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  • 文章目录不可约多项式例1因式分解及唯一性定理例 2重因式微商例 3小结参考资料 不可约多项式 定义\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义} }}定义​设 f(x)∈F[x],deg⁡f(x)>0.f(x) \in F[x], \...

    1. 多项式01——一元多项式和运算
    2. 多项式02——整除
    3. 多项式03——最大公因式与互素
    4. 多项式04——标准分解式
    5. 多项式05——多项式函数
    6. 多项式07——有理系数和整系数多项式

    不可约多项式

    \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义} }}f(x)F[x],degf(x)>0.f(x) \in F[x], \operatorname{deg} f(x)>0 . 若存在
    g(x),h(x)F[x], 使得 f(x)=g(x)h(x) g(x), h(x) \in F[x], \text { 使得 } f(x)=g(x) h(x)
    其中 degg(x)<degf(x)\operatorname{deg} g(x)<\operatorname{deg} f(x)degh(x)<degf(x)\operatorname{deg} h(x)<\operatorname{deg} f(x) .则称 f(x)f(x) 在F上可约, 否则 f(x)f(x) 为不可约多项式.

    :\Large\color{violet}{注 :}多项式的不可约与数域有关;一次多项式都是不可约多项式。

    1\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{命题1} }}p(x)p(x) 是不可约多项式,则只有c p(x)\mid p(x)cp(x)p(x)c p(x) \mid p(x),其中 cF,c \in \boldsymbol{F}, \quadc0c \neq 0

    2\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{命题2} }}f(x),p(x)F[x]f(x), p(x) \in F[x]p(x)p(x) 是不可约多项式,则 p(x)f(x)p(x) \mid f(x)(p(x),f(x))=1.(p(x), f(x))=1 .

    【证明】设 (p(x),f(x))=d(x),(p(x), f(x))=d(x),d(x)p(x).d(x) \mid p(x) .
    又因为 p(x)p(x) 是不可约多项式,所以 d(x)=1d(x)=1d(x)=cp(x)d(x) = cp(x).
    这里 c1c^{-1}p(x)p(x) 的首项系数.
    d(x)=cp(x),d(x)=c p(x),p(x)f(x)p(x) \mid f(x)

    \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{性质} }}p(x)p(x) 为数域 F\boldsymbol{F} 上的次数大于零的多项式。若 p(x)p(x) 对任意 多项式 f(x)f(x)p(x)f(x)p(x) \mid f(x)(p(x),f(x))=1,(p(x), f(x))=1,p(x)p(x) 是数域 F\boldsymbol{F} 上的不 可约多项式。

    3\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{命题3} }}p(x),f(x),g(x)F[x],p(x)p(x), f(x), g(x) \in F[x], p(x) 是不可约多项式, 且 p(x)f(x)g(x),p(x) \mid f(x) g(x), 则或 p(x)f(x)p(x) \mid f(x)
    p(x)g(x)p(x) \mid g(x).

    【证明】若 p(x)p(x) 不整除 f(x),f(x), 因为 p(x)p(x) 不可约,则 (f(x),p(x))=1(f(x), p(x))=1
    又因为 p(x)f(x)g(x)p(x) \mid f(x) g(x),由互素多项式的性质知 p(x)g(x).p(x) \mid g(x) .

    \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{性质} }}p(x)p(x) 为数域 F\boldsymbol{F} 上的次数大于零的多项式。若对任意两个多项式 f(x)f(x)g(x),g(x),p(x)f(x)g(x)p(x) \mid f(x) g(x) 时必有 p(x)f(x)p(x) \mid f(x) 或者 p(x)g(x),p(x) \mid g(x),p(x)p(x) 一定是数域 F\boldsymbol{F} 上的不可约多项式。

    1\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{推论1} }}p(x)p(x) 是不可约多项式, 且 p(x)f1(x)f2(x)fs(x),p(x) \mid f_{1}(x) f_{2}(x) \ldots f_{s}(x), 则对某个 fi(x),1is,f_{i}(x), 1 \leq i \leq s,p(x)fi(x)p(x) \mid f_{i}(x)

    例1

    f(x)F[x]f(x) \in F[x] 且deg f(x)=n(n>0),aF.f(x)=n(n>0), a \in F .y=xa,y=x-a,g(y)=f(y+a).g(y)=f(y+a) . 证明: f(x)f(x)FF 上可约的充分必要条件是 g(y)g(y)FF 上可约.

    【证明 】必要性. 设 f(x)f(x) 次数为 n.n .f(x)f(x)FF 上可约,故存在FF上次数小于n的多项式 u(x),v(x),u(x), v(x), 使得f(x)=u(x)v(x).f(x)=u(x) v(x) .xxy+ay+a 替换, 得 g(y)=s(y)t(y),g(y)=s(y) t(y),其中 s(y)=u(y+a),t(y)=v(y+a)s(y)=u(y+a), t(y)=v(y+a)

    f(x)f(x) 的首项为 anxn,a_{n} x^{n}, 简单计算知 g(y)g(y) 的首项是 anyn,a_{n} y^{n}, 这说明 degg(y)=degf(x)=n\operatorname{deg} g(y)=\operatorname{deg} f(x)=n
    同理可得 degs(y)=degu(x)<n\operatorname{deg} s(y)=\operatorname{deg} u(x)<ndegt(y)=degv(x)<n,\operatorname{deg} t(y)=\operatorname{deg} v(x)<n, 这就证明了 g(y)g(y)FF 上也可约.

    充分性类似可得.

