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  • 矩阵迹

    2020-11-16 09:59:11
    矩阵迹 trace 的一些性质: 对于矩阵 XXX 有: 转置迹trace一样:tr⁡(X⊤)=tr⁡(X)\operatorname{tr}\left(X^{\top}\right)=\operatorname{tr}(X)tr(X⊤)=tr(X) ; 线性拆分:tr⁡(A+B)=tr⁡(A)+tr⁡(B)\operator...

    矩阵迹 trace 的一些性质:

    对于矩阵 X X X 有:

    1. 转置迹trace一样: tr ⁡ ( X ⊤ ) = tr ⁡ ( X ) \operatorname{tr}\left(X^{\top}\right)=\operatorname{tr}(X) tr(X)=tr(X)
    2. 线性拆分: tr ⁡ ( A + B ) = tr ⁡ ( A ) + tr ⁡ ( B ) \operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B) tr(A+B)=tr(A)+tr(B)

    矩阵内积转化为求矩阵乘积的迹:

    矩阵内积的定义:两个行数和列数均相同的矩阵,对应元素相乘再求和,记为:

    < A , B > = ∑ i j a i j b i j , <\mathrm{A}, \mathrm{B}>=\sum_{\mathrm{ij}} \mathrm{a}_{\mathrm{ij}} \mathrm{b}_{\mathrm{ij}}, <A,B>=ijaijbij, 其中 A ∈ R m × n , B ∈ R m × n \mathrm{A} \in \mathrm{R}^{\mathrm{m} \times \mathrm{n}}, \mathrm{B} \in \mathrm{R}^{\mathrm{m} \times \mathrm{n}} ARm×n,BRm×n

    在处理矩阵时,我们常用的一个技巧是,把求两个矩阵内积转化为求这两个矩阵乘积得到的矩阵的迹,即:

    < A , B > = tr ⁡ ( A T B ) <\mathrm{A}, \mathrm{B}>=\operatorname{tr}\left(\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \mathrm{B}\right) <A,B>=tr(ATB)

    下面给出 3*3 矩阵的证明,m*n 时的情况也可以类似证明:

    在这里插入图片描述

    参考链接:

    矩阵求导的Trace Trick-知乎
    矩阵内积转化为求矩阵乘积的迹

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  • 美国密西根大学的DennisSbernstein曾提出了一个3阶矩阵迹的恒等式猜怒,至今没有人给予证明。文章利用迹的已有结论和相关性质,通过推理演算,证明了这一结果的正确性。对一个3阶矩阵迹的相关知识的完菩做了进一步的...
  • 矩阵迹运算

    万次阅读 2017-10-20 10:18:36
    矩阵(方阵)运算返回的是矩阵对角元素的和: 运算因为很多原因而有用。若使用求和符号,有些...多个矩阵相乘得到的方阵的,和将这些矩阵中的最后一个挪到最前面之后相乘的是相同的。当然,我们需要考虑挪动

    矩阵(方阵)迹运算返回的是矩阵对角元素的和:


    迹运算因为很多原因而有用。若使用求和符号,有些矩阵运算很难描述,而通过矩阵乘法和迹运算符号,可以清楚地表示。例如矩阵F-范数(Frobenius norm)


    迹运算性质1:

    设方阵A,有


    迹运算性质2:

    多个矩阵相乘得到的方阵的迹,和将这些矩阵中的最后一个挪到最前面之后相乘的迹是相同的。当然,我们需要考虑挪动之后矩阵乘积依然定义良好:


    例如,假设矩阵Am*n矩阵,Bn*m矩阵,则:Tr(AB) = Tr(BA)。可以看到:尽管ABm*m矩阵,而BAn*n矩阵,但迹运算结果是相等的。

    迹运算性质3:

    标量的迹运算是它自己,Tr(a) = a

    迹运算性质4:迹的相似不变性

    如果矩阵A和B相似的话,它们会有相同的迹;关于矩阵相似性的定义,就不说啦!


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  • 矩阵

    2021-03-14 18:51:32
    矩阵迹是指矩阵对角线元素之和Tr(A)=∑iAi,i\mathrm{Tr}(\boldsymbol{A})=\sum_{i}\boldsymbol{A}_{i,i}Tr(A)=i∑​Ai,i​矩阵迹一个种描述可以用矩阵的Frobenius范数的方式:∥A∥F=Tr(AA⊤)\|\boldsymbol{A}\|_F...

