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  • 一个矩阵的行向量组线性无关 矩阵向量组线性无关 千次阅读
    2019-10-31 15:44:02

    如果向量组α，β，γ线性无关<=>矩阵A=(αT，βT，γT)满秩<=>|A|≠0

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  • 行向量组线性无关

     万次阅读 2016-10-22 18:57:15
    设A是4x5矩阵，且A的行向量组线性无关，则下列说法错误的是(C)A.ATX=0只有唯一零解A. A^TX = 0只有唯一零解 B.ATAX=0必有无穷多组解B. A^TAX=0必有无穷多组解 C.对任意的b,ATX=b有唯一解C. 对任意的b,A^TX = b有...

    关于行向量组线性无关，看一道习题。

    设A是4x5矩阵，且A的行向量组线性无关，则下列说法错误的是(C)

    A.ATX=0只有唯一零解
    B.ATAX=0必有无穷多组解
    C.对任意的b,ATX=b有唯一解
    D.对任意的b，AX=b有无穷多组解

    分析：A行向量组线性无关，则由 r(A)≤min(4,5),得到r(A)=4 。那么A的转置也是4，且 AT 列向量的个数是4，所以A项正确。

    B项只需要注意 r(ATA)=r(A)=4,ATA 列向量的个数是5，基础解系的向量有一个，所以有无穷多组解。

    对于C项，无法保证 r(AT)=r(AT|b) ，所以可能无解。

    D项是写这篇的原因，整理过一次，关于向量变高变胖的问题。通常考虑列向量的时候，原来无关，变高也无关，变胖时，原来相关，现在也相关。但是切换到行向量的视角时，需要注意这是躺着的向量，变高是左右增长，变胖是上下增长。这里在右边添加向量，属于变高，那么原来无关，现在也无关。 r(A)=r(A|b)=4 ,又因为列向量个数是5个，所以基础解系有一个自由向量，即：有无穷多个解。

    非齐次向量方程，紧紧抓住： r(A)=r(A|b) 的判定。

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  • 可由一个线性无关向量组线性表示的另一向量组的秩问题

     千次阅读 2020-06-12 18:52:13
    证明 原问题   向量组 [ β 1 β 2 ⋯ β s ] \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] [β1​​β2​​⋯​βs​​]可由线性无关的向量组 ...

    索引

    原问题

      向量组 [ β 1 β 2 ⋯ β s ] \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] [β1​​β2​​⋯​βs​​]可由线性无关的向量组 [ α 1 α 2 ⋯ α r ] \left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right] [α1​​α2​​⋯​αr​​]线性表示，即有 [ β 1 β 2 ⋯ β s ] = [ α 1 α 2 ⋯ α r ] B , \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right]B, [β1​​β2​​⋯​βs​​]=[α1​​α2​​⋯​αr​​]B,则
    r a n k { [ β 1 β 2 ⋯ β s ] } = r a n k ( B ) . rank\left\{ \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] \right\}=rank\left( B \right). rank{[β1​​β2​​⋯​βs​​]}=rank(B).

    证明

    1. 引理1：矩阵的初等行变换和初等列变换不改变原矩阵的秩。
    2. 定义1：对单位矩阵 I I I进行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵。
    3. 引理2：对矩阵进行一次初等行（列）变换相当于在原矩阵左（右）边乘一个相应的初等矩阵。
    4. 引理3：初等矩阵的逆还是初等矩阵。

