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  • 矩阵和向量相乘

    千次阅读 2018-11-20 15:29:00
    1.常见运算  转置(transpose)  是矩阵的重要操作之一。矩阵的转置是以对角线为轴的镜像,这条从左上角到右下角的对角线被称为主对角线(main diagonal)。... 标量可以看作是只有一个元素的矩阵。因...

    1.常见运算

      转置(transpose)

        是矩阵的重要操作之一。矩阵的转置是以对角线为轴的镜像,这条从左上角到右下角的对角线被称为主对角线(main diagonal)。

        我们将矩阵 A 的转置表示为 A ⊤ ,定义如下

            

        向量可以看作是只有一列的矩阵。对应地,向量的转置可以看作是只有一行的矩阵。

        标量可以看作是只有一个元素的矩阵。因此,标量的转置等于它本身,a = a ⊤ 。

      矩阵相加

        矩阵的形状一样。

        两个矩阵相加是指对应位置的元素相加,比如 C = A + B,其中 C i,j = A i,j + B i,j 。

      标量和矩阵相乘

        需将其与矩阵的每个元素相乘

        比如 D = a · B + c,其中 D i,j = a · B i,j + c

      矩阵和向量相加

        向量 b 和矩阵A 的每一行相加

        C = A + b,其中 C i,j = A i,j + b j

        这种隐式地复制向量 b 到很多位置的方式,被称为广播(broadcasting)

      矩阵乘法

        两个矩阵 A 和 B 的矩阵乘积(matrix product)是第三个矩阵 C。为了使乘法定义良好,矩阵 A 的列数必须和矩阵 B 的行数相等。

        如果矩阵 A 的形状是 m×n,矩阵 B 的形状是 n×p,那么矩阵C 的形状是 m×p。

        我们可以通过将两个或多个矩阵并列放置以书写矩阵乘法,例如

              C = AB

        具体地,该乘法操作定义为

            

      元素对应乘积(element-wise product)或者Hadamard 乘积(Hadamard product)

        两个矩阵中对应元素的乘积

        记为 AB

         矩阵 与  矩阵 的Hadamard积记为 。其元素定义为两个矩阵对应元素的乘积 的m×n矩阵 。

      两个相同维数的向量 x 和 y 的点积(dot product)可看作是矩阵乘积 xy

    2.基本性质

      分配律

        A(B + C) = AB + AC

      结合律

        A(BC) = (AB)C

      矩阵乘积并不满足交换律(AB = BA 的情况并非总是满足)

      两个向量的点积(dot product)满足交换律

        xy = yx

      矩阵乘积的转置

        (AB) ⊤ = BA ⊤ 

      线性方程组

        Ax = b

        其中 A ∈ R m×n 是一个已知矩阵,b ∈ R m 是一个已知向量,x ∈ R n 是一个我们要求解的未知向量。

        向量 x 的每一个元素 x i 都是未知的。矩阵 A 的每一行和 b 中对应的元素构成一个约束。

          A 1,: x = b 1 

          A 2,: x = b 2

            ···

          A m,: x = b m

        也可以写成

            

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/bigcome/p/9989232.html

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  • 列向量和行向量看待矩阵乘法

    万次阅读 多人点赞 2017-07-24 19:19:14
    前言: 主要是引入一个新的看待矩阵乘法的角度觉得这个挺重要的,故做记录列向量角度,矩阵左乘AB = C 结合上图,我们可以知道,结果矩阵C中的第 j 列完全可以表示为矩阵A中列向量的线性组合,具体怎样的线性组合...

    声明: 仅个人小记
    前言: 主要是引入一个新的看待矩阵乘法的角度觉得这个挺重要的,故做记录

    列向量角度,矩阵左乘

    AB = C
    结合上图,我们可以知道,结果矩阵C中的第 j 列完全可以表示为矩阵A中列向量的线性组合,具体怎样的线性组合完全是参看矩阵B相应的第 j 列,与矩阵B中的其他列无关

    换言之,左侧矩阵提供基本的列向量,右侧的矩阵交代怎样的线性组合。

    行向量角度,矩阵右乘

    AB = C
    结合上图,结果矩阵C中的第i行完全可以表达为矩阵B中的行向量的线性组合,具体如何进行线性组合,完全参看矩阵A中相应的第i行,与矩阵A中的其他行无关。
    右侧矩阵提供基本的行向量,左侧矩阵交代进行怎样的线性组合,结果矩阵便是线性组合的结果。