    1.矩阵迹的定义

    矩阵迹是指矩阵对角线元素之和 T r ( A ) = ∑ i A i , i , \mathrm{Tr}(\boldsymbol{A})=\sum_{i}\boldsymbol{A}_{i,i}, Tr(A)=iAi,i,矩阵迹另一个种描述可以用矩阵的Frobenius范数的方式: ∥ A ∥ F = T r ( A A ⊤ ) \|\boldsymbol{A}\|_F=\sqrt{\mathrm{Tr(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{\top})}} AF=Tr(AA)

    2.矩阵迹的性质

    • 性质1:矩阵迹在转置运算下是不变的: T r ( A ) = T r ( A ⊤ ) \mathrm{Tr}(\boldsymbol{A})=\mathrm{Tr}(\boldsymbol{A}^{\top}) Tr(A)=Tr(A)
    • 性质2:多个方阵的相乘得到矩阵的迹具有循环置换性: T r ( A B C ) = T r ( C A B ) = T r ( B C A ) \mathrm{Tr}(\boldsymbol{ABC})=\mathrm{Tr}(\boldsymbol{CAB})=\mathrm{Tr}(\boldsymbol{BCA}) Tr(ABC)=Tr(CAB)=Tr(BCA)
    • 性质3:性质2的推广形式为: T r ( ∏ i = 1 n F ( i ) ) = T r ( F ( n ) ∏ i = 1 n − 1 F ( i ) ) \mathrm{Tr}(\prod_{i=1}^{n}\boldsymbol{F}^{(i)})=\mathrm{Tr}(\boldsymbol{F}^{(n)}\prod_{i=1}^{n-1}\boldsymbol{F}^{(i)}) Tr(i=1nF(i))=Tr(F(n)i=1n1F(i))

    根据以上性质2和性质3可知,即使循环置换后矩阵乘积得到的矩阵形状变了,矩阵迹运算的结果依然不变。例如,假设矩阵 A ∈ R m × n \boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{m \times n} ARm×n B ∈ R n × m \boldsymbol{B} \in \mathbb{R}^{n \times m} BRn×m, 可以得到 T r ( A B ) = T r ( B A ) , \mathrm{Tr}(\boldsymbol{AB})=\mathrm{Tr}(\boldsymbol{BA}), Tr(AB)=Tr(BA)尽管 A B ∈ R m × m \boldsymbol{AB} \in \mathbb{R}^{m \times m} ABRm×m B A ∈ R n × m \boldsymbol{BA} \in \mathbb{R}^{n \times m} BARn×m

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  • 计算矩阵

    千次阅读 2019-08-19 22:27:42
    这里想运用矩阵迹的性质,计算下面这矩阵的迹: 式子中假设是单位矩阵,是矩阵,那么根据矩阵迹的循环置换(cyclic permutation)性质: 根据矩阵迹的加法性质,有: 这里可以看到,矩阵迹主要是循环置换...

    关于矩阵的迹和它的性质,可以参考下面这篇文章。

    矩阵的迹及相关性质

    这里想运用矩阵迹的性质,计算下面这个矩阵Q的迹:

    Q = I - X (X'X)^{-1} X'

    式子中假设In\times n单位矩阵,Xn\times p矩阵,那么根据矩阵迹的循环置换(cyclic permutation)性质:

    tr(X (X'X)^{-1} X')=tr(X'X (X'X)^{-1})=tr(I_{p\times p})=p

    根据矩阵迹的加法性质tr(A+B)=tr(A)+tr(B),有:

    tr(Q)=tr(I)-tr(X (X'X)^{-1} X')=n-p

    这里可以看到,矩阵迹主要是循环置换(cyclic permutation)的性质在解决一些问题。

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  • 输入一个矩阵,求矩阵

    千次阅读 2015-06-24 20:44:57
    package com.demo; import java.io.BufferedReader; import java.io.IOException; import java.io.InputStreamReader; import java.util.Scanner; class Matrix { ... private int n = 0 ; /* * Th
  • 矩阵迹的几何意义

