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  • 特征多项式、代数重数与几何重数

    千次阅读 2017-10-19 20:28:00
    主要介绍了特征多项式、代数重数、几何重数以及重要的性质。 一个复方阵有多少个特征值? 首先要做的当然是给出定义啦! 接下来给出一个结论:   证明:我们分三步加以说明, 由 \(tI-A\) 行列式的计算展开...

    概要

    主要介绍了特征多项式、代数重数、几何重数以及重要的性质。
     


    一个复方阵有多少个特征值?

    首先要做的当然是给出定义啦!
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    接下来给出一个结论:
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      证明:我们分三步加以说明,

    1. \(tI-A\) 行列式的计算展开表达式知,只有全取对角元素时,求和项次数才能达到 \(n\),即
      \begin{align}
      (t-a_{11})\cdots(t-a_{nn})=t^n-(a_{11}+\cdots+a_{nn})t^{n-1}+\cdots
      \label{eq1}
      \end{align}
      任何其它因子必包含非对角因子 \(-a_{ij}\,(i \neq j)\),则对角元素 \(t-a_{ii}\)\(t-a_{jj}\) 不可能也是因子。因此求和项次数不可能大于 \(n-2\),于是式 \ref{eq1} 确定了 \(t^n\)\(t^{n-1}\) 的系数。\(p_A(t)\) 的常系数项正好是 \(p_A(0)=\mathrm{det}(-A)=(-1)^n \mathrm{det} A\) .
    2. $p_A(\lambda)=0 \Leftrightarrow \mathrm{det}(\lambda I-A)=0 \Leftrightarrow (\lambda I-A)x=0, x\neq 0 \Leftrightarrow \lambda \in \sigma(A) $
    3. 一次数为 \(n\geqslant 1\) 的多项式至多有 \(n\) 个不同零点。

     
    结论 \(1.1\) 告诉我们,结合推广的韦达定理知:\(p_A(t)\) 的零点之和是 \(A\) 的迹 \(tr(A)\),而零点之积则是 \(A\) 的行列式 \(\mathrm{det} A\)。进一步, 如果 \(p_A(t)\) 的每个零点的重数都是 \(1\)\(tr(A)\)\(A\) 的特征值之和,而 \(\mathrm{det} A\)\(A\) 的特征值之积 . 其实条件 “ 如果 \(p_A(t)\) 的每个零点的重数都是 \(1\)” 可以不需要,只不过得按照它们作为特征方程的重数来对 \(A\) 的特征值加以计数,下面引入代数重数的概念,
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    我们约定 \(A \in M_n\) 的特征值总是指这个特征值与其相对应的(代数)重数的合并称谓. 因此无需限制就能说:每个矩阵 \(A \in M_n\) 在复数中恰好有 \(n\) 个特征值,且 \(A\) 的迹和行列式分别是它的特征值之和以及乘积.

    我们知道了每一个 \(n\times n\) 复矩阵都有有限多个特征值,故可以给出如下定义.
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    在本小节的最后,再给出一个重要的定理,
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      证明:在上一节 特征值和特征向量 的推论 \(1.2\) 知,\(\lambda \in \sigma(A) \Leftrightarrow \lambda + \varepsilon \in \sigma(A+\varepsilon I)\),我们的目标是 $ \lambda + \varepsilon \neq 0$, 如果 \(A\) 的所有特征值都为零,取 \(\delta=1\),如果 \(A\) 的某个特征值不为零,则令 \(\delta=\min \{\lvert \lambda \rvert: \lambda \in \sigma(A) , \lambda \neq 0\}\) , 此时任何一个满足 \(0<\lvert \varepsilon \rvert<\delta\)\(\varepsilon\), 必有 \(-\varepsilon \notin \sigma(A)\),所以 $ \lambda + \varepsilon \neq 0$, 即 \(0 \notin \sigma(A+\varepsilon I)\), 因此 \(A+\varepsilon I\) 是非奇异的.

    上述定理表明,一个奇异的复矩阵总可以稍加平移使之成为非奇异的.

     


    几何重数

    开始先给出一个关于特征值的结论,
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      证明:由于 \(\mathrm{det}(tI-A^T)=\mathrm{det}(tI-A)^T=\mathrm{det}(tI-A)\), 我们有 \(p_{A^T}(t)=p_A(t)\), 所以有 \(p_{A^T}(\lambda)=0\) 当且仅当 \(p_A(\lambda)=0\). 类似地,\(\mathrm{det}(\bar{t}I-A^*)=\mathrm{det}[(tI-A)^*]=\overline{\mathrm{det}(tI-A)}\), 所以 \(p_{A^*}(\bar{t})=\overline{p_A(t)}\), 又 \(p_{A^*} (\bar{\lambda})=0\) 当且仅当 \(p_A(\lambda)=0\).
     