      首先对矩阵 B B B进行拆解。 B B B是一个 r × s r\times s r×s的矩阵。令 t = r a n k ( B ) ≤ min ⁡ { r , s } t=rank\left( B \right)\le \min \left\{ r,s \right\} t=rank(B)≤min{r,s}，则 B B B一定可以由矩阵 [ I t × t O t × ( s − t ) O ( r − t ) × t O ( r − t ) × ( s − t ) ] \left[ \begin{matrix} {{I}_{t\times t}} & {{O}_{t\times \left( s-t \right)}} \\ {{O}_{\left( r-t \right)\times t}} & {{O}_{\left( r-t \right)\times \left( s-t \right)}} \\ \end{matrix} \right] [It×t​O(r−t)×t​​Ot×(s−t)​O(r−t)×(s−t)​​]经过有限的一系列初等行列变换得到，即存在初等矩阵 P 1 ( a ) ,   P 2 ( a ) , . . . , P m ( a ) ( a ) P_{1}^{\left( a \right)},\text{ }P_{2}^{\left( a \right)},...,P_{m\left( a \right)}^{\left( a \right)} P1(a)​, P2(a)​,...,Pm(a)(a)​和 P 1 ( b ) ,   P 2 ( b ) , . . . , P m ( b ) ( b ) P_{1}^{\left( b \right)},\text{ }P_{2}^{\left( b \right)},...,P_{m\left( b \right)}^{\left( b \right)} P1(b)​, P2(b)​,...,Pm(b)(b)​，使得
    B = ( ∑ i m ( a ) P i ( a ) ) [ I t × t O t × ( s − t ) O ( r − t ) × t O ( r − t ) × ( s − t ) ] ( ∑ i m ( b ) P i ( b ) ) . B=\left( \sum\limits_{i}^{m\left( a \right)}{P_{i}^{\left( a \right)}} \right)\left[ \begin{matrix} {{I}_{t\times t}} & {{O}_{t\times \left( s-t \right)}} \\ {{O}_{\left( r-t \right)\times t}} & {{O}_{\left( r-t \right)\times \left( s-t \right)}} \\ \end{matrix} \right]\left( \sum\limits_{i}^{m\left( b \right)}{P_{i}^{\left( b \right)}} \right). B=⎝⎛​i∑m(a)​Pi(a)​⎠⎞​[It×t​O(r−t)×t​​Ot×(s−t)​O(r−t)×(s−t)​​]⎝⎛​i∑m(b)​Pi(b)​⎠⎞​.
    所以我们得到
    [ β 1 β 2 ⋯ β s ] = [ α 1 α 2 ⋯ α r ] { ∑ i m ( a ) P i ( a ) [ I t × t O t × ( s − t ) O ( r − t ) × t O ( r − t ) × ( s − t ) ] ∑ i m ( b ) P i ( b ) } \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right]\left\{ \sum\limits_{i}^{m\left( a \right)}{P_{i}^{\left( a \right)}}\left[ \begin{matrix} {{I}_{t\times t}} & {{O}_{t\times \left( s-t \right)}} \\ {{O}_{\left( r-t \right)\times t}} & {{O}_{\left( r-t \right)\times \left( s-t \right)}} \\ \end{matrix} \right]\sum\limits_{i}^{m\left( b \right)}{P_{i}^{\left( b \right)}} \right\} [β1​​β2​​⋯​βs​​]=[α1​​α2​​⋯​αr​​]⎩⎨⎧​i∑m(a)​Pi(a)​[It×t​O(r−t)×t​​Ot×(s−t)​O(r−t)×(s−t)​​]i∑m(b)​Pi(b)​⎭⎬⎫​
