如果向量组α，β，γ线性无关<=>矩阵A=(αT，βT，γT)满秩<=>|A|≠0

关于行向量组线性无关，看一道习题。

设A是4x5矩阵，且A的行向量组线性无关，则下列说法错误的是(C)

A.ATX=0只有唯一零解
B.ATAX=0必有无穷多组解
C.对任意的b,ATX=b有唯一解 
D.对任意的b，AX=b有无穷多组解

分析：A行向量组线性无关，则由r(A)≤min(4,5),得到r(A)=4。那么A的转置也是4，且AT列向量的个数是4，所以A项正确。

B项只需要注意r(ATA)=r(A)=4,ATA列向量的个数是5，基础解系的向量有一个，所以有无穷多组解。

对于C项，无法保证r(AT)=r(AT|b)，所以可能无解。

D项是写这篇的原因，整理过一次，关于向量变高变胖的问题。通常考虑列向量的时候，原来无关，变高也无关，变胖时，原来相关，现在也相关。但是切换到行向量的视角时，需要注意这是躺着的向量，变高是左右增长，变胖是上下增长。这里在右边添加向量，属于变高，那么原来无关，现在也无关。r(A)=r(A|b)=4,又因为列向量个数是5个，所以基础解系有一个自由向量，即：有无穷多个解。

非齐次向量方程，紧紧抓住：r(A)=r(A|b)的判定。

目录

 

两个向量组线性相关是不是也能说成两个向量组等价

向量组等价

线性相关

向量组等价和矩阵等价的区别

两个向量组线性相关是不是也能说成两个向量组等价

不能。

只有当两个向量组可以互相线性表出，才能说它们等价。

反例：

如 a1、a2 不相关 ，

则向量组 ｛a1 ，2a1｝与向量组｛a1 ，a2 ，2a2｝虽然都线性相关，但它们并不等价。

向量组等价

向量组等价的基本判定是：两个向量组可以互相线性表示。

需要重点强调的是：等价的向量组的秩相等，但是秩相等的向量组不一定等价。

向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是

R（A）=R（B）=R（A，B）

线性相关



向量组等价和矩阵等价的区别

向量组等价，是两向量组中的各向量，都可以用另一个向量组中的向量线性表示。可以相互线形表示。

矩阵等价，A通过行列变化可以转化成B,或者AB的秩相等。



 

                                                    

                                                        
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 证明：如果矩阵A的列向量组线性无关，则矩阵ATA可逆 
 
 
 
 设ATAX=0，如果ATA可逆，则ATAX=0有唯一解X=0，即X为零向量。 
 
 因此，原命题的证明等价于证明“如果矩阵A的列向量组线性无关，则ATAX=0有唯一解X=0”。 
 
 令XTATAX=0，则有(AX)TAX=0。由(AX)TAX=0可知AX是零向量，其中X是ATAX=0的解。 
 
 设A = [a1a2 … an]，X=[x1 x2 … xn]T，因为A的列向量组线性无关，所以令x1a1+x2a2+…+xnan=0成立的唯一解是x1,…xn全为0，即X=0，X为零向量（注意X是ATAX=0的解）。 
 
 证毕。 
 
 

                                                    

                                                        





                                        
                                            
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