    如果 \(x,y\in \mathbb{C}^n\) 两者都是 \(A\in M_n\) 的与特征值 \(\lambda\) 相伴的特征向量,那么 \(x\)\(y\) 的任何非零的线性组合也是它的与 \(\lambda\) 相伴的特征向量 。实际上,与一个给定的 \(\lambda \in \sigma(A)\) 相伴的所有特征向量组成的集合与零向量合起来作成 \(\mathbb{C}^n\) 的一个子空间,该子空间就是 \(A-\lambda I\)零空间,就是齐次线性方程组 \((A-\lambda I)x=0\) 的解集,由秩的关系知其维数是 \(n-\mathrm{rank} (A-\lambda I)\). 该空间有个名字就是特征空间,下面给出特征空间的完整定义,
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    \(Ax=\lambda x\) 便知,\(A\) 的与特征值 \(\lambda\) 相伴的特征空间是一个 \(A\)-不变子空间,需要注意的是,一个 \(A\)-不变子空间不一定就是 \(A\) 的特征空间。特征向量不能为零,所以最小的 \(A\)-不变子空间(不包含有严格的更低维度的非零的 \(A\)-不变子空间) \(W\)\(A\) 的单独一个特征向量所生成的子空间,也就是说 \(\mathrm{dim} W=1\)。介绍完特征空间,就可以定义几何重数了,
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    可以证明特征值的几何重数小于或者等于它的代数重数的。下面给一个说明:设 \(\alpha\) 是特征多项式 \(p(t)\) 的一个代数重数为 \(k \geqslant 1\) 的零点,当且仅当可以将 \(p(t)\) 写成形式
    \[
    p(t)=(t-\alpha)^k q(t)
    \]
    其中 \(q(t)\) 是一个满足 \(q(\alpha) \neq 0\) 的多项式。对 p(t) 求导得:\(p'(t)=k(t-\alpha)^{k-1}q(t)+(t-\alpha)^kq'(t)\), 它表明 \(p'(\alpha)=0\) 当且仅当 \(k>1\). 如果 \(k \geqslant 2\), 那么 \(p''(t)=k(k-1)(t-\alpha)^{k-2}\cdot q(t)+\) 若干个多项式项,其中每一项都含有一个因子 \((t-\alpha)^m, m\geqslant k-1\), 所以 \(p''(\alpha)=0\) 当且仅当 \(k>2\). 重复这一计算表明,\(\alpha\)\(p(t)\)\(k\) 重零点,当且仅当 \(p(\alpha)=p'(\alpha)=\cdots=p^{k-1}(\alpha)=0\) 以及 \(p^k(\alpha) \neq 0\). 据此可以证明一个定理,
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      证明:如果 令 \(B=A-\lambda I\), 那么 \(0\) 就是 \(B\) 的一个重数为 \(k\) 的特征值,从而有 \(p_B^{(k)}(0) \neq 0\). 但是 \(p_B^{(k)}(0) =k! (-1)^{n-k}E_{n-k}(B)\), 其中 \(E_{n-k}(B)\) 表示 \(B\)\(n-k\) 阶主子式之和,故有 \(E_{n-k}(B) \neq 0\). 特别地,\(B=A-\lambda I\) 的某个 \(n-k\) 阶主子式不为零,所以 $\mathrm{rank} (A-\lambda I) \geqslant n-k $. 如果 \(k=1\), \(A-\lambda I\) 是奇异的,故而 \(n>\mathrm{rank}(A-\lambda I) \geqslant n-1\), 这就意味着:如果特征值 \(\lambda\) 的代数重数为 \(1\), 那么 \(\mathrm{rank} (A-\lambda I) = n-1\).
     
    上述定理即可证明特征值的几何重数小于或者等于它的代数重数,同时还说明了代数重数为 \(1\),几何重数必定为 \(1\). 需要注意的是并不是说代数重数为 \(1\) 时,代数重数才等于它的几何重数,比如单位矩阵 \(I_2\), \(\lambda=1\)代数重数和几何重数都为 \(2\), 因此它也是半单的。
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    一个矩阵可对角化,当且仅当它是无亏的;它有完全不同的特征值,当且仅当它是无损的且是无亏的。考虑以下矩阵的特征值 \(\lambda=1\), 矩阵 \(\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0 &2 \end{bmatrix}\),代数重数等于它的几何重数且都是 \(1\), 它是无亏的,单位矩阵 \(I_2\) 是无亏的且是有损的,矩阵 \(\begin{bmatrix} 1&1 \\ 0 &1 \end{bmatrix}\), 几何重数是 \(1\), 代数重数是 \(2\),它是有亏的且是无损的。
    尽管 \(A\)\(A^T\) 有相同的特征值,它们与给定特征值相伴的特征空间有可能是不同的。比如,矩阵 \(A=\begin{bmatrix} 2&3 \\ 0 &4 \end{bmatrix}\), 那么 \(A\) 的与特征值 \(2\) 相伴的(一维)特征空间是由 \(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\) 生成的,而 \(A^T\) 的与特征值 \(2\) 相伴的特征空间是由 \(\begin{bmatrix} 1& \\ & -3/2 \end{bmatrix}\) 生成的。
     

     


    读完应该知道点什么

    • 每个矩阵 \(A \in M_n\) 在复数中恰好有 \(n\) 个特征值,且 \(A\) 的迹和行列式分别是它的特征值之和以及乘积
    • 一个奇异的复矩阵总可以稍加平移使之成为非奇异的
    • 特征值的几何重数小于或者等于它的代数重数

    转载于:https://www.cnblogs.com/zhoukui/p/7685318.html

    展开全文
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    1. 多项式01——一元多项式和运算
    2. 多项式02——整除
    3. 多项式03——最大公因式与互素
    4. 多项式04——标准分解式
    5. 多项式05——多项式函数
    6. 多项式07——有理系数和整系数多项式

    多项式函数与根

    1、多项式函数

    \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义} }}f(x)=a0xn+a1xn1++an,f(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n},αF\alpha \in F,将 f(x)f(x) 的表示式里的 xxα\alpha 代替,得到FF中的数
    a0αn+a1αn1++an a_{0} \alpha^{n}+a_{1} \alpha^{n-1}+\cdots+a_{n}
    称为当 x=αx=\alphaf(x)f(x) 的值,记作 f(α).f(\alpha) .这样,对FF中的每一个数 α\alpha ,由多项式 f(x)f(x) 确定FF中唯一的一个数 f(α)f(\alpha) 与之对应,于是称 f(x)f(x)FF上的一个多项式函数.

