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  • 关于勒让德多项式递推公式推导的几种不同方法,非常实用,希望能对对考研、考博的同学们有所帮助
  • 常见的证明或使用L'Hosptial法则或使用Cauchy中值定理,利用Carathéodory导数公式,我们能更自然、更直接地证明Taylor定理.由以下证明可以看出,Carathéodory导数公式中\(\phi(x)\)在\(a\)点处的连续性极其关键. ...

    常见的证明或使用L'Hosptial法则或使用Cauchy中值定理,利用Carathéodory导数公式,我们能更自然、更直接地证明Taylor定理.由以下证明可以看出,Carathéodory导数公式中\(\phi(x)\)\(a\)点处的连续性极其关键.

    带Peano余项的Taylor公式

    若函数f在点\(x_0\)存在n阶导数\(f^{(n)}(x_0)\),则有
    \[f(x) = f(x_0) + f^{'}(x_0)(x-x_0) + \frac{f^{''}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ...+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o((x-x_0)^{n}) (x \to x_0).\]

    证明

    引入多项式
    \[p_n(x_0) = f(x_0)+ f^{'}(x_0)(x-x_0) + \frac{f^{''}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +...+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\]

    \[r_n(x) = f(x) - p_n(x)\]
    \(p_n\)\(f(x)\)\(x_0\)处的n阶Taylor多项式,称\(r_n(x)\)为n阶余项,只要证明
    \[ \lim_{x \to x_0} \frac{r_n(x)}{(x-x_0)^n} = 0\]
    由于\(f(x)\)\(p_n(x)\)\(x_0\)处n阶可导,\(r_n(x)\)\(x_0\)处n阶可导,即存在\(x_0\)处连续的函数\(\phi^{[i]} (i = 1,2,3 ... n)\),且满足
    \[ \phi^{[i]}(x) - \phi^{[i]}(x) = \phi^{[i+1]}(x_0) (x-x_0) (i = 1,2,3 ... n-1)\\ r_n(x) - r_n(x_0) = \phi^{[1]}(x) (x-x_0) \]
    注意到
    \[ \phi^{[i]}(x_0) =0 (i = 1,2,3 ... n-1)\\ r_n(x_0) = 0 \]
    则有
    \[ \phi^{[i]}(x) = \phi^{[i+1]}(x) (x-x_0) (i = 1,2,3 ... n-1)\\ r_n(x)= \phi^{[1]}(x) (x-x_0) \]
    所以
    \[ \begin{array}{ll} r_n(x)&=r_n(x) - r_n(x_0)&= \phi^{[1]}(x) (x-x_0) \\ &= [ \phi^{[1]}(x) -\phi^{[1]}(x_0)] (x-x_0)&=\phi^{[2]}(x) (x-x_0)^2\\ &......\\ &=[\phi^{[n-1]}(x)-\phi^{[n-1]}(x_0)] (x-x_0)^{n-1} &= \phi^{[n]}(x)(x-x_0)^{n} \end{array} \]
    上面已经指出\(\phi^{[n]}(x_0)=0\),利用$ \phi^{[n]}(x)\(在\)x_0$处连续性,自然得出
    \[ \lim_{x \to x_0} \frac{r_n(x_0)}{(x-x_0)^n} = 0\]

    注与参考

    我认为此证明短小精悍,揭示了Taylor定理的实质,即Taylor定理是利用一个点的性质和函数在这个点的"高阶连续可导性"来还原函数的性质.
    此证明的书写框架参考了(谢惠民等)数学分析习题课讲义.
    关于Carathéodory导数公式,请参考Kuhn Stephen,The Derivative a la Caratheodory,American Mathematical Monthly vol 98.

    转载于:https://www.cnblogs.com/matrice/p/8320050.html

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  • 求一元多项式导数(java版)

    千次阅读 2018-12-11 21:01:00
    以与输入相同的格式输出导数多项式非零项的系数和指数。数字间以空格分隔,却结尾不能有多余空格。 输入样例: 3 4 -5 2 6 1 -2 0 输出样例 12 3 -10 1 6 0 如果求导之后没有任何非零项,需要输出0 0,这是本题的...