    根据上述讨论,解释两个定理

    1. 定理一
      矩阵方程AX = B 有解的充分必要条件是R(A) = R(A,B)

      上面的总结可以很好的解释下面这个定理,即

      R(A) : 矩阵A的秩
      (A,B) :即两个矩阵水平按左右放在一起构成一个新的矩阵C。

      由上面知道,B中的每一列都可以表达为A中的列向量进行线性组合,所以**(A,B)中的B部分是可以通过初等变换被左边的A**完全消化,即,B的引入并没有树立新的独立的维度。

    2. 定理二
      对于矩阵A,B , 有 R(AB) <= min{R(A),R(B)}
      AB 是矩阵A和矩阵B的乘积结果,记作C

      由上面的分析,可以知道,结果矩阵C中的所有向量都是可以表达为矩阵A的线性组合。我们可以进一步考虑C中能有多少个列向量呢?显然,结果矩阵C中的列向量的数目是由矩阵B的列数决定的。这里的讨论先暂停一下。

      我们来讨论一下矩阵的秩,

      • 矩阵的秩是可以看作是矩阵列(行)向量张成的空间的维度
      • 矩阵的秩 <= min{该矩阵行数,该矩阵列数}
      • 从N维度空间中任意选出一组向量,以这组向量为基向量重新构建的空间的维度一定不会超过N。
      • 从N维度空间中任意选出M个向量,以这组向量为基向量重新构建的空间的维度一定不会超过M。

      所以,由于结果矩阵C中的列向量都是选自由矩阵A列向量为基向量张成的空间。所以C中列向量张成的空间的维度一定不超过矩阵A的列向量张成的空间的维度,即矩阵A的秩。即得到 R(AB) = R© <= R(A)

      同样,我们再从行向量的角度看待AB。结果矩阵C中的行向量都是选自由矩阵B的行向量为基向量所张成的空间。所以结果矩阵C中行向量张成的空间的维度一定不超过矩阵B的行向量张成的空间的维度,即矩阵B的值。从而得到R(AB) = R© <= R(B)

      根据上述讨论,得到R(AB) <= {R(A),R(B)}

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  • 矩阵向量相乘

    千次阅读 2020-12-24 15:59:42
    两个矩阵相乘时,我们要求第一个矩阵数与第二个矩阵的行数相等。 向量:指n*1的矩阵矩阵向量相乘:首先要求矩阵数与向量的行数是相等的,然后用矩阵的第i行乘以向量,得到的结果作为最终结果的第i行。 ...

    两个矩阵相乘时,我们要求第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等。
    向量:指n*1的矩阵。
    矩阵与向量相乘:首先要求矩阵的列数与向量的行数是相等的,然后用矩阵的第i行乘以向量,得到的结果作为最终结果的第i行。
    在这里插入图片描述注:图片来源于吴恩达老师讲解的机器学习视频。

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  • 向量矩阵相乘

    千次阅读 2017-03-09 21:56:39
    向量乘以矩阵(无法运算),向量乘4*4矩阵 转换为4.1的矩阵(最后位用1补上)* 4*4时:矩阵A的等于矩阵B的行时两个矩阵可以相乘 。 运算结果:Cij=A 的i行与B的J列相乘。所以只能4*4矩阵乘以向量
    向量乘以矩阵(无法运算),向量乘4*4矩阵  转换为4.1的矩阵(最后一位用1补上)* 4*4时:矩阵A的列等于矩阵B的行时两个矩阵可以相乘 。  运算结果:Cij=A 的i行与B的J列相乘之和。所以只能4*4矩阵乘以向量。
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  • 使用numpy对列向量和行向量进行相乘

    千次阅读 2019-07-24 11:48:58
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  • spark矩阵向量-矩阵矩阵相乘

    千次阅读 2014-07-17 08:57:30
    即变成了矩阵和向量相乘,然后按照上述步骤计算即可。得到的结果是一个S的一个列。但是RDD提供了一个函数 cartesian可以为这种计算提供便利。 cartesian可以返回两个RDD的所有组合。并且保证秩序。因此可以很方便来...
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  • 本程序时利用mpi实现矩阵向量并行相乘。你需要安装mpich并配置好环境。编译:mpicc Mat_vect_mult.c -o Mat_vect_mult 运行:mpirun -np 5 ./Mat_vect_mult ;5为进程数,可以更换
  • 向量矩阵相乘

    万次阅读 2018-08-16 18:01:50
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    千次阅读 2019-01-11 21:31:00
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    千次阅读 2018-11-19 19:07:48
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空空如也

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一个矩阵和一个列向量相乘