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  • 一个积分号两个微分
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    2017-02-20 19:38:49


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    目录

     

    1.微分电路

    2.积分电路

    3.采样电路

    4.电荷泵


    1.微分电路

    与数学中的微分运算类似,微分电路的作用是对输入信号进行一阶求导,输出信号的大小与输入信号的变化率有关,反映的是信号中的突变部分。可以把矩形脉冲变换为尖脉冲输出,常作为电路的触发信号(LM331的频率-电压转换就利用到了该原理)。

    如图1所示,为基本的RC微分电路。初始时,U1=UC=U2=0V。当t=t1时,输入如图2(a)所示的矩形脉冲,由于电容C两端的电压不能突变,所以输入电压的一瞬间UC仍然等于0 (在这一瞬间可以把U1看成交流电,而电容具有通交流、阻直流的作用,所以UC=0V)。由U1=UC+U2,可知此时U2=U1,接着UC两端的电压会呈指数增长,所以,U2两端电压会呈指数下降。

    当t=t2时,U1=0V(此时电容C已经充满电),UC=A,电容会通过电阻R放电(电流方向为虚线),U2=-UC,并呈指数减小。电压的变化如图2(b)和(c)所示。

    图1 基本微分电路

    图2 输入信号与输出信号的变化

    当图1中的电阻R=20kΩ,电容C=100pF时,输入信号的幅值为5V,脉宽为50μs,UC和U2的电压变化如图3所示。

            图3

    需要注意的是微分电路中的时间常数τRC的乘积)需要远远小于输入信号的脉宽tp(一般τ<0.2tp)。τ越小,电容的充放电速度越快,输出脉冲就越尖,反之则越宽。

    当图1中的电阻R=20kΩ,电容C=2.5 nF时,仍输入上述的脉冲信号,此时有τ=tp,UC和U2的电压变化如图4所示,此时U2的输出已经不再是尖脉冲了,也就失去了波形变换的意义了。

            图4

    1上面的电路也常作为高通滤波器使用,关于滤波器的内容会再单独详细介绍。

    2上述电路的输出信号呈指数变化,线性度较差。为了提高电路的线性度和带载能力,常用运算放大器和R、C组成微分电路,其基本形式如图5所示。

    由虚短和虚断可知,此时有VN=0,iI=0,所以

    由VN-VO=iR,可知

    输出电压Vo正比于输入电压对时间的微分,负号表示相位相反。

            图5 微分电路

    当输入的是正弦信号VI=sinωt 时,输出信号VO=-RCωcosωt ,表明输出信号的幅值与输入信号的频率成正比。由于一般信号都会含有高频谐波,输出信号很有可能被噪声完全淹没,而且该电路容易出现自激振荡,稳定性很差。所以该电路的实用价值不是很高,常用的是如图6所示的改进微分电路。

    当R1=R2=R,C1=C2=C时,只有输入信号满足 时,才具有微分功能,具体推导过程比较复杂,在这里暂不展开,具体可以参考《改进型微分电路分析》

          图6 改进型微分电路

    利用Multisim搭建如图7(a)所示的仿真电路,当分别输入1kHz的三角波、矩形波和正弦波时,输出波形如图7(b~d)所示。

        

            (a) 基本电路                           (b)输入为三角波

         

                (c) 输入为方波                            (d) 输入为正弦波

            图7 改进型微分电路的输出与输入波形

    2.积分电路

    将微分电路中的电阻和电容替换一下位置,就得到了如图8(a)所示的积分电路。这个电路比较容易理解,就是利用电容两端电压不能突变的原理,当U1=A时,给电容C充电,U2逐渐增加;当U1=0时,电容C通过电阻R放电,U2逐渐降低,循环往复。积分电路可以用来将矩形波变成锯齿波输出,成立的条件是时间常数RC>>tp,否则电压C将会出现电压饱和。

      

            图8 (a)  积分电路               (b)输入与输出波形

    3上述电路也常作为低通滤波器使用,关于滤波器的内容会在后期详细介绍。

    4由于上述电路中,电容C两端的电压是呈指数变化的,所以输出电压U2与输入电压U1的线性关系较差。为了提高输出电压与输入电压的线性度,可以采用运算放大器和R、C组成积分电路,如图9(a)所示。

    同样由虚短和虚断可知,VN=0,iI=0,故有

    由电容的电压变化关系可知

    所以

    输出电压VO与输入电压VI的积分成线性关系,负号表示二者相位相反。利用Multisim得到的仿真结果如图9(b)所示。

             

