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  • 一、多项式系数 、 二、多项式系数恒等式 、





    一、多项式系数



    下面 33 个数是等价的 :

    ① 多项式系数 (nn1n2nt)\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}

    ② 多重集全排列数

    ③ 不同的球放到不同盒子中 , 不允许有空盒 , 每个盒子放指定个数的球 方案个数 ;



    1 . 多项式系数


    多项式定理中

        (x1+x2++xt)n\ \ \ \ (x_1 + x_2 + \cdots + x_t)^n

    =n1+n2++nt=n(nn1n2nt)x1n1x2n2xtnt= \sum\limits_{满足 n_1 + n_2 + \cdots + n_t = n 非负整数解个数}\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}x_1^{n_1}x_2^{n_2}\cdots x_t^{n_t}


    ① 多项式系数 (nn1n2nt)\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}



    2 . 多重集全排列数 :


    同时又代表了 ② 多重集的全排列数 n!n1!n2!nk!\cfrac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_k!} , 可以简记为 (nn1n2nt)\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}



    3 . 放球子模型方案个数


    (nn1n2nt)\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} 可以代表放球模型的一个子类型的解个数 ,

    nn 不同的球 , 放到 tt 个不同的盒子里 , 注意此处 球 和 盒子都有区别 ,

    11 个盒子放 n1n_1 个球 , 第 22 个盒子放 n2n_2 个球 , \cdots , 第 tt 个盒子放 ntn_t 个球 的方案数 ;


    相当于多步处理 :

    • 11 步 : 选择 n1n_1 个球 , 放到 第 11 个盒子中 ; 选取方法有 (nn1)\dbinom{n}{n_1} 种 ;
    • 22 步 : 选择 n2n_2 个球 , 放到 第 22 个盒子中 ; 选取方法有 (nn1n2)\dbinom{n-n_1}{n_2} 种 ;
      \vdots
    • tt 步 : 选择 ntn_t 个球 , 放到 第 tt 个盒子中 ; 选取方法有 (nn1n2nt1nt)\dbinom{n-n_1-n_2 - \cdots -n_{t-1}}{n_t} 种 ;

    根据分步计数原理 , 乘法法则 , 将上面每步的种类个数相乘 , 就是所有的种类个数 :

        (nn1)(nn1n2)(nn1n2nt1nt)\ \ \ \ \dbinom{n}{n_1} \dbinom{n-n_1}{n_2} \dbinom{n-n_1-n_2 - \cdots -n_{t-1}}{n_t}

    =n!n1!n2!nt!=\cfrac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_t!}

    =(nn1n2nt)=\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}





    二、多项式系数恒等式



    多项式定理推论 3 :

    (nn1n2nt)=tn\sum\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} = t^n



    多重集全排列 :

    (nn1n2nt)=n!n1!n2!nk!\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} = \cfrac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_k!}



    递推式 :

    (nn1n2nt)=(n1(n11)n2nt)+(n1n1(n21)nt)+(n1n1n2(nt1))\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} = \dbinom{n-1}{(n_1-1) n_2 \cdots n_t} + \dbinom{n-1}{n_1 (n_2 - 1) \cdots n_t}+ \dbinom{n-1}{n_1 n_2 \cdots (n_t -1)}


    证明上述递推式 :

    左侧 (nn1n2nt)\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} 是放球问题的解 ,

    右侧第 11(n1(n11)n2nt)\dbinom{n-1}{(n_1-1) n_2 \cdots n_t} 是 指定某个球 a1a_1 必须落到第 11 个盒子中的方案个数 ;

    右侧第 22(n1n1(n21)nt)\dbinom{n-1}{n_1 (n_2 - 1) \cdots n_t} 是 指定某个球 a1a_1 必须落到第 22 个盒子中的方案个数 ;

    \vdots

    右侧第 tt(n1n1n2(nt1))\dbinom{n-1}{n_1 n_2 \cdots (n_t -1)} 是 指定某个球 a1a_1 必须落到第 tt 个盒子中的方案个数 ;

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  • 建立的有记忆多项式模型,转化成矩阵的形式来进行求解.
  • 多项式模型与多项式拟合

    千次阅读 2020-08-17 20:36:39
    3. 多项式模型 (一元多次方程) 3.1 多项式拟合 在有些数据分布中,使用一条曲线比直线能更好拟合数据,这就需要用到多项式拟合。如下图所示分布: 多项式的一般形式: y=p0xn+p1xn−1+p2xn−2+p3xn−3+...+pn y=p_{...

