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  • 在前面在微生物生态学领域,经常用的mantel检验,原理来讲,很是简单,就是一个距离矩阵的相关分析而已,但是这层窗户纸似乎存在很长时间,大家都对这个分析的原理有些忌惮,所以今天就之前的文档,来告诉大家如何...

    写在前面

    在微生物生态学领域,经常用的mantel检验,原理来讲,很是简单,就是一个距离矩阵的相关分析而已,但是这层窗户纸似乎存在很长时间,大家都对这个分析的原理有些忌惮,所以今天就之前的文档,来告诉大家如何理解mantel并且在一些文章中的运用做一个解释。

    数据框—矩阵—距离矩阵

    这三个数据类型类似,但是在R语言中是区分的,我们要做一个了解:

    • 注意,距离矩阵是只有左下方一半的对角阵。

      #数据框
      data.frame()
      as.data.frame()
      # 矩阵
      matrix()
      as.matrix()
      # 距离矩阵
      dist()
      as.dist()

      mantel检验的原理

      mantel检验在生态中运用的十分多,尤其是在微生物群落和环境因子之间关系的检验上:

      1a66cdad4fa9e9c9d92f684cbd2b0233.png

      mantel检验是Mantel’s 在1967年提出来的,基于回归分析。

      使用相似性距离或者相异性距离矩阵来做双向检验。

      5c9a59b3ed837a685a914210f59fd4aa.png

    计算原理

    x矩阵中的每个元素与均值的差与y矩阵每个元素与均值的差的乘积与像个矩阵的的标准差之乘积的商。这样标准化之后整个数值就会在1到-1之间。a444dead482e9af1cd8cd0d1e0d6d2fc.png

    • 通俗来讲,也就是将每个矩阵的元素转化为一列向量,然后对两个向量之间做相关分析。

      这里从mantel检验的代码也可以做一个证实:

    function (xdis, ydis, method = "pearson", permutations = 999, 
    strata = NULL, na.rm = FALSE, parallel = getOption("mc.cores"))
    {
    EPS xdis ydis if (na.rm)
    use else use statistic use = use)

    ········

    这里我们就可以看到首先将两个矩阵转换为距离矩阵,然后转化为向量as.vector,后使用cor函数计算相关性 statistic,这便是我们所得到的相关系数:

    library(vegan)
    ## Is vegetation related to environment?
    data(varespec)
    data(varechem)
    veg.dist env.dist mantel(veg.dist, env.dist)
    mantel(veg.dist, env.dist, method="spear")

    9ec7e34c4f9c201315508387f4eb5dbd.png

    mantel相关大小的区间

    这份ppt来自google,大家在后面参考部分可以查看原版全部ppt,并且可下载。相关性R值从-1 (neg.) to 0 (no effect) to +1 (pos.)这从我们之前的公式也基本上推测出来了,标准化到了一个区间,可以用于比较。并且在默认情况下为999次置换检验。edc5c2a9548a5694a75bac741942601c.png所以完全可以将mantel检验可视化出来,使用矩阵的元素,将mantel检验两个矩阵用做一张相关性图表,类似于下图来做展示结果之用。001e0b2ca028906110f0e7824f00a4bf.png

    关于距离矩阵和单列变量的相关性计算

    因为mantel相关实际上就是使用的距离矩阵的线性相关分析,所以这里我们思考一下就一个矩阵和一列变量之间的样本的相关性。

    • 就矩阵而言,矩阵求取距离即可。

      也就是样本之间的距离。

    • 就单列的变量而言,样本之间的距离,可以理解为这列数值的数学距离,当然似乎只有这一种距离,所以在文章中也常见的是这种情况。

    • 如此我们便理解,一个矩阵和一个便量是如何出来一个线性相关的图表的。

      这里我们即可理解微生物系统发育分析中bNTI于环境变量之间相关关系的理解。

      b96335140e7e914503f103ac4b09477f.png

    reference

    • 协方差的含义:

      https://blog.csdn.net/xiao_lxl/article/details/72730000

    • 相关系数和协方差等是什么关系,如何理解?