    易知,若 h1(x)=f(x)+g(x),h2(x)=f(x)g(x),h_{1}(x)=f(x)+g(x), \quad h_{2}(x)=f(x) g(x),则, h1(α)=f(α)+g(α),h2(α)=f(α)g(α)\quad h_{1}(\alpha)=f(\alpha)+g(\alpha), \quad h_{2}(\alpha)=f(\alpha) g(\alpha)

    2、多项式函数的根(或零点)

    若多项式函数 f(x)f(x)x=αx=\alpha 处的值为0,即
    f(α)=0 f(\alpha)=0
    则称 α\alphaf(x)f(x) 的一个根或零点.

    :\Large\color{violet}{注 :} 多项式的根与数域有关.

    f(x)=x2+1f(x)=x^{2}+1R\mathbb{R} 上没有根, 在 C\mathbb{C} 上有根 ±i.\pm i .

    多项式函数的有关性质

    1\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理1} }} (余数定理):用一次多项式 xαx-\alpha 去除多项式f(x),f(x), 所得余式是一个常数,这个常数等于函数值 f(α).f(\alpha) .

    f(x)F[x],bF,f(x) \in F[x], b \in F, 则存在唯一 的 g(x)F[x]g(x) \in F[x], 使得 f(x)=(xb)g(x)+f(b)f(x)=(x-b) g(x)+f(b)

    \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{推论} }}: α\alphaf(x)f(x) 的根 (xα)f(x)\Leftrightarrow(x-\alpha) \mid f(x). f(α)=0.\Leftrightarrow f (\alpha) =0.

    综合除法:用以计算
    f(x)=q(x)(xα)+r f(x) =q(x)(x-\alpha) +r
    f(x)f(x) 是数域 FF 上多项式, bbFF 上任意数.
    f(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0=(xb)(bn1xn1++b1x+b0)+f(b) \begin{aligned} f(x) &=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0} \\ &=(x-b)\left(b_{n-1} x^{n-1}+\cdots+b_{1} x+b_{0}\right)+f(b) \end{aligned}
    展开上式右边, 比较左右两式系数, 则相应系数关系可用如下综合除法表示:
    anan1an2a1a0bbbn1bbn2bb1bb0bn1bn2bn3b0f(b) \begin{array}{c|cccccc} & \boldsymbol{a}_{n} & \boldsymbol{a}_{n-1} & \boldsymbol{a}_{n-2} & \cdots & \boldsymbol{a}_{1} & \boldsymbol{a}_{0} \\ \boldsymbol{b} & & \boldsymbol{b} \boldsymbol{b}_{n-1} & \boldsymbol{b} \boldsymbol{b}_{n-2} & \cdots & \boldsymbol{b} \boldsymbol{b}_{\mathbf{1}} & \boldsymbol{b} \boldsymbol{b}_{\boldsymbol{0}} \\ \hline & \boldsymbol{b}_{n-1} & \boldsymbol{b}_{n-2} & \boldsymbol{b}_{n-3} & \cdots & \boldsymbol{b}_{\boldsymbol{0}}& \boldsymbol{f}(\boldsymbol{b}) \end{array}
    其中第三行元素为上两行相应元素的和.

    f(x)=x512x3+36x+12f(x)=x^{5}-12 x^{3}+36 x+12,对 b=2,b=2, 算式
    1012036122241632812816420 \begin{array}{c|cccccc} & \boldsymbol{1}_{} & \boldsymbol{0} & \boldsymbol{-12}_{} & 0 & \boldsymbol{36} & \boldsymbol{12} \\ \boldsymbol{2} & & \boldsymbol{2} & \boldsymbol{-4} & -16 & \boldsymbol{-32} & \boldsymbol{8}_{} \\ \hline & \boldsymbol{1}_{} & \boldsymbol{2}_{} & \boldsymbol{-8}_{} & -16 & \boldsymbol{4}_{}& \boldsymbol{20} \end{array}
    表明,f(x)=(x2)(x4+2x38x216x+4)+20f(x)=(x-2)\left(x^{4}+2 x^{3}-8 x^{2}-16 x+4\right)+20,f(2)=200,f(2)=20 \neq 0, 故 2 不是 f(x)f(x) 的根.

    例1

    f(x)=x4+x2+4x9f(x)=x^{4}+x^{2}+4 x-9x=3x=-3 处的函数值.
    法一: \quadx=3x=-3 代入 f(x),f(x),f(3).f(-3) .
    法二: \quadx+3x+3 去除 f(x),f(x), 所得余数就是 f(3).f(-3) .
    答案: f(3)=69.\quad f(-3)=69 .

    多项式函数的k重根

    \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义} }}f(x)F[x],αF,f(x) \in F[x], \alpha \in F,xαx-\alphaf(x)f(x)kk 重因式, 即 (xα)kf(x),(x-\alpha)^{k} \mid f(x),
    (xα)k+1(x-\alpha)^{k+1} 不整除 f(x),f(x), \quad 则称 α\alphaf(x)f(x)kk 重根.

    k=1k=1 时,称 α\alphaf(x)f(x) 的单根.
    k>1k>1 时,称 α\alphaf(x)f(x) 的重根.

    :\Large\color{violet}{注 :} (1)α\alphaf(x)f(x) 的重根 xα\Leftrightarrow x-\alphaf(x)f(x) 的重因式.

    (2) f(x)f(x) 有重根 f(x)\Rightarrow f(x) 必有重因式.
    反之不然, 即 f(x)f(x) 有重因式未必 f(x)f(x) 有重根.

    例如, f(x)=(x2+1)2R[x]\quad f(x)=\left(x^{2}+1\right)^{2} \in R[x]x2+1x^{2}+1f(x)f(x) 的重因式,但在RRf(x)f(x) 没有根.

    2\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理2} }} (根的个数定理)

    任一 F[x]F[x] 中的 nn 次多项式 (n0),(n \geq 0),FF 中的根不可能多于 n\boldsymbol{n} 个,重根按重数计算.

