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  • 多项式线性回归模型
    2022-02-27 13:56:16

    本文重点

    线性回归:线性就是每个变量的指数都是1,它的形态是直线形态或者是超平面形态

    非线性回归:非线性回归就是至少有一个变量的指数不是1(二次或者是多次),它的形态是曲线形态。

    单变量就是只有一个特征变量x1,多变量就是有多个特征变量x1,x2…xn,无论是单变量还是多变量都是线性的模型。

    多项式特征不是x1了,而是x1²、x1³、x2²等等,这是非线性模型,但是我们可以令x1²=x1,x1³=x2,x2²=x3这样我们可以用多变量的思维处理多项式了,但是算出来的模型仍然是非线性的。

    如果多项式中只有一个特征及这个特征的高次项叫做单元多项式回归,如果有多个多特征及这些特征的高次项那么这个就叫做多元线性回归。在这里插入图片描述

    本节课程要讲解的是两点

    特征选择和多项式回归(非线性)

    特征选择:其中特征选择就是一个实际的问题中我们选择什么特征来构建模型,选择好的特征能够构建出好的模型。

    多项式回归:我们构建的模型可能是二次或者高次(这样拟合的图像就不是一条直线),此时我们可以令特征二次项或者高次项等于xn,这样就实现了多项式非线性回归向线性回归的转变,我们就可以使用线性回归的方式来拟合这个模型,但要注意一点有些高次项特征可能数值的范围很大,所以此时进行特征缩放和归一化是显得很有必要的。

    特征选择

    特征不同,学习

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  • 多项式回归模型

    2022-07-30 16:33:15
    多项式回归模型、示例(含数据和代码)

    目录

    前置知识

    Numpy c_函数

    问题引入

    多项式回归函数

    核心思路

    示例

    数据生成

    转化多项式回归训练集

    预测和绘图

     特征缩放

    补充:关于多项式的次数选择


    多项式回归虽然不再用直线拟合,但也是线性回归的一种,可以转化为多元线性回归,利用多元线性回归的函数解决。所以请确保熟悉多元线性回归相关知识点:多元线性回归模型_Twilight Sparkle.的博客-CSDN博客

     在学习多项式回归之前,你可能需要先了解以下内容:

    前置知识

    多项式_百度百科 (baidu.com)

    多项式函数_百度百科 (baidu.com)

    Numpy c_函数

    该函数可以实现按列拼接矩阵,具体用法:

    import numpy as np
    
    x = np.array([[1],[2],[3],[4],[5]])
    print(x)
    X = np.c_[x,x**2,x**3]
    print("np.c_(x,x**2,x**3):")
    print(X)

    问题引入

    现实生活中呈(狭义)线性关系的事物联系很少,绝大部分都是(狭义)非线性的,即呈曲线形式的关系。所以我们需要引入多项式回归来更好的拟合数据。

    多项式回归函数

    多项式回归又分为多元多项式回归和一元多项式回归:

    一元多项式:f(x) = w_nx^n+w_{n-1}x^{n-1}+...+w_2x^2+w_1x+b

    多元多项式:这里只举二元二次多项式

    f(x_1,x_2) = w_1x_1^2+w_2x^2+w_3x_1x_2+w_4x_1+w_5x_5+b

    不管它是什么多项式,在处理上不同的地方都只是在数据预处理上,核心方法不变。这里为了绘图,以一元多项式进行讲解。

    核心思路

    x_1 = x,x_2 = x^2,...,x_n = x^n,于是多项式回归转化成了多元线性回归。然后套用多元线性回归的函数求解向量\vec w和常量b即可。

    示例

    注:以下函数均来自上篇文章(多元线性回归)

    Zscore():Z-score标准化

    gradient_descent():拟合回归函数,为了更好用,把初始化w和b的函数重新写了一下。

     gradient_descent()初始化w,b修改:

        m, n = X.shape
        # initialize parameters
        init_w = np.zeros(n)
        init_b = 0

    数据生成

    以下代码可以生成该示例的训练集数据:

    def data_generation():
        '''
        :return:
            X: 自变量训练集(矩阵)
            Y: 应变量训练集(一维)
        '''
        x = np.arange(0,40,1)
        y = 0.25*x**2-0.20*x**3+0.0055*x**4
        # 要将X训练集转化为(m,n)的矩阵,即m个例子,n个特征,现在是一元,所以只有一列
        x = x.reshape(-1,1)
        # 生成随机数,稍微打乱y
        np.random.seed(1)
        y = y + np.random.random(40)*120
        return x,y