    因式分解及唯一性定理

    1\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理1} }}f(x)F[x],degf(x)1,f(x) \in F[x], \operatorname{deg} f(x) \geq 1, 则多项式 f(x)f(x):

    (1) f(x)=p1(x)p2(x)ps(x),f(x)=p_{1}(x) p_{2}(x) \cdots p_{s}(x), 其中 pi(x)p_{i}(x)FF 上的不可约多项式 (i=1,2,,s);(i=1,2, \cdots, s) ; (存在性定理)

    若: f(x)=p1(x)p2(x)ps(x),f(x)=p_{1}(x) p_{2}(x) \cdots p_{s}(x),若不记零次多项式的差异和因式的排列次序,那么f(x)f (x)分解成不可约因式的乘积的分解式是唯一的。(唯一性定理)

    即若有两个分解式

    (2) f(x)=p1(x)p2(x)ps(x)=q1(x)q2(x)qt(x)f(x)=p_{1}(x) p_{2}(x) \cdots p_{s}(x)=q_{1}(x) q_{2}(x) \cdots q_{t}(x),其中 pi(x)p_{i}(x)qj(x)q_{j}(x)FF 上的不可约多项式(i=1,2,,s;j=1,2,,t),(i=1,2, \cdots, s ; j=1,2, \cdots, t),s=t,s=t, 且经过适当调换因式的顺序后有 pi(x)p_{i}(x)qi(x)q_{i}(x) 相伴 (i=1,2,,s)(i=1,2, \cdots, s).

    相伴 : pi(x)=cqi(x)p_{i}(x)=cq_{i}(x)

    2\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理2} }} 对于任意次数大于零的多项式有如下的标准分解式:
    f(x)=cp1e1(x)p2e2(x)pmem(x) f(x)=c p_{1}^{e_{1}}(x) p_{2}^{e_{2}}(x) \cdots p_{m}^{e_{m}}(x)
    其中 pi(x)p_{i}(x) 是首一的两两旦素的不可约多项式ei1(i=1,2,,m)e_{i} \geq 1(i=1,2, \cdots, m) ,c 是f(x)f(x)是首项系数

    例 2

    f(x)=cp1a1(x)pmam(x),g(x)=dp1b1(x)pmbm(x)f(x)=c p_{1}^{a_{1}}(x) \cdots p_{m}^{a_{m}}(x), g(x)=d p_{1}^{b_{1}}(x) \cdots p_{m}^{b_{m}}(x),其中 pi(x)p_{i}(x) 为首一的两两互素的不可约多项式,对任意的 i(1im),i(1 \leq i \leq m), 都有 ai0,bi0,a_{i} \geq \mathbf{0}, b_{i} \geq 0,ai+bi>0,a_{i}+b_{i}>0,

    (1) f(x)g(x)f(x) \mid g(x) 的充要条件是 aibi(i=1,2,,m)a_{i} \leq b_{i}(i=1,2, \cdots, m)

    (2) (f(x),g(x))=p1c1(x)p2c2(x)pmcm(x),(f(x), g(x))=p_{1}^{c_{1}}(x) p_{2}^{c_{2}}(x) \cdots p_{m}^{c_{m}}(x), 其中ci=min{ai,bi}(i=1,2,,m)c_{i}=\min \left\{a_{i}, b_{i}\right\}(i=1,2, \cdots, m)

    (3)[f(x),g(x)]=p1d1(x)p2d2(x)pmdm(x),(3)[f(x), g(x)]=p_{1}^{d_{1}}(x) p_{2}^{d_{2}}(x) \cdots p_{m}^{d_{m}}(x), 其中di=max{ai,bi}(i=1,2,,m)\boldsymbol{d}_{i}=\max \left\{\boldsymbol{a}_{i}, \boldsymbol{b}_{i}\right\}(\boldsymbol{i}=\mathbf{1}, \boldsymbol{2}, \cdots, \boldsymbol{m})

    (4) (f(x),g(x))[f(x),g(x)]=c1d1f(x)g(x),(f(x), g(x))[f(x), g(x)]=c^{-1} d^{-1} f(x) g(x), 其中 c,dc, d 分别是 f(x),g(x)f(x), g(x) 的首项系数.

    重因式

    \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义} }}f(x),p(x)F[x],p(x)f(x), p(x) \in F[x], p(x) 是不可约多项式, 若存在k>1,k>1, 使得 pk(x)f(x),pk+1(x)p^{k}(x) \mid f(x), p^{k+1}(x) 不整除 f(x),f(x), 则称 p(x)p(x)f(x)f(x)kk 重因式.

    问题 :分别在 C上和 R\mathbb{R} 上讨论 p(x)=x2+1p(x)=x^{2}+1 是否为f(x)=(x41)3f(x)=\left(x^{4}-1\right)^{3} 的重因式.

    微商

    \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义} }}f(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0},定义 f(x)f(x) 的导数(一阶微商)为
    f(x)=nanxn1+(n1)an1xn2++2a2x+a1 f^{\prime}(x)=n a_{n} x^{n-1}+(n-1) a_{n-1} x^{n-2}+\cdots+2 a_{2} x+a_{1}
    例:n次多项式的微商是一个n1n-1次多项式,它的nn阶微商就 是一个常数,它的n+1阶微商就是零。

    直接验证以下性质:
    (1) (f(x)+g(x))=f(x)+g(x)(f(x)+g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)
    (2) (f(x)g(x))=f(x)g(x)+f(x)g(x)(f(x) g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x)
    (3) (fm(x))=mf(x)fm1(x)\left(f^{m}(x)\right)^{\prime}=m f^{\prime}(x) f^{m-1}(x).

    3\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理3} }} 设不可约多项式 p(x)p(x)f(x)f(x)kk 重因式 (k>1),(k>1),p(x)p(x)f(x)f^{\prime}(x)kk -1重因式.