    3. 多项式模型 (一元多次方程)

    3.1 多项式拟合

    在有些数据分布中,使用一条曲线比直线能更好拟合数据,这就需要用到多项式拟合。如下图所示分布:

    在这里插入图片描述

    多项式的一般形式:
    y=p0xn+p1xn1+p2xn2+p3xn3+...+pn y=p_{0}x^n + p_{1}x^{n-1} + p_{2}x^{n-2} + p_{3}x^{n-3} +...+p_{n}
    多项式拟合的目的是为了找到一组 p0,p1,...,pnp_0, p_1, ..., p_n,使得拟合方程尽可能的与实际样本数据相符合。

    假设拟合得到的多项式如下:
    f(x)=p0xn+p1xn1+p2xn2+p3xn3+...+pn f(x)=p_{0}x^n + p_{1}x^{n-1} + p_{2}x^{n-2} + p_{3}x^{n-3} +...+p_{n}
    则拟合函数与真实结果的差方如下:
    loss=(y1f(x1))2+(y2f(x2))2+...+(ynf(xn))2 loss = (y_1-f(x_1))^2 + (y_2-f(x_2))^2 + ... + (y_n-f(x_n))^2
    那么多项式拟合的过程即为求取一组p0,p1,...,pnp_0, p_1, ..., p_n, 使得loss的值最小。在程序中,多项式可以表示为一个数组,格式如下:

    f = [-6, 3, 8, 1]
    

    表示多项式为:
    y=6x3+3x2+8x+1 y=-6x^3 + 3x^2 + 8x + 1

    3.2 多项式API

    Python中, 可以用 numpy.polyfit() 函数进行多项式拟合

    X = [x1, x2, ..., xn]
    Y = [y1, y2, ..., yn]
    # 根据一组样本,并给出最高次幂,求出拟合系数
    np.polyfit(X, Y, 最高次幂)	# 得到的是一个一维数组
    

    其他多项式运算相关函数

    # 根据拟合系数与自变量求出拟合值, 由此可得拟合曲线坐标样本数据 [X, Y']
    np.polyval(P, X)->Y'
    
    # 多项式函数求导,根据拟合系数求出多项式函数导函数的系数
    np.polyder(P)->Q 
    
    # 已知多项式系数Q 求多项式函数的根(与x轴交点的横坐标, 即波峰波谷)
    xs = np.roots(Q)
    
    # 两个多项式函数的差函数(对应系数相减)的系数(可以通过差函数的根求取两个曲线的交点)
    Q = np.polysub(P1, P2)
    

    3.3 苹果股价案例

    打开文件, 查看苹果股票的日期与收盘价格

    import pandas as pd
    import numpy as np
    
    data = pd.read_csv('aapl.csv',					# 导入文件
                       header=None,
                       names=['dates','close'])		# 日期 & 当日收市股价
    print(data)
                    """
                        dates		close
                    0	2011-01-28	336.10
                    1	2011-01-31	339.32
                    2	2011-02-01	345.03
                    3	2011-02-02	344.32
                    4	2011-02-03	343.44
                    ...		...		...
                    27	2011-03-09	352.47
                    28	2011-03-10	346.67
                    29	2011-03-11	351.99
                    """
    

    为了方便进行数学运算, 需要把日期改为数字格式, 可以用2011-01-01为0, 计算每个日期距离2011-01-01的天数为日期值 delta

    data['delta'] = data['dates'] - pd.to_datetime('2011-01-01')
    data['delta'] = data['delta'].dt.days
    print(data)
                    """
                        dates		close	delta
                    0	2011-01-28	336.10	27
                    1	2011-01-31	339.32	30
                    2	2011-02-01	345.03	31
                    3	2011-02-02	344.32	32
                    ...		...		...		...
                    """
    

