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  • 2019-10-31 15:44:02

    如果向量组α,β,γ线性无关<=>矩阵A=(αT,βT,γT)满秩<=>|A|≠0

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  • 行向量组线性无关

    万次阅读 2016-10-22 18:57:15
    设A是4x5矩阵,且A的行向量组线性无关,则下列说法错误的是(C)A.ATX=0只有唯零解A. A^TX = 0只有唯零解 B.ATAX=0必有无穷多解B. A^TAX=0必有无穷多解 C.对任意的b,ATX=b有唯一解C. 对任意的b,A^TX = b有...

    关于行向量组线性无关,看一道习题。

    设A是4x5矩阵,且A的行向量组线性无关,则下列说法错误的是(C)

    A.ATX=0
    B.ATAX=0
    C.b,ATX=b
    D.bAX=b

    分析:A行向量组线性无关,则由 r(A)min(4,5),r(A)=4 。那么A的转置也是4,且 AT 列向量的个数是4,所以A项正确。

    B项只需要注意 r(ATA)=r(A)=4,ATA 列向量的个数是5,基础解系的向量有一个,所以有无穷多组解。

    对于C项,无法保证 r(AT)=r(AT|b) ,所以可能无解。

    D项是写这篇的原因,整理过一次,关于向量变高变胖的问题。通常考虑列向量的时候,原来无关,变高也无关,变胖时,原来相关,现在也相关。但是切换到行向量的视角时,需要注意这是躺着的向量,变高是左右增长,变胖是上下增长。这里在右边添加向量,属于变高,那么原来无关,现在也无关。 r(A)=r(A|b)=4 ,又因为列向量个数是5个,所以基础解系有一个自由向量,即:有无穷多个解。

    非齐次向量方程,紧紧抓住: r(A)=r(A|b) 的判定。

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  • 证明 原问题   向量组 [ β 1 β 2 ⋯ β s ] \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] [β1​​β2​​⋯​βs​​]可由线性无关向量组 ...

    原问题

      向量组 [ β 1 β 2 ⋯ β s ] \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] [β1β2βs]可由线性无关的向量组 [ α 1 α 2 ⋯ α r ] \left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right] [α1α2αr]线性表示,即有 [ β 1 β 2 ⋯ β s ] = [ α 1 α 2 ⋯ α r ] B , \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right]B, [β1β2βs]=[α1α2αr]B,
    r a n k { [ β 1 β 2 ⋯ β s ] } = r a n k ( B ) . rank\left\{ \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] \right\}=rank\left( B \right). rank{[β1β2βs]}=rank(B).

    证明

    1. 引理1:矩阵的初等行变换和初等列变换不改变原矩阵的秩。
    2. 定义1:对单位矩阵 I I I进行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵。
    3. 引理2:对矩阵进行一次初等行(列)变换相当于在原矩阵左(右)边乘一个相应的初等矩阵。
    4. 引理3:初等矩阵的逆还是初等矩阵。