    转化多项式回归训练集

    def x_transform(x):
        '''
        :param x:转化前的X训练集
        :return: 转化后的X训练集
        '''
        X_train = np.c_[x,x**2,x**3,x**4]
    
        return X_train

    预测和绘图

    if __name__ == '__main__':
        # 生成数据并绘制训练集图
        x_train,y_train = data_generation()
        plt.scatter(x_train,y_train,marker='x',c='r',label = 'Actual Value')
        plt.xlabel("X")
        plt.ylabel("y")
        # plt.show()
        # 将x训练集转化为多元线性训练集
        x_train_transform = x_transform(x_train)
    
        # 预测并绘图
        model_w,model_b = gradient_descent(x_train_transform,y_train,alpha=0.000000000003,num_iters=100000)
        plt.plot(x_train,np.dot(x_train_transform,model_w) + model_b,label="Predicted Value")
        plt.legend()
        plt.show()

     结果:

     特征缩放

    因为转化为多元一次回归后,会发现每个特征的范围差的特别大(比如x^4x),为了照顾取值大的特征,学习率必须设置的非常小,所以梯度下降特别慢。这时,就要用到之前说过的特征缩放了。

    特征缩放后的预测和绘图:

        # 将x训练集转化为多元线性训练集
        x_train_transform = x_transform(x_train)
        x_train_transform, mu, sigma = Zscore(x_train_transform)
        # 预测并绘图
        model_w,model_b = gradient_descent(x_train_transform,y_train,alpha=0.5,num_iters=10000)
        plt.plot(x_train,np.dot(x_train_transform,model_w) + model_b,label="Predicted Value")
        plt.legend()
        plt.show()

     对比学习率和迭代次数,根本不是一个级别的。而且在更短时间内模拟的更好:

     所以特征缩放很重要!!

    补充:关于多项式的次数选择

    次数的选择: 多项式函数有多种,一般来说,需要先观察数据的形状,再去决定选用什么形式的多项式函数来处理问题。比如,从数据的散点图观察,如果有一个“弯”,就可以考虑用二次多项式;有两个“弯”,可以考虑用三次多项式;有三个“弯”,则考虑用四次多项式,以此类推。 当然,如果预先知道数据的属性,则有多少个

    虽然真实的回归函数不一定是某个次数的多项式,但只要拟合的好,用适当的多项式来近似模拟真实的回归函数是可行的。

    原文链接:多项式回归详解 从零开始 从理论到实践

     稍微尝试了一下这个规律,刚才我构造的函数虽然是四次方的,但是只用三次的多项式也可以模拟出来效果较好的:

    X_train = np.c_[x,x**2,x**3]

     

    展开全文
  • sklearn实现多项式线性回归_一元/多元 【Python机器学习系列(八)】1. 多项式一元回归2. 多项式多元回归

    sklearn实现多项式线性回归_一元/多元 【Python机器学习系列(八)】


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    大家好,我是侯小啾!在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述今天分享的内容是,通过python的sklearn机器学习库实现多项式线性回归。blog内容分为一元和多元两部分。欢迎大家访问!


    1. 多项式一元回归

    自行准备一组数据,满足有两列可以做一元回归即可。读取数据并查看数据分布情况,代码如下:

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    from sklearn.linear_model import LinearRegression
    from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
    import pandas as pd
    
    df = pd.read_csv("data.csv")
    features = [df.columns.values[1]]
    # 获取数据
    data = df.values
    
    
    # 特征
    x_data = data[1:, 1]
    # 标签
    y_data = data[1:, 2]
    
    # 查看数据分布状况
    plt.scatter(x_data, y_data)
    plt.show()
    

    绘制出散点图如下图所示:
            在这里插入图片描述


    以最高项为5次项为例,进行多元回归的建模,并绘制出曲线图。

    # 将x_data转为二维数组
    x_data = x_data[:, np.newaxis]
    
    # 创建多项式对象,degree调节多项式的特征 5表示最高次项为5次项 x的5次方
    poly_reg = PolynomialFeatures(degree=5)
    # 数据转换 x0-->1  x1-->x  x2-->x^2  x3-->x^3
    x_poly = poly_reg.fit_transform(x_data)
    