      https://www.cnblogs.com/renpfly/p/9555959.html

    • 相关系数的检验:

      https://www.cnblogs.com/jiangleads/p/9022026.html

    • 由此下载mantel检验的原理:

      http://www.pelagicos.net/MARS6300/lectures/MARS6300_Lecture21_sp2018.pdf

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    9ef4d7c7790f377e518fe95d8b3e4b0a.png

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  • 论文时可能要绘制相关系数矩阵表格,比如下面这一张表格:01SPSS要如何做呢?建议使用SPSS的双变量相关分析菜单,(假设)采用皮尔逊相关系数,同时命令软件【标记显著性相关性】。有的人说用SPSS的【因子分析】菜单...
    14ccddd14a90e54dc3a874d182ff8c45.png写论文时可能要绘制相关系数矩阵表格,比如下面这一张表格:4fe4e6a3605f30ca59d4ad15107388f8.png01
    SPSS要如何做呢?
    建议使用SPSS的双变量相关分析菜单,(假设)采用皮尔逊相关系数,同时命令软件【标记显著性相关性】。有的人说用SPSS的【因子分析】菜单可以输出相关系数矩阵,但是我告诉大家啊,它没有携带输出显著性检验结果。所以等于用处不大。具体菜单:【分析】→【相关】→【双变量】57fea7e442c51ce1c5d8454c007b93da.png02
    SPSS默认表格样式
    0efef37a79efecceb35b7b46ff6a4025.png首先,除了相关系数外,还有显著性p值,个案数,以及显著性标记*符号。但是实际上我们只需要留下相关系数和显著性*星号标记即可,其他信息都不需要。所以此表需要修改,删除无用、多余信息03
    表格修改
    SPSS本身也可以直接对表格进行修改,但灵活性较低。我建议把这个表格复制粘贴到word或excel表格中进行编辑修改。本例采用excel进行编辑修改。在表格上点鼠标右键,点选【复制】,打开一个新的Excel表格,粘贴。此时就看各位读者是否熟悉Excel表格操作了,我认为当下的职场人士或学生都必须熟练掌握office办公软件。9fbc1b1fba17071b620027eb3f9af697.png删除【显著性】和【个案数】两行,及【皮尔逊相关性】列,仅保留相关系数和*号标记。并给表格配上线框,数据居中显示。ffa80b5920baf71cdfe43a47fd7542c6.png调整行距列距,垂直居中。9b9033400708f3cf7bd1973c203c26b1.png取消网格线,设置三线表,设置表格标题。8b0c3566a79de66e58f52f1f1be4db52.png删除上三角相关系数及*号标记的内容删除第一行数据,删除最后一列数据。1177e30e412193c585a422126f9271ca.png04
    最终结果
    75c17b87f9dc90d55a5a3978b62effaa.png
    以上就是最终的相关系数矩阵,并且含显著性标记符号*,可以准确的判断相关性是否显著、相关方向、相关强度。本文完文/图=数据小兵◢ 为你推荐以下文章 ◣Pearson系数是两变量均服从正态分布吗?
    统计学三大相关系数使用条件
    如何理解相关分析的显著性检验?
    SPSS做典型相关分析案例实践
    Pearson、Spearman、Kendall三大系数
    独立样本和相关样本的区别,这篇文章讲清楚

    数据小兵坚持写博客已经12年坚持写微信公号文章6年坚持更新SPSS视频课程2年坚持一对一答疑讨论2年绝对超值:一对一答疑欢迎加入SPSS视频课程竭诚服务38d0ccdd3f70f46de2ffa43e6b69dffd.png◢点【
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  • 三、2D小车定位拓展 本文讲一下不是很难的高中部分,主要是AMCL及EKF,两种定位方法 3.1 AMCL定位 首先讲一下AMCL算法,自适应蒙特卡罗粒子滤波定位,...即一个归一化系数*P(Zt|xt)*预测置信度bel(xt),这个预测...

