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2019-10-31 15:44:02
如果向量组α,β,γ线性无关<=>矩阵A=(αT,βT,γT)满秩<=>|A|≠0
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行向量组线性无关
2016-10-22 18:57:15设A是4x5矩阵,且A的行向量组线性无关,则下列说法错误的是(C)A.ATX=0只有唯一零解A. A^TX = 0只有唯一零解 B.ATAX=0必有无穷多组解B. A^TAX=0必有无穷多组解 C.对任意的b,ATX=b有唯一解C. 对任意的b,A^TX = b有...关于行向量组线性无关,看一道习题。
设A是4x5矩阵,且A的行向量组线性无关,则下列说法错误的是(C)
A.ATX=0只有唯一零解
B.ATAX=0必有无穷多组解
C.对任意的b,ATX=b有唯一解
D.对任意的b,AX=b有无穷多组解分析:A行向量组线性无关,则由 r(A)≤min(4,5),得到r(A)=4 。那么A的转置也是4,且 AT 列向量的个数是4,所以A项正确。
B项只需要注意 r(ATA)=r(A)=4,ATA 列向量的个数是5,基础解系的向量有一个,所以有无穷多组解。
对于C项,无法保证 r(AT)=r(AT|b) ,所以可能无解。
D项是写这篇的原因,整理过一次,关于向量变高变胖的问题。通常考虑列向量的时候,原来无关,变高也无关,变胖时,原来相关,现在也相关。但是切换到行向量的视角时,需要注意这是躺着的向量,变高是左右增长,变胖是上下增长。这里在右边添加向量,属于变高,那么原来无关,现在也无关。 r(A)=r(A|b)=4 ,又因为列向量个数是5个,所以基础解系有一个自由向量,即:有无穷多个解。
非齐次向量方程,紧紧抓住: r(A)=r(A|b) 的判定。
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可由一个线性无关向量组线性表示的另一向量组的秩问题
2020-06-12 18:52:13证明 原问题 向量组 [ β 1 β 2 ⋯ β s ] \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] [β1β2⋯βs]可由线性无关的向量组 ...原问题
向量组 [ β 1 β 2 ⋯ β s ] \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] [β1β2⋯βs]可由线性无关的向量组 [ α 1 α 2 ⋯ α r ] \left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right] [α1α2⋯αr]线性表示,即有 [ β 1 β 2 ⋯ β s ] = [ α 1 α 2 ⋯ α r ] B , \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right]B, [β1β2⋯βs]=[α1α2⋯αr]B,则
r a n k { [ β 1 β 2 ⋯ β s ] } = r a n k ( B ) . rank\left\{ \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] \right\}=rank\left( B \right). rank{[β1β2⋯βs]}=rank(B).证明
- 引理1:矩阵的初等行变换和初等列变换不改变原矩阵的秩。
- 定义1:对单位矩阵 I I I进行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵。
- 引理2:对矩阵进行一次初等行(列)变换相当于在原矩阵左(右)边乘一个相应的初等矩阵。
- 引理3:初等矩阵的逆还是初等矩阵。
首先对矩阵 B B B进行拆解。 B B B是一个 r × s r\times s r×s的矩阵。令 t = r a n k ( B ) ≤ min { r , s } t=rank\left( B \right)\le \min \left\{ r,s \right\} t=rank(B)≤min{r,s},则 B B B一定可以由矩阵 [ I t × t O t × ( s − t ) O ( r − t ) × t O ( r − t ) × ( s − t ) ] \left[ \begin{matrix} {{I}_{t\times t}} & {{O}_{t\times \left( s-t \right)}} \\ {{O}_{\left( r-t \right)\times t}} & {{O}_{\left( r-t \right)\times \left( s-t \right)}} \\ \end{matrix} \right] [It×tO(r−t)×tOt×(s−t)O(r−t)×(s−t)]经过有限的一系列初等行列变换得到,即存在初等矩阵 P 1 ( a ) , P 2 ( a ) , . . . , P m ( a ) ( a ) P_{1}^{\left( a \right)},\text{ }P_{2}^{\left( a \right)},...,P_{m\left( a \right)}^{\left( a \right)} P1(a), P2(a),...,Pm(a)(a)和 P 1 ( b ) , P 2 ( b ) , . . . , P m ( b ) ( b ) P_{1}^{\left( b \right)},\text{ }P_{2}^{\left( b \right)},...,P_{m\left( b \right)}^{\left( b \right)} P1(b), P2(b),...,Pm(b)(b),使得
B = ( ∑ i m ( a ) P i ( a ) ) [ I t × t O t × ( s − t ) O ( r − t ) × t O ( r − t ) × ( s − t ) ] ( ∑ i m ( b ) P i ( b ) ) . B=\left( \sum\limits_{i}^{m\left( a \right)}{P_{i}^{\left( a \right)}} \right)\left[ \begin{matrix} {{I}_{t\times t}} & {{O}_{t\times \left( s-t \right)}} \\ {{O}_{\left( r-t \right)\times t}} & {{O}_{\left( r-t \right)\times \left( s-t \right)}} \\ \end{matrix} \right]\left( \sum\limits_{i}^{m\left( b \right)}{P_{i}^{\left( b \right)}} \right). B=⎝⎛i∑m(a)Pi(a)⎠⎞[It×tO(r−t)×tOt×(s−t)O(r−t)×(s−t)]⎝⎛i∑m(b)Pi(b)⎠⎞.
