• 一元四次方程的解
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2021-04-19 01:48:47

不会出错的，用matlab

solve('x^4-13*x^2-5*sqrt(2)*x 36=0')

ans =

x1=1/6*3^(1/2)*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2) 1/6*3^(1/2)*((52*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3)*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2)-((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2)*(15326 15*79131^(1/2))^(2/3)-601*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2) 30*2^(1/2)*3^(1/2)*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3)/((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2))^(1/2)

x2=1/6*3^(1/2)*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2)-1/6*3^(1/2)*((52*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3)*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2)-((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2)*(15326 15*79131^(1/2))^(2/3)-601*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2) 30*2^(1/2)*3^(1/2)*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3)/((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2))^(1/2)

x3=-1/6*3^(1/2)*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2) 1/6*i*((-156*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3)*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2) 3*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2)*(15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 1803*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2) 90*2^(1/2)*3^(1/2)*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3)/((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2))^(1/2)

x4=-1/6*3^(1/2)*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2)-1/6*i*((-156*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3)*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2) 3*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2)*(15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 1803*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2) 90*2^(1/2)*3^(1/2)*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3)/((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2))^(1/2)。

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如何用Matlab求解如下一元四次方程，求指导以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容，让我们赶快一起来看一下吧！

如何用Matlab求解如下一元四次方程，求指导

不带参数：solve('x^4-x^3+x^2=0')单引号内式子可以任意改变,但形式要与例子一致.

带参数：syms a b c x;

solve('a*x^4-b*x^3+c*x^2=0',x),要解变量a就改为solve('a*x^4-b*x^3+c*x^2=0',a)

一元四次方程求解

试根：x=0;

于是x(x^3+3x^2-6x-8)=0;

再试根:x=2;

于是x(x-2)(x^2+5x+4)=0;

于是x(x-2)(x+1)(x+4)=0;

根：0,2，-1，-4

看在最快的份儿上，求个最佳！

你没搞错吧？这么复杂，我用软件算的答案是

{{x -> 5/4 +

1/2 Sqrt[

59/12 + 94/(3 (629 + 3 I Sqrt[48327])^(1/3)) +

1/3 (629 + 3 I Sqrt[48327])^(1/3)] -

1/2 \[Sqrt](59/6 - 94/(3 (629 + 3 I Sqrt[48327])^(1/3)) -

1/3 (629 + 3 I Sqrt[48327])^(1/3) - 27/(

4 Sqrt[59/12 + 94/(3 (629 + 3 I Sqrt[48327])^(1/3)) +

1/3 (629 + 3 I Sqrt[48327])^(1/3)]))}, {x ->

5/4 + 1/2 Sqrt[

59/12 + 94/(3 (629 + 3 I Sqrt[48327])^(1/3)) +

1/3 (629 + 3 I Sqrt[48327])^(1/3)] +

1/2 \[Sqrt](59/6 - 94/(3 (629 + 3 I Sqrt[48327])^(1/3)) -

1/3 (629 + 3 I Sqrt[48327])^(1/3) - 27/(

4 Sqrt[59/12 + 94/(3 (629 + 3 I Sqrt[48327])^(1/3)) +

1/3 (629 + 3 I Sqrt[48327])^(1/3)]))}, {x ->

5/4 - 1/2 Sqrt[

59/12 + 94/(3 (629 + 3 I Sqrt[48327])^(1/3)) +

1/3 (629 + 3 I Sqrt[48327])^(1/3)] -

1/2 \[Sqrt](59/6 - 94/(3 (629 + 3 I Sqrt[48327])^(1/3)) -

1/3 (629 + 3 I Sqrt[48327])^(1/3) + 27/(

4 Sqrt[59/12 + 94/(3 (629 + 3 I Sqrt[48327])^(1/3)) +

1/3 (629 + 3 I Sqrt[48327])^(1/3)]))}, {x ->

5/4 - 1/2 Sqrt[

59/12 + 94/(3 (629 + 3 I Sqrt[48327])^(1/3)) +

1/3 (629 + 3 I Sqrt[48327])^(1/3)] +

1/2 \[Sqrt](59/6 - 94/(3 (629 + 3 I Sqrt[48327])^(1/3)) -

1/3 (629 + 3 I Sqrt[48327])^(1/3) + 27/(

4 Sqrt[59/12 + 94/(3 (629 + 3 I Sqrt[48327])^(1/3)) +

1/3 (629 + 3 I Sqrt[48327])^(1/3)]))}}

如何用公式法解一元三次四次方程

一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：

(1)将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到

(2)x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))

(3)由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以(2)可化为

x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得

(4)x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知

(5)－3(AB)^(1/3)＝p,－(A+B)=q，化简得

(6)A+B＝－q，AB＝-(p/3)^3

(7)这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即

(8)y1＋y2＝－(b/a),y1*y2=c/a

(9)对比(6)和(8)，可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-(p/3)^3＝c/a

(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为

y1＝－(b＋(b^2－4ac)^(1/2))/(2a)

y2＝－(b－(b^2－4ac)^(1/2))/(2a)