    画出close和delta的图表

    data.plot(x='delta', y='close')
    

    在这里插入图片描述

    a) 多项式拟合

    针对股票价格, 用polyfit()函数进行多项式拟合

    # polyfit函数, 需要(x数据, y数据, deg=项数)三个必要参数, 
    p = np.polyfit(data['delta'], data['close'], 5)
    print(p)
    # array([-1.97919911e-05,  4.66447608e-03, -4.27249275e-01,  1.89446747e+01, -4.05027302e+02,  3.67749979e+03])
    # 得到的是多项式函数的系数
    

    b) 计算拟合值

    根据多项式函数, 可以用polyval()函数计算拟合值

    我们可以计算200个拟合值, 画出曲线图 (折线图的点变多了, 就变成曲线图了~)

    # 将delta从最小值到最大值之间平均分割200个数, 得到一个一维数组
    xs = np.linspace(data['delta'].min(), data['delta'].max(), 200)
    # linspace函数是创建数值序列的工具. 
    # 需要指定间隔起始点、终止端,以及指定分隔值总数(包括起始点和终止点);最终函数返回间隔类均匀分布的数值序列
    
    # polyval函数, 根据拟合系数与自变量求出拟合值, 由此可得拟合曲线坐标样本数据 
    # 根据函数系数p(用polyfit函数计算得到), 以及x的值序列xs(用linspace函数计算得到), 求出y值序列ys
    ys = np.polyval(p, xs)
    
    # 画出源数据图
    plt.plot(data['delta'], data['close'])
    # 画出多项式拟合图
    plt.plot(xs, ys)
    

    在这里插入图片描述

    c) 欠拟合 & 过拟合

    欠拟合:

    • 欠拟合是指模型拟合程度不高,数据距离拟合曲线较远,或指模型没有很好地捕捉到数据特征,不能够很好地拟合数据
    • 上图的拟合就较为欠缺

    过拟合:

    • 为了得到一致假设而使假设变得过度严格称为过拟合
    • 一个假设在训练数据上能够获得比其他假设更好的拟合, 但是在训练数据外的数据集上却不能很好地拟合数据,此时认为这个假设出现了过拟合的现象。出现这种现象的主要原因是训练数据中存在噪音或者训练数据太少

    调整多项式的最高次幂来调整拟合度

    p = np.polyfit(data['delta'], data['close'], 20)				# 将最高次幂调整为20
    xs = np.linspace(data['delta'].min(), data['delta'].max(), 200)
    ys = np.polyval(p, xs)
    plt.plot(data['delta'], data['close'])
    plt.plot(xs, ys)
    

    根据下图可以看得出来, 多项式函数可以很好的拟合股价波动了, 但是在一些位置出现了过拟合

    在这里插入图片描述

    继续调整多项式的最高次幂来找到最佳的拟合函数

    p = np.polyfit(data['delta'], data['close'], 9)				# 将最高次幂调整为9
    xs = np.linspace(data['delta'].min(), data['delta'].max(), 200)
    ys = np.polyval(p, xs)
    plt.plot(data['delta'], data['close'])
    plt.plot(xs, ys)
    

    在这里插入图片描述

    d) 函数趋势

    得到某一时刻股价的趋势 (涨/跌)
    polyder函数可以根据拟合系数求出多项式函数导函数的系数

    # polyder()函数用于多项式求导
    q = np.polyder(p)
    
    # 当x=46时, 判断是涨还是跌
    # 将46放入导数函数
    k = np.polyval(q, 46)
    print(k)		# -1.9249425322705065
    # k为负数表示, 当x=46时, 股价的趋势是下降的
    

    在这里插入图片描述

    e) 波峰波谷

    如何求出波峰波谷? ==> 函数切线斜率为0的位置 ==> 即导数函数的根

    xs = np.roots(q)
    print(xs)
    # array([64.81228477, 54.26409333, 41.25554414, 28.20802013])
    # 求出的是x轴的值
    