所以我们得到
[ β 1 β 2 ⋯ β s ] = [ α 1 α 2 ⋯ α r ] { ∑ i m ( a ) P i ( a ) [ I t × t O t × ( s − t ) O ( r − t ) × t O ( r − t ) × ( s − t ) ] ∑ i m ( b ) P i ( b ) } \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right]\left\{ \sum\limits_{i}^{m\left( a \right)}{P_{i}^{\left( a \right)}}\left[ \begin{matrix} {{I}_{t\times t}} & {{O}_{t\times \left( s-t \right)}} \\ {{O}_{\left( r-t \right)\times t}} & {{O}_{\left( r-t \right)\times \left( s-t \right)}} \\ \end{matrix} \right]\sum\limits_{i}^{m\left( b \right)}{P_{i}^{\left( b \right)}} \right\} [β1β2⋯βs]=[α1α2⋯αr]⎩⎨⎧i∑m(a)Pi(a)[It×tO(r−t)×tOt×(s−t)O(r−t)×(s−t)]i∑m(b)Pi(b)⎭⎬⎫
⇒ [ β 1 β 2 ⋯ β s ] ⋅ ( ∑ i m ( b ) P i ( b ) ) − 1 = { [ α 1 α 2 ⋯ α r ] ⋅ ∑ i m ( a ) P i ( a ) } [ I t × t O t × ( s − t ) O ( r − t ) × t O ( r − t ) × ( s − t ) ] . \Rightarrow \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right]\centerdot {{\left( \sum\limits_{i}^{m\left( b \right)}{P_{i}^{\left( b \right)}} \right)}^{-1}}=\left\{ \left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right]\centerdot \sum\limits_{i}^{m\left( a \right)}{P_{i}^{\left( a \right)}} \right\}\left[ \begin{matrix} {{I}_{t\times t}} & {{O}_{t\times \left( s-t \right)}} \\ {{O}_{\left( r-t \right)\times t}} & {{O}_{\left( r-t \right)\times \left( s-t \right)}} \\ \end{matrix} \right]. ⇒[β1β2⋯βs]⋅⎝⎛i∑m(b)Pi(b)⎠⎞−1=⎩⎨⎧[α1α2⋯αr]⋅i∑m(a)Pi(a)⎭⎬⎫[It×tO(r−t)×tOt×(s−t)O(r−t)×(s−t)].