    ⇒ [ β 1 β 2 ⋯ β s ] ⋅ ( ∑ i m ( b ) P i ( b ) ) − 1 = { [ α 1 α 2 ⋯ α r ] ⋅ ∑ i m ( a ) P i ( a ) } [ I t × t O t × ( s − t ) O ( r − t ) × t O ( r − t ) × ( s − t ) ] . \Rightarrow \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right]\centerdot {{\left( \sum\limits_{i}^{m\left( b \right)}{P_{i}^{\left( b \right)}} \right)}^{-1}}=\left\{ \left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right]\centerdot \sum\limits_{i}^{m\left( a \right)}{P_{i}^{\left( a \right)}} \right\}\left[ \begin{matrix} {{I}_{t\times t}} & {{O}_{t\times \left( s-t \right)}} \\ {{O}_{\left( r-t \right)\times t}} & {{O}_{\left( r-t \right)\times \left( s-t \right)}} \\ \end{matrix} \right]. ⇒[β1​​β2​​⋯​βs​​]⋅⎝⎛​i∑m(b)​Pi(b)​⎠⎞​−1=⎩⎨⎧​[α1​​α2​​⋯​αr​​]⋅i∑m(a)​Pi(a)​⎭⎬⎫​[It×t​O(r−t)×t​​Ot×(s−t)​O(r−t)×(s−t)​​].
    记
    [ β 1 ( 1 ) β 2 ( 1 ) ⋯ β s ( 1 ) ] = [ β 1 β 2 ⋯ β s ] ( ∑ i m ( b ) P i ( b ) ) − 1 , \left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right]=\left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right]{{\left( \sum\limits_{i}^{m\left( b \right)}{P_{i}^{\left( b \right)}} \right)}^{-1}}, [β1​(1)​β2​(1)​⋯​βs​​(1)]=[β1​​β2​​⋯​βs​​]⎝⎛​i∑m(b)​Pi(b)​⎠⎞​−1,
    [ α 1 ( 1 ) α 2 ( 1 ) ⋯ α r ( 1 ) ] = [ α 1 α 2 ⋯ α r ] ∑ i m ( a ) P i ( a ) , \left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\alpha }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\alpha }_{r}}^{\left( 1 \right)} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right]\sum\limits_{i}^{m\left( a \right)}{P_{i}^{\left( a \right)}}, [α1​(1)​α2​(1)​⋯​αr​(1)​]=[α1​​α2​​⋯​αr​​]i∑m(a)​Pi(a)​,
    则可简写成
    [ β 1 ( 1 ) β 2 ( 1 ) ⋯ β s ( 1 ) ] = [ α 1 ( 1 ) α 2 ( 1 ) ⋯ α r ( 1 ) ] [ I t × t O t × ( s − t ) O ( r − t ) × t O ( r − t ) × ( s − t ) ]   = [ α 1 ( 1 ) , α 2 ( 1 ) , . . . , α t ( 1 ) ]   ( t ≤ r ) \begin{aligned} & \left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right]=\left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\alpha }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\alpha }_{r}}^{\left( 1 \right)} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{I}_{t\times t}} & {{O}_{t\times \left( s-t \right)}} \\ {{O}_{\left( r-t \right)\times t}} & {{O}_{\left( r-t \right)\times \left( s-t \right)}} \\ \end{matrix} \right] \\ & \text{ }=\left[ \alpha _{1}^{\left( 1 \right)},\alpha _{2}^{\left( 1 \right)},...,\alpha _{t}^{\left( 1 \right)} \right]\text{ }\left( t\le r \right) \\ \end{aligned} ​[β1​(1)​β2​(1)​⋯​βs​​(1)]=[α1​(1)​α2​(1)​⋯​αr​(1)​][It×t​O(r−t)×t​​Ot×(s−t)​O(r−t)×(s−t)​​] =[α1(1)​,α2(1)​,...,αt(1)​] (t≤r)​