    # 建模
    lin_reg = LinearRegression().fit(x_poly, y_data)
    
    # 可视化
    # 绘制x,y散点图
    plt.scatter(x_data, y_data, color="r")
    # 绘制x,y^曲线图
    plt.plot(x_data, lin_reg.predict(x_poly))
    plt.show()
    

    因为选择的数据中样本相对较少,绘制出的曲线图如下图所示:
            在这里插入图片描述


    以DataFrame的形式输出系数,以及截距。代码如下所示:

    point = poly_reg.get_feature_names(features)
    coefs = lin_reg.coef_
    inter = lin_reg.intercept_
    combine = [*zip(point, coefs)]
    sort_coef = pd.DataFrame(combine, columns=['features', 'coef'])
    print(sort_coef)
    print(inter)
    

    输出结果:
                 在这里插入图片描述


    做预测,以x=20为例,首先需要把测试的数据转为多项式格式。然后才能使用predict()方法。

    test = poly_reg.fit_transform([[20]])
    print(lin_reg.predict(test))
    

    预测结果:
                 在这里插入图片描述


    2. 多项式多元回归

    做完一元的多项式回归,接下来做多元的多项式回归。以最高项指定为4次项为例,使用内置的加利福尼亚房价数据集,代码示例如下:

    import pandas as pd
    from sklearn.linear_model import LinearRegression
    from sklearn.datasets import fetch_california_housing as fch
    from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
    
    # 读取数据集
    house_value = fch()
    x = pd.DataFrame(house_value.data)
    y = house_value.target
    # print(x.head())
    
    # 将数据集进行多项式转化
    poly = PolynomialFeatures(degree=4)
    x_ = poly.fit_transform(x)
    print(x_)
    print(x.shape)
    

    简单查看一下数据的结构,以便对后续代码的输出的理解。从下图可以看到,原始数据x中,共有8个特征,经过多项式转化后,特征数变为了495-1=494个。
    在这里插入图片描述


    # 对原始数据进行线性回归进行拟合
    reg = LinearRegression().fit(x, y)
    # 计算R^2
    score = reg.score(x, y)
    
    # 对多项式化数据集进行线性回归拟合
    reg_ = LinearRegression().fit(x_, y)
    # 获取R2指数
    score_ = reg_.score(x_, y) 
    
    point = poly.get_feature_names(house_value.feature_names)
    coef = reg_.coef_
    combine = [*zip(point, coef)]
    sort_coef = pd.DataFrame(combine, columns=['features', 'coef'])
    print(sort_coef)
    

    输出系数与截距结果如下图所示:
               在这里插入图片描述


    本次分享就到这里,小啾感谢您的关注与支持!
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    展开全文
  • 线性回归模型建模步骤 (一元线性回归、多元线性回归)
  • python多项式回归Let’s start with an example. We want to predict the Price of a home based on the Area and Age. The function below was used to generate Home Prices and we can pretend this is “real-...

    python多项式回归

    Let’s start with an example. We want to predict the Price of a home based on the Area and Age. The function below was used to generate Home Prices and we can pretend this is “real-world data” and our “job” is to create a model which will predict the Price based on Area and Age:

    让我们从一个例子开始。 我们想根据面积和年龄来预测房屋价格。 下面的函数用于生成房屋价格,我们可以假装这是“真实数据”,而我们的“工作”是创建一个模型,该模型将根据面积和年龄预测价格:

    价格= -3 *面积-10 *年龄+ 0.033 *面积²-0.0000571 *面积³+ 500 (Price = -3*Area -10*Age + 0.033*Area² -0.0000571*Area³ + 500)

    Image for post
    Home Prices vs Area & Age
    房屋价格与面积和年龄

    线性模型 (Linear Model)

    Let’s suppose we just want to create a very simple Linear Regression model that predicts the Price using slope coefficients c1 and c2 and the y-intercept c0:

    假设我们只想创建一个非常简单的线性回归模型,该模型使用斜率系数c1和c2以及y轴截距 c0来预测价格:

    Price = c1*Area+c2*Age + c0

    价格= c1 *面积+ c2 *年龄+ c0

    We’ll load the data and implement Scikit-Learn’s Linear Regression. Behind the scenes, model coefficients (c0, c1, c2) are computed by minimizing the sum of squares of individual errors between target variable y and the model prediction:

    我们将加载数据并实现Scikit-Learn的线性回归 。 在幕后,通过最小化目标变量y与模型预测之间的各个误差的平方和来计算模型系数(c0,c1,c2):

    But you see we don’t do a very good job with this model.

