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  • ![图片说明](https://img-ask.csdn.net/upload/201908/02/1564717498_840964.png)请问红线部分是什么运算原理呢。。学过线性代数依然看不懂这个计算方法
  • 矩阵内积运算

    万次阅读 多人点赞 2019-04-19 10:00:46
    设有矩阵A=[a1,a2 ; a3,a4] 和矩阵 B=[b1,b2 ; b3,b4] 那么矩阵A与B的内积为: ** 内积 = a1 x b1+a2 x b2+a3 x b3+a4 x b4 **

    设有矩阵A=[a1,a2 ; a3,a4] 和矩阵 B=[b1,b2 ; b3,b4] 那么矩阵A与B的内积为:

    **

    内积 = a1 x b1+a2 x b2+a3 x b3+a4 x b4

    **

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  • 数学中的内积和外

    2021-01-06 21:41:11
    注:有的同学觉得是,其实都没有错,到底是a的转置矩阵乘b,还是a乘b的转置取决于向量的矩阵表示方法,即一个n维向量,是用n*1的矩阵表示还是用1*n的矩阵表示。一般情况下,线性代数中,向量(vector)
  • 矩阵内积、外(克罗内克)和Hadamard

    万次阅读 多人点赞 2020-03-18 23:58:10
    一、矩阵内积:两个矩阵A、B对应分量乘积之和,结果为一个标量,记作<A,B>(与向量的内积/点/数量的定义相似)。 所以A、B的行数列数都应相同,且有结论<A,B>=tr(ATB)。 例如:,,则<A,B>=...

    一、矩阵的内积:两个矩阵A、B对应分量乘积之和,结果为一个标量,记作<A,B>(与向量的内积/点积/数量积的定义相似)。所以A、B的行数列数都应相同,且有结论<A,B>=tr(A^T* B)

                                例如:, ,则<A,B>=1*5+2*6+3*7+4*8=70.

     

    二、矩阵外积(或向量外积/叉积/向量积,外积是一种特殊的克罗内克积,克罗内克积是两个任意大小的矩阵间的运算,结果是一个矩阵,记作。克罗内克积是张量积的特殊形式。

    1.定义:如果A是一个m×n的矩阵,而B是一个p×q的矩阵,克罗内克积则是一个mp×nq的分块矩阵

                                                     

                 更具体地可表示为

                         

    2.例子:

                                          

                               

    三、矩阵的hadamard积哈达玛积(Hadamard product)是矩阵的一类运算,若A=(aij)和B=(bij)两个同阶矩阵,若cij=aij×bij,则称矩阵C=(cij)为A和B的哈达玛积,或称基本积。

    ,称m×n矩阵

                                                              

    为矩阵AB哈达玛(Hadamard),记作

     

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  • 矩阵内积

    万次阅读 多人点赞 2017-11-10 10:04:34
    一个行向量乘以一个列向量称作向量的内积,又叫作点,结果是一个数; 一个列向量乘以一个行向量称作向量的外,外是一种特殊的克罗内克,结果是一个矩阵, 假设和b分别是一个行向量和一个列向量,那么...

    一个行向量乘以一个列向量称作向量的内积,又叫作点积,结果是一个数;

    一个列向量乘以一个行向量称作向量的外积,外积是一种特殊的克罗内克积,结果是一个矩阵,

    假设和b分别是一个行向量和一个列向量,那么内积、外积分别记作,为了讨论方便,假设每个向量的长度为2。

    注意:外积在不同的地方定义方式不太一样,这里不详细讨论

    定义了内积和外积以后,我们讨论矩阵的乘法。矩阵是由向量组成的,因此对矩阵不同角度的抽象,将矩阵乘法转换为向量乘法,可以使我们从不同的角度去理解矩阵的乘法。首先我们可以对于一个矩阵A(假设行和列的大小都是2),我们可以即可以把它看作由两个行向量组成的列向量,

    ,又可以看作是由两个列向量组成的行量,我们表示列向量,表示行向量

     

    这样矩阵A和矩阵B的乘积按照不同的角度就可以组成四种理解方式。

    一、 A是由行向量组成的列向量,B是由列向量组成的行向量

                                  

    此时AB乘积变为了两个新的向量的外积形式,按照外积定义,我们有

    注意到这里面每一个都是一个向量,因此就是一个内积,计算结果就是AB矩阵第i行第j列中的元素。因此,我们可以看到,矩阵乘积是两个向量的外积,并且外积矩阵中的每一个元素是一个内积。这种方式是最直接的理解方式。

    二、 A是由列向量组成的行向量,B也是由列向量组成的行向量

    令C = AB, 我们考虑C的每一个列向量:

    同理:

    因此,矩阵C的每一个列向量,是A的列向量的一个线性组合,该线性组合中的系数是的各个元素。从这个角度说C的每一列都存在于A的列向量空间内。

    三、 A是由行向量组成的列向量,B也是由行向量组成的列向量


    类似于上面的情况,不过我们现在考虑C的每一个行向量:


    同理:


    因此,矩阵C的每一个行向量,是B的行向量的一个线性组合,该线性组合中的系数是的各个元素。从这个角度说C的每一个行向量都存在于B的行向量空间内。

    四、 A是由列向量组成的行向量,B也是由行向量组成的列向量


    此时AB乘积变为了两个新的向量的内积形式。按照内积定义我们有:


    注意到是一个外积形式,因为是一个列向量,是一个行向量,因此C是由各个外积矩阵相加得到的。

     

    根据以上分析,我们可以将第一种和第四种方式放到一起,第二种和第三种放到一起分别进行理解。第一种方式先将A抽象为列向量,将B抽象为行向量,从而将矩阵乘法变为了一种外积的形式,而外积矩阵中的每一个元素是一个行向量和一个列向量的内积。这种方式每次得到C的一个元素

    第四种理解方式先将A抽象为行向量,将B抽象为列向量,从而将矩阵乘法变为了一种内积形式,内积的各个组成部分又是一个外积。这种方式每次不是得到C的一个元素,而是将C看作是多个矩阵相加组成的,每次计算得到一个加数矩阵。

    第二种方式将矩阵A、B都抽象为行向量,行向量的每个组成是一个列向量,A乘以B的每一个列向量得到一个新的列向量,并且该列向量存在于A的列向量空间内,A乘以B相当于是对A进行了列变换。第三种方式则将A乘以B看作是对B进行了行变换。

    如果想对一个矩阵进行行变换,可以左乘一个矩阵;相应的如果想对矩阵进行列变换,可以右乘一个矩阵。这种思想被应用到高斯消元的过程中。

     

    最后我们总结一下矩阵C(C=AB)到底是什么,C是一个矩阵,是一个多面孔的矩阵。它既是列向量组成的行向量,每个列向量是A的列空间的线性组合,又是行向量组成的列向量,每个行向量是B的行空间的线性组合;它是一个内积,内积的每个成分是一个外积,同时它又是一个外积,外积矩阵的每一个元素是一个内积。

    向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组;


    向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量


    点乘公式


    对于向量a和向量b:


                                                               


    a和b的点积公式为:



    要求一维向量a和向量b的行列数相同。


    点乘几何意义


    点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:




    推导过程如下,首先看一下向量组成:





    定义向量:




    根据三角形余弦定理有:




    根据关系c=a-b(a、b、c均为向量)有:




    即:



    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:




    根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为:


         a·b>0    方向基本相同,夹角在0°到90°之间

         a·b=0    正交,相互垂直  

         a·b<0    方向基本相反,夹角在90°到180°之间 


    叉乘公式


    两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。


    对于向量a和向量b:




    a和b的叉乘公式为:




    其中:




    根据i、j、k间关系,有:




    叉乘几何意义


    在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。


    在3D图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示: 



    在二维空间中,叉乘还有另外一个几何意义就是:aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。




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  • 矩阵内积、外

    万次阅读 多人点赞 2019-08-07 22:11:24
    要求AAA的列等于BBB 的行的两个矩阵才可以做外,外乘法规则是:AAA 的行乘以BBB 的列,结果仍为矩阵。 例如: A=[a11a12a21a22]A=\begin{bmatrix} a_{11}&amp; a_{12} \\ a_{21} &amp; a_{22}...

    矩阵外积

    矩阵外积也就是矩阵的乘积, A B AB AB B A BA BA 结果不一定相乘,且前面可乘不代表后面可乘。
    要求 A A A的列等于 B B B 的行的两个矩阵才可以做外积,外积乘法规则是: A A A 的行乘以 B B B 的列,结果仍为矩阵。
    例如:
    A = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] A=\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} A=[a11a21a12a22] B = [ b 11 b 12 b 21 b 22 ] B=\begin{bmatrix} b_{11}& b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} B=[b11b21b12b22],则 A ⋅ B = [ a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22 ] A\cdot B=\begin{bmatrix} a_{11} b_{11}+a_{12}b_{21}& a_{11} b_{12}+a_{12} b_{22} \\a_{21} b_{11}+a_{22} b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22} b_{22} \end{bmatrix} AB=[a11b11+a12b21a21b11+a22b21a11b12+a12b22a21b12+a22b22]

    矩阵内积

    矩阵内积(花书中叫做元素对应乘积)是矩阵对应元素乘积之和,结果是一个值。因此要求两矩阵 A A A B B B 的必须是同型矩阵
    例如:
    A = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] A=\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} A=[a11a21a12a22] B = [ b 11 b 12 b 21 b 22 ] B=\begin{bmatrix} b_{11}& b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} B=[b11b21b12b22],则 A ⊙ B = a 11 × b 11 + a 12 × b 12 + a 21 × b 21 + a 22 × b 22 A\odot B=a_{11}\times b_{11}+a_{12}\times b_{12}+a_{21}\times b_{21}+a_{22}\times b_{22} AB=a11×b11+a12×b12+a21×b21+a22×b22

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    x=(cos x1 y=(-sinx1 sinx1) cosx1)[x,y]=cosx1*(-sinx1)+sinx1*cosx1
  • 矩阵乘法

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  • 矩阵乘法计算方法总结

    千次阅读 2015-08-03 09:48:24
    矩阵乘法计算方法总结
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    千次阅读 2019-01-06 02:53:20
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  • 协方差矩阵和散布矩阵(散度矩阵)的意义

    万次阅读 多人点赞 2017-03-31 19:27:42
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空空如也

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一个矩阵的内积计算方法