    在这里插入图片描述

    线性函数或多项式函数只是对于已经发生的数据继续拟合, 无法用于预测未发生的

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  • from sklearn import preprocessing import numpy as np X = np.array([[1, -2, 2, 3, 1, 10], [1, 2, 3, 33, 4, -90], [11, 29, 90, -80, 0, 4]]) binarizer = preprocessing.Binarizer(threshold=3) ...
  • 初探高阶多项式模型

    千次阅读 2017-07-11 22:40:41
    之前我们探究的模型大多数简单的单项模型,由于其简单方便,在粗略的描述问题的时候,单项模型的应用并无太大...因此我们常常考虑一种有多项的模型,即高阶多项式模型。因为多项式容易进行积分,微分,其应用非常广泛。

    之前我们探究的模型大多数简单的单项模型,由于其简单方便,在粗略的描述问题的时候,单项模型的应用并无太大问题,但是在现实生活中,单项模型因为其过于简单粗略,其应用范围,可用性是极其有限的。因此我们常常考虑一种有多项的模型,即高阶多项式模型。因为多项式容易进行积分,微分,其应用非常广泛。
    我们先了解一个多项式的拉格朗日形式

    给定(n+1)个数据点,存在唯一的一个最高阶为n的多项式通过全部数据点.
    最高的意思是低阶的函数也有可能可以穿过这些给出的数据点.
    唯一的意思是,存在着无数个对于n+1阶以上的函数可以通过这些数据点.
    所以存在着唯一的一条n阶的函数能够全部通过这些数据点

    我们可以把这个多项式记为P(x)

    yx=P(xk)k=0,1,n

    这一多项式由下式决定
    P(x)=y0Lo(x)+y1L1(x)++ynLn(x)

    其中
    Lk(x)=(xx0)(xx1)(xxk1)(xxk+1)(xxn)(xkx0)(xkx1)(xkxk1)(xkxk+1)(xkxn)

    高阶多项式模型的优点和缺点

    假设我们收集到如下数据

    x 0.55 1.2 2 4 6.5 12 16
    y 0.13 0.364 5.8 102 210 2030 3900

    我们一共有7个数据点,所以我们能够建立一个最高阶为6阶的多项式,用python对多项式进行拟合和作图.代码如下

    # -*- coding: utf-8 -*-
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    x = [0.55, 1.2, 2, 4, 6.5, 12, 16]
    y = [0.13, 0.364, 5.8, 102, 210, 2030, 3900]
    
    p1 = np.polyfit(x, y, 7)
    p2 = np.poly1d(p1)
    
    fig = plt.figure()
    plt.scatter(x, y, c='b')
    x1 = np.linspace(0.55, 16)
    plt.plot(x1, np.polyval(p1, x1), c='g')
    fig.show()

    我们可以得到下图
    这里写图片描述
    我们可以发现,所做的多项式对我们的数据点达到了一个完美的拟合.绝对偏差为零.这里似乎在告诉我们,我们之前所学的三种最佳拟合准则都是无用功,用高阶多项式进行拟合就可以获得一个完美的模型.但真的是这样吗?我们尝试对16之后的数据进行预测,可以得到下图
    这里写图片描述
    我们可以发现,这个多项式的动荡非常非常大,超过了16之后的数据下降速度非常快.这个的模型是没办法用于预测的.这是高阶多项式模型的一个缺点.
    如果我们获得了其他数据

    x 0.2 0.3 0.4 0.6 0.9
    y1 2.7536 3.2411 3.8016 5.1536 7.8671
    y2 2.7536 3.2411 3.8916 5.1536 7.8671

    y1y2的区别仅仅是x=0.4时的一个小小误差,如果我们运用之前讲的几种拟合准则,这个误差应该是直接被忽略的,但是对于高阶多项式呢,我们作图查看
    这里写图片描述
    该图代码如下

