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  • 特征多项式、代数重数与几何重数

    千次阅读 2017-10-19 20:28:00
    主要介绍了特征多项式、代数重数、几何重数以及重要的性质。 一个复方阵有多少个特征值? 首先要做的当然是给出定义啦! 接下来给出一个结论:   证明:我们分三步加以说明, 由 \(tI-A\) 行列式的计算展开...

    概要

    主要介绍了特征多项式、代数重数、几何重数以及重要的性质。
     


    一个复方阵有多少个特征值?

    首先要做的当然是给出定义啦!
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    接下来给出一个结论:
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      证明:我们分三步加以说明,

    1. \(tI-A\) 行列式的计算展开表达式知,只有全取对角元素时,求和项次数才能达到 \(n\),即
      \begin{align}
      (t-a_{11})\cdots(t-a_{nn})=t^n-(a_{11}+\cdots+a_{nn})t^{n-1}+\cdots
      \label{eq1}
      \end{align}
      任何其它因子必包含非对角因子 \(-a_{ij}\,(i \neq j)\),则对角元素 \(t-a_{ii}\)\(t-a_{jj}\) 不可能也是因子。因此求和项次数不可能大于 \(n-2\),于是式 \ref{eq1} 确定了 \(t^n\)\(t^{n-1}\) 的系数。\(p_A(t)\) 的常系数项正好是 \(p_A(0)=\mathrm{det}(-A)=(-1)^n \mathrm{det} A\) .
    2. $p_A(\lambda)=0 \Leftrightarrow \mathrm{det}(\lambda I-A)=0 \Leftrightarrow (\lambda I-A)x=0, x\neq 0 \Leftrightarrow \lambda \in \sigma(A) $
    3. 一次数为 \(n\geqslant 1\) 的多项式至多有 \(n\) 个不同零点。

     
    结论 \(1.1\) 告诉我们,结合推广的韦达定理知:\(p_A(t)\) 的零点之和是 \(A\) 的迹 \(tr(A)\),而零点之积则是 \(A\) 的行列式 \(\mathrm{det} A\)。进一步, 如果 \(p_A(t)\) 的每个零点的重数都是 \(1\)\(tr(A)\)\(A\) 的特征值之和,而 \(\mathrm{det} A\)\(A\) 的特征值之积 . 其实条件 “ 如果 \(p_A(t)\) 的每个零点的重数都是 \(1\)” 可以不需要,只不过得按照它们作为特征方程的重数来对 \(A\) 的特征值加以计数,下面引入代数重数的概念,
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    我们约定 \(A \in M_n\) 的特征值总是指这个特征值与其相对应的(代数)重数的合并称谓. 因此无需限制就能说:每个矩阵 \(A \in M_n\) 在复数中恰好有 \(n\) 个特征值,且 \(A\) 的迹和行列式分别是它的特征值之和以及乘积.

    我们知道了每一个 \(n\times n\) 复矩阵都有有限多个特征值,故可以给出如下定义.
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    在本小节的最后,再给出一个重要的定理,
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      证明:在上一节 特征值和特征向量 的推论 \(1.2\) 知,\(\lambda \in \sigma(A) \Leftrightarrow \lambda + \varepsilon \in \sigma(A+\varepsilon I)\),我们的目标是 $ \lambda + \varepsilon \neq 0$, 如果 \(A\) 的所有特征值都为零,取 \(\delta=1\),如果 \(A\) 的某个特征值不为零,则令 \(\delta=\min \{\lvert \lambda \rvert: \lambda \in \sigma(A) , \lambda \neq 0\}\) , 此时任何一个满足 \(0<\lvert \varepsilon \rvert<\delta\)\(\varepsilon\), 必有 \(-\varepsilon \notin \sigma(A)\),所以 $ \lambda + \varepsilon \neq 0$, 即 \(0 \notin \sigma(A+\varepsilon I)\), 因此 \(A+\varepsilon I\) 是非奇异的.

    上述定理表明,一个奇异的复矩阵总可以稍加平移使之成为非奇异的.