    【证明 】由设 f(x)=pk(x)h(x),f(x)=p^{k}(x) h(x), 其中 p(x)p(x) 不整除 h(x).h(x) . 直接计算得
    f(x)=kpk1(x)p(x)h(x)+pk(x)h(x)=pk1(x)(kp(x)h(x)+p(x)h(x)) f^{\prime}(x)=k p^{k-1}(x) p^{\prime}(x) h(x)+p^{k}(x) h^{\prime}(x)=p^{k-1}(x)\left(k p^{\prime}(x) h(x)+p(x) h^{\prime}(x)\right)
    显然 pk1(x)f(x),p^{k-1}(x) \mid f^{\prime}(x),p(x)p(x) 不整除 kp(x)h(x)+p(x)h(x).k p^{\prime}(x) h(x)+p(x) h^{\prime}(x) . 否则有 p(x)p(x)整除 p(x)h(x).p^{\prime}(x) h(x) .p(x)p(x) 不可约且 p(x)p(x) 不整除 h(x),h(x), 所以 p(x)p(x) 整除 p(x),p^{\prime}(x), 这是不可能的, 因为 p(x)p^{\prime}(x) 非零, 且次数小于 p(x)p(x) 的次数.

    \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{推论} }} 若不可约多项式 p(x)p(x)f(x)f(x)kk 重因式
    (k1), 则 p(x) 是 f(x),f(x),,f(k1)(x) (k \geq 1), \text { 则 } p(x) \text { 是 } f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x), \cdots, f^{(k-1)}(x)
    的因式, 但不是 f(k)(x)f^{(k)}(x) 的因式.

    \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{推论} }} 不可约多项式 p(x)p(x)f(x)f(x) 的重因式的当且仅当 p(x)p(x)f(x)f(x)f(x)f^{\prime}(x) 的公因式。

    \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{推论} }} 不可约多项式 p(x)p(x)f(x)f(x)kk 重因式的充分必要条件是 p(x)p(x)(f(x),f(x))\left(f(x), f^{\prime}(x)\right)kk -1重因式.

    【证明 】若 p(x)p(x)f(x)f(x)kk 重因式, 则必是 f(x)f^{\prime}(x)kk - 1重因式. 因而是 (f(x),f(x))\left(f(x), f^{\prime}(x)\right)kk -1重因式.
    反之, 若 f(x)f(x) 的不可约因式也是 f(x)f^{\prime}(x) 的因式,设 p(x)p(x)f(x)f(x)ll 重因式, 则 p(x)p(x)f(x)f^{\prime}(x)l1l-1重因式. 所以 l=k.l=k .

    \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{推论} }} f(x)f(x) 没有重因式的充分必要条件是
    (f(x),f(x))=1 \left(f(x), f^{\prime}(x)\right)=1
    f(x)f(x) 的标准分解式为 f(x)=cp1e1(x)p2e2(x)pses(x)f(x)=c p_{1}^{e_{1}}(x) p_{2}^{e_{2}}(x) \cdots p_{s}^{e_{s}}(x)
     则 f(x)=e1p1(x)cp1e11(x)p2e2(x)pses(x)++e2p2(x)cp1e1(x)p2e21(x)pses(x)+++esps(x)cp1e1(x)p2e2(x)pses1(x) \begin{aligned} \text { 则 } f^{\prime}(x)=& e_{1} p_{1}^{\prime}(x) c p_{1}^{e_{1}-1}(x) p_{2}^{e_{2}}(x) \cdots p_{s}^{e_{s}}(x)+\\ &+e_{2} p_{2}^{\prime}(x) c p_{1}^{e_{1}}(x) p_{2}^{e_{2}-1}(x) \cdots p_{s}^{e_{s}}(x)+\\ &+\cdots+e_{s} p_{s}^{\prime}(x) c p_{1}^{e_{1}}(x) p_{2}^{e_{2}}(x) \cdots p_{s}^{e_{s}-1}(x) \end{aligned}
    所以 p1e11(x)p2e21(x)pses1(x)p_{1}^{e_{1}-1}(x) p_{2}^{e_{2}-1}(x) \cdots p_{s}^{e_{s}-1}(x)f(x)f(x)f(x)f^{\prime}(x) 的公因式.

    注意到 p1e1(x)p_{1}^{e_{1}}(x) 可整除右项中除第一项外的所有各项,但不能整除第一项, 故 p1ρ1(x)p_{1}^{\rho_{1}}(x) 不整除 f(x).f^{\prime}(x) . 同理 piei(x)p_{i}^{e_{i}}(x)不整除 f(x).f^{\prime}(x) .

    所以
     (f(x),f(x))=p1e11(x)p2e21(x)pses1(x) \text { }\left(f(x), f^{\prime}(x)\right)=p_{1}^{e_{1}-1}(x) p_{2}^{e_{2}-1}(x) \cdots p_{s}^{e_{s}-1}(x)
    于是
    f(x)(f(x),f(x))=cp1(x)p2(x)ps(x) \frac{f(x)}{\left(f(x), f^{\prime}(x)\right)}=c p_{1}(x) p_{2}(x) \cdots p_{s}(x)
    这个多项式没有重因式, 且与 f(x)f(x) 有相同的不可约因式.

    通过这种方法, 可以去掉 f(x)f(x) 的因式重数.

    例 3

    求多项式 f(x)=x3+px+qf(x)=x^{3}+p x+q 有重因式的条件。

    f(x)=3x2+p3f(x)=f(x)x+2px+3qf^{\prime}(x)=3 x^{2}+p \quad 3 f(x)=f^{\prime}(x) x+2 p x+3 q

    f(x)=(2px+3q)(32px3a4p2)+(p+27q24p2)f^{\prime}(x)=(2 p x+3 q)\left(\frac{3}{2 p} x-\frac{3 a}{4 p^{2}}\right)+\left(p+\frac{27 q^{2}}{4 p^{2}}\right)

    f(x)=x3+px+qf(x)=x^{3}+p x+q 有重因式,故 (p+27q24p2)=0,4p3=27q2\left(p+\frac{27 q^{2}}{4 p^{2}}\right)=0,4 p^{3}=27 q^{2}

    小结

    (1) 不可约多项式

    (2) 标准分解式

    (3) 重因式

    参考资料

    高等代数 厦门大学

    高等代数,林亚南,高等教育出版社

    《高等代数》(第四版) 高等教育出版社

    高等代数 电子科技大学

    高等代数_安阳师范学院

    《高等代数》(第五版)

    展开全文
  • 借助复数域K上n阶矩阵A的Jordon标准形JA,给出A的一种特殊分解式,讨论矩阵多项式空间K[JA]={f(JA)|f(x)∈K[x]}的基及其子空间的直和分解,进而确定复数域上矩阵多项式空间K[A]的一个关于子空间的直和分解式及其一组基....
  • 关于行列因子、不变因子、初等因子、smith标准型、Jordan标准型、最小多项式的定义 应用实例 *** 行列因子、不变因子、初等因子、smith标准型、Jordan标准型、最小多项式的matlab实现 ...