    下面分步骤进行分析。

    1. [ β 1 ( 1 ) β 2 ( 1 ) ⋯ β s ( 1 ) ] \left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right] [β1​(1)​β2​(1)​⋯​βs​​(1)]是由 [ β 1 β 2 ⋯ β s ] \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] [β1​​β2​​⋯​βs​​]右乘 ( ∑ i m ( b ) P i ( b ) ) − 1 {{\left( \sum\limits_{i}^{m\left( b \right)}{P_{i}^{\left( b \right)}} \right)}^{-1}} (i∑m(b)​Pi(b)​)−1得到，即右乘一系列初等矩阵 ( P m ( b ) ( b ) ) − 1 , ( P m ( b ) − 1 ( b ) ) − 1 , . . . , ( P 1 ( b ) ) − 1 {{\left( P_{m\left( b \right)}^{\left( b \right)} \right)}^{-1}},{{\left( P_{m\left( b \right)-1}^{\left( b \right)} \right)}^{-1}},...,{{\left( P_{1}^{\left( b \right)} \right)}^{-1}} (Pm(b)(b)​)−1,(Pm(b)−1(b)​)−1,...,(P1(b)​)−1得到，所以有
      r a n k { [ β 1 β 2 ⋯ β s ] } = r a n k { [ β 1 ( 1 ) β 2 ( 1 ) ⋯ β s ( 1 ) ] } rank\left\{ \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] \right\}=rank\left\{ \left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right] \right\} rank{[β1​​β2​​⋯​βs​​]}=rank{[β1​(1)​β2​(1)​⋯​βs​​(1)]}
    2. [ α 1 ( 1 ) α 2 ( 1 ) ⋯ α r ( 1 ) ] \left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\alpha }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\alpha }_{r}}^{\left( 1 \right)} \\ \end{matrix} \right] [α1​(1)​α2​(1)​⋯​αr​(1)​]是由 [ α 1 α 2 ⋯ α r ] \left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right] [α1​​α2​​⋯​αr​​]右乘一系列初等矩阵 ∑ i m ( a ) P i ( a ) \sum\limits_{i}^{m\left( a \right)}{P_{i}^{\left( a \right)}} i∑m(a)​Pi(a)​得到，有
      r a n k { [ α 1 ( 1 ) α 2 ( 1 ) ⋯ α r ( 1 ) ] } = r a n k { [ α 1 α 2 ⋯ α r ] } = r rank\left\{ \left[ {{\begin{matrix} {{\alpha }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\alpha }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right] \right\}=rank\left\{ \left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right] \right\}=r rank{[α1​(1)​α2​(1)​⋯​αr​​(1)]}=rank{[α1​​α2​​⋯​αr​​]}=r
    3. 在步骤2已经知道 [ α 1 ( 1 ) α 2 ( 1 ) ⋯ α r ( 1 ) ] \left[ {{\begin{matrix} {{\alpha }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\alpha }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right] [α1​(1)​α2​(1)​⋯​αr​​(1)]也是一个极大线性无关组的基础上，结合上面得到的 [ β 1 ( 1 ) β 2 ( 1 ) ⋯ β s ( 1 ) ] = [ α 1 ( 1 ) , α 2 ( 1 ) , . . . , α t ( 1 ) ] \left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right]=\left[ \alpha _{1}^{\left( 1 \right)},\alpha _{2}^{\left( 1 \right)},...,\alpha _{t}^{\left( 1 \right)} \right] [β1​(1)​β2​(1)​⋯​βs​​(1)]=[α1(1)​,α2(1)​,...,αt(1)​]和 t ≤ r t\le r t≤r的条件，显然有
      r a n k { [ β 1 ( 1 ) β 2 ( 1 ) ⋯ β s ( 1 ) ] } = r a n k { [ α 1 ( 1 ) , α 2 ( 1 ) , . . . , α t ( 1 ) ] } = t . rank\left\{ \left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right] \right\}=rank\left\{ \left[ \alpha _{1}^{\left( 1 \right)},\alpha _{2}^{\left( 1 \right)},...,\alpha _{t}^{\left( 1 \right)} \right] \right\}=t. rank{[β1​(1)​β2​(1)​⋯​βs​​(1)]}=rank{[α1(1)​,α2(1)​,...,αt(1)​]}=t.

    综上即可证得
    r a n k { [ β 1 β 2 ⋯ β s ] } = t = r a n k ( B ) rank\left\{ \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] \right\}=t=rank\left( B \right) rank{[β1​​β2​​⋯​βs​​]}=t=rank(B)

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  • 向量组的线性相关性

     万次阅读 2021-06-05 23:45:21
    n维列向量和n维行向量，分别是竖着的和横着的。 aT=(a1,a2,a3,......,an) 横着的是行向量; a

    目录

     

    一、行向量和列向量

    二、矩阵和向量

    3.向量组等价、系数矩阵

    4、向量组的线性相关性

    一、行向量和列向量

    n维列向量和n维行向量，分别是竖着的和横着的。

    aT= \bigl(\begin{smallmatrix} a1 & a2 & a3 &... & ... & an \end{smallmatrix}\bigr)横着的是行向量;

    a=\begin{pmatrix} \\ a1 \\ a2 \\ a3 \\ . \\ . \\an \end{pmatrix}是竖着的，是列向量；

    还要注意一下表示法，通常带T的是行向量，不带T的是列向量。

     

