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  • 结论1对n个节点电路有且仅(n-1)独立KCL方程 结论2任取(n-1)个节点列写的KCL方程相互独立常将能列出独立KCL方程的节点称为独立节点; 列出网孔KVL方程为(支路电压与回路方向一致取+支路电压与回路方向相反取-;...
  • 结论对n个节点电路有有且仅有n个独立KCL方程.ppt
  • 电路节点与电位是什么关系 在复杂电路中总会有n节点,取其中一个节点作为参考点,其他各节点与该参考节点之间的电压就称为该节点节点电位。所以在有n节点电路中,一定n-1)个节点电位是未知的。 节点...
  • 注册x本帖最后由 以升作喆 于 2019-1-25 12:33 编辑关于节点分压这部分知识点,相信大家不论在实地还是远程都多少了解到一些,虽然可以用迅维开发制作的“电子电路计算器”方便快捷地计算出节点电压,但对于一些勤学...

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    本帖最后由 以升作喆 于 2019-1-25 12:33 编辑

    关于节点分压这部分知识点,相信大家不论在实地还是远程都多少了解到一些,虽然可以用迅维开发制作的“电子电路计算器”方便快捷地计算出节点电压,但对于一些勤学好问的同学不仅要知其然,还要知其所以然,至少我就是这样的。今天有幸与大家一起交流探讨节点分压的原理,如有错漏或不妥之处,恳切希望得到专家们和广大读者的批评指正。

    先看一张图:

    电路图.png (69.79 KB, 下载次数: 13)

    2019-1-25 12:08 上传上图的工作原理这里就不再赘述,但箭头所指向的节点电压却是今天讨论的重点,此点电压不同于一般的串联和并联,从电阻的结构上来讲,它既有并联又有串联,从电压源头上来讲,它有双路或者多路供电,而不是单一的供电端。为方便观看及理解,将以上电路简化后变形如下:

    QQ截图20190124142859.png (27.76 KB, 下载次数: 15)

    2019-1-25 12:09 上传

    在分析此点电压之前,必须先了解一个定律,那就是基尔霍夫定律。基尔霍夫定律是德国物理学家基尔霍夫提出的,基尔霍夫定律是电路理论中最基本也是最重要的定律之一,它概括了电路中电流和电压分别遵循的基本规律。

    d5ead66619876a0d69d26507ff9b1769.png (48.12 KB, 下载次数: 12)

    2019-1-25 12:10 上传

    一、基尔霍夫第一定律:又称基尔霍夫电流定律,简记为KCL。是确定电路中任意节点处各支路电流之间关系的定律,因此又称为节点电流定律。定律表明:所有进入某节点的电流的总和等于所有离开这节点的电流的总和。

    那何为节点呢?三条或三条以上支路汇合的点称为节点。很明显,在上图中,A点和B点就是由三条支路汇合的点,所以它们就是节点。

    那如何理解“所有进入某节点的电流的总和等于所有离开这节点的电流的总和”这句话呢?看下图:

    河流.jpg (358.86 KB, 下载次数: 15)

    2019-1-25 12:32 上传

    图片中的两条河道汇合在一起形成一条主干道,所以从汇合点处流入的水流总和一定是等于该汇合点处流出的水流总和。

    明白了这一点后,上图中的电路就不难理解了。对具有n个节点的电路,独立的KCL方程数有n-1个。假设电阻R290所在支路的电流为I1,电阻R296所在支路的电流为I2,电阻R295所在支路的电流为I3,电路中有2个节点,则独立方程仅有1个,即:I1+I2=I3。

    QQ截图20190124162038.png (37.68 KB, 下载次数: 18)

    2019-1-25 12:13 上传

    二、基尔霍夫第二定律:又称基尔霍夫电压定律,简记为KVL。是确定电路中任意回路内各电压之间关系的定律,因此又称为回路电压定律。定律表明:沿着闭合回路所有元件两端电压的代数和等于零。

    那何为回路呢?从某一节点出发,连续地沿着支路循行(途经的每个节点都只经过一次)回到原节点,所形成的闭合路径,称为回路。在上图中,共有三条回路,标注(蓝色)如下:

    QQ截图20190124205311.png (29.29 KB, 下载次数: 10)

    2019-1-25 12:14 上传

    QQ截图20190124205458.png (29.15 KB, 下载次数: 19)