          图9 (a)积分运算电路                      (b)仿真结果图

    3.采样电路

    如图10(a)所示,当开关S1(通常为MOS管)闭合时,电源Ui对电容C充电,UC增加,充电结束后,Uo=UC=Ui,这个过程通常称为采样阶段。当S1断开后,由于电容C没有放电回路,所以UC会保持不变,直到开关S1再次闭合,这个过程通常称为保持阶段,输入信号与输出信号的变化如图10(b)所示。其中运算放大器A通常选用具有高输入阻抗,和低输出阻抗的器件,以尽量减少电容C上的电荷泄漏,并提高电路的带负载能力,这个电路在AD采集等场合应用较为广泛。

             

            图10(a)采样电路                (b)输入与输出波形

    4.电荷泵

    现实中“泵”的主要作用就是增大液体或者气体的压力,然后对外输出。顾名思义,电荷泵的主要作用就是利用电荷来增大电路的压力,也就是在输出端产生比输入端更大的电压,在这里电容器主要起到了储存电荷(储能)的作用。基本原理如图11所示,其中的开关S1~S4通常为MOS管,工作过程主要分为两个阶段:

    充电阶段:S1和S4闭合,S2和S3打开,电源Ui给电容C1充电,充满后有UC=V1-V2=Ui。

    转移阶段:S2和S3闭合,S1和S4打开,V2=Ui,由于电容两端电压不能突变,因此V1=V2+UC=2Ui,实现了电压的倍压。

    除此之外,还有负压、1.5倍压、三倍压和倍压等不同的电荷泵电路,但是基本原理都是一样的,就是利用了电容两端电压不能突变的性质。

                              图11 电荷泵基本原理图

    电荷泵具有外接元件少,结构简单,成本低,功耗低,效率高等特点,很适合在便携式电子设备中使用(很多手机快充充电器都用到了电荷泵),但是在需要大功率和高电压的地方就不太适合了(这个时候需要用到电感式DC/DC电路)。

     


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  • 2019-06-17 09:18:47 可视化的神经ODE学习动力系统 ...本文的背景论文来自NIPS 2018《Neural Ordinary Differential Equations》(神经常微分方程)。本文在简单介绍论文的基础上,强调实际应用,我...

    https://www.toutiao.com/a6703302712311677452/

     

     2019-06-17 09:18:47

    一个深度学习突破的方向:神经常微分方程ODE

    可视化的神经ODE学习动力系统

    本文正在追赶AI世界中最近取得的进展。本文的背景论文来自NIPS 2018《Neural Ordinary Differential Equations》(神经常微分方程)。本文在简单介绍论文的基础上,强调实际应用,我们如何在应用程序中使用神经网络。

    我们为什么关心ODE?

    首先,让我们快速回顾一下常微分方程是什么。它描述了某个过程的时间演变,这个过程取决于一个变量(这就是为什么普通),并且这个时间的变化是通过一个衍生物来描述的:

    一个深度学习突破的方向:神经常微分方程ODE

    简单的ODE示例

    通常,我们可以谈论解决这个微分方程,如果我们有一些初始条件,我们想看看过程将如何演变到某个最终状态。求解函数也称为积分曲线(因为我们可以将方程积分得到解x(t))。让我们尝试使用SymPy包解决上图中的等式:

    from sympy import dsolve, Eq, symbols, Function
    t = symbols('t')
    x = symbols('x', cls=Function)
    deqn1 = Eq(x(t).diff(t), 1 - x(t))
    sol1 = dsolve(deqn1, x(t))
    

    并且返回一个解:

    Eq(x(t), C1*exp(-t) + 1)
    

    其中C1是常数,可以在给定一些初始条件时确定。如果以适当的形式给出,则可以分析地解析ODE,但通常它们以数字方式求解。最古老和最简单的算法之一是欧拉方法核心思想是使用切线来逐步逼近求解函数:

    一个深度学习突破的方向:神经常微分方程ODE

     

    最后,我们最终会得出一个非常简单的公式:

    一个深度学习突破的方向:神经常微分方程ODE

     

    n个时间步的离散网格的解是:

    一个深度学习突破的方向:神经常微分方程ODE

     

    还有许多具有时间演变的化学,物理和工业领域的过程示例,用ODE描述。

    ResNets是ODE解决方案吗?

    y_{n+1} = y_n + f(t_n, y_n),在ResNet,叫残余连接,其中一些层的输出为所述层的f()总和和输入y_n。

    这基本上是神经ODE的主要思想:神经网络中的残余块链基本上是ODE与Euler方法的解决方案!在这种情况下,系统的初始条件是"时间" 0,它表示神经网络的第一层,并且x(0)将提供正常输入,可以是时间序列、图像,无论你想要什么!"时间" t的最终条件将是神经网络的期望输出:标量值,表示类或其他任何东西的向量。

    如果我们记得,这些残余连接是欧拉方法的离散时间步长,这意味着我们可以调节神经网络的深度,只需选择离散方案,因此,使解决方案(如神经网络)更多或不太准确,甚至使它无限层!

