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  • 设A为m×n阶矩阵(即m行n列),第i...操作方法01基本性质1:(KA)'=KA'即任何一个常数乘以矩阵的转置等于这个常数乘以这个矩阵的转置02基本性质2:(A')'=A即一个矩阵的转置矩阵的转置等于它本身03基本性质:3:(A±B)'=A...

    设A为m×n阶矩阵(即m行n列),第i行j列的元素是a(i,j),即:A=a(i,j) 定义A的转置为n×m阶矩阵B,满足B=a(j,i),即b(i,j)=a(j,i)记A'=B则称B为A的转置矩阵。

    操作方法

    01

    基本性质1:(KA)'=KA'即任何一个常数乘以矩阵的转置等于这个常数乘以这个矩阵的转置

    02

    基本性质2:(A')'=A即一个矩阵的转置矩阵的转置等于它本身

    03

    基本性质:3:(A±B)'=A'±B'即两个矩阵之和的矩阵等于两个矩阵转置的和

    04

    基本性质4:(A×B)'=B'×A'即两个矩阵的积的转置等于两个矩阵转置的积

    05

    对称矩阵:转置等于自身的方块矩阵叫做对称矩阵,则有A'=A称A为对称矩阵

    06

    正交矩阵:转置是它的逆矩阵的方块矩阵叫做正交矩阵,则有AA'=A'A=E(E为单位矩阵)称A为正交矩阵

    07

    斜对称矩阵:转置等于它的负矩阵的方块矩阵叫做斜对称矩阵,则有A'=-A称A为斜对称矩阵

    好了,以上就是大致内容了,(END)

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  • 2017-03-25 回答一般来讲矩阵范数除了正定性,齐次性和三角不等式之外,还规定...对于n阶实方阵(或复方阵)全体上任何一个范数║·║,总存在唯一实数k>0,使得k║·║是极小范数。注:如果不考虑相容性,那么...

    2017-03-25 回答

    一般来讲矩阵范数除了正定性,齐次性和三角不等式之外,还规定其必须满足相容性:║xy║≤║x║║y║。所以矩阵范数通常也称为相容范数。

    如果║·║α是相容范数,且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容范数,那么║·║α称为极小范数。对于n阶实方阵(或复方阵)全体上的任何一个范数║·║,总存在唯一的实数k>0,使得k║·║是极小范数。

    注:如果不考虑相容性,那么矩阵范数和向量范数就没有区别,因为mxn矩阵全体和mn维向量空间同构。引入相容性主要是为了保持矩阵作为线性算子的特征,这一点和算子范数的相容性一致,并且可以得到mincowski定理以外的信息。

    诱导的范数

    把矩阵看作线性算子,那么可以由向量范数诱导出矩阵范数

    ║a║ = max{║ax║:║x║=1}= max{║ax║/║x║: x≠0} ,

    它自动满足对向量范数的相容性

    ║ax║ ≤ ║a║║x║,

    并且可以由此证明:

    ║ab║ ≤ ║a║║b║。

    注:

    ⒈上述定义中可以用max代替sup是因为有限维空间的单位闭球是紧的(有限开覆盖定理),从而上面的连续函数可以取到最值。

    ⒉显然,单位矩阵的算子范数为1。

    常用的三种p-范数诱导出的矩阵范数是

    1-范数:║a║1 = max{ ∑|ai1|,∑|ai2|,……,∑|ain| } (列和范数,a每一列元素绝对值之和的最大值)

    (其中∑|ai1|第一列元素绝对值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|,其余类似);

    2-范数:║a║2 = a的最大奇异值 = (max{ λi(ah*a) }) 1/2 (谱范数,即a^h*a特征值λi中最大者λ1的平方根,其中ah为a的转置共轭矩阵);

    ∞-范数:║a║∞ = max{ ∑|a1j|,∑|a2j|,...,∑|amj| } (行和范数,a每一行元素绝对值之和的最大值)

    (其中∑|a1j| 为第一行元素绝对值的和,其余类似);

    其它的p-范数则没有很简单的表达式。

    对于p-范数而言,可以证明║a║p=║ah║q,其中p和q是共轭指标。

    简单的情形可以直接验证:║a║1=║ah║∞,║a║2=║ah║2,一般情形则需要利用║a║p=max{yh*a*x:║x║p=║y║q=1}。

    非诱导范数

    有些矩阵范数不可以由向量范数来诱导,比如常用的frobenius范数(也叫euclid范数,简称f-范数或者e-范数):

    ║a║f= (∑∑ aij2)1/2 (a全部元素平方和的平方根)。

    容易验证f-范数是相容的,但当min{m,n}>1时f-范数不能由向量范数诱导(||e11+e22||f=2>1)。

    可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数。例如定义

    ║x║=║x║,其中x=[x,x,…,x]是由x作为列的矩阵。

    由于向量的f-范数就是2-范数,所以f-范数和向量的2-范数相容。另外还有以下结论:

    ║ab║f <= ║a║f ║b║2 以及 ║ab║f ≤ ║a║2 ║b║f

    矩阵谱半径

    定义:a是n阶方阵,λi是其特征值,i=1,2,…,n。则称特征值的绝对值的最大值为a的谱半径,记为ρ(a)。

    注意要将谱半径与谱范数(2-范数)区别开来,谱范数是指a的最大奇异值,即ah*a最大特征值的算术平方根。

    谱半径是矩阵的函数,但不是矩阵范数。谱半径和范数的关系是以下几个结论:

    定理1:谱半径不大于矩阵范数,即ρ(a)≤║a║。

    因为任一特征对λ,x,ax=λx,可得ax=λx。两边取范数并利用相容性即得结果。

    定理2:对于任何方阵a以及任意正数e,存在一种矩阵范数使得║a║;∞} ║ak║1/k。

    利用上述性质可以推出以下两个常用的推论:

    推论1:矩阵序列 i,a,a2,…ak,… 收敛于零的充要条件是ρ(a)<1。

    推论2:级数 i+a+a2+... 收敛到(i-a)-1的充要条件是ρ(a)<1。

    酉不变范数

    定义:如果范数║·║满足║a║=║uav║对任何矩阵a以及酉矩阵u,v成立,那么这个范数称为酉不变范数。

    容易验证,2-范数和f-范数是酉不变范数。因为酉变换不改变矩阵的奇异值,所以由奇异值得到的范数是酉不变的,比如2-范数是最大奇异值,f-范数是所有奇异值组成的向量的2-范数。

    反过来可以证明,所有的酉不变范数都和奇异值有密切联系:

    定理(von neumann定理):在酉不变范数和对称度规函数(symmetric gauge function)之间存在一一对应关系。

    也就是说任何酉不变范数事实上就是所有奇异值的一个对称度规函数。

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  • Fortran在科学计算方面...对于一个矩阵的转置矩阵,简单来讲,就是行变列。如果用标准程序来写,就是两个循环,然后行列交换。有矩阵A,它的转置矩阵为矩阵B。 do i=1,im do j=1,jm b(j,i)=a(i,j) end do end doFor...

    Fortran在科学计算方面有强大运算能力,主要是体现在矩阵上,Fortran专门为矩阵的应用设计了很多专用函数。

    对于一个矩阵的转置矩阵,简单来讲,就是行变列。如果用标准程序来写,就是两个循环,然后行列交换。有矩阵A,它的转置矩阵为矩阵B。

      do i=1,im        do j=1,jm            b(j,i)=a(i,j)        end do    end do

    Fortran专门有矩阵转置的函数。b=transpose(a)。这和上面的代码是等效的。

    两个矩阵相乘,要求只有在第一个矩阵的列数(column)和第二个矩阵的行数(row)相同时才有意义。

    6d825d4080ccd2840fc0de80a3d93473.png

    矩阵A*矩阵B=矩阵C

    矩阵相乘结果满足如下公式:

    1. C11=A11B11+A12B21
    2. C12=A11B12+A12B22
    3. C21=A21B11+A22B21
    4. C22=A21B12+A22B22

    用标准代码就是:

      do i=1,im        do j=1,im            c(i,j)=0            do k=1,jm                c(i,j)=c(i,j)+a(i,k)*b(k,j)            end do        end do    end do

    Fortran专门有矩阵相乘的函数。c=matmul(a,b)。这和上面代码是等效的。

    我们做一个练习,把一个3*3矩阵A,分别通过代码和函数公式求出转置矩阵B,然后再分别通过代码和函数公式计算A,B相乘得到矩阵C。

    program test70    implicit none    integer,parameter::im=3,jm=3    integer::i,j,k    integer::a(im,jm),b(jm,im),c(im,im)=0    data a &        /1,2,3,&         5,9,4,&         7,2,6/    write(*,*)"矩阵A:"    write(*,"(3i2)")a    write(*,'(60("-"))')    do i=1,im        do j=1,jm            b(j,i)=a(i,j)        end do    end do    write(*,*)"循环求矩阵B:"    write(*,"(3i2)")b    write(*,'(60("-"))')    b=transpose(a)    write(*,*)"公式求矩阵B:"    write(*,"(3i2)")b    write(*,'(60("-"))')    do i=1,im        do j=1,im            c(i,j)=0            do k=1,jm                c(i,j)=c(i,j)+a(i,k)*b(k,j)            end do        end do    end do    write(*,*)"循环求矩阵A*B:"    write(*,"(3i4)")c    write(*,'(60("-"))')     c=matmul(a,b)    write(*,*)"公式求矩阵A*B:"    write(*,"(3i4)")c    write(*,'(60("-"))')           pause    stopend program test70