    2019-1-25 12:14 上传

    QQ截图20190124205601.png (29.3 KB, 下载次数: 15)

    2019-1-25 12:14 上传

    那如何理解“沿着闭合回路所有元件两端电压的代数和等于零”这句话呢?我们就用第一张图的回路举例说明。

    QQ截图20190124213001.png (27.63 KB, 下载次数: 17)

    2019-1-25 12:15 上传

    我们先设定这条支路的电流方向和回路绕行方向。电流方向图中已用箭头标出,回路绕行方向假设跟它一致,则有KVL方程UR290+UR295-3.3V=0。

    有人会问,为何是减3.3V,而不是加3.3V?那是因为在列写KVL方程时,虽然回路的绕行方向是可以任意选定,但是当支路中元件的电压降方向与绕行方向一致时,方程中该元件的电压为正,反之为负。

    很明显,上图中R290与R295的电压降方向与绕行方向一致,所以电压为正,而3.3V电源的电压降方向与绕行方向不一致,所以电压为负。

    好,根据第一张图的回路已列出了第一个KVL方程,相信大家根据后两张图的回路可以很快地列出第二个和第三个KVL方程。这里,我把三个方程排列如下

    UR290+UR295-3.3V=0         ①

    UR296+UR295-5.0V=0         ②

    UR290-UR296+5.0V-3.3V=0     ③

    上面三个方程式中,只有两个是独立的,因为它们中的任意两个方程式相加或是相减,均可得出第三个方程式。所以在一般情况下,基尔霍夫第二定律能够提供的独立回路方程数L等于电路支路数m与独立节点数(n-1)的差,即L=m-(n-1)。本例中共有3条支路,2个节点,所以独立回路方程数为2个。

    至此,一个独立电流方程和两个独立回路方程已经够成了一个三元一次方程组,现转换变形如下:

    截图201901251225096790.png (2.24 KB, 下载次数: 17)

    2019-1-25 12:25 上传

    求得I1=16.3uA,I2=27.6uA,I3=43.9uA,故R295两端的电压,即B点电压UR295=43.9uA×49.9Ω=2.19V。

    QQ截图20190125102403.png (22.51 KB, 下载次数: 14)

    2019-1-25 12:29 上传

    综上所述,节点电压的计算分为以下几个步骤:

    1、简化电路;

    2、设定各支路电流方向及各回路绕行方向;

    3、根据节点电流定律列出(n-1)个电流方程,n为节点数;

    4、根据回路电压定律列出(m-n+1)个独立回路电压方程,m为支路数;

    5、求解方程并通过“节点分压计算器”检验。

    展开全文
  • 前两篇博文我们从纯理论角度给出了下三角矩阵的求解,并对一个对角线非零的方阵进行LU分解,得到上三角矩阵U与下...在这篇博文里,我们将给出一个具体的实例:利用LU分解对一个仅包含纯电路与电流源的电路进行计算。

    前两篇博文我们从纯理论角度给出了下三角矩阵的求解,并对一个对角线非零的方阵进行LU分解,得到上三角矩阵U与下三角矩阵L。我们从数学角度推导了LU分解的可行性,但没有给出具体的实现程序。在这篇博文里,我们将给出一个具体的实例:利用LU分解对一个仅包含纯电路与电流源的电路进行计算。


    1.回顾

    开篇我们回顾一下LU分解的实现
    对于线性方程

    Ax=b
    如果我们矩阵 A 进行 LU 分解,即
    A=LU
    我们可以得到
    LUx=b
    再令 Ux=y ,我们有
    Ly=b
    现在我们矩阵转化为两个三角系统的求解,第一步先求解 Ly=b 得到向量 y ,继而第二步求解 Ux=y 可以得到梦寐以求的 x ,由于这两步都是对三角系统进行求解,故可以在 Θ(n2) 时间内完成,而对A进行LU分解会在 Θ(n3) 时间内完成,比起高斯消元法,LU分解利用三角系统求解降低了时间复杂度。实际上,利用LU分解的可并行性,我们能够在FPGA或GPU或多处理器计算机上面高效率完成,更大缩短运算时间。
    以上是对LU分解的简单回顾。