      首先对矩阵 B B B进行拆解。 B B B是一个 r × s r\times s r×s的矩阵。令 t = r a n k ( B ) ≤ min ⁡ { r , s } t=rank\left( B \right)\le \min \left\{ r,s \right\} t=rank(B)min{r,s},则 B B B一定可以由矩阵 [ I t × t O t × ( s − t ) O ( r − t ) × t O ( r − t ) × ( s − t ) ] \left[ \begin{matrix} {{I}_{t\times t}} & {{O}_{t\times \left( s-t \right)}} \\ {{O}_{\left( r-t \right)\times t}} & {{O}_{\left( r-t \right)\times \left( s-t \right)}} \\ \end{matrix} \right] [It×tO(rt)×tOt×(st)O(rt)×(st)]经过有限的一系列初等行列变换得到,即存在初等矩阵 P 1 ( a ) ,   P 2 ( a ) , . . . , P m ( a ) ( a ) P_{1}^{\left( a \right)},\text{ }P_{2}^{\left( a \right)},...,P_{m\left( a \right)}^{\left( a \right)} P1(a), P2(a),...,Pm(a)(a) P 1 ( b ) ,   P 2 ( b ) , . . . , P m ( b ) ( b ) P_{1}^{\left( b \right)},\text{ }P_{2}^{\left( b \right)},...,P_{m\left( b \right)}^{\left( b \right)} P1(b), P2(b),...,Pm(b)(b),使得
    B = ( ∑ i m ( a ) P i ( a ) ) [ I t × t O t × ( s − t ) O ( r − t ) × t O ( r − t ) × ( s − t ) ] ( ∑ i m ( b ) P i ( b ) ) . B=\left( \sum\limits_{i}^{m\left( a \right)}{P_{i}^{\left( a \right)}} \right)\left[ \begin{matrix} {{I}_{t\times t}} & {{O}_{t\times \left( s-t \right)}} \\ {{O}_{\left( r-t \right)\times t}} & {{O}_{\left( r-t \right)\times \left( s-t \right)}} \\ \end{matrix} \right]\left( \sum\limits_{i}^{m\left( b \right)}{P_{i}^{\left( b \right)}} \right). B=im(a)Pi(a)[It×tO(rt)×tOt×(st)O(rt)×(st)]im(b)Pi(b).
    所以我们得到
    [ β 1 β 2 ⋯ β s ] = [ α 1 α 2 ⋯ α r ] { ∑ i m ( a ) P i ( a ) [ I t × t O t × ( s − t ) O ( r − t ) × t O ( r − t ) × ( s − t ) ] ∑ i m ( b ) P i ( b ) } \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right]\left\{ \sum\limits_{i}^{m\left( a \right)}{P_{i}^{\left( a \right)}}\left[ \begin{matrix} {{I}_{t\times t}} & {{O}_{t\times \left( s-t \right)}} \\ {{O}_{\left( r-t \right)\times t}} & {{O}_{\left( r-t \right)\times \left( s-t \right)}} \\ \end{matrix} \right]\sum\limits_{i}^{m\left( b \right)}{P_{i}^{\left( b \right)}} \right\} [β1β2βs]=[α1α2αr]im(a)Pi(a)[It×tO(rt)×tOt×(st)O(rt)×(st)]im(b)Pi(b)
    ⇒ [ β 1 β 2 ⋯ β s ] ⋅ ( ∑ i m ( b ) P i ( b ) ) − 1 = { [ α 1 α 2 ⋯ α r ] ⋅ ∑ i m ( a ) P i ( a ) } [ I t × t O t × ( s − t ) O ( r − t ) × t O ( r − t ) × ( s − t ) ] . \Rightarrow \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right]\centerdot {{\left( \sum\limits_{i}^{m\left( b \right)}{P_{i}^{\left( b \right)}} \right)}^{-1}}=\left\{ \left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right]\centerdot \sum\limits_{i}^{m\left( a \right)}{P_{i}^{\left( a \right)}} \right\}\left[ \begin{matrix} {{I}_{t\times t}} & {{O}_{t\times \left( s-t \right)}} \\ {{O}_{\left( r-t \right)\times t}} & {{O}_{\left( r-t \right)\times \left( s-t \right)}} \\ \end{matrix} \right]. [β1β2βs]im(b)Pi(b)1=[α1α2αr]im(a)Pi(a)[It×tO(rt)×tOt×(st)O(rt)×(st)].

    [ β 1 ( 1 ) β 2 ( 1 ) ⋯ β s ( 1 ) ] = [ β 1 β 2 ⋯ β s ] ( ∑ i m ( b ) P i ( b ) ) − 1 , \left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right]=\left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right]{{\left( \sum\limits_{i}^{m\left( b \right)}{P_{i}^{\left( b \right)}} \right)}^{-1}}, [β1(1)β2(1)βs(1)]=[β1β2βs]im(b)Pi(b)1,
    [ α 1 ( 1 ) α 2 ( 1 ) ⋯ α r ( 1 ) ] = [ α 1 α 2 ⋯ α r ] ∑ i m ( a ) P i ( a ) , \left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\alpha }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\alpha }_{r}}^{\left( 1 \right)} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right]\sum\limits_{i}^{m\left( a \right)}{P_{i}^{\left( a \right)}}, [α1(1)α2(1)αr(1)]=[α1α2αr]im(a)Pi(a),
    则可简写成
    [ β 1 ( 1 ) β 2 ( 1 ) ⋯ β s ( 1 ) ] = [ α 1 ( 1 ) α 2 ( 1 ) ⋯ α r ( 1 ) ] [ I t × t O t × ( s − t ) O ( r − t ) × t O ( r − t ) × ( s − t ) ]   = [ α 1 ( 1 ) , α 2 ( 1 ) , . . . , α t ( 1 ) ]   ( t ≤ r ) \begin{aligned} & \left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right]=\left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\alpha }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\alpha }_{r}}^{\left( 1 \right)} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{I}_{t\times t}} & {{O}_{t\times \left( s-t \right)}} \\ {{O}_{\left( r-t \right)\times t}} & {{O}_{\left( r-t \right)\times \left( s-t \right)}} \\ \end{matrix} \right] \\ & \text{ }=\left[ \alpha _{1}^{\left( 1 \right)},\alpha _{2}^{\left( 1 \right)},...,\alpha _{t}^{\left( 1 \right)} \right]\text{ }\left( t\le r \right) \\ \end{aligned} [β1(1)β2(1)βs(1)]=[α1(1)α2(1)αr(1)][It×tO(rt)×tOt×(st)O(rt)×(st)] =[α1(1),α2(1),...,αt(1)] (tr)