    【证1】: 设 f(x)F[x],(f(x))0f(x) \in F[x], \partial(f(x)) \geq 0
    (f(x))=0,\partial(f(x))=0,f(x)=c0f(x)=c \neq 0,此时对 αP,\forall \alpha \in P,f(α)=c0.f(\alpha)=c \neq \mathbf{0} .f(x)f(x) 有0个根.
    (f(x))>n\partial(f(x))>n 时,由因式分解及唯一性定理,f(x)f(x) 可分解成不可约多项式的乘积,由推论, f(x)\quad f(x) 的根的个数等于 f(x)f(x) 分解式中一次因式的个数,重根按重数计算,且此数 n\leq \boldsymbol{n}.

    【证2】 设 b1,b2,,brb_{1}, b_{2}, \cdots, b_{r}f(x)f(x)FF 上所有不同的根,
     令 g(x)=(xb1)(xb2)(xbr) {\text { 令 } g(x)}=\left(x-b_{1}\right)\left(x-b_{2}\right) \cdots\left(x-b_{r}\right)
    因为 bib_{i}f(x)f(x) 的根, 由余数定理知 (xbi)f(x).\left(x-b_{i}\right) \mid f(x) .
    因为 bib_{i} 两两不同, 故 xbix-b_{i} 两两互素, 这样 g(x)f(x)g(x) \mid f(x).
    所以 r=degg(x)degf(x)=nr=\operatorname{deg} g(x) \leq \operatorname{deg} f(x)=n

    3\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理3} }} f(x),g(x)P[x],f(x), g(x) \in P[x],(f(x)),(g(x))n\partial(f(x)), \partial(g(x)) \leq n,若有 α1,α2,αn+1P,\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n+1} \in P, \quad 使
    f(αi)=g(αi),i=1,2,,n+1 f\left(\alpha_{i}\right)=g\left(\alpha_{i}\right), i=1,2, \cdots, n+1
    f(x)=g(x)f(x)=g(x)

    【证】:令 h(x)=f(x)g(x),h(x)=f(x)-g(x), 则有
    h(αi)=0,i=1,2,,n+1 h\left(\alpha_{i}\right)=0, \quad i=1,2, \cdots, n+1
    h(x)h(x)α1,α2,αn+1,n+1\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots \alpha_{n+1}, \quad n+1 个根,由定理2,若 h(x)0h(x) \neq 0 的话,则 (h(x))>n.\partial(h(x))>n .矛盾.所以, h(x)=0,h(x)=0, \quadf(x)=g(x).f(x)=g(x) .

    4\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理4} }}f(x),g(x)F[x],f(x), g(x) \in F[x],f(x)f(x)g(x)g(x) 作为多项式相等的充分必要条件是 f(x)f(x)g(x)g(x) 作为函数相等.

    例2

    tt 值,使 f(x)=x33x2+tx1f(x)=x^{3}-3 x^{2}+t x-1 有重根.

    \Large\color{violet}{解}

    f(x)f'(x) f(x)f(x)
    32x154\frac{3}{2}x-\frac{15}{4} 3x26x+t3x^{2}-6 x^{}+t x33x2+tx1x^{3}-3 x^{2}+t x-1 13x13\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}
    3x2+32x152x+t152x1543x^{2}+\frac{3}{2}x\\-----\\- \frac{15}{2}x+t \\- \frac{15}{2}x-\frac{15}{4} x32x2+13txx2+23tx1x2+2x13tx^{3}-2 x^{2}+\frac{1}{3}t x \\-------\\- x^{2}+\frac{2}{3}t x-1 \\- x^{2}+2x-\frac{1}{3}t
    t+154t+\frac{15}{4} r1(x)=(23t2)x(113t)t3,3t3r1(x)=2x+1r_1(x)=(\frac{2}{3}t-2)x-(1-\frac{1}{3}t)\\ t \neq3,\frac{3}{t-3}r_1(x)=2x+1

    i) 若 r1(x)=0,r_{1}(x)=0, \quadt=3,t=3, \quad
    (f(x),f(x))=13f(x)=(x1)2 \left(f(x), f^{\prime}(x)\right)=\frac{1}{3} f^{\prime}(x)=(x-1)^{2}
    此时, f(x)f(x) 有重根, x=1x=1f(x)f(x) 的三重根.

    ii) 若 r1(x)0,t+154=0,r_{1}(x) \neq 0, t+\frac{15}{4}=0, \quadt=154,t=-\frac{15}{4}, \quad
    (f(x),f(x))=x+12 \left(f(x), f^{\prime}(x)\right)=x+\frac{1}{2}
    此时, f(x)f(x) 有重根, x=12x=-\frac{1}{2}f(x)f(x) 的二重根.

    例3

    举例说明下面命题是不对的.
    "α" \alphaf(x)f^{\prime}(x)nn 重根 α\Rightarrow \alphaf(x)f(x)n+1n+1 重根"

    【解:】令 f(x)=13x3+x2+x5,f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+x^{2}+x-5, \quad
    f(x)=x2+2x+1=(x+1)2 f^{\prime}(x)=x^{2}+2 x+1=(x+1)^{2}
    x=1x=-1f(x)f^{\prime}(x) 的2重根,
    f(1)=13+1150\quad f(-1)=-\frac{1}{3}+1-1-5 \neq 0
    1\therefore-1 不是 f(x)f(x) 的根,从而不是 f(x)f(x) 的3重根.

    任一 P[x]P[x] 中的 nn 次多项式 (n0),(n \geq 0),PP 中的根
    不可能多于 n\boldsymbol{n} 个,重根按重数计算.

    例 4

    (x1)2Ax4+Bx2+1,(x-1)^{2} \mid A x^{4}+B x^{2}+1,A,BA, B.