     


    几何重数

    开始先给出一个关于特征值的结论,
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      证明:由于 \(\mathrm{det}(tI-A^T)=\mathrm{det}(tI-A)^T=\mathrm{det}(tI-A)\), 我们有 \(p_{A^T}(t)=p_A(t)\), 所以有 \(p_{A^T}(\lambda)=0\) 当且仅当 \(p_A(\lambda)=0\). 类似地,\(\mathrm{det}(\bar{t}I-A^*)=\mathrm{det}[(tI-A)^*]=\overline{\mathrm{det}(tI-A)}\), 所以 \(p_{A^*}(\bar{t})=\overline{p_A(t)}\), 又 \(p_{A^*} (\bar{\lambda})=0\) 当且仅当 \(p_A(\lambda)=0\).
     
    如果 \(x,y\in \mathbb{C}^n\) 两者都是 \(A\in M_n\) 的与特征值 \(\lambda\) 相伴的特征向量,那么 \(x\)\(y\) 的任何非零的线性组合也是它的与 \(\lambda\) 相伴的特征向量 。实际上,与一个给定的 \(\lambda \in \sigma(A)\) 相伴的所有特征向量组成的集合与零向量合起来作成 \(\mathbb{C}^n\) 的一个子空间,该子空间就是 \(A-\lambda I\)零空间,就是齐次线性方程组 \((A-\lambda I)x=0\) 的解集,由秩的关系知其维数是 \(n-\mathrm{rank} (A-\lambda I)\). 该空间有个名字就是特征空间,下面给出特征空间的完整定义,
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    \(Ax=\lambda x\) 便知,\(A\) 的与特征值 \(\lambda\) 相伴的特征空间是一个 \(A\)-不变子空间,需要注意的是,一个 \(A\)-不变子空间不一定就是 \(A\) 的特征空间。特征向量不能为零,所以最小的 \(A\)-不变子空间(不包含有严格的更低维度的非零的 \(A\)-不变子空间) \(W\)\(A\) 的单独一个特征向量所生成的子空间,也就是说 \(\mathrm{dim} W=1\)。介绍完特征空间,就可以定义几何重数了,
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    可以证明特征值的几何重数小于或者等于它的代数重数的。下面给一个说明:设 \(\alpha\) 是特征多项式 \(p(t)\) 的一个代数重数为 \(k \geqslant 1\) 的零点,当且仅当可以将 \(p(t)\) 写成形式
    \[
    p(t)=(t-\alpha)^k q(t)
    \]
    其中 \(q(t)\) 是一个满足 \(q(\alpha) \neq 0\) 的多项式。对 p(t) 求导得:\(p'(t)=k(t-\alpha)^{k-1}q(t)+(t-\alpha)^kq'(t)\), 它表明 \(p'(\alpha)=0\) 当且仅当 \(k>1\). 如果 \(k \geqslant 2\), 那么 \(p''(t)=k(k-1)(t-\alpha)^{k-2}\cdot q(t)+\) 若干个多项式项,其中每一项都含有一个因子 \((t-\alpha)^m, m\geqslant k-1\), 所以 \(p''(\alpha)=0\) 当且仅当 \(k>2\). 重复这一计算表明,\(\alpha\)\(p(t)\)\(k\) 重零点,当且仅当 \(p(\alpha)=p'(\alpha)=\cdots=p^{k-1}(\alpha)=0\) 以及 \(p^k(\alpha) \neq 0\). 据此可以证明一个定理,
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      证明:如果 令 \(B=A-\lambda I\), 那么 \(0\) 就是 \(B\) 的一个重数为 \(k\) 的特征值,从而有 \(p_B^{(k)}(0) \neq 0\). 但是 \(p_B^{(k)}(0) =k! (-1)^{n-k}E_{n-k}(B)\), 其中 \(E_{n-k}(B)\) 表示 \(B\)\(n-k\) 阶主子式之和,故有 \(E_{n-k}(B) \neq 0\). 特别地,\(B=A-\lambda I\) 的某个 \(n-k\) 阶主子式不为零,所以 $\mathrm{rank} (A-\lambda I) \geqslant n-k $. 如果 \(k=1\), \(A-\lambda I\) 是奇异的,故而 \(n>\mathrm{rank}(A-\lambda I) \geqslant n-1\), 这就意味着:如果特征值 \(\lambda\) 的代数重数为 \(1\), 那么 \(\mathrm{rank} (A-\lambda I) = n-1\).
     