    下面分步骤进行分析。

    1. [ β 1 ( 1 ) β 2 ( 1 ) ⋯ β s ( 1 ) ] \left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right] [β1(1)β2(1)βs(1)]是由 [ β 1 β 2 ⋯ β s ] \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] [β1β2βs]右乘 ( ∑ i m ( b ) P i ( b ) ) − 1 {{\left( \sum\limits_{i}^{m\left( b \right)}{P_{i}^{\left( b \right)}} \right)}^{-1}} (im(b)Pi(b))1得到,即右乘一系列初等矩阵 ( P m ( b ) ( b ) ) − 1 , ( P m ( b ) − 1 ( b ) ) − 1 , . . . , ( P 1 ( b ) ) − 1 {{\left( P_{m\left( b \right)}^{\left( b \right)} \right)}^{-1}},{{\left( P_{m\left( b \right)-1}^{\left( b \right)} \right)}^{-1}},...,{{\left( P_{1}^{\left( b \right)} \right)}^{-1}} (Pm(b)(b))1,(Pm(b)1(b))1,...,(P1(b))1得到,所以有
      r a n k { [ β 1 β 2 ⋯ β s ] } = r a n k { [ β 1 ( 1 ) β 2 ( 1 ) ⋯ β s ( 1 ) ] } rank\left\{ \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] \right\}=rank\left\{ \left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right] \right\} rank{[β1β2βs]}=rank{[β1(1)β2(1)βs(1)]}
    2. [ α 1 ( 1 ) α 2 ( 1 ) ⋯ α r ( 1 ) ] \left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\alpha }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\alpha }_{r}}^{\left( 1 \right)} \\ \end{matrix} \right] [α1(1)α2(1)αr(1)]是由 [ α 1 α 2 ⋯ α r ] \left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right] [α1α2αr]右乘一系列初等矩阵 ∑ i m ( a ) P i ( a ) \sum\limits_{i}^{m\left( a \right)}{P_{i}^{\left( a \right)}} im(a)Pi(a)得到,有
      r a n k { [ α 1 ( 1 ) α 2 ( 1 ) ⋯ α r ( 1 ) ] } = r a n k { [ α 1 α 2 ⋯ α r ] } = r rank\left\{ \left[ {{\begin{matrix} {{\alpha }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\alpha }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right] \right\}=rank\left\{ \left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right] \right\}=r rank{[α1(1)α2(1)αr(1)]}=rank{[α1α2αr]}=r
    3. 在步骤2已经知道 [ α 1 ( 1 ) α 2 ( 1 ) ⋯ α r ( 1 ) ] \left[ {{\begin{matrix} {{\alpha }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\alpha }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right] [α1(1)α2(1)αr(1)]也是一个极大线性无关组的基础上,结合上面得到的 [ β 1 ( 1 ) β 2 ( 1 ) ⋯ β s ( 1 ) ] = [ α 1 ( 1 ) , α 2 ( 1 ) , . . . , α t ( 1 ) ] \left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right]=\left[ \alpha _{1}^{\left( 1 \right)},\alpha _{2}^{\left( 1 \right)},...,\alpha _{t}^{\left( 1 \right)} \right] [β1(1)β2(1)βs(1)]=[α1(1),α2(1),...,αt(1)] t ≤ r t\le r tr的条件,显然有
      r a n k { [ β 1 ( 1 ) β 2 ( 1 ) ⋯ β s ( 1 ) ] } = r a n k { [ α 1 ( 1 ) , α 2 ( 1 ) , . . . , α t ( 1 ) ] } = t . rank\left\{ \left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right] \right\}=rank\left\{ \left[ \alpha _{1}^{\left( 1 \right)},\alpha _{2}^{\left( 1 \right)},...,\alpha _{t}^{\left( 1 \right)} \right] \right\}=t. rank{[β1(1)β2(1)βs(1)]}=rank{[α1(1),α2(1),...,αt(1)]}=t.