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    资源中包含了行列式因子、不变因子、初等因子、smith标准型、Jordan标准型、最小多项式的matlab实现。运行环境为matlab R2017
    行列式因子、不变因子、初等因子、smith标准型、Jordan标准型、最小多项式的matlab实现

    一下是代码实现
    1.求矩阵A的smith标准型、行列式因子、初等因子、不变因子、最小多项式和jordan标准型

    %all--得到矩阵A的smith标准型、行列式因子、初等因子、不变因子、最小多项式和jordan标准型
    A = input('A = ');        %获取矩阵A
    n = size(A,1);            %将矩阵A的行数赋值给n
    syms x;                   %声明变量x
    E = eye(n);               %E为n阶的单位矩阵
    C = x*E-A;                %C为矩阵A的特征矩阵
    %1---求lambda矩阵的行列式因子(开始)
    h = [];
    for k = 1:n
        y = [];
        %从n个元素(第一个元素到第n个元素的所有元素)中取出k项,其中所有可能的组合放在p中(组合数)
        p = nchoosek(1:n,k);   q = p;
        m = size(p,1); 
        %1-b将所有的i阶行列式求出
        for i = 1:m
            a = p(i,:);
            for j = 1:m
                b = q(j,:);
                B = [];
                for s = 1:k
                    g = [];
                    for t = 1:k
                        g = [g,C(a(s),b(t))];
                    end
                    B=[B;g];
                end
                if det(B) ~= 0
                    y = [y,det(B)];
                end
            end
        end
        %1-b结束
        o = size(y,2);
        %1-a--求所有j阶行列式的最大公因子(开始)
        for j = 1:o-1
            y(j+1) = gcd(y(j),y(j+1));
        end
        %1-a--结束
        h = [h,y(o)];
    end
    %1---求lambda矩阵的行列式因子(结束)
    d = [];
    d = [d,h(1)];
    for i = 2:n
    %     d = [d,factor(h(i)/h(i-1))];
        d = [d,expand(h(i)/h(i-1))];
    end
    %2---将上面所求行列式因子进行因式分解,得到因式分解后的行列式因子
    k = size(h,2);
    for i = 1:k
        t = h(i);
        t = factor(t);
        l = size(t,2);
        h(i)=1;
     
            h(i) = h(i)*t(j);
        end
    end
    %2---结束
    %3---将上面所求不变因子进行因式分解,得到因式分解后的不变因子
    k = size(d,2);
    for i = 1:k
        t = d(i);
        t = factor(t);
        l = size(t,2);
        d(i)=1;
        for j = 1:l
            d(i) = d(i)*t(j);
        end
    end
    %3---结束
    min_poly = d(k);   %由定理知,在A为n*n的矩阵中,A的最小多项式为A的第n个不变因子dn(lambda)
    %4---求初等因子(通过不变因子得到初等因子)
    %5---将不变因子的每一项分别进行因式分解
    %(把每一项中因式分解中相同的元素相乘,不相同的元素分离,分别放在统一数组的不同位置)
    u = size(d,2);
    y = [];
    for r = 1:u
        a = d(r);
        a = factor(a);
        b = unique(a);
        n = size(a,2);
        m = size(b,2);
        c= [];
        for i = 1:m
            k = 0;
            for j = 1:n
                if (b(i) == a(j))
                 k = k+1;
                end
            end
            c = [c,b(i).^k];
        end  
    y = [y,c];
    end
    %5--结束
    %6---将上面不变因子因式分解又组合后的数组中的1剔除,便的到了初等因子
    s = size(y,2);
    for v = s:-1:1
        if y(v) == 1
            y(v) = [];
        end
    end
    %6---结束
    %4---结束
    smith = diag(d);
    j = jordan(A);
    fprintf("smith标准型为:\n");
    smith
    fprintf("行列式因子为:\n");
    h
    fprintf("不变因子为:\n");
    d
    fprintf("初等因子为:\n");
    y
    fprintf("最小多项式为:\n");
    min_poly
    fprintf("jordan标准型为:\n");
    j
    %all---结束
    
    

    2.用辗转相除法求两个多项式的最大公因式

    %all--用辗转相除法求两个多项式的最大公因式
    function g = gcd(a,b)     %a、b分别为两个多项式的系数,g是a、b的最大公因式
    for i=1:100
        %1--将a和b的最高次数进行比较,将最高次数较高的多项式赋给a
        sizei = size(a);
        size1 = sizei(2);
        sizei = size(b);
        size2 = sizei(2);
        if(size1<size2)
            c = a;
            a = b;
            b = c;
        end    
        %1--结束
        %用多项式a除多项式b,得到商为q,余r
        [q,r] = deconv(a,b);
        sizei = size(r);
        size3 = sizei(2);
        if r(size3)~=0
            r(r==0)=[];
        end
        if r == 0
            g = b;
            break;
        end
        a = b;
        b = r;
    end 
    g = g/g(1,1);
    end
    %all--结束
    
    

    运行结果
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  • 公因与最大公因 1.公因与最大公因 (1)定义: (2)最大公因的判定: 引理:设f(x),g(x)∈K[x]f(x),g(x)∈K[x]f(x),g(x)∈K[x],如果在K[x]K[x]K[x]中有下述等式成立:f(x)=h(x)g(x)+r(x)(1)f(x)=h(x)g(x)+r(x...

