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  • 数值分析(1)误差及误差分析

    千次阅读 2019-12-11 14:25:10
    误差及误差分析第一章有效数有效数字和相对误差误差的数值运算条件数 第一章 有效数 定义:某个数字x∗x^*x∗可以写成下面的形式 x∗=+/−10m∗0.a1a2...an...ap x^*=+/- 10^m*0.a_1a_2...a_n...a_p x∗=+/−10m∗0....

    第一章

    有效数

    定义:某个数字xx^*可以写成下面的形式
    x=+/10m0.a1a2...an...ap x^*=+/- 10^m*0.a_1a_2...a_n...a_p
    如果nn是满足
    e=xx1/210mn |e^*|=|x^*-x| \leq 1/2 * 10^{m-n}
    的最大整数,则称xx^*xx的具有nn位有效数字的近似数,当n=pn=p的时候,称xx^*为有效数。

    有效数的一些结论:

    1. 对某有效数而言,末位数的半个单位是其绝对误差限,即有效数本身反映了近似数的绝对误差限。
    2. 对真值进行四舍五入得到的近似数是有效数
    3. 对近似同一真值的近似数而言,有效数字位数越多,其绝对误差限越小。
    4. 有效数的末尾不能随意添加零
    5. 有效数字位数与介于第一位非零数字和小数点之间的零的个数没有关系
    6. 准确值具有无穷位有效数字

    有效数字和相对误差

    xx^* 由n位有效数字,则
    er12a1101n |e^*_r| \leq \frac{1}{2a_1}*10^{1-n}

    er12(a1+1)101n |e^*_r| \leq \frac{1}{2(a_1+1)}*10^{1-n}
    则x^*至少具有n位有效数字

    误差的数值运算

    对于函数yy

    e(f)=f(x)e(x)er(f)=xf(x)f(x)er(x) e(f^*)=f'(x^*)*e(x^*)\\ e_r(f^*)=\frac{x^*f'(x^*)}{f(x^*)}e_r(x^*)

    绝对误差:
    ε(x1±x2)ε(x1)±ε(x2)ε(x1x2)x1ε(x2)+x2ε(x1)ε(x1/x2)x2ε(x1)x1ε(x2)x22 \begin{array}{l}{\varepsilon\left(x_{1}^{*} \pm x_{2}^{*}\right) \approx \varepsilon\left(x_{1}^{*}\right)\pm\varepsilon\left(x_{2}^{*}\right)} \\ {\varepsilon\left(x_{1}^{*} x_{2}^{*}\right) \approx\left|x_{1}^{*}\right| \varepsilon\left(x_{2}^{*}\right)+\left|x_{2}^{*}\right| \varepsilon\left(x_{1}^{*}\right)} \\ {\varepsilon\left(x_{1}^{*} / x_{2}^{*}\right) \approx \frac{\left|x_{2}^{*}\right| \varepsilon\left(x_{1}^{*}\right)-\left|x_{1}^{*}\right| \varepsilon\left(x_{2}^{*}\right)}{\left|x_{2}^{*}\right|^{2}}}\end{array}

    相对误差:
    εr(x1±x2)x1εr(x1)±x2εr(x2)/x1±x2εr(x1x2)εr(x1)+εr(x2)ε(x1/x2)εr(x1)εr(x2) \begin{array}{l}{\varepsilon_r\left(x_{1}^{*} \pm x_{2}^{*}\right)\approx x_1^*\varepsilon_r\left(x_{1}^{*}\right)\pm x_2^*\varepsilon_r\left(x_{2}^{*}\right)}/{x_1^* \pm x_2^*} \\ {\varepsilon_r\left(x_{1}^{*} x_{2}^{*}\right) \approx \varepsilon_r\left(x_{1}^{*}\right)+\varepsilon_r\left(x_{2}^{*}\right)} \\ {\varepsilon\left(x_{1}^{*} / x_{2}^{*}\right) \approx\varepsilon_r\left(x_{1}^{*}\right)- \varepsilon_r\left(x_{2}^{*}\right)}\end{array}

    条件数

    绝对误差下函数值f(x)f(x)的条件数:Conda(f)=f(x)Cond_a(f)=|f'(x)|

    相对误差下函数值f(x)f(x)的条件数:Condr(f)=xf(x)f()xCond_r(f)=|x\frac{f'(x)}{f()x}|

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  • 误差分析与模型检验

    千次阅读 2019-08-22 11:50:34
    误差分析与模型检验 误差,稳定性,检验,敏感性 误差分析 1.理论分析 理论分析的原理其实来自于高等数学中的一个概念: 显然这个式子具有普遍性,则也存在: 而对于误差分析为了保证可比性,通常进行变形...