    综上即可证得
    r a n k { [ β 1 β 2 ⋯ β s ] } = t = r a n k ( B ) rank\left\{ \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] \right\}=t=rank\left( B \right) rank{[β1β2βs]}=t=rank(B)

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  • 向量组线性相关性

    万次阅读 2021-06-05 23:45:21
    n维列向量和n维行向量,分别是竖着的和横着的。 aT=(a1,a2,a3,......,an) 横着的是行向量; a

    目录

     

    一、行向量和列向量

    二、矩阵和向量

    3.向量组等价、系数矩阵

    4、向量组的线性相关性


    一、行向量和列向量

    n维列向量和n维行向量,分别是竖着的和横着的。

    aT= \bigl(\begin{smallmatrix} a1 & a2 & a3 &... & ... & an \end{smallmatrix}\bigr)横着的是行向量;

    a=\begin{pmatrix} \\ a1 \\ a2 \\ a3 \\ . \\ . \\an \end{pmatrix}是竖着的,是列向量;

    还要注意一下表示法,通常带T的是行向量,不带T的是列向量。

     

    二、矩阵和向量

    我们知道的矩阵的分块法,我们可以按每列进行分块,那么我们就可以得到一个向量组,里面的元素是列向量。

    如果我们对每行进行分块,那么我们就可以得到一个向量组,里面的元素是行向量。

    三、向量组的线性组合

    1.向量组A:a1,a2,......,an 对于任何一组实数k1,k2,......,kn表达式:k1 \underset{a}{\rightarrow}_{1}+k2\underset{a}{\rightarrow}_{2}+...+kn\underset{a}{\rightarrow}_{n}称为向量组A的线性组合,k1,k2,...kn也称为线性组合的系数。


    2.若给定向量组A,和向量b,如果存在一组数使\begin{align*} \underset{b}{\rightarrow}&= k1 \underset{a}{\rightarrow}_{1}+k2\underset{a}{\rightarrow}_{2}+...+kn\underset{a}{\rightarrow}_{n} \end{align*},那么向量b则是向量组A 的线性组合,也称向量b能由向量组A线性表示。

    将ki用xi替换也等价为:\begin{align*} x_{1}\underset{a}{\rightarrow}_{1}+x_{2}\underset{a}{\rightarrow}_{n}+...+x_{2}\underset{a}{\rightarrow}_{n} &= \underset{b}{\rightarrow} \end{align*}有解。若有解则有R(A)=R(A,b)。

    =>定理:向量b能由向量组A线性表示的充要条件是:R(A)=R(A,b)


    3.向量组等价、系数矩阵

    向量组B能由向量组A线性表示:B中的每个向量都可以由A线性表示。

    向量组B和向量组A等价:二者可以相互线性表示。

     

    \begin{align*} C_{m\times n} &= A_{m\times l}B_{l\times n} \end{align*}

    我们可以称:C的列向量组能由A的列向量组线性表示。B称这一表示的系数矩阵

    或称:C的行向量组能由B的行向量组线性表示,A为这一表示的系数矩阵

    笔:这一点可以结合前面的理解,行变换和列变换来理解,系数矩阵在左边时可以认为是对行进行线性变换,在右边时可以认为对列进行线性变换


    =>定理:向量组B \begin{matrix} b1 &b2 &b3 &...&bn \end{matrix}能由向量组A: \begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性表示的充要条件是R(A)=R(A,B)。

    笔:注意B,A是列向量组。所以系数矩阵应该在右边:AX=B,即有解,易得上面定理。

    =>推论:借用上面定理调换AB位置可知A和B等价的充要条件:R(A)=R(A,B)=R(B)

    笔:注意R(A,B)=R(B,A)即可


    =>定理:设向量组B:\begin{matrix} b1 &b2 &b3 &...&bn \end{matrix}能由向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性表示,则R(B)\leqR(A)

    笔:即AX=B有解时二者秩的关系,有解则有 R(A)=R(A,B),又知道R(B)\leqR(A,B)=R(A),所以推知。


     

    4、向量组的线性相关性

    上面介绍的是线性表示

    下面介绍的是线性相关性

    向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix},如果存在不全为零的数\begin{matrix} k1 &k2 &...&kn \end{matrix}使

    \begin{align*} k1\underset{a1}{\rightarrow}+k2\underset{a2}{\rightarrow}+...+kn\underset{an}{\rightarrow} &= \underset{0}{\rightarrow} \end{align*}则称A是线性相关的,否则是线性无关的。