    【解: 】(x1)2Ax4+Bx2+1\because(x-1)^{2} \mid A x^{4}+B x^{2}+1
    \therefore \quad 1为 f(x)=Ax4+Bx2+1f(x)=A x^{4}+B x^{2}+1 的重根
    从而,1为 f(x)f^{\prime}(x) 的根.
    于是有, {f(1)=A+B+1=0f(1)=4A+2B=0{A=1B=2\left\{\begin{array}{l}f(1)=A+B+1=0 \\ f^{\prime}(1)=4 A+2 B=0\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}A=1 \\ B=-2\end{array}\right.\right.

    例5

    f(x),p(x)F[x],f(x), p(x) \in F[x],p(x)p(x) 是不可约多项式.p(x),f(x)p(x), f(x)C\mathbb{C} 上有公共根 a,a,p(x)f(x).p(x) \mid f(x) .

    【证明 】因为 p(x)p(x) 是不可约多项式,所以或 (f(x),p(x))=1(f(x), p(x))=1p(x)f(x).p(x) \mid f(x) .
    假设 (p(x),f(x))=1,(p(x), f(x))=1, 则存在 u(x),v(x)F[x]u(x), v(x) \in F[x]使 u(x)f(x)+v(x)p(x)=1.u(x) f(x)+v(x) p(x)=1 . 此式在 C[x]\mathbb{C}[x] 上也成立.
    x=a,x=a,0=u(a)f(a)+v(a)p(a)=1,0=u(a) f(a)+v(a) p(a)=1, 矛盾.所以 p(x)f(x)p(x) \mid f(x)

    例 6

    f(x)=x3m+x3n+1+x3p+2,f(x)=x^{3 m}+x^{3 n+1}+x^{3 p+2}, 其中 m,n,pm, n, p 为自然数, 又g(x)=x2+x+1,g(x)=x^{2}+x+1, 求证: g(x)f(x).g(x) \mid f(x) .

    【证明】 g(x)=(xω1)(xω2)g(x)=\left(x-\omega_{1}\right)\left(x-\omega_{2}\right)
    其中 ω1=1+3i2,ω2=13i2\omega_{1}=\frac{-1+\sqrt{3} i}{2}, \omega_{2}=\frac{-1-\sqrt{3} i}{2}
    所以对于 j(j=1,2),j(j=1,2),ωj3=1,\omega_{j}^{3}=1, f(ωj)=ωj3m+ωj3n+1+ωj3p+2=1+ωj+ωj2=g(ωj)=0f\left(\omega_{j}\right)=\omega_{j}^{3 m}+\omega_{j}^{3 n+1}+\omega_{j}^{3 p+2}=1+\omega_{j}+\omega_{j}^{2}=g\left(\omega_{j}\right)=0
    所以 ωj\omega_{j}f(x)f(x) 的根, 即 (xωj)f(x).\left(x-\omega_{j}\right) \mid f(x) .
    因为 ((xω1),(xω2))=1,\left(\left(x-\omega_{1}\right),\left(x-\omega_{2}\right)\right)=1, 所以 g(x)f(x).g(x) \mid f(x) .

    参考资料

    高等代数 厦门大学

    高等代数,林亚南,高等教育出版社

    《高等代数》(第四版) 高等教育出版社

    高等代数 电子科技大学

    高等代数_安阳师范学院

    《高等代数》(第五版)

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  • 因式+多项式函数

    2019-09-18 20:42:36
    文章目录因式定义定理6推论 1推论 2推论 3小妙招:去除多项式中的因式定理7(余数定理)定理8定理9 因式定义 p(x)p(x)p(x)是不可约多项式 pk(x)∣f(x)p^k(x)|f(x)pk(x)∣f(x) pk+1∤f(x)p^{k+1}\nmid f(x)pk+...

    重因式定义

    • p(x)p(x)是不可约多项式
    • pk(x)f(x)p^k(x)|f(x)
    • pk+1f(x)p^{k+1}\nmid f(x)

    k=1pfk=1\Rightarrow p是f的单因式
    k>1pfkk>1\Rightarrow p是f的k重因式

    定理6

    • 若不可约多项式p(x)p(x)f(x)f(x)kk重 因式(k1k\ge1
    • 那它是微商f(x)f'(x)k1k-1重因式

    推论 1

    • 若不可约多项式p(x)p(x)f(x)f(x)kk重 因式(k1k\ge1
    • 那么pf,f,...,f(k1)p是f,f',...,f^{(k-1)}的因式,但不是f(k)f^{(k)}的因式

    推论 2

    • 不可约多项式p(x)p(x)f(x)f(x)的重因式\Leftrightarrow p(x)f(x)f(x)p(x)是f(x)和f'(x)的公因式

    推论 3

    • f(x)f(x)没有重因式的充要条件是(f,f)=1(f,f')=1

    小妙招:去除多项式中的重因式

    • 只要让f(x)(f(x),f(x))\frac{f(x)}{(f(x),f'(x))}
    • f(x)f(x)具有标准分解式f(x)=cp1τ1(x)p2τ2(x)...psτs(x)f(x)=cp_1^{\tau_1}(x)p_2^{\tau_2}(x)...p_s^{\tau_s}(x)
    • 那么fff与f'的最大公因式必须具有标准分解式p1τ11(x)p2τ21(x)...psτs1(x)p_1^{\tau_1-1}(x)p_2^{\tau_2-1}(x)...p_s^{\tau_s-1}(x)
    • 所以f(x)(f(x),f(x))=cp1(x)p2(x)...ps(x)\frac{f(x)}{(f(x),f'(x))}=cp_1(x)p_2(x)...p_s(x)

    定理7(余数定理)

    yong用一次多项式xαx-\alpha去除f(x)f(x)得到的余式rr是一个常数,且这个常数=f(α)f(\alpha)

    • 很好证的
    • f(x)=(xα)q(x)+cf(x)=(x-\alpha)q(x)+c
    • f(α)=cf(\alpha)=c
    • 可以用综合除法来求函数在某点的值,最后只要那个余数就得