    误差分析与模型检验

    关键词:误差,稳定性,检验,敏感性
    在数学建模中,除了建模和求解这些主要的内容之外还有一些必须要注意的细节内容,其中重要的两部分
    一是在建模前数据的预处理,在数据处理题中会占有5分的分值,是极其中要且关键的
    二是在模型建立之后对于已经建立的模型的分析与检验,也是在比赛中十分关键的要素。通常也占有5分的分值直接决定了论文的等级和比赛的名次。而对于很多建模选手而言,模型的分析与检验是一个非常模糊的概念,也不知道关于模型分析检验的流程和具体做法,在此本文列出几种重要的模型分析和检验的方法以供参考。

    误差分析

    1.理论分析
    理论分析的原理其实来自于高等数学中的一个概念:

    在这里插入图片描述
    显然这个式子具有普遍性,则也存在:
    在这里插入图片描述
    而对于误差分析为了保证可比性,通常进行变形处理在加上绝对值,使其变为相对误差

    在这里插入图片描述
    即可得到一元函数的相对误差分析结果
    而对于二元函数主要利用全微分理论知识

    在这里插入图片描述
    同时对于得到的结果而言因变量的系数越大,就越能够认为该因子是模型的中重要影响因子,即敏感因子。

    2.扰动分析
    对重要的参数进行扰动(人为干扰),观察计算结果的变化
    例如直接让重要参数增加或减少1%,计算得到结果的变化
    可利用matlab中的normrnd生成均值0.01,方差0.01/0.02/0.05随机数,加到重要参数上,计算原模型的改变率是多少。如果变化幅度特别大,则可以自然的想到是不是该模型有问题,并不稳定,因而引出模型分析。

    稳定性分析

    1.微分方程、差分方程稳定性理论分析
    方程解的稳定(可控范围之内即为稳定)
    解对微分方程系数的依赖程度

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    ![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20190822112630742.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzNjQ5Nzg2,size_16,color_FFFFFF,t_

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    2.扰动分析(系数的扰动对解的影响)

    模型检验

    1.实际试验检验
    即可以在理论之外直接动手进行操作,例如在研究太阳影长变化的时候可以直接找定某一位置,观察并记录影长的变化程度,通过将数据代入原模型进行求解。将求解结果对在实际试验所得到的结果进行对比分析。确定模型的准确性。
    2.扰动分析

    敏感性分析

    1.线性规划问题的lingo求解:直接给出
    2.扰动分析
    通过前文所说的,将模型中的参数以控制变量法进行调试,通过保持其他变量不变而对某一单独变量进行范围扰动,观察结果的变化程度,变换程度极大的则可以认为该变量所对应的影响因子敏感性较大,对于模型具有重要的影响关系,最后通过对比常识或相关研究资料验证是否合理

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  • 进行误差分析、清除标注错误的数据

    深度学习笔记(16) 误差分析(一)


    1. 进行误差分析

    假设正在调试猫分类器
    然后在开发集取得了90%准确率,相当于10%错误
    这离希望的目标还有很远

    也许需要看了一下算法分类出错的例子
    注意到算法将一些狗分类为猫

    试想一下,可以针对狗,收集更多的狗图
    或者设计一些只处理狗的算法功能之类的
    为了让的猫分类器在狗图上做的更好,让算法不再将狗分类成猫

    建议做的是,先收集一下,比如说100个错误标记的开发集样本
    然后手动检查,一次只看一个,看看开发集里有多少错误标记的样本是狗
    假设事实上,100个错误标记样本中只有5%是狗
    就是说在100个错误标记的开发集样本中,有5个是狗
    意味着100个样本,在典型的100个出错样本中
    即使完全解决了狗的问题,也只能修正这100个错误中的5个

    在机器学习中,有时称之为性能上限
    就意味着,最好能到哪里,完全解决狗的问题可以有多少帮助

    但现在,假设发生了另一件事,假设观察一下这100个错误标记的开发集样本
    你发现实际有50张图都是狗,所以有50%都是狗的照片
    现在花时间去解决狗的问题可能效果就很好
    这种情况下,如果真的解决了狗的问题
    那么错误率可能就从10%下降到5%了

    在机器学习中,有时候很鄙视手工操作,或者使用了太多人为数值
    但如果要搭建应用系统,那这个简单的人工统计步骤,错误分析
    可以节省大量时间,迅速决定什么是最重要的

    有时在做错误分析时,也可以同时并行评估几个想法
    比如,有几个改善猫检测器的想法,也许可以改善针对狗的性能,或者有时候要注意,那些猫科动物,如狮子,豹,猎豹等
    所以,也许可以想办法解决这个错误