     

    如果\begin{matrix} k1 &k2 &...&kn \end{matrix}不全为0那么势必有一个或多个向量\underset{ai}{\rightarrow}能由其他向量线性表示,

     

    反之也能推导到A是线性相关的。


    有了向量组的线性相关性后我们再看下方程组。

    当方程组中某个方程是其余方程的线性组合时,那么经过逆过程此方程会被消去,此方程也就成为了多余的方程,此时称方程组是线性相关的;当方程组中没有多余的方程时,我们称为方程组线性无关(独立)。

    二者结合起来:方程组AX=b线性相关时,即(A,b)的行向量组线性相关,因为(A,b)就代表了方程组。

     

    =>定理:向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性相关的充要条件:R(A)<向量个数n; 向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性无关的充要条件:R(A)=向量个数n;

    笔:如果将上面AX=b,b换为0,那么就成为AX=0。线性相关就变成了此方程组存在非零解,如果是0解相应的A就为线性无关。转换为非零解的问题,假定n个变量n个方程,如果R(A)<n,说明有方程被约掉,此时是有无限解的,也就是存在非零解。如果<n个方程,那么此时必有R(A)<n。同上,如果AX=0仅有零解,那么A是线性无关的,仅有零解说明了存在了唯一解,此时必有R(A)=n,n个方程n变量恰好有一组解。


     

    ①=>定理:向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性相关,则向量组B:\begin{matrix} a1 & a2 & ...&a_{n+1} \end{matrix}也线性相关;若向量组B:\begin{matrix} a1 & a2 & ...&a_{n+1} \end{matrix}线性无关, 向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性无关;

    笔:向量组A线性相关:则R(A)<n, 所以R(B)\leqR(A)+1=n+1,所以B线性相关;向量组B向量无关R(B)=n+1,假若A线性相关那么R(A)<n,所以R(B)\leqR(A)+1<n+1,就会推知B 线性相关,所以知假设不成立,所以A线性无关。

     

    ②=>定理:m个n维向量组成的向量组B即n×m矩阵,如果n<m,那么一定线性相关。

    笔:因为R(B)\leqmin{n,m}=n<m所以知,定线性相关。

    ③=>定理: 向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性无关,向量组B:\begin{matrix} a1 &a2&...&an&b \end{matrix}线性相关,则

    向量b必能由A线性表示,且表示式唯一。

    笔:向量组B:\begin{matrix} a1 &a2&...&an&b \end{matrix}线性相关,即R(B)<n+1。 向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性无关,所以R(A)=n。所以就可以推知n=R(A)\leqR(B)<n+1,所以R(B)=n。所以AX=b有唯一解。

    注:之前我在此混淆了方程组和向量组的关系。向量组的线性相关性和方程组的线性相关性,方程组的线性相关性只是说明是否有多余的方程,并未透露解的问题,有可能方程组的方程个数很多。所以具体有无解或者是解的个数问题 需要判断R(A)=?R(A,B),且和n的关系。


    向量组的秩

    ->就是最大线性无关向量组所含向量的个数

    ->向量组的任一向量都能由最大线性无关向量组线性表示

    矩阵的秩和它的列向量组的秩、行向量组的秩相等。

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  • 矩阵可逆的各个等价的命题 1. A是可逆的 2. 齐次线性方程AX=0只有零解 3. A与I等价 4. A可表示为有限初等矩阵的乘积 矩阵的秩,行列式的值,矩阵向量组线性无关矩阵可逆之间的关系
  • n维向量及其运算、向量线性相关线性无关1 向量间的线性关系2 向量的等价3 线性相关线性无关4 定理 1 向量间的线性关系 向量定义:n数a1,a2...ana_{1},a_{2}...a_{n}a1​,a2​...an​组成的有序数组(a1,a2......
  • 向量组线性相关 定义 例题 定义 向量组 α 1 , α 2 , ⋯   , α s ( s ⩾ 1 ) \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\geqslant1) α1​,α2​,⋯,αs​(s⩾1) 称为线性相关,如果有数域 P P P 中不全为零的数 k 1 , ...
  • 矩阵B左乘以矩阵A,把矩阵B看成系列的行向量row1,row2......cown,对A的线性重组。(牢记口诀:前乘行,行操作。) 版权声明:所有的笔记,可能来自很多不同的网站和说明,在此没法一一列出,如有侵权,请...
  • 【线性代数(11)】极大线性无关组向量组的秩