    上述定理即可证明特征值的几何重数小于或者等于它的代数重数,同时还说明了代数重数为 \(1\),几何重数必定为 \(1\). 需要注意的是并不是说代数重数为 \(1\) 时,代数重数才等于它的几何重数,比如单位矩阵 \(I_2\), \(\lambda=1\)代数重数和几何重数都为 \(2\), 因此它也是半单的。
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    一个矩阵可对角化,当且仅当它是无亏的;它有完全不同的特征值,当且仅当它是无损的且是无亏的。考虑以下矩阵的特征值 \(\lambda=1\), 矩阵 \(\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0 &2 \end{bmatrix}\),代数重数等于它的几何重数且都是 \(1\), 它是无亏的,单位矩阵 \(I_2\) 是无亏的且是有损的,矩阵 \(\begin{bmatrix} 1&1 \\ 0 &1 \end{bmatrix}\), 几何重数是 \(1\), 代数重数是 \(2\),它是有亏的且是无损的。
    尽管 \(A\)\(A^T\) 有相同的特征值,它们与给定特征值相伴的特征空间有可能是不同的。比如,矩阵 \(A=\begin{bmatrix} 2&3 \\ 0 &4 \end{bmatrix}\), 那么 \(A\) 的与特征值 \(2\) 相伴的(一维)特征空间是由 \(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\) 生成的,而 \(A^T\) 的与特征值 \(2\) 相伴的特征空间是由 \(\begin{bmatrix} 1& \\ & -3/2 \end{bmatrix}\) 生成的。
     

     


    读完应该知道点什么

    • 每个矩阵 \(A \in M_n\) 在复数中恰好有 \(n\) 个特征值,且 \(A\) 的迹和行列式分别是它的特征值之和以及乘积
    • 一个奇异的复矩阵总可以稍加平移使之成为非奇异的
    • 特征值的几何重数小于或者等于它的代数重数

    转载于:https://www.cnblogs.com/zhoukui/p/7685318.html

    展开全文
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    部分分式展开以及系数的留数法求解

    有理真分式分解为部分分式

    当有一个次数小于n的多项式 P ( x ) P(x) P(x)

    则其一定可以写为如下的形式
    P ( x ) = A 1 ( x − a ) n − 1 + A 2 ( x − a ) n − 2 + ⋯ + A n − 1 ( x − a ) + A n P(x)=A_1(x-a)^{n-1}+A_2(x-a)^{n-2}+\dots+A_{n-1}(x-a)+A_n P(x)=A1(xa)n1+A2(xa)n2++An1(xa)+An
    因此两边同时除以 ( x − a ) n (x-a)^n (xa)n次后就可以得到
    P ( x ) ( x − a ) n = A 1 x − a + A 2 ( x − a ) 2 + ⋯ + A n ( x − a ) n \frac{P(x)}{(x-a)^{n}}=\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\dots+\frac{A_n}{(x-a)^n} (xa)nP(x)=xaA1+(xa)2A2++(xa)nAn
    因此可以得出结论,如果存在一个有理真分式 P ( x ) ( x − a ) n \frac{P(x)}{(x-a)^{n}} (xa)nP(x),(因为是真分式所以 P ( x ) P(x) P(x)的次数小于n),则该真分式一定可以化为上式右侧的部分分式的形式

    现在有一个有理真分式 P ( x ) Q ( x ) \frac{P(x)}{Q(x)} Q(x)P(x) Q ( x ) Q(x) Q(x)为n次多项式

    对分母 Q ( x ) Q(x) Q(x)进行因式分解,

    (1)假如 Q ( x ) Q(x) Q(x)有且只有k个不同的实根,没有虚根,则可因式分解为
    Q ( x ) = ∏ i = 1 k ( x − a i ) p i Q(x)=\prod\limits_{i=1}^k(x-a_i)^{p_i} Q(x)=i=1k(xai)pi
    其中 a i a_i ai Q ( x ) Q(x) Q(x) p i p_i pi重根, ∑ p i = n \sum{p_i}=n pi=n