    三、2D小车定位拓展

    本文讲一下不是很难的高中部分,主要是AMCL及EKF,两种定位方法

    3.1 AMCL定位

    首先讲一下AMCL算法,自适应蒙特卡罗粒子滤波定位,其实在gmapping中,我们就要用轮式里程计的odom产生粒子,有些东西,讲大家可能不懂,可以见概率机器人或机器人学状态估计,在贝叶斯滤波中,置信度的更新是靠观测,即一个归一化系数*P(Zt|xt)*预测置信度bel(xt),这个预测bel一般上面有一横,CSDN不知道怎么打,这个预测bel是由运动方程及上一刻的置信度积分得到,总之,粒子滤波就是让符合观测P(Xt|Zt)的现在的粒子(预测的bel)更容易下一次被采样到,其实就是用离散的方法去近似连续,从而减少计算量,但粒子滤波容易出现粒子缺乏和粒子冗余,故我们用Augmented MCL改善了粒子缺乏,用KLD-MCL改善了粒子冗余。
    原生粒子滤波如下:
    在这里插入图片描述
    如何根据运动模型采样粒子呢,对t-1时刻的粒子知道车子向x方向运动了10米,那么把t-1时刻的粒子的x坐标都加10,这是最简单的做法,但是根据里程计运动模型:实际上运动到那后你还要加上一随机增量,这个随机增量服从高斯分布,且协方差由下面的公式决定:
    d
    这个很关键,我们下一篇说。
    那么如何通过计算机程序从一个高斯分布采样呢,高斯分布如下:(图来自百度百科)
    在这里插入图片描述
    我们把-3到3的函数拉成一条线,每段的长度等于其函数的高度及y值,然后生成一个随机数,看他落在哪个区间就好了,这种是用直方图的方法(使用时常取一段区间,用面积表示拉成直线的长度),但我希望我是直接建立从概率到值的映射,这里用Box-Muller方法:
    随机抽出两个从[0,1]均匀分布的数字u和v。然后: 参考这篇文章
    ssd
    则Z1,Z2服从标准正态分布,若指定期望为E,方差为V,则令:
    Z= Z * V + E;
    Augmented MCL如下:
    在这里插入图片描述
    KLD MCL如下:
    dd
    Augmented MCL说白了就是因为比方说位姿服从高斯分布,向两边延伸概率越来越小,但粒子滤波却不能在那里产生粒子,如果此时你把机器人蒙上眼睛和雷达抱到另一个地方了,那你就悲剧了,粒子难以收敛,所以AugmentedMCL改进就是如果粒子难以收敛到一点附近,那么我们就在全局随机产生一些粒子,越不收敛因随机产生的粒子越多,具体见概率机器人定位那章。

    KLD MCL说白了就是如果传感器太牛逼了,最后粒子都收敛到一点附近,那这一点精确度已经够高了,粒子数对精确度提升不大,所以我们希望减少一些粒子,这个衡量单位是在一个栅格中的粒子。

    AMCL就是这两者结合,你也可以尝试去自定义粒子分布的形状,这些概率机器人都有,就不说了,蛮简单的。

    要使用AMCL你需要用mapserver先保存gmapping或其他算法建的地图,在linux命令行输入

    rosrun map_server map_saver -f mymap
    

    之后在launch文件加上你保存地图的路径并运行movebase:

        <arg name="map_file" default="$(find amcl)/maps/class.yaml"/>
    	<node pkg="map_server" name="map_server"  type="map_server" args="$(arg map_file)" />
        <node pkg="move_base" type="move_base" respawn="false" name="move_base" output="screen">
    	<rosparam file="$(find mb)/param/move_base_params.yaml" command="load" />
        <rosparam file="$(find mb)/param/global_costmap_params.yaml" command="load" ns="global_costmap"/>
        <rosparam file="$(find mb)/param/local_costmap_params.yaml" command="load" ns="local_costmap"/>
        <rosparam file="$(find mb)/param/global_planner_params.yaml" command="load" ns="GlobalPlanner"/>
        <rosparam file="$(find mb)/param/dwa_local_planner_params.yaml" command="load" ns="DWAPlannerROS"/>
    </node>
    

    在加上AMCL的launch

    <node pkg="amcl" type="amcl" name="amcl" output="screen">
    	<!-- Publish scans from best pose at a max of 10 Hz -->
        <param name="min_particles" value="500"/>   
        <param name="max_particles" value="5000"/>
        <param name="kld_err" value="0.05"/>   
        <param name="kld_z" value="0.99"/>  
        <param name="update_min_d" value="0.2"/>   
        <param name="update_min_a" value="0.5"/>   
        <param name="resample_interval" value="1"/>  
        <param name="transform_tolerance" value="0.1"/>  
        <param name="recovery_alpha_slow" value="0.0"/> 
        <param name="recovery_alpha_fast" value="0.0"/>  
        <param name="gui_publish_rate" value="10.0"/> 
        <param name="save_pose_rate" value="0.5"/> 
        <param name="use_map_topic" value="false"/>  
        <param name="first_map_only" value="false"/>  
        <param name="laser_min_range" value="-1.0"/> 
        <param name="laser_max_range" value="-1.0"/>  
        <param name="laser_max_beams" value="30"/>   
        <param name="laser_z_hit" value="0.5"/> 
        <param name="laser_z_short" value="0.05"/> 
        <param name="laser_z_max" value="0.05"/>
        <param name="laser_z_rand" value="0.5"/> 
        <param name="laser_sigma_hit" value="0.2"/> 
        <param name="laser_lambda_short" value="0.1"/> 
        <param name="laser_likehood_max_dist" value="2.0"/> 
        <param name="laser_model_type" value="likelihood_field"/>
        <param name="odom_model_type" value="diff"/> 
        <param name="odom_alpha1" value="0.2"/> 
        <param name="odom_alpha2" value="0.2"/>
        <param name="odom_alpha3" value="0.8"/> 
        <param name="odom_alpha4" value="0.2"/> 
        <param name="odom_alpha5" value="0.1"/> 
        <param name="odom_frame_id" value="odom"/>  
        <param name="base_frame_id" value="base_link"/> 
        <param name="global_frame_id" value="map"/> 
        <param name="tf_broadcast" value="true"/> 
        <param name="initial_pose_x" value="0.0"/> 
        <param name="initial_pose_y" value="0.0"/>
        <param name="initial_pose_a" value="0.0"/> 
        <param name="initial_cov_xx" value="0.5*0.5"/>
        <param name="initial_cov_yy" value="0.5*0.5"/>
        <param name="initial_cov_aa" value="(π/12)*(π/12)"/>
    </node>
    

    详见amcl参数含义及《概率机器人》及gmapping的解释,比如KLD那个参数就是概率机器人KLD MCL里的,这些参数都很简单,看名字都能懂,如果实在不懂点赞给我发信息,谢谢。