    千次阅读 多人点赞 2020-11-11 11:13:03
    向量组的秩1 极大线性无关组2 向量组的秩3 极大线性无关组的求解 手动反爬虫:原博地址 知识梳理不易,请尊重劳动成果,文章仅发布在CSDN网站上,在其他网站看到该博文均属于未经作者授权的恶意爬取信息 如若转载...
  • 第一节 向量组线性相关性   一.... 定义1.1 n个有次序的数 ,所组成的数组称为n维向量,这n...称为向量组A的一个线性组合, 称为这个线性组合的系数。 定义3 给定向量A: 和向量β,若存在一数 ,使  
  • 行列式按(列)展开定理矩阵矩阵线性运算1.矩阵的加法2.矩阵的数乘3.矩阵的乘法4. A^T、A^(-1)、A^*三者之间的关系5.有关A^*的结论6.有关A^(-1)的结论7.有关矩阵秩的结论8.分块求逆公式向量1.有关向量组线性...
  • 第四章 向量线性相关性向量及其线性组合 ...若干同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量 定义2 定理1 向量 b 能由向量 A: a1, a2, …, am 线性表示的充分必要条件是矩阵 A = (a1, a2, …,
  • 矩阵 II : 线性组线性相关性

    万次阅读 2018-01-28 13:09:40
    学习机器学习, 基础的线性代数知识是必备的基础功, 对于线性代数的探索, 向量组也是...1.1 相性相关线性无关 1.2 相性相关性的判别定理 向量组的秩与极大无关 2.1 秩与极大无关 2.2 等价向量组 向量空间 3.1
  • 对于有限维(维度为 n" role="presentation" style="position: relative;">nnn )线性空间 V" role="presentation" style="position: relative;">VVV 与 V" role="presentation" style...">VVV 上的一组向量 ξ=
  • 向量的向量按列排放,“行向量”就只是对不同向量里同一个维度的数字(元素)的一个叫法,但绝不是那个要用来组合新向量的那些向量,列向量(原来向量里的向量)与“行向量(假装则也是一个向量)”在性质上完全不是一...
  • 于是数学家发明了矩阵,把方程中所有系数写到了一个框里面,把所有未知数写到第二个框里,把所有等式右边的值写到第三个框里。 比如方程(1)也可表示为: 观察(2)式不难发现,复杂的方程矩阵表示后,...
  • 有时候需要将向量或矩阵转为行向量,方便输出或操作,可以不用判断,利用(,所有元素“:”来自动获取拉平的值(注意matlab是按列优先取值)。免于判断烦恼。 a = [1,2,3,4] a_row = a(:)' a2 = a' a2_row = a(:)' ...
  • 线性代数 矩阵向量空间

    千次阅读 2020-05-09 09:23:02
    (1)图像(row picture):1个行图像展示1方程 (2)列图像(column picture):1 (3)矩阵形式(matrix form) 2x-y=0 -x+2y=3 -- -- -- -- -- -- | 2 -1 | | x | = | 0 | | -1 2 | | y | | 3 | -- -- -- -- --
  • 很多人在大学学习线性代数时,国内教材书上大多开始就是行列式的表示、计算、性质等等东西,让人看得云里雾里,一头雾水,然后要花很多时间才大概知道线性代数是什么东西。本文不提书上晦涩难懂的内容,尽量用...
  • 线性代数-向量组线性相关

    千次阅读 2019-03-07 21:37:12
    n维向量,极大无关组矩阵的秩
  • 前言线性代数在各大理工科,乃至经济金融领域的使用之广泛,毋庸置疑。一直以来,我虽也知道线性代数的重要,但从内心上其实一直是犯怵的(尤其是学习论文、算法中,基本只要看到对方把算法向量化之后...
  • 向量组线性相关性1.向量组:多个向量组成的,向量组线性相关性? 前提:向量:之前用一条线表示,坐标...一个向量B能由向量组A线性表示:充分必要条件矩阵A=(a1,a2,a3,a4,a5,am)的秩等于矩阵B=(a1,a2,a3,a4,a5,
  • 线性代数的本质,源视频 https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E 目录 矩阵线性变换 矩阵乘法与复合变换 Unfortunately, no one can be told what the Matrix is....矩阵(Matrix)是...

空空如也

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一个矩阵的行向量组线性无关