    或者也许发现有些图像是模糊的
    如果能设计出一些系统,能够更好地处理模糊图像,也能快速地降低错误率

    其实,可以建立一个表格
    在最左边,人工过一遍想分析的图像集,图像可能是从1到100
    表格的一列就对应要评估的想法,比如狗的问题,猫科动物的问题,模糊图像的问题

    在错误分析过程中,看算法识别错误的开发集样本
    如果发现第一张识别错误的图片是狗图,那么就在那里打个勾
    为了帮助自己记住这些图片,有时会在评论里注释,也许这是一张比特犬的图
    如果第二张照片很模糊,也记一下
    如果第三张是在下雨天动物园里的狮子,被识别成猫了,这是大型猫科动物,还有图片模糊,在评论部分写动物园下雨天,是雨天让图像模糊的之类的
    最后,这组图像过了一遍之后,可以统计这些算法(错误)的百分比
    或者这里每个错误类型的百分比,有多少是狗,大猫或模糊这些错误类型

    在这里插入图片描述
    在做到一半时,有时可能会发现其他错误类型
    比如可能发现有Instagram滤镜,花哨的图像滤镜,干扰了分类器

    在这种情况下,实际上可以在错误分析途中,增加这样一列
    比如多色滤镜 Instagram滤镜和Snapchat滤镜
    然后再过一遍,也统计一下那些问题
    并确定这个新的错误类型占了多少百分比

    例如,在样本中,有很多错误来自模糊图片,也有很多错误类型是大猫图片
    所以,这个分析的结果不是说一定要处理模糊图片
    这个分析没有给一个严格的数学公式,告诉应该做什么
    但它能让你对应该选择那些手段有个概念
    比如说不管对狗图片或者Instagram图片处理得有多好
    在这些例子中,最多只能取得8%或者12%的性能提升

    所以总结一下,进行错误分析,应该找一组错误样本
    可能在开发集里或者测试集里,观察错误标记的样本
    看看假阳性(false positives)和假阴性(false negatives)
    统计不同错误标记类型占总数的百分比
    可以帮助发现哪些问题需要优先解决,或者给构思新优化方向的灵感

    建议快速搭建一个系统,并进行迭代,有一个训练过的系统,确定偏差方差的范围,能够进行错误分析


    2. 清除标注错误的数据

    在猫分类问题中,图片是猫,y=1;不是猫,y=0

    在这里插入图片描述
    假设在查看了一些数据样本
    发现标记为猫的图片有些其实不是猫
    所以这是标记错误的样本

    “标记错误的样本”来表示学习算法输出了错误的 y 值
    对于标记错误的样本,参考数据集,在训练集或者测试集 y 的标签
    人类给这部分数据加的标签,实际上是错的
    这实际上是一只狗,所以 y 其实应该是0

    首先考虑训练集
    事实证明,深度学习算法对于训练集中的随机错误是相当健壮的(robust)

    只要标记出错的样本并且离随机错误不太远
    有时可能做标记的人没有注意或者不小心,按错键了
    如果错误足够随机,那么放着这些错误不管可能也没问题
    而不要花太多时间修复它们
    当然浏览一下训练集,检查一下这些标签,并修正它们也没什么害处

    有时候修正这些错误是有价值的,有时候放着不管也可以
    只要总数据集总足够大,实际错误率可能不会太高

    如果是开发集和测试集中有这些标记出错的样本
    在错误分析时,添加一个额外的列,这样也可以统计标签 y=1错误的样本数
    统计一下对100个标记出错的样本的影响
    所以会找到100个样本,其中分类器的输出和开发集的标签不一致

    有时对于其中的少数样本,分类器输出和标签不同
    是因为标签错了,而不是分类器出错
    所以也许在这个样本中,发现标记的人漏了背景里的一只猫
    所以那里打个勾,来表示样本98标签出错了

    在这里插入图片描述
    所以现在问题是,是否值得修正这6%标记出错的样本

    建议是,如果这些标记错误严重影响了在开发集上评估算法的能力
    那么就应该去花时间修正错误的标签
    但是,如果它们没有严重影响到用开发集评估成本偏差的能力
    那么可能就不应该花宝贵的时间去处理

    如果决定要去修正开发集数据,手动重新检查标签并尝试修正一些标签
    还有一些额外的方针和原则需要考虑
    首先,不管用什么修正手段都应该要同时作用到开发集和测试集上
    因为开发和测试集必须来自相同的分布

    其次,强烈建议要考虑同时检验算法判断正确和判断错误的样本
    要检查算法出错的样本很容易
    只需要看看那些样本是否需要修正

    但还有可能有些样本算法判断正确,那些也需要修正
    如果只修正算法出错的样本,对算法的偏差估计可能会变大
    这会让算法有一点不公平的优势,就需要再次检查出错的样本