    2018-12-04 15:34:33
    线性代数中有两个不变量很有意思, 一个是方阵的行列式,另一个是方阵的。行列式是对角阵元素乘起来的相似不变量, 而是对角阵元素加起来的相似不变量。二者背后的本质和意义是相同的,因此本篇文章就一起来解释...
  • 矩阵乘积一个不等式的新证明* (1996年)
  • 矩阵以及矩阵求导

    千次阅读 2019-06-08 12:18:25
    ref: ... 矩阵概念 矩阵 就是 矩阵的主对角线上所有元素的和。 矩阵A的,记作tr(A),可知tra(A)=∑aii,1<=i<=n。 定理:tr(AB) = tr(BA) 证明 定理:tr(ABC) = tr(C...
  • 矩阵tr运算及矩阵求导公式

    千次阅读 2019-12-04 22:20:13
    矩阵tr运算 二、矩阵矩阵求偏导 三、标量函数和矩阵函数对矩阵求偏导 1.向量*矩阵,对矩阵求导 ...
  • 幂零矩阵迹的特征.pdf

    2021-10-01 21:34:48
    幂零矩阵迹的特征.pdf
  • 有趣的问题是给定一个条件使得相似矩阵相等对于非交换代数或非交换环上的矩阵成立。本文对于特征不是2的任意域F上定义的广义四元数代数上的两个矩阵A和B,给出如果A和B相似并且它们的主对角线上的元素在F中,那么...
  • 矩阵矩阵范数

    千次阅读 2019-03-28 15:51:10
    定义:在线性代数中,一个n×n矩阵A的主对角线(从左上方至右下方的对角线)上各个元素的总和被称为矩阵 A的(或数),一般记作tr(A)。 是所有对角元的和 是所有特征值的和 某些时候也利用tr(AB)=tr(BA)来求...
  • 矩阵规则

    2021-09-06 23:47:03
    A为一个方阵,则Tr A表示A的(就是主对角线上各项的和), ...第二个直接用第一个式子证明,将A视为一个矩阵,BC视为一个矩阵,可以证明第一个等式 然后将B视为一个矩阵,将CA视为一个矩阵可以证明第二个式子,就OK了 ...
  • 矩阵求导与矩阵

    2019-04-25 20:55:09
    比较有价值的博文:矩阵求导与矩阵
  • 类半正定矩阵不等式,王石安,,给出了一些半正定矩阵不等式,推广了Bellman , Kantorovich不等式
  • 矩阵迹求导

    2015-05-11 20:23:00
    参考文档:matrix calculus简单实用 转载于:https://www.cnblogs.com/porco/p/4495495.html
  • 利用Hermite正定矩阵的相关结果及其一些初等不等式,结合矩阵恒等变形的方法,研究了HerElite矩阵迹的不等式问题,对Holder不等式和Mink?wski不等式作出了进一步推广.
  • 设Γ_1对角线元素按减序排列的非负对角形矩阵,U_1是酉矩阵,i=1,2,…,m,则有当A_1,A_2.…,A_m半正定Hermite矩阵时,有其中Γ_1=diag(σ_1(A_1),σ_2(A_i).……σ.(A_i)).i=1,2.…,m。
  • 本文给出了关于任意n阶复矩阵迹的几个不等式,作为它的推论,包括了文[1,2]中相应的内容,并拓广到反厄米特矩阵和Cauchy不等式。同时从另一个角度就两两可交换的正定厄米特矩阵的迹给出了算术平均-几何平均不等式的另一...
  • 矩阵(trace)表示矩阵主对角线所有元素的和,
  • 矩阵(Trace)

    千次阅读 2020-11-24 18:48:52
    在线性代数中,一个 n*n 的矩阵 A 的(或数),是指 A 的主对角线(从左上方至右下方的对角线)上各个元素的总和,一般记作 tr(A) 或 sp(A):。 一个矩阵是其特征值得总和,按代数重数计算。 例子 矩阵 ...
  • 矩阵(Tr)

    万次阅读 2018-12-06 21:45:45
    运算返回的是矩阵对角元素的和: 若不使用求和符号,有些矩阵运算很难描述,而通过矩 阵乘法和...多个矩阵相乘得到的方阵的,和将这些矩阵中的最后一个挪到最前面之后相乘的是相同的。当然,我们需要考虑...
  • 矩阵笔记

    2016-10-18 16:34:40
    矩阵迹和F范数关系

空空如也

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一个矩阵的迹为0