    二、矩阵和向量

    我们知道的矩阵的分块法，我们可以按每列进行分块，那么我们就可以得到一个向量组，里面的元素是列向量。

    如果我们对每行进行分块，那么我们就可以得到一个向量组，里面的元素是行向量。

    三、向量组的线性组合

    1.向量组A:a1,a2,......,an 对于任何一组实数k1,k2,......,kn表达式：k1 \underset{a}{\rightarrow}_{1}+k2\underset{a}{\rightarrow}_{2}+...+kn\underset{a}{\rightarrow}_{n}称为向量组A的线性组合，k1,k2,...kn也称为线性组合的系数。

    2.若给定向量组A,和向量b，如果存在一组数使\begin{align*} \underset{b}{\rightarrow}&= k1 \underset{a}{\rightarrow}_{1}+k2\underset{a}{\rightarrow}_{2}+...+kn\underset{a}{\rightarrow}_{n} \end{align*},那么向量b则是向量组A 的线性组合，也称向量b能由向量组A线性表示。

    将ki用xi替换也等价为：\begin{align*} x_{1}\underset{a}{\rightarrow}_{1}+x_{2}\underset{a}{\rightarrow}_{n}+...+x_{2}\underset{a}{\rightarrow}_{n} &= \underset{b}{\rightarrow} \end{align*}有解。若有解则有R(A)=R(A,b)。

    =>定理：向量b能由向量组A线性表示的充要条件是：R(A)=R(A,b)

    3.向量组等价、系数矩阵

    向量组B能由向量组A线性表示：B中的每个向量都可以由A线性表示。

    向量组B和向量组A等价：二者可以相互线性表示。

     

    \begin{align*} C_{m\times n} &= A_{m\times l}B_{l\times n} \end{align*}

    我们可以称：C的列向量组能由A的列向量组线性表示。B称这一表示的系数矩阵

    或称：C的行向量组能由B的行向量组线性表示，A为这一表示的系数矩阵

    笔：这一点可以结合前面的理解，行变换和列变换来理解，系数矩阵在左边时可以认为是对行进行线性变换，在右边时可以认为对列进行线性变换

    =>定理：向量组B \begin{matrix} b1 &b2 &b3 &...&bn \end{matrix}能由向量组A: \begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性表示的充要条件是R(A)=R(A,B)。

    笔：注意B,A是列向量组。所以系数矩阵应该在右边：AX=B，即有解，易得上面定理。

    =>推论：借用上面定理调换AB位置可知A和B等价的充要条件：R(A)=R(A,B)=R(B)

    笔：注意R(A,B)=R(B,A)即可

    =>定理：设向量组B：\begin{matrix} b1 &b2 &b3 &...&bn \end{matrix}能由向量组A：\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性表示，则R(B)\leqR(A)

    笔：即AX=B有解时二者秩的关系，有解则有 R(A)=R(A,B),又知道R(B)\leqR(A,B)=R(A),所以推知。

     

    4、向量组的线性相关性

    上面介绍的是线性表示

    下面介绍的是线性相关性

    向量组A：\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}，如果存在不全为零的数\begin{matrix} k1 &k2 &...&kn \end{matrix}使

    \begin{align*} k1\underset{a1}{\rightarrow}+k2\underset{a2}{\rightarrow}+...+kn\underset{an}{\rightarrow} &= \underset{0}{\rightarrow} \end{align*}则称A是线性相关的，否则是线性无关的。

     

    如果\begin{matrix} k1 &k2 &...&kn \end{matrix}不全为0那么势必有一个或多个向量\underset{ai}{\rightarrow}能由其他向量线性表示，

     

    反之也能推导到A是线性相关的。

    有了向量组的线性相关性后我们再看下方程组。

    当方程组中某个方程是其余方程的线性组合时，那么经过逆过程此方程会被消去，此方程也就成为了多余的方程，此时称方程组是线性相关的；当方程组中没有多余的方程时，我们称为方程组线性无关（独立）。

    二者结合起来：方程组AX=b线性相关时，即(A,b)的行向量组线性相关，因为(A,b)就代表了方程组。

     

    =>定理：向量组A：\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性相关的充要条件：R(A)<向量个数n； 向量组A：\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性无关的充要条件：R(A)=向量个数n；