    2.从电路到矩阵

    对一个直流电路进行求解,我们需要将电路参数转化为一组线性方程,这组线性方程包含了我们求解电路各要素的必备条件。一般而言,为了对电路进行求解,我们可以从基本定律出发(欧姆定律、基尔霍夫定律)或利用更高级的分析技巧(节点分析法、网孔分析法),这里我们选择从后者出发。由于网孔分析法仅适用于平面电路,我们选择更具有普适性的节点分析法。
    节点分析法要求我们利用电路中相关参数,联立线性方程组求出各节点电压,这个过程大致包含以下步骤:


    1.选择一个参考节点:这节点电压为零,即接地;
    2.对剩余(n1)个非参考节点,利用KCL(基尔霍夫电流定律),节点电流方程
    3.联立方程,求解电压


    实际上,得到每一个节点的方程是较为困难的,为了简化问题的规模,在这片博文里我们仅考虑问题的一个特殊情况:一个仅包含电流源的电阻网络

    我们从一个较为简单的电路开始研究
    一个灰常简单的电路
    (这个电路很简单吧^_^只有三个电阻两个电流源哦)
    在这附图中,我们有3个节点,其中一个节点(节点0)设置为参考节点接地。我们尝试利用节点电压法来对其进行分析:
    对于节点1,我们利用KCL可以得到

    I1=I12+I10+I2

    对于节点2,我们利用KCL可以得到

    I2+I12=I20

    这里小箭头表示电流的流向,利用欧姆定律,将节点电压带入可以得到

    {v1(1R3+1R1)v2.1R1=I1I2v11R1+v2(1R2+1R1)=I2

    这里出现了电阻分之一,看起来很不舒服,故全部换为电导代替之

    {v1(G3+G1)v2.G1=I1I2v1G1+v2(G2+G1)=I2

    此一换顺心舒畅,一来看起来非常简洁,二来电阻并联的电导只需计算电导之和,此处妙不可言。

    对于上式,我们将其写作矩阵形式

    [G3+G1G1G1G2+G1][v1v2]=[I1I2I2]

    这样,我们便完成了电路到矩阵的转化,但这仅仅是一个简单的小电路,对于包含几十个电阻电流源的电路我们如何处理?
    我们观察上面的电导矩阵,我们试着从形式上来欣赏这个矩阵:

    对角线上的项为电导之和,非对角线的项为电导的负数。回到电路图中一看,这些电导之和恰恰是节点连接的电导之和,复数的那个电导又是两个节点之间的电导

    我们大胆断言

    电导矩阵中的对角线项为节点相连的电导之和,非对角线项等于两个节点之间电导的相反数
    观察电流向量,我们又可以得到
    电流项为独立电流源流入节点与流出节点电流代数和,其中流入节点电路符号为正,流出节点符号为负

    (Q:如何证明断言成立?)

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  • 解决问题 1 为什么GND要和强电短接?...a被测电流信号:电流从L流经继电器,流入负载,然后经过1mR采样电阻,再回到N,形成一个完整的电流回路。采样电阻两端的差分电压送入计量芯片HLW8110进行电流信

    解决问题
    1 为什么GND要和强电短接?
    2 需要隔离,应该如何进行电路设计?
    3 为什么建议用N做GND?

    信号采样的基本原则
    信号采样的基本原则:被测信号的基准参考和测量芯片的基准参考需要在同一个参考点上,才能进行有效的测量。
    如何设计可以保证在同一个参考点?把两个基准参考点短接起来。

    采样电阻的设计电路
    1下图是被测信号以N为参考点的设计
    在这里插入图片描述

    a被测电流信号:电流从L流经继电器,流入负载,然后经过1mR采样电阻,再回到N,形成一个完整的电流回路。采样电阻两端的差分电压送入计量芯片HLW8110进行电流信号的采样。
    b被测电压信号:L线电压通过5个200K电阻和1个1K的电阻进行分压,分压电路是从L到N的一个分压电路,然后将220V左右的交流电压,降压至220mV左右送入计量芯片,进行电压信号的采样。
    c计量芯片的基准参考电压信号:计量芯片的供电电压VDD和GND,内部的VREF电源电路是以GND为基准的一个参考基准电源,被测的交直流信号是以GND为基准,VREF为参考电平进行的信号的测量。
    上图的采样电路符合基本原则吗?
    符合,被测信号的基准N和计量芯片供电电源的基准GND,是短接在一起的。
    2下图是被测信号以L为参考点的设计
    在这里插入图片描述

