积码是恶性卷积码。

    在matlab的help文件里查了下,没有找到现成的GF(2)域求两多项式最大公因式的函数,于是自己动手写了一个。代码附在下面。

    被注释掉的代码是第一个版本。当时不知道有个现成的gfdeconv函数可以直接在GF(2)计算多项式除法,因此写得笨笨的。知道以后就改写现在的样子。不过值得注意的是,与一般的翻卷积函数不同,gfdeconv函数把向量看做升幂排列的多项式。


    clear;

    %GF(2)域中求两多项式的最大公因式

    %注意多项式是降幂排列的还是升幂排列的

    % b(x) = x^2, a(x) = x^3 + x^2 + 1

    %降幂排列表示

    % b = [1 0 0];

    % a = [1 0 1 1];

    %升幂排列表示

    b = [ 0 0 1];

    a = [1 1 0 1];

    while(sum(b) > 0)

        t = b;

    %注意!convdeconb函数认为多项式按降幂排列

    %     [q,r] =deconv(a,b);

    %     b =mod(r,2);

    %     ind =find(b,1,'first');

    %     b =b(ind:end);

     

    %gfconvgfdeconv等函数认为多项式按升幂排列

    %例如[0 0 1]代表x^2

        [quot,remd] = gfdeconv(a,b);

        b = remd;

        a = t;

    end

        


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  • 关于用矩阵算多项式最大公因式

    千次阅读 2016-01-19 18:59:14
    大家一般用熟知的欧几里德算法来算最大公约数和公因式,下面介绍一种利用矩阵算最大公因式的方法: 一,在开始前先来说几个定理,你可以先看下面的部分,等充满疑惑后再来看这一部分: 定理1:(f(x),g(x))=...

    大家一般用熟知的欧几里德算法来算最大公约数和公因式,下面介绍一种利用矩阵算最大公因式的方法:

    ,在开始前先来说几个定理,你可以先看下面的部分,等充满疑惑后再来看这一部分:

    定理1:(f(x),g(x))=(f(x)±g(x),g(x)±f(x))=(f(x)±g(x),g(x))=(f(x),g(x)±f(x))

    定理2:如果f(x)=ax^n+bx^n-1+……+cx,那f(x)=x*(ax^n-1+bx^n-2+……+c)。而如果同时(x,g(x))=1,那易得(f(x),g(x))=(f(x)/x,g(x))

    用矩阵算多项式的最大公因式中最重要的2点:

    1,由定理1可得,2个多项式加减不改变最大公因式。

    2,由定理2可得,移位不变最大公因式。(此时不理解没关系看完下面例子就知道了)

    例1:求4x^5+4x^4+4x^3+4x^2+4x-20与5x^4+5x^3+5x^2+5x-20的最大公因式

    系数矩阵

    4 4 4 4 4 -20

    0 5 5 5 5 -20

    运用定理1,将第一行减去第二行

    4 -1 -1 -1 -1   0

    0  5  5   5  5 -20

    再运用定理2将第一行向右移一位,在行首补上0,上下对齐

    0  4 -1 -1  -1  -1

    0  5  5   5  5 -20

    再运用定理1使其中一行末尾出现0

    0     4   -1   -1   -1  -1

    0  -75  25   25  25  0   

    移位

    0   4    -1   -1    -1   -1

    0   0   -75  25   25  25   (当然,可能已经有人发现了。其实一开始,第一行,和第二行有个公倍数4,5,,貌似把它们提出了也不要紧。对,对于一行的公倍数提出来对结果没影响,只是如果提出来,下面的运算就会出现分数,个人不太喜欢分数,所以没提)

    就这样反复运用定理1,2,将一行的末尾化为0,再向右移位,最后上述矩阵化为:

    0  0  0  0  1  -1

    0  0  0  0  1  -1 这个就说明f(x),g(x)最后可以化成x-1,和x-1,,,公因式即为x-1

    如果算到最后有一行全为0,但另一行却不全为0,,那就说明2个多项式互素。


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  • 最大公因式+因式分解

    千次阅读 2019-09-18 19:44:33
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空空如也

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多项式最大公因式