记
[ β 1 ( 1 ) β 2 ( 1 ) ⋯ β s ( 1 ) ] = [ β 1 β 2 ⋯ β s ] ( ∑ i m ( b ) P i ( b ) ) − 1 , \left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right]=\left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right]{{\left( \sum\limits_{i}^{m\left( b \right)}{P_{i}^{\left( b \right)}} \right)}^{-1}}, [β1(1)β2(1)⋯βs(1)]=[β1β2⋯βs]⎝⎛i∑m(b)Pi(b)⎠⎞−1,
[ α 1 ( 1 ) α 2 ( 1 ) ⋯ α r ( 1 ) ] = [ α 1 α 2 ⋯ α r ] ∑ i m ( a ) P i ( a ) , \left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\alpha }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\alpha }_{r}}^{\left( 1 \right)} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right]\sum\limits_{i}^{m\left( a \right)}{P_{i}^{\left( a \right)}}, [α1(1)α2(1)⋯αr(1)]=[α1α2⋯αr]i∑m(a)Pi(a),
则可简写成
[ β 1 ( 1 ) β 2 ( 1 ) ⋯ β s ( 1 ) ] = [ α 1 ( 1 ) α 2 ( 1 ) ⋯ α r ( 1 ) ] [ I t × t O t × ( s − t ) O ( r − t ) × t O ( r − t ) × ( s − t ) ] = [ α 1 ( 1 ) , α 2 ( 1 ) , . . . , α t ( 1 ) ] ( t ≤ r ) \begin{aligned} & \left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right]=\left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\alpha }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\alpha }_{r}}^{\left( 1 \right)} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{I}_{t\times t}} & {{O}_{t\times \left( s-t \right)}} \\ {{O}_{\left( r-t \right)\times t}} & {{O}_{\left( r-t \right)\times \left( s-t \right)}} \\ \end{matrix} \right] \\ & \text{ }=\left[ \alpha _{1}^{\left( 1 \right)},\alpha _{2}^{\left( 1 \right)},...,\alpha _{t}^{\left( 1 \right)} \right]\text{ }\left( t\le r \right) \\ \end{aligned} [β1(1)β2(1)⋯βs(1)]=[α1(1)α2(1)⋯αr(1)][It×tO(r−t)×tOt×(s−t)O(r−t)×(s−t)] =[α1(1),α2(1),...,αt(1)] (t≤r)下面分步骤进行分析。
-
[
β
1
(
1
)
β
2
(
1
)
⋯
β
s
(
1
)
]
\left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right]
[β1(1)β2(1)⋯βs(1)]是由
[
β
1
β
2
⋯
β
s
]
\left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right]
[β1β2⋯βs]右乘
(
∑
i
m
(
b
)
P
i
(
b
)
)
−
1
{{\left( \sum\limits_{i}^{m\left( b \right)}{P_{i}^{\left( b \right)}} \right)}^{-1}}
(i∑m(b)Pi(b))−1得到,即右乘一系列初等矩阵
(
P
m
(
b
)
(
b
)
)
−
1
,
(
P
m
(
b
)
−
1
(
b
)
)
−
1
,
.
.
.
,
(
P
1
(
b
)
)
−
1
{{\left( P_{m\left( b \right)}^{\left( b \right)} \right)}^{-1}},{{\left( P_{m\left( b \right)-1}^{\left( b \right)} \right)}^{-1}},...,{{\left( P_{1}^{\left( b \right)} \right)}^{-1}}
(Pm(b)(b))−1,(Pm(b)−1(b))−1,...,(P1(b))−1得到,所以有
r a n k { [ β 1 β 2 ⋯ β s ] } = r a n k { [ β 1 ( 1 ) β 2 ( 1 ) ⋯ β s ( 1 ) ] } rank\left\{ \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] \right\}=rank\left\{ \left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right] \right\} rank{[β1β2⋯βs]}=rank{[β1(1)β2(1)⋯βs(1)]} -
[
α
1
(
1
)
α
2
(
1
)
⋯
α
r
(
1
)
]
\left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\alpha }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\alpha }_{r}}^{\left( 1 \right)} \\ \end{matrix} \right]
[α1(1)α2(1)⋯αr(1)]是由
[
α
1
α
2
⋯
α
r
]
\left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right]
[α1α2⋯αr]右乘一系列初等矩阵
∑
i
m
(
a
)
P
i
(
a
)
\sum\limits_{i}^{m\left( a \right)}{P_{i}^{\left( a \right)}}
i∑m(a)Pi(a)得到,有
r a n k { [ α 1 ( 1 ) α 2 ( 1 ) ⋯ α r ( 1 ) ] } = r a n k { [ α 1 α 2 ⋯ α r ] } = r rank\left\{ \left[ {{\begin{matrix} {{\alpha }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\alpha }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right] \right\}=rank\left\{ \left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right] \right\}=r rank{[α1(1)α2(1)⋯αr(1)]}=rank{[α1α2⋯αr]}=r - 在步骤2已经知道
[
α
1
(
1
)
α
2
(
1
)
⋯
α
r
(
1
)
]
\left[ {{\begin{matrix} {{\alpha }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\alpha }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right]
[α1(1)α2(1)⋯αr(1)]也是一个极大线性无关组的基础上,结合上面得到的
[
β
1
(
1
)
β
2
(
1
)
⋯
β
s
(
1
)
]
=
[
α
1
(
1
)
,
α
2
(
1
)
,
.