    之后启动rviz发一个目标就能进行导航了,不过地图是直接出现了,就是你之前建好的地图,且不能更新。

    3.2 EKF定位及协方差矩阵如何写

    EKF全称是拓展卡尔曼滤波,那么卡尔曼滤波(KF)是个什么东西呢
    ss
    对,位姿的x方向里程估计的数据有这两组,我们更愿意相信哪个数据呢?是不是数据二,因为它方差更小,这就是KF的原理,KF系属于高斯滤波(连续贝叶斯滤波),但是假设分布时高斯分布在实际情况往往是极其不准确的,因为你建立的误差模型可能不是服从高斯分布的,那你就必须通过计算把你的误差模型转换为高斯分布,这是极其麻烦的,所以现在都是用粒子滤波(离散贝叶斯滤波)较多,具体见下图:引用自概率机器人:
    s假设置信度预测就是最左边那个分布,而观测P(Zt|Xt)就是最右边那个分布,KF的结果是将这两者叠加得到中间实线那个分布,我们知道高斯分布曲线越胖,方差越大,所以我们通过这种高斯滤波方法让对位姿估计的不确定性降低了,但是当机器人继续运动的时候,置信度分布曲线还是会变胖,所以我们要继续高斯滤波,这样循环往复。
    KF系属贝叶斯滤波其公式为:
    ff
    而KF的伪代码为:
    ekf
    是不是就是贝叶斯滤波啊。而EKF是因为,比方说,你运动轨迹是一个圆,由运动模型如下,见《概率机器人》
    ss
    是不是我们会由平移及角度计算X方向及Z方向的增量(用cos,sin这些三角函数),但其不是线性的,那我们将其泰勒展开,保留前两项(最多到一阶),之前无法知道KF的A和B和C这三个参数无法算协方差,展开后我知道了,于是就可以算协方差了。
    而EKF伪代码如下:
    ss
    另一种常用的KF系算法就UKF,通过无损变换进行滤波,伪代码如下:
    dd
    UKF肯定比EKF好些,但是因为假定高斯分布,准确性在现实情况不高,需要一种比较好的误差模型构造支持
    ROS中我们常用到robot_pose_ekf这个包,其实我发现CSDN上没有一篇讲的清楚的,因为一些东西卡了很久,他需要的东西如下,首先是wheel_odom包括协方差矩阵,(不需要到base_link的tf,这个很重要),imu包括协方差矩阵,imu到tf的信息,vo,gps,后面两个可选,有了这些运行这个包就OK
    launch如下定义:

     <launch>
      <node pkg="robot_pose_ekf" type="robot_pose_ekf" name="robot_pose_ekf">
        <param name="output_frame" value="odom_ekf"/>
        <param name="freq" value="30.0"/>
        <param name="sensor_timeout" value="1.0"/>
        <param name="odom_used" value="true"/>
        <param name="imu_used" value="true"/>
        <param name="vo_used" value="true"/>
        <param name="debug" value="false"/>
        <param name="self_diagnose" value="false"/>
      </node>
     </launch>
    

    然后关键是需要协方差矩阵,这个协方差矩阵很重要,比如机器学习的燃料是数据,数据处理的好,简单的决策树模型都可以,数据处理的不好不管你这么boost都没用,但是处理是一部分,关键还是采集数据的时候要能更加真实的反应现实空间的情况。所以协方差矩阵有多重要,他就相当于机器学习的数据一样,关键是要建立正确的误差模型。这里我根据里程计运动模型写了个协方差矩阵的计算,它是6*6的矩阵,即(x,y,z,r,p,y)3个直角坐标,3个旋转角。若这6个相互独立,那么协方差矩阵只有对角线有值,(注:如果是单纯EKF建议直接写雅可比矩阵的值),代码如下:

    for(int i = 0 ; i < 36 ; i++){
    		odom_.pose.covariance[i] = 0;
        }
    
        //i*6+j  因为是二维就只有xy及转角θ
        odom_.pose.covariance[0] = cov_a3x_*delta_x*delta_x + cov_a4x_*(delta_pre_theta_*delta_pre_theta_+delta_theta*delta_theta); //x
        odom_.pose.covariance[7] = cov_a3y_*delta_y*delta_y + cov_a4y_*(delta_pre_theta_*delta_pre_theta_+delta_theta*delta_theta); //y
        odom_.pose.covariance[14] = pow(0.01221,2); //z
        odom_.pose.covariance[21] = pow(0.007175,2); //r
        odom_.pose.covariance[28] = pow(0.007175,2); //p
        odom_.pose.covariance[35] = cov_a1_*(delta_theta*delta_theta) + cov_a2_*(delta_dis*delta_dis); //theta
    