    这种情况下,可以将有理真分式 P ( x ) Q ( x ) \frac{P(x)}{Q(x)} Q(x)P(x),按照如下公式化为部分分式的和
    P ( x ) Q ( x ) = ∑ i = 1 k ∑ j = 1 p i A i j ( x − a i ) j \frac{P(x)}{Q(x)}=\sum_{i=1}^k{\sum\limits_{j=1}^{p_i}{\frac{A_{ij}}{(x-a_i)^j}}} Q(x)P(x)=i=1kj=1pi(xai)jAij
    (2)假如n次多项式 Q ( x ) Q(x) Q(x)不只有实根,还有复根,那么其依然满足因式分解定理,即在实数域上可以分解为如下形式
    Q ( x ) = a 0 ⋅ ∏ i = 1 k ( x − a i ) p i ∏ i = 1 l ( x 2 + b i x + c i ) q i Q(x)=a_0\cdot\prod\limits_{i=1}^k{(x-a_i)^{p_i}}\prod\limits_{i=1}^{l}{(x^2+b_ix+c_i)^{q_i}} Q(x)=a0i=1k(xai)pii=1l(x2+bix+ci)qi

    ∑ p i + 2 ∑ q i = n \sum{p_i}+2\sum{q_i}=n pi+2qi=n

    这种情况下,可以将有理真分式 P ( x ) Q ( x ) \frac{P(x)}{Q(x)} Q(x)P(x),按照如下公式化为部分分式的和
    P ( x ) Q ( x ) = ∑ i = 1 k ∑ j = 1 p i A i j ( x − a i ) j + ∑ i = 1 l ∑ j = 1 q i B i j x + C i j ( x 2 + b i x + c i ) j \frac{P(x)}{Q(x)}=\sum_{i=1}^k{\sum\limits_{j=1}^{p_i}{\frac{A_{ij}}{(x-a_i)^j}}}+\sum_{i=1}^l{\sum\limits_{j=1}^{q_i}{\frac{B_{ij}x+C_{ij}}{(x^2+b_ix+c_i)^j}}} Q(x)P(x)=i=1kj=1pi(xai)jAij+i=1lj=1qi(x2+bix+ci)jBijx+Cij

    利用留数和留数定理求部分分式的系数

    P ( x ) Q ( x ) = ∑ i = 1 k ∑ j = 1 p i A i j ( x − a i ) j + ∑ i = 1 l ∑ j = 1 q i B i j x + C i j ( x 2 + b i x + c i ) j \frac{P(x)}{Q(x)}=\sum_{i=1}^k{\sum\limits_{j=1}^{p_i}{\frac{A_{ij}}{(x-a_i)^j}}}+\sum_{i=1}^l{\sum\limits_{j=1}^{q_i}{\frac{B_{ij}x+C_{ij}}{(x^2+b_ix+c_i)^j}}} Q(x)P(x)=i=1kj=1pi(xai)jAij+i=1lj=1qi(x2+bix+ci)jBijx+Cij

    假定零极点可以是复数,则依旧可以化为如下形式:
    P ( x ) Q ( x ) = ∑ i = 1 k ∑ j = 1 p i A i j ( x − a i ) j \frac{P(x)}{Q(x)}=\sum_{i=1}^k{\sum\limits_{j=1}^{p_i}{\frac{A_{ij}}{(x-a_i)^j}}} Q(x)P(x)=i=1kj=1pi(xai)jAij
    则系数 A i j A_{ij} Aij,根据留数定理可以用如下公式求出
    A i j = 1 ( p i − j ) ! lim ⁡ x → a i [ ( x − a i ) p i P ( x ) Q ( x ) ] ( p i − j ) A_{ij}=\frac{1}{(p_i-j)!}\lim\limits_{x\to a_i}{[(x-a_i)^{p_i}\frac{P(x)}{Q(x)}]}^{(p_i-j)} Aij=(pij)!1xailim[(xai)piQ(x)P(x)](pij)
    右上角的(j-1)表示求j-1阶导数