    a被测电流信号:电流从N流经继电器,流入负载,然后经过1mR采样电阻,再回到L,形成一个完整的电流回路。采样电阻两端的差分电压送入计量芯片HLW8110进行电流信号的采样。
    b被测电压信号:N线电压通过5个200K电阻和1个1K的电阻进行分压,分压电路是从N到L的一个分压电路,然后将220V左右的交流电压,降压至220mV左右送入计量芯片,进行电压信号的采样。
    c计量芯片的基准参考电压信号:计量芯片的供电电压VDD和GND,内部的VREF电源电路是以GND为基准的一个参考基准电源,被测的交直流信号是以GND为基准,VREF为参考电平进行的信号的测量。
    上图的采样电路符合基本原则吗?
    符合,被测信号的基准L和计量芯片供电电源的基准GND,是短接在一起的。

    互感器的设计电路
    下图是互感器采样的设计电路
    在这里插入图片描述

    从上图可以看出,变比过来的信号,都以GND为参考点,所以被测信号的GND和供电电源的GND是在同一个参考点。
    上图的采样电路符合基本原则吗?
    符合,被测信号的基准GND和计量芯片供电电源的基准GND,是短接在一起的。

    计量电路需要隔离,应该如何设计
    因为互感器把交流信号己经隔离了,所以变比出来的信号己经是隔离后的信号,所以不需要进行隔离的处理。
    电阻采样电路,因为被采样的信号是交流强电信号,所以系统是带有强电的,如果不进行隔离,就比较危险,一是产品外壳具有隔离强电的能力,另一个是系统内部有外部接口,必须要将强电从内部电源系统上进行隔离。
    电阻采样电路隔离方案如下:
    在这里插入图片描述

    从上图可以看出,增加了光藕和一组电源,将强电部分(交流信号和计量芯芯片HLW8110)的信号都隔离在左侧电路,右侧电路由隔离电源VDD进行供电,从而将强电隔离开。
    

    为什么建议采用N做GND?
    为什么建议N做GND,那我们需要了解L、N和大地(保护地)之关的关系,当我们用万用表测试L对保护地的电压时,显示的是220V;用万用表测试N和保护地之间的电压时,万用表显示的只有几V。在系统设计的时候,N的节点远远多于L的节点,所以在N节点在PCB上点有的面积是要超过L的,强电压的面积大,危险系数也相对大一些,所以才建议尽量采用N线做GND。

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  • 上一篇博客中我们回顾了LU分解,分析了一个简单的电路并观察到 电导矩阵中的对角线项为节点相连的电导之和,非对角线项等于两个节点之间电导的相反数 与 电流项为独立电流源流入节点与流出节点电流代数和,其中...

    上一篇博客中我们回顾了LU分解,分析了一个简单的电路并观察到

    电导矩阵中的对角线项为节点相连的电导之和,非对角线项等于两个节点之间电导的相反数

    电流项为独立电流源流入节点与流出节点电流代数和,其中流入节点电路符号为正,流出节点符号为负
    我们断言其成立,事实上对于所有仅包含电流源的电阻网络,其总是成立。无论用什么样的分析方法,设出节点电压联立方程,写为矩阵形式后都符合上述规律,由此我们获得由一般电路转化为矩阵形式的关键。其实利用上述规律,我们可以直接写出电路的方程,省去大量分析时间。

    3.从电路图到电路的描述

    上面我们获得了将电路转化为矩阵方程的方法,而这个过程是我们利用明亮的大眼睛 观察文中给出的图片得到的,而计算机似乎很难办到(图像中的信息提取将在以后的博文中讨论,这大大超出了这篇博文的研究范围),因此我们需要一个能准确描述电路连接方式一段文字(显然最容易想到的是自然语言哦,这个也超出了博文的范围),常用描述电路连接方式的一种语言是SPICE语言,他在各种仿真软件中都可以见到,我们熟知的Pspice就是其一,Pspice利用图形交互界面完成绘制后,会将网络转化为一份SPICE清单,这里面包含了电路的器件,连接,激励源等等。
    这里我们仿照SPICE语言完成对电路的简洁描述,为了减低难度,我们对正统的SPICE语言进行大开刀,定义相对简洁的语法。由于电路中的元件只有两个(电阻,电流源),我们简洁用下列方式表示