    笔：如果将上面AX=b,b换为0，那么就成为AX=0。线性相关就变成了此方程组存在非零解，如果是0解相应的A就为线性无关。转换为非零解的问题，假定n个变量n个方程，如果R(A)<n,说明有方程被约掉，此时是有无限解的，也就是存在非零解。如果<n个方程，那么此时必有R(A)<n。同上，如果AX=0仅有零解，那么A是线性无关的，仅有零解说明了存在了唯一解，此时必有R(A)=n,n个方程n变量恰好有一组解。

     

    ①=>定理：向量组A：\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性相关，则向量组B：\begin{matrix} a1 & a2 & ...&a_{n+1} \end{matrix}也线性相关；若向量组B：\begin{matrix} a1 & a2 & ...&a_{n+1} \end{matrix}线性无关， 向量组A：\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性无关；

    笔：向量组A线性相关：则R(A)<n, 所以R(B)\leqR(A)+1=n+1,所以B线性相关；向量组B向量无关R(B)=n+1,假若A线性相关那么R(A)<n,所以R(B)\leqR(A)+1<n+1，就会推知B 线性相关，所以知假设不成立，所以A线性无关。

     

    ②=>定理：m个n维向量组成的向量组B即n×m矩阵，如果n<m,那么一定线性相关。

    笔：因为R(B)\leqmin{n,m}=n<m所以知，定线性相关。

    ③=>定理： 向量组A：\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性无关，向量组B：\begin{matrix} a1 &a2&...&an&b \end{matrix}线性相关，则

    向量b必能由A线性表示，且表示式唯一。

    笔：向量组B：\begin{matrix} a1 &a2&...&an&b \end{matrix}线性相关，即R(B)<n+1。 向量组A：\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性无关，所以R(A)=n。所以就可以推知n=R(A)\leqR(B)<n+1,所以R(B)=n。所以AX=b有唯一解。

    注：之前我在此混淆了方程组和向量组的关系。向量组的线性相关性和方程组的线性相关性，方程组的线性相关性只是说明是否有多余的方程，并未透露解的问题，有可能方程组的方程个数很多。所以具体有无解或者是解的个数问题 需要判断R(A)=?R(A,B),且和n的关系。

    向量组的秩

    ->就是最大线性无关向量组所含向量的个数

    ->向量组的任一向量都能由最大线性无关向量组线性表示

    矩阵的秩和它的列向量组的秩、行向量组的秩相等。

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  • 什么叫行向量组与列向量组？ 什么是矩阵的维度？

     千次阅读 2021-04-18 10:31:39
    行向量组指的是矩阵每行构成一个向量,所有行构成的向量的整体称为一个行向量组列向量组指的是矩阵每列构成一个向量,所有列构成的向量的整体称为一个列向量组例如： 给你一个矩阵AA =1 2 34 5 6则A的行向量组为: (1,2...
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  • AI笔记: 数学基础之向量组的线性表示与线性相关

     千次阅读 2020-07-11 17:46:25
    向量组：有限个相同维度的行向量或列向量组合成的一个集合就叫做向量组 A=(a1⃗,a2⃗,a3⃗,...,an⃗,...)A = (\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, ..., \vec{a_n}, ...)A=(a1​​,a2​​,a3​​,...,an​​,...) ...
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    AI 数学

  • 【线性代数】行列式、矩阵、向量、线性空间与线性变换

     千次阅读 2020-05-05 21:39:43
    1.1.1 二元线性方程组与二阶行列式 1.1.2 三阶行列式 1.2 全排列和对换 1.2.1 排列及其逆序数 全排列：把n个不同的元素排成一列 所有排列的种数： 标准排列：对于n个不同的元素，先...
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  • 矩阵分析_1 线性方程组解与列向量组的关系

     2022-04-28 15:35:49
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  • 两个向量组线性相关是不是也能说成两个向量组等价 向量组等价 线性相关 向量组等价和矩阵等价的区别