    例如:
    x 2 + 5 x − 2 x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 \frac{x^2+5x-2}{x^3+3x^2+3x+1} x3+3x2+3x+1x2+5x2
    其中 Q ( x ) = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 = ( x + 1 ) 3 Q(x)=x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3 Q(x)=x3+3x2+3x+1=(x+1)3

    因此
    x 2 + 5 x − 2 x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 = K 1 x + 1 + K 2 ( x + 1 ) 2 + K 3 ( x + 1 ) 3 \frac{x^2+5x-2}{x^3+3x^2+3x+1}=\frac{K_1}{x+1}+\frac{K_2}{(x+1)^2}+\frac{K_3}{(x+1)^3} x3+3x2+3x+1x2+5x2=x+1K1+(x+1)2K2+(x+1)3K3

    K 3 = lim ⁡ x → − 1 [ ( x + 1 ) 3 ⋅ x 2 + 5 x − 2 x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 ] ( 3 − 3 ) = lim ⁡ x → − 1 [ x 2 + 5 x − 2 ] = − 6 K_3=\lim\limits_{x\to -1}{[(x+1)^3\cdot\frac{x^2+5x-2}{x^3+3x^2+3x+1}]}^{(3-3)}=\lim\limits_{x\to -1}{[x^2+5x-2]}=-6 K3=x1lim[(x+1)3x3+3x2+3x+1x2+5x2](33)=x1lim[x2+5x2]=6

    K 2 = lim ⁡ x → − 1 [ ( x + 1 ) 3 ⋅ x 2 + 5 x − 2 x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 ] ( 3 − 2 ) = lim ⁡ x → − 1 [ 2 x + 5 ] = 3 K_2=\lim\limits_{x\to -1}{[(x+1)^3\cdot\frac{x^2+5x-2}{x^3+3x^2+3x+1}]}^{(3-2)}=\lim\limits_{x\to -1}{[2x+5]}=3 K2=x1lim[(x+1)3x3+3x2+3x+1x2+5x2](32)=x1lim[2x+5]=3

    K 1 = 1 2 ! ⋅ lim ⁡ x → − 1 [ ( x + 1 ) 3 ⋅ x 2 + 5 x − 2 x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 ] ( 3 − 1 ) = 1 2 ⋅ lim ⁡ x → − 1 [ 2 ] = 1 K_1=\frac{1}{2!}\cdot\lim\limits_{x\to -1}{[(x+1)^3\cdot\frac{x^2+5x-2}{x^3+3x^2+3x+1}]}^{(3-1)}=\frac{1}{2}\cdot\lim\limits_{x\to -1}{[2]}=1 K1=2!1x1lim[(x+1)3x3+3x2+3x+1x2+5x2](31)=21x1lim[2]=1

    因此
    x 2 + 5 x − 2 x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 = 1 x + 1 + 3 ( x + 1 ) 2 − 6 ( x + 1 ) 3 \frac{x^2+5x-2}{x^3+3x^2+3x+1}=\frac{1}{x+1}+\frac{3}{(x+1)^2}-\frac{6}{(x+1)^3} x3+3x2+3x+1x2+5x2=x+11+(x+1)23(x+1)36

    展开全文
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    编写之初

    由于利用留数定理分解分式多项式的计算麻烦,所以决定用python做一个利用留数定理分解分式多项式程序,实现只要输入多项式就可以得到各种中间参数和最终拆分结果的目的。从本程序可以得到:分解后每项多项式分子值、计算分解后每项多项式分子值的过程展示、最终分解结果展示。

    算数实现

    利用留数定理分解分式多项式计算过程以下图为例所示
    留数定理分解多项式举例
    对于算数运算形象的理解:以该式为例,分解后各项分母为原多项式分母中的各项(s、(s+2)、(s+3)²)加上这些项中高次幂项去掉次幂为分母的项((s+3));分解后各项分子为原多项式分母依次去掉各项后求极限所得值(-4、1/3、3)以及n(n>1)次幂项去掉该项后的n阶微分式求极限所得值(-10/3)。也依据这个思路编写程序。