    电阻:R <连接节点A> <连接节点B> <电阻值>
    电流:I <连接节点A> <连接节点B> <电流值>

    需要注意的是,电流源是一个有向器件,他的电流方向是从节点A到节点B
    我们尝试用这种方法对下列电路进行描述
    这里写图片描述

    这幅电路还是有点复杂的,它包含了5个电阻3个电流源,图中我们对节点进行了命名,以下是他的描述代码

    IDC1 3 2 3
    IDC2 0 2 2
    IDC3 0 4 2
    R1 0 1 20
    R2 1 2 5
    R3 1 3 1
    R4 3 4 4 
    R5 4 0 1

    这里器件名字只做标识,可有可无。节点为方便起见用数字命名,注意连续。
    有了描述代码我们就可以利用它来分析我们的电路。我们可以利用语法分析树的方式来对其进行语法分析,但是写起来还是有点难度的,这里我们使用一个简单粗暴的方式来解析这段描述代码,以下给出代码

        while (!input.eof())
        {
            input >> c;
            switch (c)
            {
            case 'R':
            {
                        while (c != ' '&&!input.eof())
                        {
                            input >> c;
                        }
                        input >> c;
                        while (c != ' '&&!input.eof())
                        {
                            Var[i] = c;
                            i++;
                            input >> c;
                        }
                        x = SumUp(i);
                        if (x > SumNode) SumNode = x;
                        i = 0;
                        input >> c;
                        while (c != ' '&&!input.eof())
                        {
                            Var[i] = c;
                            i++;
                            input >> c;
                        }
                        y = SumUp(i);
                        if (y > SumNode) SumNode = y;
                        i = 0;
                        input >> c;
                        while (c != '\n'&&!input.eof())
                        {
                            Var[i] = c;
                            i++;
                            input >> c;
    
                        }
                        res = SumUp(i);
                        i = 0;
                        ConMat[x][y] += 1.0/res ;
                        ConMat[y][x] += 1.0 / res;
                        x = 0; y = 0; res = 0;
                        break;
            }
            case 'I':
            {
                        SumIdc++;
                        while (c != ' '&&!input.eof())
                            input >> c;
                        input >> c;
                        while (c != ' '&&!input.eof())
                        {
                            Var[i] = c;
                            i++;
                            input >> c;
    
                        }
                        x = SumUp(i);
                        i = 0;
    
                        input >> c;
                        while (c != ' '&&!input.eof())
                        {
                            Var[i] = c;
                            i++;
                            input >> c;
                        }
                        y = SumUp(i);
                        i = 0;
    
                        input >> c;
                        while (c != '\n'&&!input.eof())
                        {
                            Var[i] = c;
                            i++;
                            input >> c;
    
                        }
                        idc = SumUp(i);
                        i = 0;
    
                        IdcMat[x][y] += idc;
                        x = 0; y = 0; idc = 0;
                        break;
            }
            default:break;
            }
        }
    }

    这里连用了几个while,虽说冗长不太美观,功能是没问题的。程序逐个字符读取,空格作为分割,换行作为结束,一行三个参数一次读取完全。实际上如果有多个器件我们还是可以利用状态机优化一下的,这里只有两个器件也不弄那么复杂啦。

    4.电导与电流的存储

    上面代码中我们可以看到把电导和电流分别存放在数组ConMat[][]和IdcMat[][]中,关于电导和电流的存放方式,还是来写一下。
    首先来说说电导。由于电阻是个无极性元件,正着接反着解电导不会改变,这种情况下我们其实可以使用“无向图”来表示,最简单的方法就是使用一个二维数组,存储如下:



    可以看到,这个数组式沿对角线对称的,这个就是无向图的一个特点。我们需要求某一结点所连接的电导,只需要在图中把该节点那一列(或行)数字全部相加即可
    例如,求解节点3连接的电导之和,只需要把第4列(或行)相加

    0.25+0.125+0.125=0.5

    如果想要求解节点2与节点3之间连接的电导,只需要找到第3行第4列那个格子就可以了,为 0.125
    实际上,这里的无穷大完全可以使用0代替,本身作用不大,由于节点0式参考节点,在方程中不会出现。
    按照前文给出的规则,这个电导数组表示的矩阵可以写成
    Gij=[0.30.2000.21.3250.123100.1250.50.125010.1251.625]