    定理8

    P[x]P[x]中n次多项式(n0n\ge 0)在数域P中的根不可能多于n个,重根按重数算(就是r个重根算r个根)

    定理9

    • f(x),g(x)f(x),g(x)的次数都不超过n
    • 但它们对n+1个不同的数αi\alpha_i有相同的值,即f(αi)=g(αi)(i=1,...,n+1)f(\alpha_i)=g(\alpha_i)(i=1,...,n+1)
    • 于是有f(x)=g(x)f(x)=g(x)
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  • 文章目录多元多项式**n** 元多项式概念n元多项式n元多项式环nnn 元多项式的字典排列法有关性质齐次多项式nnn 元多项式函数对称多项式一元多项式根与系数的关系nnn 元对称多项式例1例2 \quad一 元多项式的判别式例3...

    多元多项式

    n 元多项式概念

    n元多项式

    P\boldsymbol{P} 为一个数域, x1,x2,,xn\boldsymbol{x}_{\mathbf{1}}, \boldsymbol{x}_{\mathbf{2}}, \cdots, \boldsymbol{x}_{n}n\boldsymbol{n} 个文字, 形式
    ax1k1x2k2xnkn,aP,kiZ+,i=1,2,,n a x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \cdots x_{n}^{k_{n}}, \quad a \in P, \quad k_{i} \in Z^{+}, i=1,2, \cdots, n
    称为数域 P\boldsymbol{P} 上的一个单项式;

    a0a \neq 0 时,称此单项式中各文字的指数之和k1+k2++kn\boldsymbol{k}_{\mathbf{1}}+\boldsymbol{k}_{2}+\cdots+\boldsymbol{k}_{n} 为这个单项式的次数 ;\boldsymbol{;}

    如果两单项式中相同文字的指数对应相等,则称它们为同类项;

    有限个单项式的和
    f(x1,x2,,xn)=k1k2knak1k2knx1k1x2k2xnkn f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{k_{1} k_{2} \cdots k_{n}} a_{{k_{1} k_{2} \cdots k_{n}} }x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \cdots x_{n}^{k_{n}}
    称为数域 P\boldsymbol{P} 上的一个 nn 元多项式。

    nn 元多项式中系数不为零的单项式的最高次数称为这个多项式的次数.

    n元多项式环

    数域 PP 上关于文字 x1,x2,,xnx_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} 的全体 nn 元多项式的集合称为数域 P\boldsymbol{P} 上的 nn 元多项式环,记作

    P[x1,x2,,xn] P\left[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right]

    nn 元多项式的字典排列法

    任取n元多项式
    f(x1,x2,,xn)=k1k2knak1k2knx1k1x2k2xnkn(1) f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{k_{1} k_{2} \cdots k_{n}} a_{k_{1} k_{2} \cdots k_{n}} x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \cdots x_{n}^{k_{n}}\tag{1}
    中的两个单项式
    ax1k1x2k2xnkn,bx1l1x2l2xnln \boldsymbol{a} \boldsymbol{x}_{1}^{k_{1}} \boldsymbol{x}_{2}^{k_{2}} \cdots \boldsymbol{x}_{n}^{k_{n}}, \quad \boldsymbol{b} \boldsymbol{x}_{1}^{l_{1}} \boldsymbol{x}_{2}^{l_{2}} \cdots \boldsymbol{x}_{n}^{l_{n}}
    若有某个 1in,1 \leq i \leq n, 使
    k1l1=k2l2==ki1li1=0,kili>0 k_{1}-l_{1}=k_{2}-l_{2}=\cdots=k_{i-1}-l_{i-1}=0, \quad k_{i}-l_{i}>0
    (此时也称数组 (k1,k2,,kn)\left(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}\right) 先于 (l1,l2,,ln),\left(l_{1}, l_{2}, \cdots, l_{n}\right), 记作
    (k1,k2,,kn)>(l1,l2,,ln) \left(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}\right)>\left(l_{1}, l_{2}, \cdots, l_{n}\right)
    则在多项式(1)中,把单项式 ax1k1x2k2xnkna x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \cdots x_{n}^{k_{n}} 写在bx1l1x2l2xnlnb x_{1}^{l_{1}} x_{2}^{l_{2}} \cdots x_{n}^{l_{n}} 的前面. 将n元多项式中各单项式按这种先后次序排列的方法称为字典排列法.

    当n=1时,字典排列法即为降幕排列法.

    按字典排列法写出的第一个系数不为零的单项式称为多项式的首项.

    \Large\color{violet}{注意:}
    多元多项式的首项未是最高次项.例如,
     f(x1,x2,x3)=2x1x22x32+x12x2+x13=x13+x12x2+2x1x22x32 \begin{array}{l} \text { } \begin{aligned} f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) &=2 x_{1} x_{2}^{2} x_{3}^{2}+x_{1}^{2} x_{2}+x_{1}^{3} \\ =& x_{1}^{3}+x_{1}^{2} x_{2}+2 x_{1} x_{2}^{2} x_{3}^{2} \end{aligned} \end{array}
    ff 的次数为5, 首项为 x13.x_{1}^{3} .

    有关性质

    \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理} }}f(x1,,xn)0,g(x1,,xn)0f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) \neq 0, \quad g\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) \neq 0 时,积 f(x1,,xn)g(x1,,xn)f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) g\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) 的首项等于 f(x1,,xn)f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)的首项与 g(x1,,xn)g\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) 的首项的积.

    1\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{推论1} }}fi(x1,,xn)0,i=1,2,,m,f_{i}\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) \neq \mathbf{0}, \quad i=1,2, \cdots, m, 则积f1f2fmf_{1} f_{2} \cdots f_{m} 的首项等于 f1,f2,,fmf_{1}, f_{2}, \cdots, f_{m} 的首项的积.