    依赖的包

    1.sympy模块
    sympy模块,可以进行符号计算,可以定义符号变量,进行代数运算,以及微分运算、积分运算等。

    pip install sympy
    

    2.re正则化模块
    re模块是python独有的匹配字符串的模块,该模块中提供的很多功能是基于正则表达式实现的。

    pip install re
    

    完整代码及注释

    import sympy as sp
    import re
    
    s = sp.symbols('s')     # 创建符号变量
    
    print('以 6*(s+1)/(s*(s+2)*(s+3)**2) 形式为例')
    Y = input('请输入待分解多项式:')   # 复制 例 6*(s+1)/(s*(s+2)*(s+3)**2)
    
    # denominator = y.split('/')[0]   # 分子项
    molecule = Y.split('/')[1]      # 分母项
    
    moleculelist = molecule.strip('()').split('*')  # 分母每项
    # print(moleculelist)
    
    reg = re.compile(r"(?<=\*)\d+")     # 获取分式中的幂数
    match=reg.search(Y)
    pow = match.group(0)
    
    molecule_number = 0     # 初始化分母项索引
    # 计算拆分后各项值
    while molecule_number < len(moleculelist):
        try:
            if moleculelist[molecule_number] != '':
                if moleculelist[molecule_number + 1] != '':
                    y = Y.replace(moleculelist[molecule_number]+'*', '')    # 得到用来计算 该项分子值 的多项式
                    if moleculelist[molecule_number] == 's':
                        value = sp.limit(y, s, 0)               # 求极限计算 该项分子值
                        print('\n计算分母为' + str(moleculelist[molecule_number]) +'项的分子:limit——>0 ', y)
                        print('计算得;', value)
                    else:
                        limit_value = -int(re.findall('(\d+)', moleculelist[molecule_number])[0])   # 获取求极限时的 极限参数
                        value = sp.limit(y, s, limit_value)         # 求极限计算 该项分子值
                        print('计算分母为' + str(moleculelist[molecule_number]) +'项的分子:limit——>' + str(limit_value), y)
                        print('计算得:', value)
                else:
                    y = Y.replace('*' + moleculelist[molecule_number] + '**' + pow, '')     # 得到用来计算 该项分子值 的多项式
                    limit_value = -int(re.findall('(\d+)', moleculelist[molecule_number])[0])       # 获取求极限时的 极限参数
                    value = sp.limit(y, s, limit_value)         # 求极限计算 该项分子值
                    print('计算分母为' + str(moleculelist[molecule_number]) + '**' + pow + '项的分子:limit——>' + str(limit_value), y)
                    print('计算得:', value)
    
                    y_diff = sp.together(sp.diff(y, s, int(pow)-1))      # 求解 除n次幂项外分式 n阶导数
                    limit_value = -int(re.findall('(\d+)', moleculelist[molecule_number])[0])       # 获取求极限时的 极限参数
                    value = sp.limit(y_diff, s, limit_value)        # 求极限计算 该项分子值
                    print('计算分母为' + str(moleculelist[molecule_number]) + '项的'+ str(int(pow)-1) + '阶导数的分子:limit——>' + str(limit_value), y_diff)
                    print('计算得:', value)
    
        except: pass
        molecule_number += 1
    
    # print(molecule+'\n'+molecule)
    print('分解结果为:',sp.apart(Y, s))      # 拆分结果
    
    

    运行结果

    运行代码,首先以例示形式输入待分解多项式,得到分解过程及结果
    程序运行结果

    感悟与不足

    本来打算纯手写一个留数定理分解分式多项式的程序,但是由于其中涉及到极限与微分的计算,而这两个模块编写起来又要一定时间,于是借助了sympy模块辅助编程,但是我意外地发现,sympy模块居然自带多项式分解函数 sympy.apart()因此我也在呈现分解结果时用到了这个函数,免去了字符串处理当中的一系列麻烦。因此如果大家对多项式分解的过程不在意,只想得到分解结果,只需执行sympy.apart()函数即可,至于它其中的运算原理我也不得而知。

    展开全文
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空空如也

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多项式重数