    一个深度学习突破的方向:神经常微分方程ODE

    具有固定层数的ResNet与具有灵活层数的ODENet之间的差异

    欧拉是太原始的ODE解决方法吗?确实如此,让我们用一些抽象概念取代ResNet / EulerSolverNet 作为ODESolveNet,其中ODESolve将是一个函数,它提供ODE(我们的神经网络本身)的解决方案,其精度比欧拉方法好得多。网络架构现在可能如下所示:

    nn = Network(
     Dense(...), # making some primary embedding
     ODESolve(...), # "infinite-layer neural network"
     Dense(...) # output layer
    )
    

    神经网络是一个可微分的函数,所以我们可以用基于梯度的优化程序来训练它。我们应该如何通过ODESolve()函数反向传播,在我们的例子中它实际上也是一个黑盒子。特别是,我们需要输入和动力学参数的衰减函数梯度。

    数学技巧称为伴随灵敏度方法。实质内容如下图所示(L代表我们要优化的主要损失函数):

    一个深度学习突破的方向:神经常微分方程ODE

    ODESolve()方法制作"反向传播"梯度

    简而言之,伴随着描述过程的原始动力系统,伴随系统通过链规则(这是众所周知的反向传播的根源)向后描述过程每个点处的导数状态。正是根据它,我们可以通过初始状态获得导数,并以类似的方式,通过建模动力学的函数的参数(一个"残差块",或"旧的"欧拉方法中的离散化步骤) 。

    神经ODE的可能应用

    首先,使用它们而不是"普通ResNets"的优点和动机:

    • 内存效率:我们不需要在反向传播时存储所有参数和渐变
    • 自适应计算:我们可以通过离散化方案平衡速度和准确性,而且在训练和推理时使其不同
    • 参数效率:附近"层"的参数自动捆绑在一起(见论文)
    • 归一化流动新型可逆密度模型
    • 连续时间序列模型:连续定义的动态可以自然地合并在任意时间到达的数据。

    除了用计算机视觉替代ResNet和ODENet之外,我认为现在看起来有点不切实际:

    • 将复杂的ODE压缩成单个动态建模神经网络
    • 将其应用于缺少时间步的时间序列
    • 可逆的规范化流程

    学习动力系统

    正如我们之前所见,微分方程被广泛用于描述复杂的连续过程。当然,在现实生活中,我们将它们视为离散过程,最重要的是,在时间步骤t_i中的许多观察可能只是缺失。假设你想用神经网络建模这样一个系统。在经典的序列建模范例中,我们将如何处理这种情况?不管怎样,把它扔到递归的神经网络上。在这一部分中,我们将看看神经ODE如何处理它们。

    我们的设置如下:

    1. 定义ODE本身我们将模型化为PyTorch nn.Module()

    2. 定义一个简单的(或不是真正的)神经网络,它将模拟从h_t到h_ {t + 1}的两个后续动态步骤之间的动态,或者在动态系统的情况下,x_t和x_ {t + 1}。

    3. 运行通过ODE求解器反向传播的优化过程,并最小化实际和建模动态之间的差异。

    在以下所有实验中,神经网络只是一个跟随(据说足以用两个变量建模简单函数):

    self.net = nn.Sequential(
     nn.Linear(2, 50),
     nn.Tanh(),
     nn.Linear(50, 2),
     )
    

    所有进一步的例子都受到高度启发和惊人的解释。在接下来的小节中,我将展示我们建模的动力系统如何在代码中展示,以及ODENet如何适应系统随时间的演变和相位画像

    简单的螺旋函数

    在此以及所有未来的可视化中,虚线代表拟合模型。

    true_A = torch.tensor([[-0.1, 2.0], [-2.0, -0.1]])
    class Lambda(nn.Module):
     def forward(self, t, y):
     return torch.mm(y, true_A)
    

    一个深度学习突破的方向:神经常微分方程ODE

     