.
.
,
α
t
(
1
)
]
\left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right]=\left[ \alpha _{1}^{\left( 1 \right)},\alpha _{2}^{\left( 1 \right)},...,\alpha _{t}^{\left( 1 \right)} \right]
[β1(1)β2(1)⋯βs(1)]=[α1(1),α2(1),...,αt(1)]和
t
≤
r
t\le r
t≤r的条件,显然有
r a n k { [ β 1 ( 1 ) β 2 ( 1 ) ⋯ β s ( 1 ) ] } = r a n k { [ α 1 ( 1 ) , α 2 ( 1 ) , . . . , α t ( 1 ) ] } = t . rank\left\{ \left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right] \right\}=rank\left\{ \left[ \alpha _{1}^{\left( 1 \right)},\alpha _{2}^{\left( 1 \right)},...,\alpha _{t}^{\left( 1 \right)} \right] \right\}=t. rank{[β1(1)β2(1)⋯βs(1)]}=rank{[α1(1),α2(1),...,αt(1)]}=t.
综上即可证得
r a n k { [ β 1 β 2 ⋯ β s ] } = t = r a n k ( B ) rank\left\{ \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] \right\}=t=rank\left( B \right) rank{[β1β2⋯βs]}=t=rank(B) -
向量组的线性相关性
2021-06-05 23:45:21n维列向量和n维行向量,分别是竖着的和横着的。 aT=(a1,a2,a3,......,an) 横着的是行向量; a目录
一、行向量和列向量
n维列向量和n维行向量,分别是竖着的和横着的。
aT=
横着的是行向量;
a=
是竖着的,是列向量;
还要注意一下表示法,通常带T的是行向量,不带T的是列向量。
二、矩阵和向量
我们知道的矩阵的分块法,我们可以按每列进行分块,那么我们就可以得到一个向量组,里面的元素是列向量。
如果我们对每行进行分块,那么我们就可以得到一个向量组,里面的元素是行向量。
三、向量组的线性组合
1.向量组A:a1,a2,......,an 对于任何一组实数k1,k2,......,kn表达式:
称为向量组A的线性组合,k1,k2,...kn也称为线性组合的系数。
2.若给定向量组A,和向量b,如果存在一组数使
,那么向量b则是向量组A 的线性组合,也称向量b能由向量组A线性表示。
将ki用xi替换也等价为:
有解。若有解则有R(A)=R(A,b)。
=>定理:向量b能由向量组A线性表示的充要条件是:R(A)=R(A,b)
3.向量组等价、系数矩阵
向量组B能由向量组A线性表示:B中的每个向量都可以由A线性表示。
向量组B和向量组A等价:二者可以相互线性表示。
我们可以称:C的列向量组能由A的列向量组线性表示。B称这一表示的系数矩阵
或称:C的行向量组能由B的行向量组线性表示,A为这一表示的系数矩阵
笔:这一点可以结合前面的理解,行变换和列变换来理解,系数矩阵在左边时可以认为是对行进行线性变换,在右边时可以认为对列进行线性变换
=>定理:向量组B
能由向量组A:
线性表示的充要条件是R(A)=R(A,B)。
笔:注意B,A是列向量组。所以系数矩阵应该在右边:AX=B,即有解,易得上面定理。
=>推论:借用上面定理调换AB位置可知A和B等价的充要条件:R(A)=R(A,B)=R(B)
笔:注意R(A,B)=R(B,A)即可
=>定理:设向量组B:
能由向量组A:
线性表示,则R(B)
R(A)
笔:即AX=B有解时二者秩的关系,有解则有 R(A)=R(A,B),又知道R(B)
R(A,B)=R(A),所以推知。
4、向量组的线性相关性
上面介绍的是线性表示
下面介绍的是线性相关性
向量组A:
,如果存在不全为零的数
使
则称A是线性相关的,否则是线性无关的。
如果
不全为0那么势必有一个或多个向量
能由其他向量线性表示,
反之也能推导到A是线性相关的。
有了向量组的线性相关性后我们再看下方程组。
当方程组中某个方程是其余方程的线性组合时,那么经过逆过程此方程会被消去,此方程也就成为了多余的方程,此时称方程组是线性相关的;当方程组中没有多余的方程时,我们称为方程组线性无关(独立)。