    但是您会看到我们在此模型上做得不好。

    Image for post
    Simple Linear Regression Model (Mean Relative Error: 9.5%)
    简单线性回归模型(平均相对误差:9.5%)

    多项式回归模型 (Polynomial Regression Model)

    Next, let’s implement the Polynomial Regression model because it’s the right tool for the job. Rewriting the initial function used to generate the home Prices, where x1 = Area, and x2 = Age, we get the following:

    接下来,让我们实现多项式回归模型,因为它是这项工作的正确工具。 重写用于生成房屋价格的初始函数,其中x1 =面积,x2 =年龄,我们得到以下信息:

    价格= -3 * x1 -10 * x2 + 0.033 *x1²-0.0000571 *x1³+ 500 (Price = -3*x1 -10*x2 + 0.033*x1² -0.0000571*x1³ + 500)

    So now instead of the Linear model (Price = c1*x1 +c2*x2 + c0), Polynomial Regression requires we transform the variables x1 and x2. For example, if we want to fit a 2nd-degree polynomial, the input variables are transformed as follows:

    因此,现在多项式回归代替线性模型(价格= c1 * x1 + c2 * x2 + c0),需要转换变量x1和x2。 例如,如果要拟合二阶多项式,则输入变量的转换如下:

    1, x1, x2, x1², x1x2, x2²

    1,x1,x2,x1²,x1x2,x2²

    But our 3rd-degree polynomial version will be:

    但是我们的三阶多项式将是:

    1, x1, x2, x1², x1x2, x2², x1³, x1²x2, x1x2², x2³

    1,x1,x2,x1²,x1x2,x2²,x1³,x1²x2,x1x2²,x2³

    Then we can use the Linear model with the polynomially transformed input features and create a Polynomial Regression model in the form of:

    然后,我们可以将线性模型与多项式转换后的输入特征一起使用,并创建以下形式的多项式回归模型:

    Price = 0*1 + c1*x1 + c2*x2 +c3*x1² + c4*x1x2 + … + cn*x2³ + c0

    价格= 0 * 1 + c1 * x1 + c2 * x2 + c3 *x1²+ c4 * x1x2 +…+ cn *x2³+ c0

    (0*1 relates to the bias (1s) column)

    (0 * 1与偏置(1s)列有关)

    After training the model on the data we can check the coefficients and see if they match our original function used to generate home prices:

    在对数据进行模型训练之后,我们可以检查系数,看看它们是否与用于生成房屋价格的原始函数匹配:

    Original Function:

    原始功能:

    价格= -3 * x1 -10 * x2 + 0.033 *x1²-0.0000571 *x1³+ 500 (Price = -3*x1 -10*x2 + 0.033*x1² -0.0000571*x1³ + 500)

    Polynomial Regression model coefficients:

    多项式回归模型系数:

    Image for post
    Image for post

    and indeed they match!

    确实匹配!

    Now you can see we do a much better job.

    现在您可以看到我们做得更好。

    Image for post
    Polynomial Regression Model (Mean Relative Error: 0%)
    多项式回归模型(平均相对误差:0%)

    And there you have it, now you know how to implement a Polynomial Regression model in Python. Entire code can be found here.

    有了它,现在您知道如何在Python中实现多项式回归模型。 完整的代码可以在这里找到。

    结束语 (Closing remarks)

    • If this were a real-world ML task, we should have split data into training and testing sets, and evaluated the model on the testing set.

      如果这是现实世界中的ML任务,我们应该将数据分为训练和测试集,并在测试集上评估模型。
    • It’s better to use other accuracy metrics such as RMSE because MRE will be undefined if there’s a 0 in the y values.

      最好使用其他精度度量标准,例如RMSE,因为如果y值中为0,则MRE将不确定。

    翻译自: https://medium.com/@nikola.kuzmic945/how-to-implement-a-polynomial-regression-model-in-python-6250ce96ba61

    python多项式回归

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空空如也

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多项式线性回归模型