    运行程序,结果如下:(Fortran矩阵顺序是先列后行)

    ff784dd1554522faed843304d8341306.png

    运行结果

    Fortran中两个矩阵可以直接相加,相减。大大提高了运行效率。

    2d0aedd7df6d96397d2ecd0c2d10f6f8.png
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  • 2.2矩阵运算1. 矩阵的加法设有两个矩阵那么与的和记作规定为:说明:只有同型矩阵才能进行加法运算.2.矩阵加法的运算规律(1) (2) ... 两个矩阵的乘法的定义设是一个矩阵,是一个矩阵,那么规定矩阵与矩阵的乘积是一...

    2.2矩阵运算

    1. 矩阵的加法

    设有两个矩阵那么的和记作规定为:

    说明:只有同型矩阵才能进行加法运算.

    2.矩阵加法的运算规律

    (1)

    (2) 

    (3) 称为矩阵的负矩阵;

    (4)

    3. 矩阵数乘的定义

    与矩阵的乘积记作规定为

    4. 矩阵数乘的运算规律

    (1)

    (2)

    (3)

    说明:矩阵的加法与数乘统称为矩阵的线性运算.

    5. 两个矩阵的乘法的定义

    是一个矩阵,是一个矩阵,那么规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵其中并把此乘积记作

    注意:只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘.

    6. 例题

    1. 计算乘积: 

    2. 计算乘积:

    课堂索引:04 第二章 矩阵的运算
    2.2.1矩阵运算(1)-加法、减法、数乘、乘法

    视频讲解

    7. 矩阵乘法的运算规律

    (1)

    (2)

    (3) (其中为数)

    (4)

    (5) 若阶矩阵,则次幂,即满足:(为正整数).

    (6) 注意: 矩阵不满足交换律,即在一般情形下:

    8. 例题

    1. 阶方阵,问等式成立的充要条件是什么?

    课堂索引:04 第二章 矩阵的运算
    2.2.2矩阵运算(2)-矩阵乘法的运算规律

    视频讲解

    9. 转置矩阵

    把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做的转置矩阵,记作

    10. 转置矩阵运算性质

    (1)

    (2)

    (3)  

    (4)  

    11. 例题

    已知

    课堂索引:04 第二章 矩阵的运算
    2.2.3转置、对称矩阵、伴随矩阵

    视频讲解

    12. 方阵行列式的定义

    阶方阵的元素所构成的行列式,叫做方阵的行列式,记作

    13. 方阵行列式的运算性质

    (1)  

    (2)

    (3)  

    14.例题

    是三阶方阵,且

    课堂索引:04 第二章 矩阵的运算
    2.2.3转置、对称矩阵、伴随矩阵

    视频讲解

    15. 对称与反对称矩阵的定义

    对称矩阵:

    阶方阵,如果满足(),那么称为对称矩阵.

    反对称矩阵:

    如果则称为反对称矩阵.

    16.例题

    1. 设列矩阵满足阶单位矩阵,证明是对称矩阵且

    2. 证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和.

    课堂索引:04 第二章 矩阵的运算
    2.2.3转置、对称矩阵、伴随矩阵

    视频讲解

    17. 伴随矩阵的定义

    行列式的各个元素的代数余子式所构成的矩阵称为矩阵的伴随矩阵.

    18. 例题

    求矩阵的伴随矩阵

    课堂索引:04 第二章 矩阵的运算
    2.2.3转置、对称矩阵、伴随矩阵

    视频讲解

    19. 伴随矩阵的性质

    定理

    例题答案

    例6答案

    课堂索引:04 第二章 矩阵的运算
    2.2.1矩阵运算(1)-加法、减法、数乘、乘法

    视频讲解

    例8答案

    1. 成立的充要条件是

    课堂索引:04 第二章 矩阵的运算
    2.2.2矩阵运算(2)-矩阵乘法的运算规律

    例11答案

    课堂索引:04 第二章 矩阵的运算
    2.2.3转置、对称矩阵、伴随矩阵

    例14答案

    课堂索引:04 第二章 矩阵的运算
    2.2.3转置、对称矩阵、伴随矩阵

    视频讲解

    例16答案

    1. 证明略.

    2. 证明略.

    课堂索引:04 第二章 矩阵的运算
    2.2.3转置、对称矩阵、伴随矩阵

    例18答案

    伴随矩阵

    课堂索引:04 第二章 矩阵的运算
    2.2.3转置、对称矩阵、伴随矩阵

    视频讲解

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空空如也

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一个矩阵的转置怎么求