    # -*- coding: utf-8 -*-
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    x = [0.2, 0.3, 0.4, 0.6, 0.9]
    y1 = [2.7536,  3.2411, 3.8016, 5.1536, 7.8671]
    y2 = [2.7536, 3.2411, 3.8916, 5.1536, 7.8671]
    
    p1 = np.polyfit(x, y1, 4)
    p2 = np.polyfit(x, y2, 4)
    fig = plt.figure()
    plt.scatter(x, y1, c='b')
    for i, j in zip(x, y1):
        plt.annotate(
            '(%s, %s)' %(i, j),
            xy=(i, j),
            xytext=(0, -10),
            textcoords='offset points',
            ha='center',
            va='top')
    
    x1 = np.linspace(0, 1.0)
    plt.plot(x1, np.polyval(p1, x1), c='r')
    plt.plot(x1, np.polyval(p2, x1), c='b')
    fig.show()

    由图可以看出,在测试点的数据范围内,y1和y2已经有了些许的差异了,但是并不显著,但是,一旦超出了实际数据点给出的范围,两个函数的曲线便表现出了及其显著的差异.
    由此我们能够看出,高阶多项式模型对于数据点的微小变化,会表现出很明显的差异,而这些差异也一定程度的限制着高阶多项式在实际中的应用.

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  • 多项式模型进行数据拟合实验 首先在文件lorenza.dat中读取出前20个数据,然后将这20个数据代入到公式中求出多项式系数,从而建立出多项式回归模型,最后通过建立出来的多项式回归模型画出P次多项式的数据拟合图。 ...

    用多项式模型进行数据拟合实验

    首先在文件lorenza.dat中读取出前20个数据,然后将这20个数据代入到公式中求出多项式系数,从而建立出多项式回归模型,最后通过建立出来的多项式回归模型画出P次多项式的数据拟合图。
    
    # -*- coding: utf-8 -*-
    """
    Created on Thu Mar 19 00:06:41 2020
    
    @author: 侯明会
    """
    import matplotlib.pyplot as plt
    import numpy as np
    N=20
    data=[0]*N
    #在文件中读取20个数据
    fo=open("lorenza.dat","r+")
    list_x=list(fo.read().splitlines(False))
    fo.close()
    for i in range(N):
        data[i]=float(list_x[i])
    
    #多项式变换
    def Polynomial(p):
        index=[]
        for i in range(N):
            index=index+[i]
        z1=np.polyfit(index,data,p)#返回P次多项式系数
        p1=np.poly1d(z1)#生成多项式
        #print(p1) #打印拟合的多项式
        yvals=p1(index) #拟合后的y值
        plot1=plt.plot(index,data,'r*',label='original values')
        plot2=plt.plot(index,yvals,label='polyfit values')
        #plt.axis([0,20,0,25])
        plt.xlabel('X ')
        plt.ylabel('Y')
        plt.legend(loc=3) #设置图示的位置
        plt.title('polyfitting') #设置标题
        plt.show() #显示图片
        return
    temp=True #确保输入的P值不小于0
    while temp:
        p=int(input("请输入P值:"))
        if p<0:
            print("P值不能小于0,请重新输入")
        else:
            break
    print(str(p)+"次多项式数据拟合图为:")
    Polynomial(p)
    
    
    
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  • 光滑化:构建低阶多项式模型

    千次阅读 2017-07-12 17:54:53
    高阶多项式能够完美的拟合所提供的数据,但如我们们上一章,其...因此,需要寻找一种方式来减少多项式模型的摆动,或者称为光滑化多项式模型。 关于光滑化,一个通用的技术是选取一个低阶多项式,而不管数据点的个数。
  • 本文提出了一种新颖的分段广义记忆多项式模型,用于包络跟踪功率放大器(ETPA)。 首先,通过采用矢量阈值分解技术将输入的复包络信号分解为几个子信号,并使用广义存储多项式(GMP)模型分别处理每个子信号。 然后...
  • 基于自适应遗传算法, 提出一种多项式模型结构与参数的一体化辨识方法. 针对组合非线性系统, 首先将选 定的候选项原始序列与输出序列进行相关度评估, 根据其大小排列进行遗传算法染色体结构的自适应编码; 在迭代...
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空空如也

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多项式模型的系数