    2\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{推论2} }}f(x1,,xn)0,g(x1,,xn)0,f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) \neq 0, \quad g\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) \neq 0,f(x1,,xn)g(x1,,xn)0f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) g\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) \neq 0

    齐次多项式

    \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义} }}\quad 若多项式
    f(x1,x2,,xn)=k1,k2knak1,k2knx1k1x2k2xnkn f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{k_{1}, k_{2} \cdots k_{n}} a_{k_{1}, k_{2} \cdots k_{n}} x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \cdots x_{n}^{k_{n}}
    中每个单项式全是m次的,则称 f(x1,x2,,xn)f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)为m次齐次多项式.

    性质

    1. 两个齐次多项式的积仍然是齐次多项式;积的次数等于这两个齐次多项式的次数之和.

    2. 任一 m\boldsymbol{m} 次多项式 f(x1,,xn)\boldsymbol{f}\left(x_{\mathbf{1}}, \cdots, \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{n}}\right) 都可唯一地表成
      f(x1,,xn)=i=1mfi(x1,,xn) f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{m} f_{i}\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)
      其中 fi(x1,,xn)f_{i}\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)ii 次齐次多项式,称之为f(x1,,xn)f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)ii 次齐次成分.

    3. f(x1,,xn)=i=1mfi(x1,,xn)f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{m} f_{i}\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)
      g(x1,,xn)=i=1lgi(x1,,xn) g\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{l} g_{i}\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)
      则积 h(x1,,xn)=f(x1,,xn)g(x1,,xn)\quad h\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) g\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)kk 次齐次成分为
      hk(x1,,xn)=i+j=kfi(x1,,xn)gj(x1,,xn) h_{k}\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{i+j=k} f_{i}\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) g_{j}\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)
      特别地, hm+l(x1,,xn)=fm(x1,,xn)gl(x1,,xn)\boldsymbol{h}_{m+l}\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=f_{m}\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) g_{l}\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)

    4. 积的次数=因子的次数之和.

    nn 元多项式函数

    与一元多项式一样我们可以定义n元多项式函数、函数值等概念.

    对称多项式

    一元多项式根与系数的关系

    \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{韦达定理} }}
    f(x)=xn+a1xn1+a2xn2++anP[x](2) f(x)=x^{n}+a_{1} x^{n-1}+a_{2} x^{n-2}+\cdots+a_{n} \in P[x] \tag{2}

    f(x)f(x)PP 上有 nn 个根 α1,α2,,αn\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}
    f(x)=(xα1)(xα2)(xαn)(3) f(x)=\left(x-\alpha_{1}\right)\left(x-\alpha_{2}\right) \cdots\left(x-\alpha_{n}\right)\tag{3}
    把(3)展开,与(2)比较,即得根与系数的关系:
    {a1=α1+α2++αna2=α1α2+α1α3++αn1αn(1)iai=αk1αk2αki( 所有可能的 i 个不同的 akj 的积之和 )(1)nan=α1α2αn \left\{\begin{array}{l} -a_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n} \\ a_{2}=\alpha_{1} \alpha_{2}+\alpha_{1} \alpha_{3}+\cdots+\alpha_{n-1} \alpha_{n} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ (-1)^{i} a_{i}=\sum \alpha_{k_{1}} \alpha_{k_{2}} \cdots \alpha_{k_{i}} \quad\left(\text { 所有可能的 } i \text { 个不同的 } a_{k_{j}} \text { 的积之和 }\right) \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ (-1)^{n} a_{n}=\alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{n} \end{array}\right.
    特别地 ax2+bx+c=0(a0),x1,x2a x^{2}+b x+c=0 \quad(a \neq 0), x_{1}, x_{2} 为其根
    则有 x1+x2=ba,x1x2=ca\quad x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}, \quad x_{1} x_{2}=\frac{c}{a}

    nn 元对称多项式

    \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义} }}\quadf(x1,,xn)P[x1,x2,,xn]f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) \in P\left[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right],若对任意 i,j(1i,jn)i, \boldsymbol{j}(1 \leq i, j \leq n)
    f(x1,,xi,,xj,,xn)=f(x1,,xj,,xi,,xn) f\left(x_{1}, \cdots, x_{i}, \cdots, x_{j}, \cdots, x_{n}\right)=f\left(x_{1}, \cdots, x_{j}, \cdots, x_{i}, \cdots, x_{n}\right)
    则称该多项式为对称多项式.

    如, f(x1,x2,x3)=x13+x23+x33\quad f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}

    下列n个多项式
    {σ1=x1+x2++xnσ2=x1x2+x1x3++xn1xnσn=x1x2xn \left\{\begin{array}{ll} &\sigma_{1}=x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n} \\ &\sigma_{2}=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+\cdots+x_{n-1} x_{n} \\ &\sigma_{n}=x_{1} x_{2} \cdots x_{n} \end{array}\right.
    称为 nn 个未定元 x1,x2,,xnx_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} 的初等对称多项式.

    \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{性质 } }}

    1. 对称多项式的和、积仍是对称多项式;对称多项式的多项式仍为对称多项式. 即,若 f1,f2,,fmP[x1,x2,,xn]f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{m} \in P\left[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right] 为对称多项式,g(y1,y2,,ym)g\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{m}\right) 为任一多项式, \quad

    g(f1,f2,,fm)=h(x1,x2,,xn) g\left(f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{m}\right)=h\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)

    nn 元对称多项式.

    特别地,初等对称多项式的多项式仍为对称多项式.

    1. 对称多项式基本定理

    对任一对称多项式 f(x1,,xn),f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right), 都有 nn 元多项式φ(y1,y2,,yn),\varphi\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right), 使得
    f(x1,,xn)=φ(σ1,σ2,,σn) f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\varphi\left(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{n}\right)
    σ1,σ2,,σn\sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{n} 为初等对称多项式.