    一.公因式与最大公因式(7.3)
    1.公因式与最大公因式
    (1)定义:
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    注意:000000的最大公因式,由于此时没有次数最高的公因式,故用次数最高作为最大公因式的定义不能包含所有情况,此时最大公因式是所有公因式中次数最小的

    (2)最大公因式的存在性与求法:

    引理:设f(x),g(x)K[x]f(x),g(x)∈K[x],如果在K[x]K[x]中有下述等式成立:f(x)=h(x)g(x)+r(x)(1)f(x)=h(x)g(x)+r(x)\qquad(1)c(x)f(x)c(x)\,|\,f(x)c(x)g(x)c(x)g(x)c(x)\,|\,g(x)⇔c(x)\,|\,g(x)c(x)r(xc(x)\,|\,r(x;从而,d(x)d(x)f(x)f(x)g(x)g(x)的最大公因式当且仅当d(x)d(x)g(x)g(x)r(x)r(x)的最大公因式
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    定理1:对于K[x]K[x]中的2∀2个多项式f(x),g(x)f(x),g(x),它们的1个最大公因式d(x)d(x),并且u(x),v(x)K[x]∃u(x),v(x)∈K[x],使得d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)(2)d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)\qquad(2)
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    在求f(x)f(x)g(x)g(x)的最大公因式时,利用下述命题可以降低计算量
    命题1:设f(x),g(x)K[x],a,bKf(x),g(x)∈K[x],a,b∈K^*,则d(x)d(x)f(x)f(x)g(x)g(x)的1个最大公因式当且仅当d(x)d(x)af(x)af(x)bg(x)bg(x)的1个最大公因式
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    (3)最大公因式的性质:

    命题2:在K[x]K[x]中,设d(x)d(x)f(x)f(x)g(x)g(x)的1个最大公因式,则对于aK∀a∈K^*都有ad(x)ad(x)f(x)f(x)g(x)g(x)的最大公因式
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    命题3:设f(x),g(x)K[x]f(x),g(x)\in K[x],数域FKF\supe K,则f(x)f(x)g(x)g(x)K[x]K[x]中的首一最大公因式等于它们在F[x]F[x]中的首一最大公因式,即f(x)f(x)g(x)g(x)的首一最大公因式不随数域的扩大而改变
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    2.互素的多项式
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    (1)定义:
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    (2)判定:

    定理2:K[x]K[x]中的2个多项式f(x),g(x)f(x),g(x)互素的充要条件是:u(x),v(x)K[x]∃u(x),v(x)\in K[x],使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=1(3)u(x)f(x)+v(x)g(x)=1\qquad(3)
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    (命题3的)推论1:设f(x),g(x)K[x]f(x),g(x)\in K[x],数域FKF\supe K,则f(x)f(x)与g(x)在K[x]K[x]中互素当且仅当f(x)f(x)g(x)g(x)F[x]F[x]中互素
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    (3)性质:

    性质1:在K[x]K[x]中,如果f(x)g(x)h(x),(f(x),g(x))=1f(x)\,|\,g(x)h(x),(f(x),g(x))=1那么f(x)h(x)f(x)\,|\,h(x)
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    性质2:在K[x]K[x]中,如果f(x)h(x),g(x)h(x),(f(x),g(x))=1f(x)\,|\,h(x),g(x)\,|\,h(x),(f(x),g(x))=1那么f(x)g(x)h(x)f(x)g(x)\,|\,h(x)
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    性质3:在K[x]K[x]中,如果(f(x),h(x))=1,(g(x),h(x))=1,(f(x),h(x))=1,(g(x),h(x))=1,那么(f(x)g(x),h(x))=1(f(x)g(x),h(x))=1
    可推广为:若(fi(x),h(x))=1(i=1,2...s)(f_i(x),h(x))=1\,(i=1,2...s),则(f1(x)f2(x)...fs(x),h(x))=1(f_1(x)f_2(x)...f_s(x),h(x))=1

    3.推广到多个多项式的情况
    (1)最大公因式的定义:
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    (2)最大公因式的存在性:

    用数学归纳法可以证明:在K[x]K[x]中,s2∀s≥2个多项式f1(x),f2(x)...fs(x)f_1(x),f_2(x)...f_s(x)的最大公因式存在
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    (3)互素的定义:
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    (4)互素的判定:

    定理3:在K[x]K[x]中,f1(x),f2(x)...fs(x)f_1(x),f_2(x)...f_s(x)互素的充要条件是:u1(x),u2(x)...us(x)K[x]∃u_1(x),u_2(x)...u_s(x)∈K[x],使得u1(x)f1(x)+u2(x)f2(x)+...us(x)fs(x)=1(8)u_1(x)f_1(x)+u_2(x)f_2(x)+...u_s(x)f_s(x)=1\qquad(8)
    注意:s3s≥3个多项式互素时,它们不一定两两互素,如设f1(x)=x+1,f2(x)=x2+3x+2,f3(x)=x1f_1(x)=x+1,f_2(x)=x^2+3x+2,f_3(x)=x-1(f1(x),f2(x))=x+1,(f1(x),f2(x),f3(x))=1(f_1(x),f_2(x))=x+1,(f_1(x),f_2(x),f_3(x))=1,因此f1(x),f2(x),f3(x)f_1(x),f_2(x),f_3(x)互素而f1(x),f2(x)f_1(x),f_2(x)不互素

    4.推广到整数环上的情况
    (1)最大公约数:
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    定理4:对a,bZ∀a,b∈Z,都存在它们的1个最大公因数dd,并且u,vZ∃u,v∈Z,使得ua+vb=d(9)ua+vb=d\qquad(9)
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    (2)互素:
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    定理5:a,bZa,b∈Z互素当且仅当u,vZ∃u,v∈Z,使得ua+vb=1(10)ua+vb=1\qquad(10)

