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  • 矩阵向量组线性无关

    千次阅读 2019-10-31 15:44:02
    如果向量组α,β,γ线性无关<=>矩阵A=(αT,βT,γT)满秩<=>|A|≠0

    如果向量组α,β,γ线性无关<=>矩阵A=(αT,βT,γT)满秩<=>|A|≠0

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  • 行向量组线性无关

    千次阅读 2016-10-22 18:57:15
    设A是4x5矩阵,且A的行向量组线性无关,则下列说法错误的是(C)A.ATX=0只有唯零解A. A^TX = 0只有唯零解 B.ATAX=0必有无穷多解B. A^TAX=0必有无穷多解 C.对任意的b,ATX=b有唯一解C. 对任意的b,A^TX = b有...

    关于行向量组线性无关,看一道习题。

    设A是4x5矩阵,且A的行向量组线性无关,则下列说法错误的是(C)

    A.ATX=0
    B.ATAX=0
    C.b,ATX=b
    D.bAX=b

    分析:A行向量组线性无关,则由r(A)min(4,5),r(A)=4。那么A的转置也是4,且AT列向量的个数是4,所以A项正确。

    B项只需要注意r(ATA)=r(A)=4,ATA列向量的个数是5,基础解系的向量有一个,所以有无穷多组解。

    对于C项,无法保证r(AT)=r(AT|b),所以可能无解。

    D项是写这篇的原因,整理过一次,关于向量变高变胖的问题。通常考虑列向量的时候,原来无关,变高也无关,变胖时,原来相关,现在也相关。但是切换到行向量的视角时,需要注意这是躺着的向量,变高是左右增长,变胖是上下增长。这里在右边添加向量,属于变高,那么原来无关,现在也无关。r(A)=r(A|b)=4,又因为列向量个数是5个,所以基础解系有一个自由向量,即:有无穷多个解。

    非齐次向量方程,紧紧抓住:r(A)=r(A|b)的判定。

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  • 向量等价,是两向量中的各向量,都可以用另一个向量中的向量线性表示。 矩阵等价,是存在可逆变换(变换或列变换,对应于1个可逆矩阵),使得一个矩阵之间可以相互转化。 ...

    目录

     

    两个向量组线性相关是不是也能说成两个向量组等价

    向量组等价

    线性相关

    向量组等价和矩阵等价的区别


    两个向量组线性相关是不是也能说成两个向量组等价

    不能。
    只有当两个向量组可以互相线性表出,才能说它们等价。
    反例:
    如 a1、a2 不相关 ,
    则向量组 {a1 ,2a1}与向量组{a1 ,a2 ,2a2}虽然都线性相关,但它们并不等价。

    向量组等价

    向量组等价的基本判定是:两个向量组可以互相线性表示

    需要重点强调的是:等价的向量组的秩相等,但是秩相等的向量组不一定等价

    向量组A:a1,a2,…am与向量组B:b1,b2,…bn的等价秩相等条件是

    R(A)=R(B)=R(AB

    线性相关

    向量组等价和矩阵等价的区别

    向量组等价,是两向量组中的各向量,都可以用另一个向量组中的向量线性表示。可以相互线形表示

    矩阵等价,A通过行列变化可以转化成B,或者AB的秩相等。

     

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    证明:如果矩阵A的列向量组线性无关,则矩阵ATA可逆


    ATAX=0,如果ATA可逆,则ATAX=0有唯一解X=0,即X为零向量。

    因此,原命题的证明等价于证明如果矩阵A的列向量组线性无关,则ATAX=0有唯一解X=0

    XTATAX=0,则有(AX)TAX=0。由(AX)TAX=0可知AX是零向量,其中XATAX=0的解。

    A = [a1a2 an]X=[x1 x2 … xn]T,因为A的列向量组线性无关,所以令x1a1+x2a2+…+xnan=0成立的唯一解是x1,…xn全为0,即X=0X为零向量(注意XATAX=0的解)。

    证毕。


    转载于:https://my.oschina.net/JiamingMai/blog/412909

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一个矩阵的行向量组线性无关