     千次阅读 2019-11-04 23:15:44
    向量组等价，是两向量组中的各向量，都可以用另一个向量组中的向量线性表示。 矩阵等价，是存在可逆变换（行变换或列变换，对应于1个可逆矩阵），使得一个矩阵之间可以相互转化。 ...
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  • 证明：如果矩阵A的列向量组线性无关，则矩阵ATA可逆

     千次阅读 2015-05-10 00:48:00
    的列向量组线性无关，则矩阵 A T A 可逆 设 A T AX = 0 ，如果 A T A 可逆，则 A T AX = 0 有唯一解 X = 0 ，即 X 为零向量。 因此，原命题的证明等价于证明 “ 如果矩阵 A 的列向量组线性无关，则 ...
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  • 线性代数中矩阵的秩， 行列式， 矩阵向量组线性无关， 矩阵可逆之间的一些逻辑关系

     2022-05-28 22:49:04
    矩阵可逆的各个等价的命题 1. A是可逆的 2. 齐次线性方程组AX=0只有零解 3. A与I行等价 4. A可表示为有限个初等矩阵的乘积 矩阵的秩，行列式的值，矩阵向量组线性无关，矩阵可逆之间的关系
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  • 【线性代数（10）】向量线性相关与线性无关

     千次阅读 2020-11-10 21:57:32
    n维向量及其运算、向量线性相关与线性无关1 向量间的线性关系2 向量组的等价3 线性相关与线性无关4 定理 1 向量间的线性关系 向量定义：n个数a1,a2...ana_{1},a_{2}...a_{n}a1​,a2​...an​组成的有序数组(a1,a2......
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  • 线性代数/判断向量组是否线性相关/定义与例题

     万次阅读 2021-01-04 19:26:34
    向量组线性相关 定义 例题 定义 向量组 α 1 , α 2 , ⋯   , α s ( s ⩾ 1 ) \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\geqslant1) α1​,α2​,⋯,αs​(s⩾1) 称为线性相关,如果有数域 P P P 中不全为零的数 k 1 , ...
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    算法

  • 线性代数 --- 矩阵与向量相乘（个人笔记扫描版）

     千次阅读 2021-09-27 14:47:12
    矩阵B左乘以矩阵A，把矩阵B看成一系列的行向量row1,row2......cown，对A的线性重组。（牢记口诀：前乘行，行操作。） 版权声明：所有的笔记，可能来自很多不同的网站和说明，在此没法一一列出，如有侵权，请...
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  • 【线性代数（11）】极大线性无关组、向量组的秩

     千次阅读 多人点赞 2020-11-11 11:13:03
    向量组的秩1 极大线性无关组2 向量组的秩3 极大线性无关组的求解 手动反爬虫：原博地址 知识梳理不易，请尊重劳动成果，文章仅发布在CSDN网站上，在其他网站看到该博文均属于未经作者授权的恶意爬取信息 如若转载...
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    机器学习

  • 线性代数：第四章 向量组的线性相关性（1）向量组的线性相关性 向量组的秩

     万次阅读 多人点赞 2016-03-03 14:39:01
    第一节 向量组的线性相关性   一．... 定义1.1 n个有次序的数 ，所组成的数组称为n维向量，这n...称为向量组A的一个线性组合， 称为这个线性组合的系数。 定义3 给定向量组A： 和向量β，若存在一组数 ，使  
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  • 【机器学习的线性代数基础】行列式、矩阵的线性运算、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型等

     千次阅读 2020-03-01 13:24:24
    行列式按行（列）展开定理矩阵矩阵的线性运算1.矩阵的加法2.矩阵的数乘3.矩阵的乘法4. A^T、A^(-1)、A^*三者之间的关系5.有关A^*的结论6.有关A^(-1)的结论7.有关矩阵秩的结论8.分块求逆公式向量1.有关向量组的线性...
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    机器学习 人工智能 算法

  • 第四章 向量组的线性相关性

     2022-04-19 19:37:24
    第四章 向量组的线性相关性向量组及其线性组合 ...若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组 定义2 定理1 向量 b 能由向量组 A: a1, a2, …, am 线性表示的充分必要条件是矩阵 A = (a1, a2, …,
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  • 矩阵 II : 线性组的线性相关性

