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  • 2019-09-22 15:01:24

    其实有着三条就可以解决绝大多数3次多项式的因式分解
    (1)如果没有常数项,把x提出来,就成2次多项式了
    (2)看能否用公式:
             (a+b)^3=(a+b)(a^2-ab+b^)
             (a-b)^3=(a-b)(a^2+ab+b^)
             a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)  (这个不常用,但有时用这个可以很快解题)
    (3)对于 ax^3+bx^2+cx+d (对于x因式分解),先求a,d的因数,比如pa的因数,比如qd的因数,把x=q/p带入原式,如果等于0的话,(x-q/p)就是它的一个因式。

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    原标题:初中数学考试重点因式分解方法合集!掌握考试拿高分!

    什么是因式分解

    把一个多项式化为几个整式乘积的形式,这种变形叫做因式分解(也叫作分解因式),它是中学数学中最重要的恒等变形之一.

    因式分解没有普遍适用的方法,往往需要观察题目中多项式的形式、次数、系数特征,具体问题具体来分析.

    初中数学教材中主要介绍了提公因式法和公式法,考试也以这两种方法为主。当然除此之外,我们还有十字相乘法,分组分解法,拆项和添减项法,待定系数法,双十字相乘法,换元法等内容需要给大家介绍.

    因式分解的原则

    在学习方法之前我们先来介绍一下因式分解的原则:

    (1)结果一定是乘积的形式;

    (2)每一个因式都是整式;

    (3)相同因式的积要写成幂的形式;

    (4)每个因式中不能含有同类项,如果有需要合并的同类项,合并后要注意能否再分解;

    (5)没有大括号和中括号;

    (6)单项式因式写在多项式因式的前面;

    (7)多项式因式第一项系数一般不为负;

    (8)如无特别说明,因式分解的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止.

    接下来我们按照优先级来逐一介绍因式分解的几种方法。

    因式分解具体方法

    提公因式法

    如果多项式的各项有公因式,将公因式提到括号外面.

    确定公因式的方法:

    (1)系数——取多项式各项系数的最大公约数;

    (2)字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.

    易错点:

    提公因式后项数不变,易漏掉常数项.

    例题

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    (点击查看大图)

    口诀:找准公因式,全家都搬走,提负要变号,变形看奇偶。

    公式法

    如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。

    常用公式

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    (点击查看大图)

    例题

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    (点击查看大图)

    十字相乘法

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    (点击查看大图)

    十字相乘法口诀:首尾分解,交叉相乘,求和凑中。

    十字相乘一般是两种形式:

    形式一

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    (点击查看大图)

    形式二

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    (点击查看大图)

    相关练习

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    分组分解法

    分组分解是解方程的一种简洁的方法,能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式:二二分法,三一分法.

    例题

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    (点击查看大图)

    相关练习

    90369c2c802e497226833b0c9e39e439.png

    (点击查看大图)

    拆添项法

    拆项添项法:为了分组分解,常常采用拆项添项的方法,使得分成的每一组都有公因式可提或者可以应用公式.

    常用思路:在按某一字母降幂排列的三项式中,拆开中项是最常见的.

    ffbda7057dab4be754d6860d2e9f29e8.png

    (点击查看大图)

    换元法

    换元法作为一种因式分解的常用方法,其实质是整体思想,当看作整体的多项式比较复杂时,应用换元法能够起到简化计算的作用.

    例题

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    (点击查看大图)

    主元法

    在对含有多个未知数的代数式进行因式分解时,可以选其中的某一个未知数为主元,把其他未知数看成是字母系数进行因式分解.

    例题

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    (点击查看大图)

    双十字相乘法

    449e876147488bae961f1fc783f1dc1f.png

    例题

    (点击查看大图)

    总结

    除了以上几种方法之外,因式分解的方法还有配方法,求根法,图像法,待定系数法等,但初中阶段并不常见,限于篇幅关系,本文就不逐一介绍了,有兴趣的同学可以自行查阅资料了解.返回搜狐,查看更多

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    因式分解练习题及答案

    如何掌握了解因式分解意义的基础上,会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解,下面是小编整理的因式分解练习题及答案,欢迎来参考!

    0afa14f05762635be4dc77a0a844857c.png

    一、填空题(10×3'=30')

    1、计算3×103-104=_________

    2、分解因式 x3y-x2y2+2xy3=xy(_________)

    3、分解因式 –9a2+ =________

    4、分解因式 4x2-4xy+y2=_________

    5、分解因式 x2-5y+xy-5x=__________

    6、当k=_______时,二次三项式x2-kx+12分解因式的结果是(x-4)(x-3)

    7、分解因式 x2+3x-4=________

    8、已知矩形一边长是x+5,面积为x2+12x+35,则另一边长是_________

    9、若a+b=-4,ab= ,则a2+b2=_________

    10、化简1+x+x(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)1995=________

    二、选择题(12×3'=36')