    输入格式:以指数递减方式输入多项式非零项系数和指数(绝对值均为不超过1000的整数)。数字见以空格分隔。
    输出格式:
    以与输入相同的格式输出导数多项式非零项的系数和指数。数字间以空格分隔,却结尾不能有多余空格。
    输入样例:

    3 4 -5 2 6 1 -2 0
    

    输出样例

    12 3 -10 1 6 0
    

    如果求导之后没有任何非零项,需要输出0 0,这是本题的一个“陷阱”。
    但本题必须要输入一个常数项(即常数项的次数为0)
    代码如下:

    //一元多项式求导
    import java.util.Scanner;
    public class test0005 {
    	public static void main(String [] args)
    	{
    		int []a=new int[1010];
    		int []b=new int[1010];
    		int count=0;
    		int i=0;
    		Scanner sc=new Scanner(System.in);
    		do
    		{
    			a[i]=sc.nextInt();
    			b[i]=sc.nextInt();
    			//System.out.println(b[i]);
    			count++;
    			i++;
    		}while(b[i-1]!=0);
    		//
    		if(count==1&&b[i]==0)//求导之后没有任何非零项,
    		{
    			System.out.println("0 0");
    		}
    		else
    		{
    			for(int j=0;j<i;j++)
    			{
    				int h=a[j]*b[j];
    				if(a[j]==0)
    				{
    					System.out.print("0 0");
    					if((i-1)>j)
    						System.out.print(" ");
    					continue;
    				}
    				if((b[j]-1)<0) 
    					break;
    				System.out.print(h+" "+(b[j]-1));
    				if((i-1)>j)
    				{
    					System.out.print(" ");
    				}
    				
    			}
    		}
    	}
    }
    

    测试结果如下:
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    不同的结果返回出不同的结果,当然0 3输入时输出0 0表示输入不对

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  • El-kalla多项式的主要优点可以归纳为以下三点:1)El-kalla多项式是递归的并且没有导数项,因此,El-kalla公式易于编程,并且可以在同一处理器上节省大量时间与传统的Adomian多项式公式相比; 2)使用El-Kalla...
  • 多项式回归 项目链接:https://github.com/Wchenguang/gglearn/blob/master/PolynomialClassifier/李航机器学习-讲解/PolynomialClassifier.ipynb 公式推导 损失函数定义为平方损失函数 cos⁡t=12(f(X)−Y)2L=1N×...

    多项式回归

    项目链接:https://github.com/Wchenguang/gglearn/blob/master/PolynomialClassifier/李航机器学习-讲解/PolynomialClassifier.ipynb

    公式推导

    • 损失函数定义为平方损失函数

    cost=12(f(X)Y)2L=1N×i=1N12(j=0M(wjxij)yi)2 \begin{array}{l}{\cos t=\frac{1}{2}(f(X)-Y)^{2}} \\ {L=\frac{1}{N} \times \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2}\left(\sum_{j=0}^{M}\left(w_{j} x_{i}^{j}\right)-y_{i}\right)^{2}}\end{array}

    • 求导并使导数为0,直接求出权值

    Lwk=1N×i=1N12×2(xik×(j=0M(wjxik)yi))=1N×i=1N(xik×j=0M(wjxij)xik×yi)=0x1kj=1mwjx1j+x2Kj=1mwjx2jxnKj=1mwjxnj=i=1nxikyi[x1kxnk][x10 x1m xn0 xnm][w0wm]=[x1k xnk][y1yn] \begin{array}{c}\begin{array}{l}{\frac{\partial L}{\partial w_{k}}=\frac{1}{N} \times \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} \times 2\left(x_{i}^{k} \times\left(\sum_{j=0}^{M}\left(w_{j} x_{i}^{k}\right)-y_{i}\right)\right)} \\ {=\frac{1}{N} \times \sum_{i=1}^{N}\left(x_{i}^{k} \times \sum_{j=0}^{M}\left(w_{j} x_{i}^{j}\right)-x_{i}^{k} \times y_{i}\right)} \\ {=0}\end{array} \\ {\downarrow} \\ x_{1}^{k} \sum_{j=1}^{m} w_{j} x_{1}^{j}+x_{2}^{K} \sum_{j=1}^{m} w_{j} x_{2}^{j} \cdots x_{n}^{K} \sum_{j=1}^{m} w_{j} x_{n}^{j}=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{k} y_{i} \\ {\downarrow} \\ \left[x_{1}^{k} \dots x_{n}^{k}\right] \begin{bmatrix} x_{1}^{0}&amp; \cdots\ &amp;x_{1}^{m}\\ &amp; \cdots\ &amp;\\ &amp;\vdots \\ x_{n}^{0}&amp; \cdots\ &amp;x_{n}^{m} \end{bmatrix} \left[\begin{array}{c}{w_{0}} \\ {\vdots} \\ {w_{m}}\end{array}\right] = \left[x_{1}^{k} \cdots\ x_{n}^{k}\right] \left[\begin{array}{c}{y_{1}} \\ {\vdots} \\ {y_{n}}\end{array}\right] \end{array}