    需要注意的是,有几个非参考节点,对应的就有几个方程组。

    对于电流,我们使用有向图来存储,有向图与无向图直观的区别就是对角线是否对称。存储的方式同电导一致,这里不再赘述,我们同样可以利用上述规则产生需要的电流向量。
    在实际代码中,只需要互换脚标即可产生无向图

    //这是无向图,交换脚标
    ConMat[x][y] += 1.0 / res ;
    ConMat[y][x] += 1.0 / res;
    //这是无向图,不需要交换脚标
    IdcMat[x][y] += idc;

    产生电导矩阵的代码如下

    void Get_MatG()
    {
        int i, j;
        double sum = 0.00;
        for (i = 0; i <= SumNode; i++)
            for (j = 0; j <= SumNode; j++)
            {   
                sum += ConMat[i + 1][j];
                if (i != j)
                {
                    MatG[i][j] = -ConMat[i + 1][j + 1];
                    MatG[j][i] = -ConMat[i + 1][j + 1];
                }
            }
            MatG[i][i] = sum;
            sum = 0;
        }

    电流向量产生代码如下

    void Get_MatI()
    {
        double sum_in = 0.0, sum_out = 0.0;
        int i, j;
        for (i = 0; i <= SumNode; i++)
        {
            for (j = 0; j <= SumNode; j++)
            {
                sum_out += IdcMat[i][j];
                sum_in += IdcMat[j][i];
            }
    
            if (i>0)
                MatI[i-1] = -sum_out + sum_in;
            sum_in = 0;
            sum_out = 0;
        }
    }

    完成了电导与电流矩阵的生成,我们可以来求解节点电压。

    5.节点电压的求解

    对于任意一个电路,我们输入了它的描述,就可以得到有关其节点的电导,电流矩阵,从而完成求解。
    利用LU分解,首先我们需要对电导矩阵进行LU分解,得到一个上三角矩阵U与下三角矩阵L,代码如下

    for (i = 0; i < SumNode - 1; i++)
        {
            for (j = i; j < SumNode - 1; j++)
                MatG[j + 1][i] /= MatG[i][i];
            for (j = i; j < SumNode - 1; j++)
            for (k = i; k < SumNode - 1; k++)
                MatG[j + 1][k + 1] -= MatG[i][k + 1] * MatG[j + 1][i];
        }

    接着求解下三角矩阵系统

        Maty[0] = MatI[0] / L[0][0];
        for (i = 1; i < SumNode; i++)
        {
        for (j = 0; j < i; j++)
            sum += L[i][j] * Maty[j];
        Maty[i] = (MatI[i] - sum) / L[i][i];
        sum = 0;
        }

    然后是上三角矩阵系统

    MatV[SumNode - 1] = Maty[SumNode - 1] / U[SumNode - 1][SumNode - 1];
        for (i = SumNode - 2; i >= 0; i--)
        {
            for (j = SumNode - 1; j >i; j--)
                sum += U[i][j] * MatV[j];
            MatV[i] = (Maty[i] - sum) / U[i][i];
            sum = 0;
        }
        sum = 0;

    数组MatV里面存储着就是求解出的各节点电流。
    在这里,我们对上面给出的电路描述进行求解:

    输入:input.txt
    IDC1 3 2 3
    IDC2 0 2 2
    IDC3 0 4 2
    R1 0 1 20
    R2 1 2 5
    R3 1 3 1
    R4 3 4 4 
    R5 4 0 1
    输出:
    NODE:4
    
    24.7826
    49.7826
    21.0217
    2.76087

    达到求解节点电压的目的。
    通过这个实例,我们对LU分解的正确性进行了验证,并在用于求解一类电路。我们注意到,电导矩阵对角线上的元素总是非零,这使得LU分解无需选择主元。对于对角线上存在0元素时我们更进一步需要使用LUP分解,其中P是一个置换矩阵。

    最后,我们可以通过这个实例进行许多拓展,例如包含电压源我们如何处理(利用超节点法求解),对于受控源我们又如何处理。这类问题在直流电路中颇为常见,也涵盖了直流电路大部分内容,同样在直流电路中更高级的求解技巧例如叠加定理同样可以用在其中。

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一个电路有n个节点