    	if( !delta_x || !delta_y || !delta_theta ){
    		odom_.pose.covariance[0] = pow(0.01221,2);
        	odom_.pose.covariance[7] = pow(0.01221,2);
     		odom_.pose.covariance[35] = pow(0.007175,2);
    	}
        odom_pub_.publish(odom_);
        delta_pre_theta_ = delta_theta; //在下一次算的时候能用到上一次的数据
    

    公式来自概率机器人里程计运动模型
    ss
    但是这种方法效果只是略有提升,博主通过对车辆建模提出了自己的计算方法,效果好多了,涉及知识产权就不发了,希望大家也这样,研究生就是要干这个的,不是跑通就算成功。

    而imu的误差模型包括噪声(Bias and Noise)、尺度因子(Scale errors)和轴偏差(Axis misalignments)。在ROS上协方差矩阵是只需提供(r,p,y)的方差,若这6个相互独立,那么协方差矩阵只有对角线有值。校准见imu误差模型
    若已校准成功,我第一个版本是直接对速度进行建模,(注:如果是单纯EKF建议直接写雅可比矩阵的值)如下代码:

      msg.orientation_covariance[0] = cov_a1_ * msg.angular_velocity.x * msg.angular_velocity.x;  //r
      msg.orientation_covariance[4] = cov_a2_ * msg.angular_velocity.y * msg.angular_velocity.y;  //p
      msg.orientation_covariance[8] = cov_a3_ * msg.angular_velocity.z * msg.angular_velocity.z;  //y
    

    但是这种方法确实只是略有提升,IMU会漂移,2D还会受非平面干扰等,估博主也提出了自己的计算方法,涉及知识产权就不发了,希望大家也这样。

    而VO也一样6*6,一样需要建模,涉及知识产权就不发了,也因为由上面的知识大家就可以自己去写了。

    好了EKF就讲完了,希望大家多多关注。下一章讲如何从头到尾用ROS自己创建一个slam算法

    展开全文
  • 二次型在一元、两元和三元的情况下,被称为 unary,binary 和 ternary,可以为以下形式,其中 是系数。二次型在许多数学分支,包括数论、线性代数、群论(正交群)、微分几何、微分拓扑和李代数中,占有重要地位。...

    在数学中,二次型(Quadratic Form)是指关于变元的二次齐次多项式。例如,

    是关于变元 的一个二次型。

    二次型在一元、两元和三元的情况下,被称为 unary,binary 和 ternary,可以写为以下形式,

    其中 是系数。

    二次型在许多数学分支,包括数论、线性代数、群论(正交群)、微分几何、微分拓扑和李代数中,占有重要地位。

    二次型可以用于表示某些二次曲线。例如,可以表示下图中旋转的椭圆,

    7ea9c0dbd40ddb17b39a72bf7003c667.png

    其在 坐标系中的方程对应如下关于二次型的等值式,

    这个例子说明,正确选择坐标系或者基底,通常可以简化方程或者待处理的特定问题。

    坐标系逆时针旋转 度,进入 坐标系。此时, 乘积项没有了,椭圆方程简化为,

    这个方程中两个变元之间独立了,形式干净漂亮。那么给定一个二次型,我们如何得到它的标准型呢?这就是本文要讨论的内容,在正式开始之前,我们先来回顾一下有关二次型的研究背景和简史。

    0历史简介

    对特定二次型的研究,特别是关于给定整数是否可以是整数上二次形式的值的问题,可以追溯到多个世纪以前。一个这样的例子是关于两个数平方和的问题,即确定何时可以用 这样的形式表示整数,其中 是整数。这个问题与古老的毕达哥拉斯三元组问题有关。