     万次阅读 2018-01-28 13:09:40
    学习机器学习, 基础的线性代数知识是必备的基础功, 对于线性代数的探索, 向量组也是...1.1 相性相关和线性无关 1.2 相性相关性的判别定理 向量组的秩与极大无关组 2.1 秩与极大无关组 2.2 等价向量组 向量空间 3.1
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  • 线性空间的向量组与数量矩阵的乘法

     千次阅读 2018-01-25 18:45:47
    对于有限维（维度为 n" role="presentation" style="position: relative;">nnn ）线性空间 V" role="presentation" style="position: relative;">VVV 与 V" role="presentation" style...">VVV 上的一组向量 ξ=
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  • 在求向量组的极大线性无关组时，为什么要将向量竖着放，然后对所构成的矩阵进行初等行变换？转

     千次阅读 2020-10-18 13:53:23
    向量组的向量按列排放，“行向量”就只是对不同向量里同一个维度的数字(元素)的一个叫法，但绝不是那个要用来组合新向量的那些向量，列向量(原来向量组里的向量)与“行向量(假装则也是一个向量)”在性质上完全不是一...
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  • 线性代数——矩阵、向量、行列式、特征值与特征向量

     千次阅读 2021-04-08 22:07:05
    于是数学家发明了矩阵，把方程组中所有系数写到了一个框里面，把所有未知数写到第二个框里，把所有等式右边的值写到第三个框里。 比如方程组(1)也可表示为： 观察(2)式不难发现，复杂的方程组用矩阵表示后，...
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  • matlab强制转换向量或矩阵为行向量，列向量

     千次阅读 2022-03-02 10:21:34
    有时候需要将向量或矩阵转为行向量，方便输出或操作，可以不用判断，利用(，所有元素“：”来自动获取拉平的值（注意matlab是按列优先取值）。免于判断烦恼。 a = [1,2,3,4] a_row = a(:)' a2 = a' a2_row = a(:)' ...
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    matlab

  • 线性代数 矩阵和向量空间

     千次阅读 2020-05-09 09:23:02
    (1)行图像(row picture):1个行图像展示1个方程 (2)列图像(column picture):1个 (3)矩阵形式(matrix form) 2x-y=0 -x+2y=3 -- -- -- -- -- -- | 2 -1 | | x | = | 0 | | -1 2 | | y | | 3 | -- -- -- -- --
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  • 【线性代数】矩阵、向量、行列式、特征值与特征向量（掌握这些概念一篇文章就够了）

     万次阅读 多人点赞 2017-08-25 19:55:11
    很多人在大学学习线性代数时，国内教材书上大多一开始就是行列式的表示、计算、性质等等东西，让人看得云里雾里，一头雾水，然后要花很多时间才大概知道线性代数是个什么东西。本文不提书上晦涩难懂的内容，尽量用...
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    行列式

  • 线性代数-向量组的线性相关

     千次阅读 2019-03-07 21:37:12
    n维向量，极大无关组，矩阵的秩
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  • 线性代数拾遗（一）：线性方程组、向量方程和矩阵方程

     千次阅读 2019-12-14 21:15:00
    前言线性代数在各大理工科，乃至经济金融领域的使用之广泛，毋庸置疑。一直以来，我虽也知道线性代数的重要，但从内心上其实一直是犯怵的（尤其是学习论文、算法中，基本只要看到对方把算法向量化之后...
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  • 线性代数：向量组的线性相关性

     2021-12-23 18:10:36
    向量组的线性相关性1.向量组：多个向量组成的，向量组的线性相关性？ 前提：向量：之前用一条线表示，坐标...一个向量B能由向量组A线性表示：充分必要条件矩阵A=(a1,a2,a3,a4,a5,am)的秩等于矩阵B=（a1,a2,a3,a4,a5,
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  • 矩阵和向量--线性代数的本质--矩阵、线性变换、矩阵乘法与线性变换复合

     2020-04-09 10:04:51
    线性代数的本质，源视频 https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E 目录 矩阵和线性变换 矩阵乘法与复合变换 Unfortunately, no one can be told what the Matrix is....矩阵（Matrix）是一...
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空空如也

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一个矩阵的行向量组线性无关