    一个深度学习突破的方向:神经常微分方程ODE

     

    上边相空间,下边时间空间。实线代表真实的轨迹,虚线代表神经Neural ODE系统学习的进化过程。

    随机矩阵函数

    true_A = torch.randn(2,2)/ 2。

    一个深度学习突破的方向:神经常微分方程ODE

     

    一个深度学习突破的方向:神经常微分方程ODE

     

    上边相空间,下边时间空间。实线代表真实的轨迹,虚线代表神经Neural ODE系统学习的进化过程。

    Volterra-Lotka系统

    a, b, c, d = 1.5, 1.0, 3.0, 1.0
    true_A = torch.tensor([[0., -b*c/d], [d*a/b, 0.]])
    

    一个深度学习突破的方向:神经常微分方程ODE

     

    一个深度学习突破的方向:神经常微分方程ODE

     

    上边相空间,下边时间空间。实线代表真实的轨迹,虚线代表神经Neural ODE系统学习的进化过程。

    非线性函数

    true_A2 = torch.tensor([[ - 0.1,-0.5],[0.5,-0.1]])true_B2 = torch.tensor([[0.2,1。],[ - 1,0.2]])
    class Lambda2(nn.Module): def __init __(self,A,B): super(Lambda2,self).__ init __() 
    self.A = nn.Linear(2,2,bias = False) 
    self.A.weight = nn.Parameter(A) 
    self.B = nn.Linear(2,2,bias = False) 
    self.B.weight = nn.Parameter(B) 
    def forward(self,t,y): xTx0 = torch.sum( y * true_y0,dim = 1)
     dxdt = torch.sigmoid(xTx0)* self.A(y - true_y0)+ torch.sigmoid(-xTx0)* self.B(y + true_y0) 
    returndxdt
    

    一个深度学习突破的方向:神经常微分方程ODE

     

    一个深度学习突破的方向:神经常微分方程ODE

     

    上边相空间,下边时间空间。实线代表真实的轨迹,虚线代表神经Neural ODE 系统学习的进化过程。

    我们可以看到,我们的单个"残差块"无法很好地学习这个过程,因此我们可能会使下一个函数更复杂。

    神经网络函数

    让我们通过具有随机初始化权重的多层感知器对函数进行完全参数化:

    true_y0 = torch.tensor([[1。,1。]])t = torch.linspace(-15。,15.,data_size)
    class Lambda3(nn.Module): def __init __(self): super(Lambda3,self).__ init __() 
    self.fc1 = nn.Linear(2,25,bias = False)
     self.fc2 = nn.Linear(25, 50,bias = False) 
    self.fc3 = nn.Linear(50,10,bias = False)
     self.fc4 = nn.Linear(10,2,bias = False) 
    self.relu = nn.ELU(inplace = True) 
    def forward(self,t,y): x = self.relu(self.fc1(y * t))
    x = self.relu(self.fc2(x))
     x = self.relu(self.fc3(x) )
     x = self.relu(self.fc4(x)) 
    return x
    

    一个深度学习突破的方向:神经常微分方程ODE

     

    一个深度学习突破的方向:神经常微分方程ODE

     

    上边相空间,下边时间空间。实线代表真实的轨迹,虚线代表神经Neural ODE 系统学习的进化过程。

    这里2-50-2网络严重失败,因为它太简单了,让我们增加它的深度:

    self.net = nn.Sequential(
     nn.Linear(2, 150),
     nn.Tanh(),
     nn.Linear(150, 50),
     nn.Tanh(),
     nn.Linear(50, 50),
     nn.Tanh(),
     nn.Linear(50, 2),
     )
    

    一个深度学习突破的方向:神经常微分方程ODE

     

    一个深度学习突破的方向:神经常微分方程ODE

     

    上边相空间,下边时间空间。实线代表真实的轨迹,虚线代表神经Neural ODE 系统学习的进化过程。

    神经ODEs作为生成模型

    作者还声称他们可以通过VAE框架构建生成时间序列模型,使用神经ODE作为其中的一部分。它是如何工作的?