    但也需要再次检查判断对的样本
    因为算法有可能因为运气好把某个东西判断对了
    在那个特例里,修正那些标签可能会让算法从判断结果对变成错

    这一点不是很容易做,所以通常不会这么做
    原因是如果分类器很准确,那么判断错的次数比判断正确的次数要少得多
    那么就有2%出错,98%都是对的
    所以更容易检查2%数据上的标签
    然而检查98%数据上的标签要花的时间长得多
    所以通常不这么做,但也是要考虑到的

    最后,如果进入到一个开发集和测试集去修正这里的部分标签
    可能会对训练集做同样的事情,而修正训练集中的标签其实相对没那么重要
    可能决定只修正开发集和测试集中的标签
    因为它们通常比训练集小得多
    可能不想把所有额外的精力投入到修正大得多的训练集中的标签
    所以这样其实是可以的

    在构造实际系统时,通常需要更多的人工错误分析,更多的人类见解来架构这些系统
    想知道它所犯的错误,应亲自去看看这些数据,尝试和一部分错误作斗争
    因为花了这几分钟,或者几个小时去亲自统计数据
    真的可以找到需要优先处理的任务


    参考:

    《神经网络和深度学习》视频课程


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  • 机器学习如何进行误差分析

    千次阅读 2018-11-11 22:42:35
    在上一篇文章如何快速提高机器学习模型的性能中我们介绍了只要当你的模型性能比人类水平要低的时候,就可以通过人工误差分析来提高模型的性能,误差分析是指通过人工来检查模型预测错误的数据,来帮助你判断下一步...

    前言

    在上一篇文章如何快速提高机器学习模型的性能中我们介绍了只要当你的模型性能比人类水平要低的时候,就可以通过人工误差分析来提高模型的性能,误差分析是指通过人工来检查模型预测错误的数据,来帮助你判断下一步应该怎么优化算法,来提升模型的性能。本篇文章主要介绍,究竟应该如何来进行分析误差,文章主要内容来自于deeplearning.ai视频教程。

    误差分析

    在这里插入图片描述

    我们设计了一个猫的分类器,将我们设计的算法在开发集(验证集)上进行测试发现只有90%的准确率,也就是还存在10%的错误率。通过观察算法在开发集上的表现发现,算法将上面两张狗的图片预测成了猫,也许你的同伴会给你提下面这些建议

    • 针对狗,收集更多狗的照片
    • 设计只处理狗的算法,以此来提升分类器的准确率

    那么我们到底要不要这样做呢?

    如果上面的想法来优化分类器的性能,可能要花不少时间来收集照片和设计算法,最终还可能对于模型性能的提升不大。所以这时候我们就会思考,这个优化的方向究竟是不是正确的,那么我们究竟应该如何来判断优化方向到底是不是正确的呢?我们可以通过一个标准的误差分析流程,来确定我们优化算法的方向

    误差分析流程

    • 统计开发集中分类错误的例子

    我们统计了100个分类错误的开发集的例子,发现其中只有5张狗的图片,也就表示分类器只是将5张狗的照片错误的判断为了猫。此时,如果我们针对狗的照片进行优化,最多也只能将开发集中100个错误分类的例子降为95个,降低5%的错误率,也就是将模型的误差由原来的10%降为了9.5%,可以发现提升效果并不是特别明显。如果狗的照片不是5张,而是50张。此时,我们针对于狗的照片进行优化,就能带来模型性能的巨大提升,模型的错误率可以由原来的10%降为5%。

    • 同时评估多个想法

    在进行误差分析的时候,我们可以同时评估多个改善想法,通过统计误差来分析来判断我们的想法是不是正确的,以此来选择对模型性能提升最优的方向。

    图片id 狮子 猎豹 图片模糊
    1
    2
    3
    4
    占比 5% 10% 30% 55%

    上表展示的是针对模型在开发集上分类错误例子的统计。为了更好的选择我们的优化方向,我们可以设计一张表格来统计模型分类错误的情况,表格的列名代表着我们的改善模型的想法,用勾来勾选模型分类错误的原因,最后一行用来统计每个改善想法的占比。如果在进行误差分析的过程中发现,有新的改善想法,可以在表格中新增列进行统计。通过最后的统计结果发现,模型分类错误有55%是因为图片模糊导致的,有30%是将猎豹预测为了猫。所以,这时我们应该将模型的改善方向放在图片模糊的影响和将猎豹预测为了猫两个方向上。

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  • 关于float浮点数的误差分析

    千次阅读 2018-06-03 12:35:29
    浮点型简单讲就是实数的意思。...如下图代码所示,理论上我们输出的数字应该是4000,但结果确是4001.552979,这就说明float浮点数是存在误差的那么这些误差值是为何而来呢其实那是因为精度越来越高,占字节数...

空空如也

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如何做误差分析