二者结合起来:方程组AX=b线性相关时,即(A,b)的行向量组线性相关,因为(A,b)就代表了方程组。
=>定理:向量组A:
线性相关的充要条件:R(A)<向量个数n; 向量组A:
线性无关的充要条件:R(A)=向量个数n;
笔:如果将上面AX=b,b换为0,那么就成为AX=0。线性相关就变成了此方程组存在非零解,如果是0解相应的A就为线性无关。转换为非零解的问题,假定n个变量n个方程,如果R(A)<n,说明有方程被约掉,此时是有无限解的,也就是存在非零解。如果<n个方程,那么此时必有R(A)<n。同上,如果AX=0仅有零解,那么A是线性无关的,仅有零解说明了存在了唯一解,此时必有R(A)=n,n个方程n变量恰好有一组解。
①=>定理:向量组A:
线性相关,则向量组B:
也线性相关;若向量组B:
线性无关, 向量组A:
线性无关;
笔:向量组A线性相关:则R(A)<n, 所以R(B)
R(A)+1=n+1,所以B线性相关;向量组B向量无关R(B)=n+1,假若A线性相关那么R(A)<n,所以R(B)
R(A)+1<n+1,就会推知B 线性相关,所以知假设不成立,所以A线性无关。
②=>定理:m个n维向量组成的向量组B即n×m矩阵,如果n<m,那么一定线性相关。
笔:因为R(B)
min{n,m}=n<m所以知,定线性相关。
③=>定理: 向量组A:
线性无关,向量组B:
线性相关,则
向量b必能由A线性表示,且表示式唯一。
笔:向量组B:
线性相关,即R(B)<n+1。 向量组A:
线性无关,所以R(A)=n。所以就可以推知n=R(A)
R(B)<n+1,所以R(B)=n。所以AX=b有唯一解。
注:之前我在此混淆了方程组和向量组的关系。向量组的线性相关性和方程组的线性相关性,方程组的线性相关性只是说明是否有多余的方程,并未透露解的问题,有可能方程组的方程个数很多。所以具体有无解或者是解的个数问题 需要判断R(A)=?R(A,B),且和n的关系。
向量组的秩
->就是最大线性无关向量组所含向量的个数
->向量组的任一向量都能由最大线性无关向量组线性表示
矩阵的秩和它的列向量组的秩、行向量组的秩相等。
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2020-11-10 21:57:32n维向量及其运算、向量线性相关与线性无关1 向量间的线性关系2 向量组的等价3 线性相关与线性无关4 定理 1 向量间的线性关系 向量定义:n个数a1,a2...ana_{1},a_{2}...a_{n}a1,a2...an组成的有序数组(a1,a2...... -
线性代数/判断向量组是否线性相关/定义与例题
2021-01-04 19:26:34向量组线性相关 定义 例题 定义 向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s ( s ⩾ 1 ) \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\geqslant1) α1,α2,⋯,αs(s⩾1) 称为线性相关,如果有数域 P P P 中不全为零的数 k 1 , ... -
线性代数 --- 矩阵与向量相乘(个人笔记扫描版)
2021-09-27 14:47:12矩阵B左乘以矩阵A,把矩阵B看成一系列的行向量row1,row2......cown,对A的线性重组。(牢记口诀:前乘行,行操作。) 版权声明:所有的笔记,可能来自很多不同的网站和说明,在此没法一一列出,如有侵权,请... -
【线性代数(11)】极大线性无关组、向量组的秩
2020-11-11 11:13:03向量组的秩1 极大线性无关组2 向量组的秩3 极大线性无关组的求解 手动反爬虫:原博地址 知识梳理不易,请尊重劳动成果,文章仅发布在CSDN网站上,在其他网站看到该博文均属于未经作者授权的恶意爬取信息 如若转载... -
线性代数:第四章 向量组的线性相关性(1)向量组的线性相关性 向量组的秩
2016-03-03 14:39:01第一节 向量组的线性相关性 一.... 定义1.1 n个有次序的数 ,所组成的数组称为n维向量,这n...称为向量组A的一个线性组合, 称为这个线性组合的系数。 定义3 给定向量组A: 和向量β,若存在一组数 ,使 -
【机器学习的线性代数基础】行列式、矩阵的线性运算、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型等
2020-03-01 13:24:24行列式按行(列)展开定理矩阵矩阵的线性运算1.矩阵的加法2.矩阵的数乘3.矩阵的乘法4. A^T、A^(-1)、A^*三者之间的关系5.有关A^*的结论6.有关A^(-1)的结论7.有关矩阵秩的结论8.分块求逆公式向量1.有关向量组的线性... -
