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  • 2019-04-18 09:55:30

    集中趋势:

    3种常见统计量:均值、中位数、众数
    均值: mean()
    中位数:median()
    众数:没有默认,要先下载R包:FinAna。之后用 get.mode()

    离散程度

    常见统计量:极差、四分位数、百分位数、四分位距、标准差、方差、变异系数
    极差:

    也称全距,一组数据最大值与最小值之差
    R语言:第一种方法:先用range(),求范围;再用diff(range());
    第二种方法(简单粗暴用最大最小直接求解):print(c(min(),max()))

    四分位数:

    将一组数据分为四部分的三个数字:下四分位数、中位数、上四分位

    R语言:quantile(… ,0.25) quantile(… ,0.75)

    百分位数:

    将一组数据分成一百组,描述如,第35百分位数,是将下部35%的数值和上部65%的数值分开的数

    四分位距(IQR):

    上四分位数与下四分位数的差;反映中间50%数据的离散程度,数值越小说明中间的数据越集中,数值越大,说明中间的数据越分散。与极差相比,四分位差不受极值影响

    标准差(SD):

    又称标准偏差、均方差 。R语言:sd()

    方差(VAR):

    标准差的平方 。R语言:var()

    变异系数

    又称离散系数,用 标准差 除以 x的平均值(消除量纲的影响)。比较两组差异很大的数据的变异程度
    R语言:先下载安装R包:sjstats, 再运行cv()

    五数概括法

    用以下5个数描述一组数据的分布:最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值
    可以通过箱线图展示五数概括法

    切比雪夫定理

    对于任一分布的数据,至少有75%的数值在均值+-2个标准差以内,至少89%的数据在均值+-3个标准差以内

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  • 数据统计分析(4):数据的离散程度描述

    万次阅读 多人点赞 2019-04-09 23:53:29
    极差又被称为范围差或全距(Range),以R表示,是用来表示统计资料中的变异量数,其最大值与最小值之间的差距,即最大值减最小值后所得之数据。 它是标志值变动的最大范围,它是测定标志变动的最简单的指标。移动极...

    极差

    极差又被称为范围差或全距(Range),以R表示,是用来表示统计资料中的变异量数,其最大值与最小值之间的差距,即最大值减最小值后所得之数据。

    它是标志值变动的最大范围,它是测定标志变动的最简单的指标。移动极差是其中一种。极差不能用做比较,单位不同,方差能用做比较,因为都是个比率。

    计算公式:

    最直接也是最简单的方法,即最大值-最小值(也就是极差)来评价一组数据的离散度。这一方法在日常生活中最为常见,比如比赛中去掉最高最低分就是极差的具体应用。极差=最大标志值—最小标志值 [1] 

    R=xmax-xmin(其中,xmax最大值,xmin为最小值)

     

    平均偏差

    平均偏差是数列中各项数值与其算术平均数的离差绝对值的算术平均数。平均偏差是用来测定数列中各项数值对其平均数离散程度的一种尺度。平均偏差可以分为简单平均偏差加权平均偏差

    在统计中,如果要反映出所有原数据间的差异,就要在各原数据之间进行差异比较,当原数据较多时,进行两两比较就很麻烦,因此需要找到一个共同的比较标准,取每个原数据值与标准值进行比较。这个标准值就是算术平均数。

    平均偏差就是每个原数据值与算术平均数之差的绝对值的均值,用符号A.D.(average deviation)表示。平均偏差是一种平均离差。离差是总体各单位的标志值与算术平均数之差。因离差和为零,离差的平均数不能将离差和除以离差的个数求得,而必须将离差取绝对数来消除正负号。

    平均偏差是反映各标志值与算术平均数之间的平均差异。平均偏差越大,表明各标志值与算术平均数的差异程度越大。该算术平均数的代表性就越小;平均偏差越小,表明各标志值与算术平均数的差异程度越小,该算术平均数的代表性就越大。

    平均偏差又有简单平均偏差和加权平均偏差之分。

     

    计算公式:

    • 简单平均偏差

    如果原数据未分组,则计算平均偏差的公式为:

    该式称为简单平均偏差。

    • 加权平均偏差

    在分组情况下,平均偏差的计算公式为:

    该式称为加权平均偏差。 [1] 

     

    方差和标准差

    方差

    方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。统计中的方差(样本方差)是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在许多实际问题中,研究方差即偏离程度有着重要意义。

     

    统计学意义:

          当数据分布比较分散(即数据在平均数附近波动较大)时,各个数据与平均数的差的平方和较大,方差就较大;当数据分布比较集中时,各个数据与平均数的差的平方和较小。因此方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动就越小。 [6] 

    样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差;样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量,样本方差或样本标准差越大,样本数据的波动就越大。

    方差和标准差是测算离散趋势最重要、最常用的指标。方差是各变量值与其均值离差平方的平均数,它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法。标准差为方差的算术平方根,用S表示。方差相应的计算公式为:

    标准差与方差不同的是,标准差和变量的计算单位相同,比方差清楚,因此很多时候我们分析的时候更多的使用的是标准差。

     