    公元 628 年,印度数学家 Brahmagupta 撰写的著作中包括对 这类方程的研究。特别地,他考虑了现在称为 Pell 方程 的问题,并找到了一种求解方法。在欧洲,布龙克尔(Brouncker),欧拉(Euler)和拉格朗日(Lagrange)研究了这个问题。

    而对二次型进行系统性研究可以说是从 18 世纪开始的,它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论,将二次曲线和二次曲面的方程变形,选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状,这个问题是在 18 世纪引入的。

    柯西在前人基础上得出结论: 当方程是标准型时,二次曲面用二次型的符号来进行分类。然而,那时并不清楚,在化简成标准型时,为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特(就是那个首先使用 Matrix 这词的数学家)回答了这个问题,他给出了 个变元的二次型的惯性定律,但并没有证明。这个定律后来被雅可比(Jacobi)重新发现和证明。1801 年,高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。

    另外,在矩阵论的发展史上,德国数学家弗罗贝尼乌斯(Frobenius)取得了很大贡献。1878 年,弗罗贝尼乌斯提出了正交矩阵的正式定义,并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。1879 年,他结合行列式引入矩阵秩的概念。弗罗贝尼乌斯还整理和扩展了魏尔斯特拉斯关于不变因子和初等因子的理论工作。

    1二次型的定义

    矩阵出现之前

    所谓二次型,就是系数在一定数域上的齐次多项式,并且是二次多项式。在矩阵的概念提出之前,可以用下面的形式来定义。

    是一数域,一个系数在数域 中的 的二次齐次多项式

    称为数域 上的一个 元二次型,或者,在不致引起混淆时简称为二次型。

    例如,

    就是有理数域上的一个三元二次型。

    用矩阵的形式定义

    对于向量 和矩阵 ,定义为

    的标量函数被称为二次形式。当 是正定矩阵时,二次型被称为正定的。换句话说,当且仅当对所有 都有 成立时,上式是正定二次型。

    注意二次型的公式里有个转置 ,这个可以说非常好,它正是后面引出矩阵合同这个概念的缘由。

    此时,我们再看上面的那个三元二次多项式,

    可以将上面二次型用矩阵表示,

    然而,由于 这两项前面的系数并不确定,反应到矩阵上就是它们对应的矩阵元素 并不能唯一确定下来。换句话说,可以用不同的矩阵来表示这个二次型。但是如果要求这个矩阵是对称的,那么它就是唯一的。

    假设给定矩阵 ,由于

    是对称的,所以二次型对应的矩阵始终可以用对称矩阵表示。因此,可以假设每个二次型的矩阵都是对称的。而当 以及 是 Hermitian 时,表达式 被称为复二次型。

    二次型的对角化

    是对角矩阵时,称二次型 为对角型。

    每个二次型 都可以通过变量代换 来对角化。

    这是因为 是对称的,因此存在一个正交矩阵 ,其中

    以及,(或 ),得到

    这表明二次型的性质由对称矩阵 的特征值确定,而我们知道实对称矩阵的特征值均为实数(柯西在 1829 年已经发现)。以这种方式对角化一个二次型的效果相当于旋转标准坐标系,以便在新坐标系中 的图形呈标准型。如果 是正定的,则其所有特征值都是正的,因此有常数 使得 的像是一个以原点为中心的椭球面。

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    〄 正定二次型对应的等值面。

    例如,上图就对应了如下二次型,

    需要注意的是,二次型的对角化并不一定要通过矩阵的特征分解来实现,这里不需要正交,只需要非奇异,因此也可以通过其他分解来实现。

    实际上,不必通过求解特征值问题来对角化二次型,因为可以使用基于非奇异矩阵 (但不一定是正交)的合同变换 来实现。例如,因为 是对称的,因此可以通过对 的 LDU 分解 来得到一个合同变换。

    这种分解计算起来相对来说更加方便,并且对角矩阵 对角线上的元素是高斯消元过程中出现的主元。

    (或者 ),得

    最终得到的二次型称为标准型,如果系数为正负 1,则称为规范型。

    合同(Congruence)

    没有查到这词是谁翻译的,现代人看到合同两字,可能会想这两个矩阵是在做生意吗?