    • 上式所求的wkw_{k}可以用含有w0w1 wk1wk+1 wmw_{0} w_{1} \cdots\ w_{k-1} w_{k+1}\cdots\ w_{m} 的式子表示,这些ww值表示的是相应权重值的最优解,因而可以利用线性代数将所有权重值求出

    [x1kxnk][x10 x1m xn0 xnm][w0wm]=[x1k xnk][y1yn][x10 xn0 x1m xnm][x10 x1m xn0 xnm][w0wm]=[x10 xn0 x1m xnm][y1yn] \begin{array}{c}\left[x_{1}^{k} \dots x_{n}^{k}\right] \begin{bmatrix} x_{1}^{0}&amp; \cdots\ &amp;x_{1}^{m}\\ &amp; \cdots\ &amp;\\ &amp;\vdots \\ x_{n}^{0}&amp; \cdots\ &amp;x_{n}^{m} \end{bmatrix} \left[\begin{array}{c}{w_{0}} \\ {\vdots} \\ {w_{m}}\end{array}\right] = \left[x_{1}^{k} \cdots\ x_{n}^{k}\right] \left[\begin{array}{c}{y_{1}} \\ {\vdots} \\ {y_{n}}\end{array}\right] \\ {\downarrow} \\ \begin{bmatrix} x_{1}^{0}&amp; \cdots\ &amp;x_{n}^{0}\\ &amp; \cdots\ &amp;\\ &amp;\vdots \\ x_{1}^{m}&amp; \cdots\ &amp;x_{n}^{m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}^{0}&amp; \cdots\ &amp;x_{1}^{m}\\ &amp; \cdots\ &amp;\\ &amp;\vdots \\ x_{n}^{0}&amp; \cdots\ &amp;x_{n}^{m} \end{bmatrix} \left[\begin{array}{c}{w_{0}} \\ {\vdots} \\ {w_{m}}\end{array}\right] = \begin{bmatrix} x_{1}^{0}&amp; \cdots\ &amp;x_{n}^{0}\\ &amp; \cdots\ &amp;\\ &amp;\vdots \\ x_{1}^{m}&amp; \cdots\ &amp;x_{n}^{m} \end{bmatrix} \left[\begin{array}{c}{y_{1}} \\ {\vdots} \\ {y_{n}}\end{array}\right] \end{array}

    • 由上式即可得梯度下降中的正规方程
      xxw=xyw=(xx)1xy \begin{array}{c} x^{\top} x w =x^{\top} y \\ {\downarrow} \\ w =\left(x^{\top} x\right)^{-1} x^{\top} y \end{array}

    实现多项式分类器PolynomialRegression

    import numpy as np
    class PolynomialRegression:
        '''
        只支持numpy数组的输入
        '''
        def __init__(self):
            pass
        def fit(self, x, y):
            '''
            只支持二维数组
            '''
            x= np.hstack((np.ones((len(x), 1)), x))
            x = np.mat(x)
            y = np.mat(y)
            self.w = np.mat((x.T * x).I * x.T * y)
            return self
        def transform(self, x):
            x= np.hstack((np.ones((len(x), 1)), x))
            x = np.mat(x)
            return x * self.w
        def fit_transform(self, x, y):
            x= np.hstack((np.ones((len(x), 1)), x))
            x = np.mat(x)
            y = np.mat(y)
            self.w = (x.T * x).I * x.T * y
            return x * self.w
               #if __name__ == 'main':
    for i in range(10, 51, 10):
        x = np.random.randint(1, 100, (40, i))
        y = np.random.randint(1, 100, (40, 1))
        reg_result = PolynomialRegression().fit(x, y).transform(x)
        import matplotlib.pyplot as plt
        fig = plt.figure(num = 1, figsize = (15, 8))
        plt.plot(np.arange(len(y)), y, label = 'real_y')
        plt.plot(np.arange(len(reg_result)), reg_result, label = 'pred_y')
        plt.legend()
        plt.show()
    
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  • 基本初等函数公式 C′=0C&amp;amp;amp;#x27; = 0C′=0 (C is constant) (xa)′=axa−1(x^a)&amp;amp;amp;#x27; = ax^{a-1}(xa)′=axa−1, 多项式 (ax)′=ax⋅ln⁡a(a&amp;amp;amp;gt;0,a≠1);(ex)′=ex...