    标准差

          标准差(Standard Deviation) ,中文环境中又常称均方差,是离均差平方的算术平均数的平方根,用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的两组数据,标准差未必相同。

     

     

     

    变异系数

          变异系数(Coefficient of Variation):当需要比较两组数据离散程度大小的时候,如果两组数据的测量尺度相差太大,或者数据量纲不同,直接使用标准差来进行比较不合适,此时就应当消除测量尺度和量纲的影响,而变异系数可以做到这一点,它是原始数据标准差与原始数据平均数的对比。CV没有量纲,这样就可以进行客观比较了。事实上,可以认为变异系数和极差,标准差和方差一样,都是反映数据离散程度的绝对值。其数据大小不仅受变量值离散程度的影响,而且还受变量值平均水平大小的影响。

     

    定义:

    概率论统计学中,变异系数,又称“离散系数”(英文:coefficient of variation),是概率分布离散程度的一个归一化量度,其定义为标准差平均值之比:

    变异系数(coefficient of variation)只在平均值不为零时有定义,而且一般适用于平均值大于零的情况。变异系数也被称为标准离差率单位风险

     

    计算公式:

    (标准偏差SD、平均值MN)

     

    优缺点:

    • 优点

    比起标准差来,变异系数的好处是不需要参照数据的平均值。变异系数是一个无量纲量,因此在比较两组量纲不同或均值不同的数据时,应该用变异系数而不是标准差来作为比较的参考。

    • 缺陷

    当平均值接近于0的时候,微小的扰动也会对变异系数产生巨大影响,因此造成精确度不足。

    变异系数无法发展出类似于均值的置信区间的工具。

     

    四分位差

    四分位差(quartile deviation),它是上四分位数(Q3,即位于75%)与下四分位数(Q1, 即位于25%)的差。

    计算公式为:Q = Q3-Q1

    四分位数是将一组数据由小到大(或由大到小)排序后,用3个点将全部数据分为4等份,与这3个点位置上相对应的数值称为四分位数,分别记为Q1(第一四分位数),说明数据中有25%的数据小于或等于Q1,Q2(第二四分位数,即中位数)说明数据中有50%的数据小于或等于Q2、Q3(第三四分位数)说明数据中有75%的数据小于或等于Q3。其中,Q3到Q1之间的距离的差的一半又称为分半四分位差,记为(Q3-Q1)/2。

     

    四分位差反映了中间50%数据的离散程度,其数值越小,说明中间的数据越集中;其数值越大,说明中间的数据越分散。四分位差不受极值的影响。此外,由于中位数处于数据的中间位置,因此,四分位差的大小在一定程度上也说明了中位数对一组数据的代表程度。四分位差主要用于测度顺序数据的离散程度。对于数值型数据也可以计算四分位差,但不适合分类数据。

     

     

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  • 数据描述的第一个维度是数据的集中趋势描述。数据的集中趋势描述是寻找反应事物特征的数据集合的代表值或中心值,这个代表值...算术平均值是最常用的数据集中趋势指标,可以分为简单算术平均值和加权算术平均值。算...

            数据描述的第一个维度是数据的集中趋势描述。数据的集中趋势描述是寻找反应事物特征的数据集合的代表值或中心值,这个代表值或中心值可以很好反映事物目前所处的位置和发展水平,通过对事物集中趋势指标的多次测量和比较,还能够说明事物的发展和变化趋势。数据的集中趋势描述的形式主要有如下几种:

    1.算数平均值

    算术平均值是最常用的数据集中趋势指标,可以分为简单算术平均值和加权算术平均值。算术平均值主要用于定距数据,表示数据集合的集中趋势。也能用于定类数据和定序数据,决定算术平均值是否使用的前提条件是,求得的算术平均值是否具有现实意义。

    1.1 简单算术平均值

    简单算术平均值是最典型,最常用,最具有代表性的集中趋势指标。将数据集合的所有数据值相加的和除以数值个数就得到简单算术平均值。

    1.2 加权算术平均值

    因为简单算术平均值认为所有的数据都具有同等的重要性,所以每个数据值都具有相同的权重。但有些时候,每个数据值的权重是不一样的,需要用加权算术平均值来表示数据集合的集中趋势。

    数学概念:

    (1)若n个数  的权分别是  ,那么 叫做这n个数的加权平均值。

    (2)此外,加权平均值也可用下图表示,其中  表示权数。理解方法:将原式看作  即可。

     

    1.3 使用算术平均值的注意事项

    算术平均值虽然是应用最广泛的集中趋势指标,受样本数据波动的影响最小,具有一定的稳定性,但是也有明显的缺陷。当数据集合中有极大值或极小值存在时,会对算术平均值产生很大的影响,其计算结果会掩盖数据集合的真实特征,这时算术平均值就失去了代表性。

    2.几何平均值

    有些数据之间的关系不是加减关系,而是乘除关系。此时,应该用几何平均值来表示由这样的数值组成的数据集合的集中趋势。

    定义:

    几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根。

    分为简单几何平均数与加权几何平均数。

    1、简单几何平均数:

    几何平均数示意图

    2、加权几何平均数:

    特点:

    1、几何平均数受极端值的影响较算术平均数小;

    2、如果变量值有负值,计算出的几何平均数就会成为负数或虚数;

    3、它仅适用于具有等比或近似等比关系的数据;

    4、几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均数

    3.众数

        数据集合中出现次数最多的数值被称为众数。如果在一个数据集合中,只有一个数值出现的次数最多,那么这个数值就是该数据集合的众数;如果有两个或多个数值出现的次数并列最多,那么这两个或多个数值都是该数据集合的众数;如果数据集合中所有数据值出现的次数相同,那么该数据集合没有众数。众数对定类数据,定序数据,定距数据和定比数据都是用,都能表示由它门组成的数据集合的数据集中趋势。

    4.中位数

    对于有限的数集,可以通过把所有观察值高低排序后找出正中间的一个作为中位数。如果观察值有偶数个,通常取最中间的两个数值的平均数作为中位数。

    定义:

    中位数,又称中点数,中值。中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数,即在这组数据中,有一半的数据比他大,有一半的数据比他小,这里用  来表示中位数。(注意:中位数和众数不同,众数指最多的数,众数有时不止一个,而中位数只能有一个。)

    有一组数据:

    将它按从小到大的顺序排序为:

    则当N为奇数时,  ;当N为偶数时,  。

    一个数集中最多有一半的数值小于中位数,也最多有一半的数值大于中位数。如果大于和小于中位数的数值个数均少于一半,那么数集中必有若干值等同于中位数。

    特点:

    1)中位数是以它在所有标志值中所处的位置确定的全体单位标志值的代表值,不受分布数列的极大或极小值影响,从而在一定程度上提高了中位数对分布数列的代表性。

    2)有些离散型变量的单项式数列,当次数分布偏态时,中位数的代表性会受到影响。

    3)趋于一组有序数据的中间位置

    总结来说,中位数与算术平均值相比,中位数的优势在于不受数据集合中个别极端值的影响,表现出稳定的特点,这个特点使其在数据集合的数据分布有较大偏斜时;能够保持对数据集合特征的代表性。因此,中位数常被用来度量具有偏斜性质的数据集合的集中趋势

     

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  • 集中趋势是一组数据的代表值,那用什么值作代表最有代表性呢?当然这个值应该和所有值差距不大是最好,此时我们首先想到的就是平均数,事实上,用来衡量集中趋势的最常用指标就是平均数,当然有时我们也使用中位数。...

    给定一组数据,我们怎么来判断业务的基本情况呢?此时我们主要用到两个统计学工具:集中趋势和离散趋势。

    1. 集中趋势

    集中趋势是一组数据的代表值,那用什么值作代表最有代表性呢?当然这个值应该和所有值差距不大是最好,此时我们首先想到的就是平均数,事实上,用来衡量集中趋势的最常用指标就是平均数,当然有时我们也使用中位数。

    平均数和中位数一般是不同的,除非样本呈正态分布。如果衡量集中趋势的指标选择不合理,那么对业务整体情况的判断往往会出现争议,最常见的例子就是“工资水平”统计数据的梗——大多数人总是感到“拖了大家的后腿”。为什么会这样呢?因为工资收入是偏态分布的,而且是正偏态分布——大多数人工资处于较低的水平。

    那么表示集中趋势时,什么时候选择平均数,什么时候选择中位数呢?我们可以通过考察数据分布的正态、偏态情况进行选择。

    如果样本呈正态分布,那么集中趋势使用平均数或中位数表示均可,因为两者是相等的。
    如果样本呈偏态分布,那么选择中位数更能反映数据的集中趋势。通常情况下,正偏态的中位数小于平均数,负偏态的中位数大于平均数。因此,如果工资水平的计量采用中位数,大家心里接受的程度可能会更高一些。
    比如以下工资水平的抽样数据,用中位数表示是3000,用平均数表示是9200。显然选择中位数的表示集中趋势更符合实际。
    salary=[2500,3500,2000,4000,2200,3000,1800,20000,50000,3000]

    2. 离散趋势

    离散趋势反映了样本数据之间的差异水平。反映离散趋势的统计指标一般包括标准差/方差、极差、四分位间距IQR和变异系数。

    • 极差是样本最大值与最小值的差;
    • 四分位间距IQR是75%分位数与25%分位数的差,显然四分位间距IQR一般要比极差小;
    • 变异系数是标准差与均值的比值,通常认为如果变异系数超过15%,则说明业务状况是很不稳定的。上例中,工资样本的变异系数是1.58,说明工资水平是极不稳定的。

    除了变异系数是相对量化指标外,其它三个指标都是绝对量化指标。因此,变异系数可以进行不同数据集离散程度的比较,而其它三个指标不可以,因为不同数据集的数据尺度有所差异。

    集中趋势和离散趋势相结合才能更准确的反映业务状况,当离散趋势不明显时,集中趋势反映总体水平的能力就越强。

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如何分析数据的集中程度

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