第四章 向量组的线性相关性
2022-04-19 19:37:24第四章 向量组的线性相关性向量组及其线性组合 ...若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组 定义2 定理1 向量 b 能由向量组 A: a1, a2, …, am 线性表示的充分必要条件是矩阵 A = (a1, a2, …, -
矩阵 II : 线性组的线性相关性
2018-01-28 13:09:40学习机器学习, 基础的线性代数知识是必备的基础功, 对于线性代数的探索, 向量组也是...1.1 相性相关和线性无关 1.2 相性相关性的判别定理 向量组的秩与极大无关组 2.1 秩与极大无关组 2.2 等价向量组 向量空间 3.1 -
线性空间的向量组与数量矩阵的乘法
2018-01-25 18:45:47对于有限维(维度为 n" role="presentation" style="position: relative;">nnn )线性空间 V" role="presentation" style="position: relative;">VVV 与 V" role="presentation" style...">VVV 上的一组向量 ξ= -
在求向量组的极大线性无关组时,为什么要将向量竖着放,然后对所构成的矩阵进行初等行变换?转
2020-10-18 13:53:23向量组的向量按列排放,“行向量”就只是对不同向量里同一个维度的数字(元素)的一个叫法,但绝不是那个要用来组合新向量的那些向量,列向量(原来向量组里的向量)与“行向量(假装则也是一个向量)”在性质上完全不是一... -
线性代数——矩阵、向量、行列式、特征值与特征向量
2021-04-08 22:07:05于是数学家发明了矩阵,把方程组中所有系数写到了一个框里面,把所有未知数写到第二个框里,把所有等式右边的值写到第三个框里。 比如方程组(1)也可表示为: 观察(2)式不难发现,复杂的方程组用矩阵表示后,... -
matlab强制转换向量或矩阵为行向量,列向量
2022-03-02 10:21:34有时候需要将向量或矩阵转为行向量,方便输出或操作,可以不用判断,利用(,所有元素“:”来自动获取拉平的值(注意matlab是按列优先取值)。免于判断烦恼。 a = [1,2,3,4] a_row = a(:)' a2 = a' a2_row = a(:)' ... -
线性代数 矩阵和向量空间
2020-05-09 09:23:02(1)行图像(row picture):1个行图像展示1个方程 (2)列图像(column picture):1个 (3)矩阵形式(matrix form) 2x-y=0 -x+2y=3 -- -- -- -- -- -- | 2 -1 | | x | = | 0 | | -1 2 | | y | | 3 | -- -- -- -- -- -
【线性代数】矩阵、向量、行列式、特征值与特征向量(掌握这些概念一篇文章就够了)
2017-08-25 19:55:11很多人在大学学习线性代数时,国内教材书上大多一开始就是行列式的表示、计算、性质等等东西,让人看得云里雾里,一头雾水,然后要花很多时间才大概知道线性代数是个什么东西。本文不提书上晦涩难懂的内容,尽量用... -
线性代数-向量组的线性相关
2019-03-07 21:37:12n维向量,极大无关组,矩阵的秩 -
线性代数拾遗(一):线性方程组、向量方程和矩阵方程
2019-12-14 21:15:00前言线性代数在各大理工科,乃至经济金融领域的使用之广泛,毋庸置疑。一直以来,我虽也知道线性代数的重要,但从内心上其实一直是犯怵的(尤其是学习论文、算法中,基本只要看到对方把算法向量化之后... -
线性代数:向量组的线性相关性
2021-12-23 18:10:36向量组的线性相关性1.向量组:多个向量组成的,向量组的线性相关性? 前提:向量:之前用一条线表示,坐标...一个向量B能由向量组A线性表示:充分必要条件矩阵A=(a1,a2,a3,a4,a5,am)的秩等于矩阵B=(a1,a2,a3,a4,a5, -
矩阵和向量--线性代数的本质--矩阵、线性变换、矩阵乘法与线性变换复合
2020-04-09 10:04:51线性代数的本质,源视频 https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E 目录 矩阵和线性变换 矩阵乘法与复合变换 Unfortunately, no one can be told what the Matrix is....矩阵(Matrix)是一...