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    基本初等函数公式

    1. C=0C&#x27; = 0 (C is constant)
    2. (xa)=axa1(x^a)&#x27; = ax^{a-1}, 多项式
    3. (ax)=axlna(a&gt;0,a1);(ex)=ex(a^x)&#x27; = a^x\cdot \ln a(a&gt;0, a \neq 1); (e^x)&#x27; = e^x, 指数函数
    4. (logax)=1xlna,(lnx)=1x(\log_a\vert x \vert)&#x27; = \frac 1 {x\ln a}, (\ln\vert x \vert)&#x27; = \frac 1 x, 对数函数
    5. (sinx)=cosx(\sin x)&#x27; = \cos x
    6. (cosx)=sinx(\cos x)&#x27; = -\sin x

    基本求导法则

    1. 线性法则 (au+bv)=au+bv(au+bv)&#x27; = au&#x27; + bv&#x27;
    2. 积法则 $(uv)’ = u’v + uv’ $
    3. 商法则 (uv)=uvuvv2(\frac u v)&#x27; = \frac {u&#x27;v - uv&#x27;}{v^2}
    4. 链式法则(f(u(x)))=f(u(x))u(x)(f(u(x)))&#x27; = f&#x27;(u(x))u&#x27;(x)

    Ref

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  • Taylor公式和插值多项式 笔记总结自:复旦大学-陈纪修-《数学分析》课程-第5章第3节-Taylor公式和插值多项式 一、Taylor公式 f(x)=∑k=0nf(k)(x0)k!(x−x0)k+Rn(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+12!f′′(x0)(x−x0)2+...+1...
  • 导数的运算(2)能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.• 常见基本初等函数的导数公式:• 常用的导数运算法则:...
  • 导数

    2019-10-28 18:45:42
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  • 函数 y=11+x2y=11+x2y = \frac{1}{1+x^2} ...下面代码中使用的是第一个点的导数相等来作为限制,算出这个多项式。 插值效果 代码 下面代码就是根据之前的拉格朗日插值改进得到的。所以那个lab...
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  • 设计函数求一元多项式导数
  • 在轨迹规划中,有一个类别是多项式轨迹规划:抛物线、三次多项式、五次多项式、七次多项式、N次多项式。在这篇中,我们去掉最低,去掉最高,主要讲三次...多项式中四个常量参数的计算公式为: 该公式中,q0是起始点...
  • Legendre多项式

    2017-03-18 15:34:00
    Legendre多项式的递归公式 编写程序, 输出n阶Legendre多项式x在[-1,1]闭区间的101个点值, (每个点等间距) 输入 输入阶数 n 输出 输出n阶Legendre多项式x在[-1,1]闭区间的101个点值, 保留...
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  • 1010 一元多项式求导

    2018-11-20 17:21:33
      设计函数求一元多项式导数。(注:x​n(n为整数)的一阶导数为 nx​n−1​ 。) 输入格式:   以指数递降方式输入多项式非零项系数和指数(绝对值均为不超过 1000 的整数)。数字间以空格分隔。 输出格式: ...
  • 多项式操作

    2019-07-14 17:37:00
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  • 高阶导数

    2019-08-18 16:36:29
    由倒数第二个公式可得 线性复合函数的n阶导数 : 幂函数的n阶导数 例题 : 莱布里茨 导数公私 的导数次数和系数: 乘积中有多项式函数,把多项式函数放在第二项,这样多项式在一定次数之后将为零...
  • 笛卡尔坐标系与Frenet坐标系互转,可能需要导曲率的导数信息。此出给出推导过程与计算式,方便以后写代码时查阅。 1. 曲线的表示形式 二维平面上的曲线有两种参数化形式,如下所示: 参数方程1 {xt=x(t)yt=y(t)\...
  • 多项式模型与多项式拟合

    千次阅读 2020-08-17 20:36:39
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  • B1010 一元多项式求导

    2019-03-13 17:59:11
    设计函数求一元多项式导数。(注:x​n​​(n为整数)的一阶导数为nx​n−1​​。) 输入格式: 以指数递降方式输入多项式非零项系数和指数(绝对值均为不超过 1000 的整数)。数字间以空格分隔。 输出格式: ...
  • 多项式求导:C++实现

    千次阅读 2018-04-09 23:30:31
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    万次阅读 2018-10-31 12:24:45
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    数学中的导数

空空如也

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多项式的导数公式