    互素的整数的性质:
    ①若abca\,|\,bc(a,b)=1(a,b)=1,则aca\,|\,c
    ②若ac,bca\,|\,c,b\,|\,c(a,b)=1(a,b)=1,则abca\,|\,bc
    ③若(a,c)=1,(b,c)=1(a,c)=1,(b,c)=1,则(ab,c)=1(ab,c)=1
    ③的推广:

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    (3)最小公倍数:
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    5.λλ-矩阵的行列式因子(最大公因式的应用之一)
    (1)λλ-矩阵的行列式因子:
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    定理6:相抵的λλ-矩阵,它们的秩相等,并且各阶行列式因子也对应相等
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    (2)相抵标准形的唯一性::

    定理7:nnλλ-矩阵A(λ)A(λ)的相抵标准形是唯一的
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    (3)不变因子:
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    定理8:2个nnλλ-矩阵相抵的充要条件是它们有相同的不变因子,或者有相同的各阶行列式因子
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    (4)可逆与相抵的判定:
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    二.不可约多项式与唯一分解定理(7.4)
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    1.不可约多项式
    (1)定义:
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    (2)性质:

    定理9:设p(x)p(x)K[x]K[x]中1个次数大于0的多项式,则下列命题等价:
    p(x)p(x)是不可约多项式(因式的角度)
    ②对f(x)K[x]∀f(x)∈K[x],有p(x)f(x)p(x)\,|\,f(x)(p(x),f(x))=1(p(x),f(x))=1(与任一多项式的关系的角度)
    ③在K[x]K[x]中,从p(x)f(x)g(x)p(x)\,|\,f(x)g(x)可推出(整除关系的角度)p(x)f(x)p(x)g(x)p(x)\,|\,f(x)或p(x)\,|\,g(x)
    ④在K[x]K[x]中,p(x)p(x)不能分解成2个次数较低的多项式的乘积(因式分解的角度)
    注:括号中说明的是该命题从哪个角度对不可约多项式进行刻画
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    推论1:在K[x]K[x]中,如果p(x)p(x)不可约,且p(x)f1(x)f2(x)...fs(x)p(x)\,|\,f_1(x)f_2(x)...f_s(x)那么j{1,2...s}∃j∈\{1,2...s\},使得p(x)fj(x)p(x)\,|\,f_j(x)
    推论2:在K[x]K[x]中,一次多项式是不可约的
    推论3:在K[x]K[x]中,f(x)f(x)可约当且仅当f(x)f(x)可以分解成2个次数较低的多项式的乘积

    2.唯一因式分解定理
    (1)唯一因式分解定理:

    定理10:K[x]K[x]中任一次数大于0的多项式f(x)f(x)能够唯一地分解成数域KK上有限多个不可约多项式的乘积;所谓唯一是指,如果f(x)f(x)有2个这样的分解式f(x)=p1(x)p2(x)...ps(x)=q1(x)q2(x)...qt(x)(1)f(x)=p_1(x)p_2(x)...p_s(x)=q_1(x)q_2(x)...q_t(x)\qquad(1)那么一定有s=ts=t,且适当排列因式的次序后有pi(x)qi(x)(i=1,2...s)p_i(x)\sim q_i(x)\,(i=1,2...s)
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    (2)标准分解式:
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    3.推广到整数环ZZ
    (1)素数与合数:
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    (2)性质:

    定理11:设1<pZ1<p∈Z,则下列命题等价
    pp是素数
    ②对aZ∀a∈Z,都有pap\,|\,a(p,a)=1(p,a)=1
    ③在ZZ中,从pabp\,|\,ab可推出pap\,|\,apbp\,|\,b
    pp不能分解成2个较小的正整数的乘积
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    (3)算数基本定理:

    定理12:任一大于1的整数aa都能唯一地分解成有限多个素数的乘积;所谓唯一是指,如果aa有2个这样的分解式a=p1p2...ps=q1q2...qta=p_1p_2...p_s=q_1q_2...q_t那么s=ts=t,且适当排列因数的次序后,有pi=qi(i=1,2...s)p_i=q_i\,(i=1,2...s)
    该定理揭示了整数环ZZ的结构

    (4)标准分解式:
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    三.重因式(7.5)
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    1.定义:
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    2.一元多项式的导数:
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    3.重因式的存在性与判定:

    定理13:设KK是数域,在K[x]K[x]中,如果不可约多项式p(x)p(x)f(x)f(x)的1个k(k1)k(k≥1)重因式,那么p(x)p(x)f(x)f'(x)的1个k1k-1重因式;特别地,f(x)f(x)的单因式不是f(x)f'(x)的因式
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    推论1:设KK是数域,在K[x]K[x]中,不可约多项式p(x)p(x)f(x)f(x)的1个重因式当且仅当p(x)p(x)f(x)f(x)f(x)f'(x)的1个公因式
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    推论2:设KK是数域,在K[x]K[x]中,次数大于0的多项式f(x)f(x)有重因式当且仅当f(x)f(x)f(x)f'(x)有次数大于0的公因式
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    推论3:设KK是数域,在K[x]K[x]中,次数大于0的多项式f(x)f(x)没有重因式当且仅当f(x)f(x)f(x)f'(x)互素
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    推论4:设数域FF包含数域KK,对于K[x]K[x]中次数大于0的多项式f(x),f(x)f(x),f(x)K[x]K[x]中没有重因式当且仅当f(x)f(x)F[x]F[x]中没有重因式,即f(x)f(x)
    有无重因式不随数域的扩大而改变
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  • 借助复数域K上n阶矩阵A的Jordon标准形JA,给出A的一种特殊分解式,讨论矩阵多项式空间研K[JA]={f{JA)f(x)∈K[x]}的基及其子空间的直和分解,进而确定复数域上矩阵多项式空间K[A]的一个关于子空间的直和分解式及其一...
  • 多项式

    千次阅读 2018-11-22 09:53:47
    对于整环RRR,在RRR上定义一个含有为定元xxx的多项式 f(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0,n≥0f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0,n \ge 0f(x)=an​xn+an−1​xn−1+...+a1​x+a0​,n≥0mmm是使得am≠0a_m \neq0...