    1、下列各式从左到右的变形,是因式分解的是( )

    A、m(a+b)=ma+mb B、ma+mb+1=m(a+b)+1

    C、(a+3)(a-2)=a2+a-6 D、x2-1=(x+1)(x-1)

    2、若y2-2my+1是一个完全平方式,则m的值是( )

    A、m=1 B、m=-1 C、m=0 D、m=±1

    3、把-a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)分解因式正确的结果是( )

    A、(x-y)(-a-b+c) B、(y-x)(a-b-c)

    C、-(x-y)(a+b-c) D、-(y-x)(a+b-c)

    4、-(2x-y)(2x+y)是下列哪一个多项式分解因式后所得的`答案( )

    A、4x2-y2 B、4x2+y2 C、-4x2-y2 D、-4x2+y2

    5、m-n+ 是下列哪个多项式的一个因式( )

    A、(m-n)2+ (m-n)+ B、(m-n)2+ (m-n)+

    C、(m-n)2- (m-n)+ D、(m-n)2- (m-n)+

    6、分解因式a4-2a2b2+b4的结果是( )

    A、a2(a2-2b2)+b4 B、(a-b)2

    C、(a-b)4 D、(a+b)2(a-b)2

    7、下列多项式(1) a2+b2 (2)a2-ab+b2 (3)(x2+y2)2-x2y2

    (4)x2-9 (5)2x2+8xy+8y2,其中能用公式法分解因式的个数有( )

    A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

    8、把多项式4x2-2x-y2-y用分组分解法分解因式,正确的分组方法应该是( )

    A、(4x2-y)-(2x+y2) B、(4x2-y2)-(2x+y)

    C、4x2-(2x+y2+y) D、(4x2-2x)-(y2+y)

    9、下列多项式已经进行了分组,能接下去分解因式的有( )

    (1) (m3+m2-m)-1 (2) –4b2+(9a2-6ac+c2)

    (3) (5x2+6y)+(15x+2xy) (4)(x2-y2)+(mx+my)

    A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

    10、将x2-10x-24分解因式,其中正确的是( )

    A (x+2)(x-12) B(x+4)(x-6)

    C(x-4)(x-6) D(x-2)(x+12)

    11、将x2-5x+m有一个因式是(x+1),则m的值是( )

    A、6 B、-6 C、4 D、-4

    12、已知x2+ax-12能分解成两个整系数的一次因式的乘积,则符合条件的整数a的个数是( )

    A、3个 B、4个 C、6个 D、8个

    三、分解因式(6×5'=30')

    1、x-xy2 2、

    3、x3+x2y-xy2-y3 4、1-m2-n2+2mn

    5、(x2+x)2-8(x2+x)+12 6、x4+x2y2+y4

    四、已知长方形周长为300厘米,两邻边分别为x厘米、y厘米,且x3+x2y-4xy2-4y3=0,求长方形的面积。(6')

    五、分解因式(x2+5x+3)(x2+5x-23)+k=(x2+5x-10)2后,求k的值。(6')

    六、已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式(x+5),且m+n=17,试求m、n的值。(6')

    七、设多项式A=(a2+1)(b2+1)-4ab

    (1)试将多项式写成两个非负数的和的形式。

    (2)令A=0,求a、b的值。 (6')

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  • 因式分解与分式的运算

    千次阅读 2020-09-23 16:24:26
    多项式因式分解:把一个多项式化成几个整式的积。 因式分解的标准: 因式之间只存在乘积运算 分解到不能分解为止 因式分解的方法: 提公因式法: 公因式:一个多项中每一项都含有的相同的因式 例: ...

    一、因式分解

    1. 多项式的因式分解:把一个多项式化成几个整式的积。

    2. 因式分解的标准:

      • 因式之间只存在乘积运算
      • 分解到不能分解为止
    3. 因式分解的方法:

      1. 提公因式法:

      公因式:一个多项中每一项都含有的相同的因式

      • 例:image-20200918085429387

        image-20200918085728207

        image-20200918085748645

      1. 利用公式分解:

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      • 例:

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      1. 十字相乘法:形如x2+px+q的二次三项式的因式分解

        image-20200918091403737

        image-20200918091532209

      • 例:

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        image-20200918092329643

    二、分式的运算

    1. 分式的基本性质:分式的分子、分母同乘或同除以同一个常数(0除外)分式的大小不变。

      image-20200919101605763

      image-20200919101621045

    2. 分式的加减运算

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    • 同分母的分式相加减,分母不变,只把分子相加减

      image-20200919101815946

    • 异分母的分式相加减,线通分,转化为同分母的分式之后再相加减

      分式的通分:将异分母的分式分别化为同分母的分式

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      image-20200919102258040

    1. 分式的约分:把公式的分子和分母的公因式约去

    2. 分式的乘法:分子的积作积的分子,分母的积作积的分母。

    3. 分式的除法:分式除以分式=分式乘以另一个分式的倒数

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