    【证明】: 设对称多项式 f(x1,,xn)f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) 按字典排列法的首项为 ax1l1x2l2xnln,a x_{1}^{l_{1}} x_{2}^{l_{2}} \cdots x_{n}^{l_{n}}, \quad 则必有
    l1l2ln0 l_{1} \geq l_{2} \geq \cdots \geq l_{n} \geq 0
    作对称多项式 φ1=aσ1l1l2σ2l2l3σnln\quad \varphi_{1}=a \sigma_{1}^{l_{1}-l_{2}} \sigma_{2}^{l_{2}-l_{3}} \cdots \sigma_{n}^{l_{n}}

    φ1\varphi_{1} 的首项为
    ax1l1l2(x1x2)l2l3(x1x2xn)ln=ax1l1x2l2xnln a x_{1}^{l_{1}-l_{2}}\left(x_{1} x_{2}\right)^{l_{2}-l_{3}} \cdots\left(x_{1} x_{2} \cdots x_{n}\right)^{l_{n}}=a x_{1}^{l_{1}} x_{2}^{l_{2}} \cdots x_{n}^{l_{n}}
    再作对称多项式
    f1=fφ1=f(x1,,xn)ax1l1x2l2xnln f_{1}=f-\varphi_{1}=f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)-a x_{1}^{l_{1}} x_{2}^{l_{2}} \cdots x_{n}^{l_{n}}-\cdots
    f1f_{1} 有比 ff 较“小”的首项.对 f1f_{1} 重复上述作法,并依此下去.即有一系列对称多项式
    f,f1=fφ1,f2=f1φ2, f, f_{1}=f-\varphi_{1}, f_{2}=f_{1}-\varphi_{2}, \quad \cdots \cdots
    它们的首项一个比一个“小”,所以必终此在有限步.故存在 hZ+h \in Z^{+} 使 fh=fh1φh=0f_{h}=f_{h-1}-\varphi_{h}=\mathbf{0}
    于是 f=φ1+φ2++φh\quad f=\varphi_{1}+\varphi_{2}+\cdots+\varphi_{h},这就是一个初等对称多项式的多项式.

    \Large\color{violet}{说明 }

    上述证明过程实际上是逐步消去首项.逐步消去首项法的一般步骤:

    第一步:找出对称多项式 ff 的首项 ax1l1x2l2xnln,a x_{1}^{l_{1}} x_{2}^{l_{2}} \cdots x_{n}^{l_{n}},确定它对应的指数组 (l1,l2,,ln),\left(l_{1}, l_{2}, \cdots, l_{n}\right), 则一定有
    l1l2ln l_{1} \geq l_{2} \geq \cdots \geq l_{n}
    第二步:由 ff 的首项写出 φ1\varphi_{1} :
    φ1=aσ1l1l2σ2l2l3σnln \varphi_{1}=a \sigma_{1}^{l_{1}-l_{2}} \sigma_{2}^{l_{2}-l_{3}} \cdots \sigma_{n}^{l_{n}}
    第三步: 作 f1=fφ1,f_{1}=f-\varphi_{1}, 并展开化简.再对 f1f_{1} 按一、二、三步骤进行,构造 f2f_{2} :
    f2=f1φ2 \begin{array}{c} f_{2}=f_{1}-\varphi_{2} \\ \vdots \end{array}
    如此反复进行,直到出现 fh=fh1φh=0,f_{h}=f_{h-1}-\varphi_{h}=0,
    f=φ1+φ2++φh f=\varphi_{1}+\varphi_{2}+\cdots+\varphi_{h}

    例1

    把多项式 f\boldsymbol{f} 表成初等对称多项式的多项式,
    f=x13+x23+x33 f=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}
    解: ff 的首项是 x13,x_{1}^{3}, 它所对应的数组是 (3,0,0),(3,0,0),
     令 φ1=σ130σ200σ30=σ13 \text { 令 } \quad \varphi_{1}=\sigma_{1}^{3-0} \sigma_{2}^{0-0} \sigma_{3}^{0}=\sigma_{1}^{3}
    作对称多项式 f1f_{1} :
    f1=fφ1=x13+x23+x33σ13=3(x12x2+x22x1+x12x3+x32x1+x22x3+x32x2)6x1x2x3 \begin{array}{l} f_{1}=f-\varphi_{1}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}-\sigma_{1}^{3} \\ =-3\left(x_{1}^{2} x_{2}+x_{2}^{2} x_{1}+x_{1}^{2} x_{3}+x_{3}^{2} x_{1}+x_{2}^{2} x_{3}+x_{3}^{2} x_{2}\right)-6 x_{1} x_{2} x_{3} \end{array}
    f1f_{1} 的首项是 3x12x2,-3 x_{1}^{2} x_{2}, 它所对应的指数组是 (2,1,0),(2,1,0),
     φ2=3σ121σ210σ30=3σ1σ2=3(x1+x2+x3)(x1x2+x1x3+x2x3)=3(x12x2+x22x1+x12x3+x32x1+x22x3+x32x2)9x1x2x3 \begin{array}{l} \text { } \begin{aligned} \varphi_{2} &=-3 \sigma_{1}^{2-1} \sigma_{2}^{1-0} \sigma_{3}^{0}=-3 \sigma_{1} \sigma_{2} \\ &=-3\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}\right) \\ =&-3\left(x_{1}^{2} x_{2}+x_{2}^{2} x_{1}+x_{1}^{2} x_{3}+x_{3}^{2} x_{1}+x_{2}^{2} x_{3}+x_{3}^{2} x_{2}\right)-9 x_{1} x_{2} x_{3} \end{aligned} \end{array}
    作对称多项式 f2=f1φ2=3x1x2x3