    1.定义

    对于整环RR,在RR上定义一个含有为定元xx的多项式
    f(x)=anxn+an1xn1+...+a1x+a0,n0f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0,n \ge 0mm是使得am0a_m \neq0的最大的整数,那么定义deg(f(x))=mdeg(f(x)) = mama_m称为首项系数,默认取am=1a_m=1。当f(x)=0f(x)=0时,规定deg(f(x))=deg(f(x))=-\infty
    RR上全体多项式的集合记作R[x]R[x]
    定义两个多项式相等如下:
    f(x)=i=0naixif(x)=\sum_{i=0}^na_ix^ig(x)=i=0mbixig(x)=\sum_{i=0}^mb_ix^if(x)=g(x)f(x)=g(x)等价于m=nm=nai=bi,0ina_i=b_i,0\le i\le n

    2.运算

    (1)加法:
    f(x)+g(x)=i=0M(ai+bi)xif(x)+g(x) = \sum_{i=0}^M(a_i+b_i)x^i其中M=max(n,m)ai=0(i&gt;n)bi=0(i&gt;m)M=max(n,m),a_i=0(i\gt n),b_i=0(i\gt m)
    (2)乘法:
    f(x)g(x)=s=0m+n(i+j=saibj)xsf(x)\cdot g(x)=\sum_{s=0}^{m+n}(\sum_{i+j=s}a_ib_j)x^sR[x]R[x]对于多项式的加法和乘法构成的环称为多项式环。和整数环相比较,多项式环是无限的(因为多项式的degdeg是无限的)。
    规定x0=1x^0=1R[x]R[x]中的单位元,逆元f(x)=i=0n(ai)xi-f(x)=\sum_{i=0}^n(-a_i)x^i。更为重要的一点,多项式相加没有进位,而整数相加有进位,这是多项式优于整数的一大原因。

    3.多项式的带余除法

    类比整数的带余除法,理解多项式的带余除法。设f(x),g(x)F[x],g(x)0f(x),g(x)\in F[x],g(x) \neq 0,那么是一定有q(x),r(x)F[x]q(x),r(x)\in F[x],满足
    f(x)=q(x)g(x)+r(x)f(x)=q(x)\cdot g(x)+r(x)其中deg(r(x))&lt;deg(g(x))deg(r(x))\lt deg(g(x))或者r(x)=0r(x)=0。可以证明q(x)r(x)q(x),r(x)是唯一的。当r(x)=0r(x)=0时,则称g(x)g(x)整除f(x)f(x)g(x)g(x)称为f(x)f(x)的因式,f(x)f(x)称为g(x)g(x)的倍式。
    如果d(x)d(x)f(x)f(x)的因式同时也是g(x)g(x)的因式,那么称d(x)d(x)f(x)f(x)g(x)g(x)的公因式。如果f(x)f(x)g(x)g(x)的任意一个公因式都是d(x)d(x)的因式,那么d(x)d(x)则是最大公因式,记作
    d(x)=gcd(f(x),g(x))d(x)=gcd(f(x),g(x))一般情况将d(x)d(x)的首项系数调整为1,从而唯一化d(x)d(x)
    类似整数中的组合系数,对于d(x)d(x)也有d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)d(x)=u(x)\cdot f(x)+v(x)\cdot g(x)特殊的,当f(x)f(x)g(x)g(x)互素的时候有1=u(x)f(x)+v(x)g(x)1=u(x)\cdot f(x)+v(x)\cdot g(x)对于多项式,可以证明也有gcd(f(x),g(x))=gcd(g(x),r(x))gcd(f(x),g(x))=gcd(g(x),r(x)) *因此也可以进行辗转相除法:
    f(x)=q(x)g(x)+r0(x),0&lt;deg(r0(x))&lt;deg(g(x))f(x)=q(x)\cdot g(x) + r_0(x),0&lt;deg(r_0(x))&lt;deg(g(x))g(x)=q1(x)r0(x)+r1(x),0&lt;deg(r1(x))&lt;deg(r0(x))g(x)=q_1(x)\cdot r_0(x) + r_1(x),0&lt;deg(r_1(x))&lt;deg(r_0(x))r0(x)=q2(x)r1(x)+r2(x),0&lt;deg(r2(x))&lt;deg(r1(x))r_0(x)=q_2(x)\cdot r_1(x)+r_2(x),0&lt;deg(r_2(x))&lt;deg(r_1(x))......rn2(x)=qn(x)rn1(x)+rn(x),0&lt;deg(rn(x))&lt;deg(rn1(x)r_{n-2}(x)=q_{n}(x)\cdot r_{n-1}(x)+r_n(x),0&lt;deg(r_n(x))&lt;deg(r_{n-1}(x)rn1(x)=qn+1(x)rn(x)r_{n-1}(x)=q_{n+1}(x)\cdot r_n(x)从上述方程可以得到gcd(rn1(x),rn(x))=rn(x)gcd(r_{n-1}(x),r_n(x))=r_n(x),根据*式有gcd(rn2(x),rn1(x))=rn(x)gcd(r_{n-2}(x),r_{n-1}(x))=r_n(x),…,因此gcd(f(x),g(c))=rn(x)gcd(f(x),g(c))=r_n(x)
    根据上述关系可以通过回溯的方法求得系数多项式。但是和整数的辗转相除法一样,回溯的复杂度太高,于是也有直接计算系数多项式的算法。
    u2(x)=1,v2(x)=0,u1(x)=0,v1(x)=1u_{-2}(x)=1,v_{-2}(x)=0,u_{-1}(x)=0,v_{-1}(x)=1,算法流程如下:

    f(x)f(x) g(x)g(x) r(x)r(x)
    u2(x)=1u_{-2}(x)=1 v2(x)=0v_{-2}(x)=0 r2(x)=f(x)r_{-2}(x)=f(x)
    u1(x)=0u_{-1}(x)=0 v1(x)=1v_{-1}(x)=1 r1(x)=g(x)r_{-1}(x)=g(x)
    u0(x)=1u_0(x)=1 v0(x)=q0(x)v_0(x)=-q_0(x) r0(x)=r2(x)q0(x)r1(x)r_0(x)=r_{-2}(x)-q_0(x)\cdot r_{-1}(x)
    un1(x)u_{n-1}(x) vn1(x)v_{n-1}(x) rn1(x)0r_{n-1}(x)\neq 0
    un(x)u_n(x) vn(x)v_n(x) rn(x)=0r_n(x) = 0

    通过上述表格,我们可以得到如下的关系:
    ri(x)=ri2(x)qi(x)ri1(x)r_i(x)=r_{i-2}(x)-q_i(x)\cdot r_{i-1}(x) ui(x)=ui2(x)qi(x)ui1(x)u_i(x)=u_{i-2}(x)-q_i(x)\cdot u_{i-1}(x) vi(x)=vi2(x)qi(x)vi1(x)v_i(x)=v_{i-2}(x)-q_i(x)\cdot v_{i-1}(x) 其中qi(x)=ri2(x)ri1(x)q_i(x)=\frac{r_{i-2}(x)}{r_{i-1}(x)}deg(ri(x))&lt;deg(ri1(x))deg(r_i(x))&lt;deg(r_{i-1}(x))

    4.多项式的因式分解

    一个多项式f(x)f(x),如果不能分解为degdeg更小的多项式之积的形式,那么则说f(x)f(x)是不可约多项式。当一个多项式是可约多项式的时候,可以证明它分解为不可约多项式的形式是唯一的,即
    f(x)=cp1r1(x)p2r2(x)...pmrm(x)f(x)=c\cdot p_1^{r_1}(x)\cdot p_2^{r_2}(x)\cdot ...\cdot p_m^{r_m}(x) 是唯一的。其中ccf(x)f(x)的首项系数,pi(x)p_i(x)是首项系数为1的不可约多项式。上式称为标准分解式。
    如果一个多项式p(x)p(x)满足pk(x)f(x)&amp;pk+1(x)f(x)p^k(x)\mid f(x) \&amp; p^{k+1}(x)\nmid f(x)那么则称p(x)p(x)kk重因式。

    5.多项式同余

    多项式g(x),h(x),f(x)F[x]g(x),h(x),f(x)\in F[x],如果满足:g(x)=h(x)modf(x)g(x)=h(x) mod f(x)那么则说g(x)g(x)h(x)h(x)f(x)f(x)同余。可以证明,多项式同余等价于f(x)g(x)h(x)f(x)\mid g(x)-h(x)等价于g(x)=kf(x)+h(x)g(x)=k\cdot f(x) + h(x)等价于r1(x)=r2(x)r_1(x)=r_2(x)其中g(x)=q1(x)f(x)+r1(x)g(x)=q_1(x)\cdot f(x)+r_1(x)h(x)=q2(x)f(x)+r2(x)h(x)=q_2(x)\cdot f(x)+r_2(x)deg(r1(x))&lt;deg(f(x))&amp;deg(r2(x))&lt;deg(f(x))deg(r_1(x))&lt;deg(f(x))\&amp; deg(r_2(x))&lt;deg(f(x))可以证明每一个多项式都与唯一一个次数小于deg(f(x))deg(f(x))的多项式同余。进一步,多项式同余是一个等价关系。所以可以构造多项式的剩余类环。
    由多项式f(x)f(x)生成的理想记作&lt;f(x)&gt;&lt;f(x)&gt;,定义商环:F[x]/&lt;f(x)&gt;={[r(x)]0deg(r(x))&lt;deg(f(x))}={rn1xn1+...+r1x+r0n=deg(f(x)),riF,0in1}F[x]/&lt;f(x)&gt;=\{[r(x)]|0\le deg(r(x))\lt deg(f(x))\}=\{r_{n-1}x^{n-1}+...+r_1x+r_0|n=deg(f(x)),r_i\in F,0\le i\le n-1\}可以证明[r(x)]=r(x)+&lt;f(x)&gt;[r(x)]=r(x)+&lt;f(x)&gt;

    6.模多项式乘法逆元

    设多项式f(x),g(x)F[x]f(x),g(x)\in F[x]为非零多项式,g(x)modf(x)g(x)modf(x)有乘法逆元当且仅当gcd(g(x),f(x))=1gcd(g(x),f(x))=1进一步对于任意f(x)F[x]f(x)\in F[x],f(x)=anxn+an1xn1+...+a1x+a0f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0定义其形式微商如下:f(x)=nanxn1+(n1)an1xn2+...+a1f^{&#x27;}(x)=n\cdot a_nx^{n-1}+(n-1)\cdot a_{n-1}x^{n-2}+...+a_1可以证明f(x)f(x)没有重因式等价于gcd(f(x),f(x))=1(f(x)0)gcd(f(x),f^{&#x27;}(x))=1(f(x)\neq 0)

    7.余元定理

    f(x)F[x]αFf(x)\in F[x],\alpha \in F,用单项式xαx-\alphaf(x)f(x)得到的余式是域FF中的元素F(α)F(\alpha)
    由上述定理可以推导出:
    (xα)f(x)αf(x)deg(f(x))=n,f(x)Fn(x-\alpha)\mid f(x) \Longleftrightarrow \alpha 是f(x)的根\Rightarrow deg(f(x))=n,则f(x)在F中最多有n个两两不同的根

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