    Congruence 这个词在数学中多次出现,在几何中称全等,算术中称作同余,总之它可以用于表示一种等价关系。

    矩阵的合同不需要对称,是满足如下性质的一种等价关系,

    • 反身性: 任意矩阵都与其自身合同;
    • 对称性: 合同于 ,则可以推出 合同于
    • 传递性: 合同于 合同于 ,则可以推出 合同于

    合同矩阵的秩相同,矩阵合同的主要判别法:

    • 均为复数域上的 阶对称矩阵,则 在复数域上合同等价于 的秩相同。
    • 均为实数域上的 阶对称矩阵,则 在实数域上合同等价于 有相同的正、负惯性指数(即正、负特征值的个数相等)

    可以这么理解: 两个实对称矩阵合同,当且仅当它们是在各自基底下表示同一个二次型。

    西尔维斯特惯性定律

    实对称矩阵 的惯性指数定义为三元组 ,其中 分别是正、负和零特征值的个数。1852 年西尔维斯特(Sylvester)发现,在合同变换下, 的惯性指数是不变的。

    表示实对称矩阵 是合同的(即存在非奇异矩阵 使得 )

    西尔维斯特惯性定律指出,对于实对称矩阵,

    当且仅当 具有相同的惯性指数。

    西尔维斯特提出该惯性定律时并没有证明,下面我们用后来提出的理论来简要证明一下,如果对证明兴趣不大可以跳过此节。

    证明

    1. 先证必要性

    如果 是实对称矩阵且惯性指数为 ,则有

    因为如果

    的特征值(其中,),则存在一个正交矩阵 ,使得

    令,

    那么, 是非奇异矩阵,因此可得

    是一个实对称矩阵,其惯性指数为 ,由上面结论可得,

    如果 ,则 (合同关系具有传递式),因此 ,得

    为了得到 ,我们用反证法。假设 ,有非奇异矩阵 使得 。如果,则由秩公式可得

    因此,存在一个非零向量 。对于这样的向量

    以及

    矛盾。

    因此, 不能成立。类似地,$p

    以上证明了,如果 ,则 具有相同的惯性指数。

    2. 再证充分性

    反过来,如果 的惯性指数为 ,则公式 () 成立,因此

    惯性指数举例
    241d57d983a986205303f0e9b8532d6c.png
    与双线性形式的关系

    与二次型 相关的双线性形式定义为,

    因此, 是域 上由矩阵 定义的对称双线性形式。相反,可以由任何对称双线性形式 定义二次型,

    在一般的域上, 元对称双线性形式和二次型可以等同视之。

    另外,这里其实隐藏着张量这个数学概念,具体留作后文进一步解读。

    2小结

    最后,不用矩阵再总结一下西尔维斯特惯性定律(Sylvester's law of inertia)。在实数域中,一个形如

    的二次型通过变元代换可以化简成唯一的规范型,

    上式由系数矩阵的秩 ,正惯性系数的个数 ,负惯性系数的个数 以及 的数目唯一确定,而正惯性系数个数减去负惯性系数个数的值 称作符号差。

    注意,虽然矩阵合同的概念是后来提出来的,但是上面这些工作是在 1852 年前提出的。

    两个实对称矩阵合同,当且仅当它们是在各自基底下表示同一个二次型/双线性形式。

    有了矩阵的概念以及矩阵分解以后,书写和证明将变得更加方便。在凯莱提出矩阵代数的同时,他以矩阵符号运算的方式指出,二次型转化为标准型对应了矩阵的对角化。相关阅读

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如何写系数矩阵