    一个深度学习突破的方向:神经常微分方程ODE

     

    • 首先,我们使用一些"标准"时间序列算法对输入序列进行编码,假设RNN用于获取进程的主要嵌入
    • 通过神经ODE运行嵌入以获得"连续"嵌入
    • 以VAE方式从"连续"嵌入中恢复初始序列

    作为一个概念证明,本文只是重新运行了的代码,它似乎在学习螺旋轨迹方面做得非常好:

    一个深度学习突破的方向:神经常微分方程ODE

     

    点是采样噪声轨迹,蓝线是真实轨迹,橙色线代表恢复和插值轨迹

    然后,我决定将心跳从心电图(ECG)转换为相位肖像,其中x(t)为时空,x`(t)为衍生空间(如本作品中所示),并尝试适应不同的VAE设置。这个用例可能对这样的可穿戴设备非常有用,因为我们必须恢复信号(我们必须在,但实际上我们是通过,但是ECG是一个连续的信号,不是吗?)。不幸的是,它并没有很好地收敛,显示出过度拟合到单一形式节拍的所有迹象:

    一个深度学习突破的方向:神经常微分方程ODE

     

    一个深度学习突破的方向:神经常微分方程ODE

     

    相空间。蓝线 - 真实轨迹,橙色线 - 采样和噪声轨迹,绿线 - 自动编码轨迹

    一个深度学习突破的方向:神经常微分方程ODE

     

    一个深度学习突破的方向:神经常微分方程ODE

     

    时间空间。蓝线 - 实信号,橙线 - 采样和噪声信号,绿线 - 自动编码信号

    我还尝试了另一个实验:只在每个节拍的部分上学习这个自动编码器并从中恢复整个波形(即让我们推断一个信号)。不幸的是,我没有提出任何有意义的信息,无论是向左还是向右外推这个信号 - 只要折叠到无穷大,无论我对超参数和数据预处理做了什么。也许,读者中的某些人可能会帮助理解出了什么问题:(

    结论

    神经异构体尚未准备好在实践中使用。这个想法本身很棒,而且通过创新的水平让我想起Geoffrey Hinton的胶囊网络,但现在它们在哪里......?除了神经ODE,它们在小任务上显示出良好的结果,但在接近实际应用或大规模数据集的任何事情上都失败了。

    我现在只能看到两个实际应用:

    • 使用ODESolve()层来平衡经典神经网络中的速度/准确度权衡
    • 将常规ODE"挤压"到神经架构中,将它们嵌入到标准数据科学管道中
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    微分中值定理

    Fermat引理(费马引理)

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    1、微分的来由 微分<------------------>...由前边由来可知,A应该是直线的导数,这直线导数是曲线在该点切线的斜率,因此A应当是导数。 由此推导出来的定理: 在处可微的充分必要条件是..
  • 文章目录前言多元函数微分学 前言 本笔记不涉及基础知识,重点在于分析考研数学的出题角度和对应策略。笔记随着做题的增多,不定时更新。且为了提高效率,用表线性...出题角度也是从这里面挑一个到多个进行考察。 ...
  • 数学笔记11——微分和不定积分

    千次阅读 2017-10-09 17:56:34
    本文主要介绍了微分和不定积分的基本概念,例举如何使用换元法哈猜测法求解不定积分
  • 讨论伪双曲型积分微分方程的分裂正定混合有限元方法.该方法能够分裂成两个独立对称正定的积分微分子格式,进而不需要求解耦合方程组系统.给出半离散和全离散格式误差估计的证明.
  • 求导,微分积分的区别

    万次阅读 2020-03-27 21:49:28
    积分:设F(x)为函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(C为任意常数),叫做函数f(x)的不定积分,数学表达式为:若f’(x)=g(x),则有∫g(x)dx=f(x)+c。 简单解释就是微分相当于求导,积分相当于求...
  • 积分:常用公式、微分方程、级数

    万次阅读 多人点赞 2016-08-13 17:03:32
    基本初等函数求导公式函数的和、差、积、商的求导法则反函数求导法则复合函数求导法则皮皮blog二、基本积分表 皮皮blog常用凑微分公式[常用的求导和定积分公式(完美)]分部积分不定积分的分部积分设 及 是两个关于 的...
  • 6.1 matlab数值微分与数值积分

    千次阅读 2021-12-10 14:58:53
    数值微积分适合求解没有或很准求出微分积分表达式的问题的计算。 1、数值微分 (1)数值差分与差商 任意函数f(x)在x0点的导数是通过极限定义的: 如果去掉极限定义中h趋向于0的极限过程,得到函数在x0点处以h为步长...
  • 【常微分方程的数值解】 ...在实践过程中,我们找到一个函数关系往往是困难的,例如给定几个实验数据(x,y),我们从某些数据能够知道他们存在一定的关系,但是不能用数学去表述它。这就可以用一个近似函数...

空空如也

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一个积分号两个微分