可化为

(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-(p/3)^3＝c/a代入(11)可得

(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2)

B＝－(q/2)+((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2)

(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得

(14)x=(－(q/2)-((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(－(q/2)+((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)

式 (14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。

x^y就是x的y次方

好复杂的说

塔塔利亚发现的一元三次方程的解法

一元三次方程的一般形式是

x3+sx2+tx+u=0

如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消

去。所以我们只要考虑形如

x3=px+q

的三次方程。

假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。

代入方程，我们就有

a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q

整理得到

a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q

由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，

3ab+p=0。这样上式就成为

a3-b3=q

两边各乘以27a3，就得到

27a6-27a3b3=27qa3

由p=-3ab可知

27a6 + p3 = 27qa3

这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。

费拉里发现的一元四次方程的解法

和三次方程中的做法一样，可以用一个坐标平移来消去四次方程

一般形式中的三次项。所以只要考虑下面形式的一元四次方程：

x4=px2+qx+r

关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式。考虑一个参数

a，我们有

(x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2

等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0，即

q2 = 4(p+2a)(r+a2)

这是一个关于a的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我们可以

解出参数a。这样原方程两边都是完全平方式，开方后就是一个关于x

的一元二次方程，于是就可以解出原方程的根x。

最后，对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算)，这称为阿贝耳定理

:xycq./forum/archiver/?tid-85077.

:hbedu../2006-2-7/20062781401.htm

:wlck./bbs/printpage.asp?BoardID=32&ID=6599

这3个网站都是一元四次方程的解法!

求解个一元四次方程

X^4-10x+9=(X^4-1)-10x+9+1=(x^2+1)(x^2-1)-10(x-1)=(x^2+1)(x+1)(x-1)-10(x-1)=(x-1)(x^3+x^2+x+1-10)

解得x＝1或x^3+x^2+x－9＝0，不会了：(

如何用matlab解四次方程并且算出解析式

设该四次方程为

a0x^4+a1x^3+a2x^2+a3x+a4=0

输入roots([a0 a1 a2 a3 a4])即可

如何解一元四次方程

一元四次方程解 sonicmove

简单的一元四次方程求解

原方程化简得(x-4)^4=8(x-4)^2+4x^2得8

一元四次方程X^4-20X+19=0，求解！

原式=x^4-x^2+x^2-20x+19

=x^2(x+1)(x-1)+(x-19)(x-1)

=(x^3+x^2-19)(x-1)=0

先得一解为1,

再看x^3+x^2-19=0

解辅助方程:

X^3-1/3X-512/27=0

得X=3次根号[(512+√262140)/54]+三次根号[(512-√262140)/54]

≈2.708329995

∴x=X-1/3

≈2.374996662

所以方程仅有两根:x1=1,x2=2.374996662

分页：123

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• 用于求解一元四次方程的类的头文件， //pr[5]分别表示一元四次方程的5个参数，pr[0] * x^4 + pr[1] * x^3 + pr[2] * x^2 + pr[3] * x^1 + pr[4] = 0 //使用EquationSolver MyES; double prs = {1,1,1,1,1}; MyES....
• ## 一元四次方程的求解

千次阅读 多人点赞 2019-11-09 10:59:20
一元四次方程的求解0....要是直接放入C++中，通过解析来实时求它的甚至会比求解一元四次方程花费的时间更多。于是另谋出路，查阅资料如何求解一元四次方程。 1.方法一 Ferrari方法，这也是最容易Googl...

## 0.引言

在学习过程中需要求解一个一元四次方程。
由于带有未知参数，本想使用MATLAB求解出它的解析解然后写入C++进行计算。后来发现求解出来的解太长。

要是直接放入C++中，通过解析解来实时求它的解甚至会比求解一元四次方程花费的时间更多。于是另谋出路，查阅资料如何求解一元四次方程。

## 1.方法一

Ferrari.cpp

#include <math.h>
#include <float.h>
#include <complex>
#include <iostream>
/******************************************************************************\
对一个复数 x 开 n 次方
\******************************************************************************/
std::complex<double>  sqrtn(const std::complex<double>&x,double n)
{
double r = hypot(x.real(),x.imag()); //模
if(r > 0.0)
{
double a = atan2(x.imag(),x.real()); //辐角
n = 1.0 / n;
r = pow(r,n);
a *= n;
return std::complex<double>(r * cos(a),r * sin(a));
}
return std::complex<double>();
}
/******************************************************************************\
使用费拉里法求解一元四次方程 a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e = 0
\******************************************************************************/
std::complex<double> Ferrari(std::complex<double> x[4]
,std::complex<double> a
,std::complex<double> b
,std::complex<double> c
,std::complex<double> d
,std::complex<double> e)
{
a = 1.0 / a;
b *= a;
c *= a;
d *= a;
e *= a;
std::complex<double> P = (c * c + 12.0 * e - 3.0 * b * d) / 9.0;
std::complex<double> Q = (27.0 * d * d + 2.0 * c * c * c + 27.0 * b * b * e - 72.0 * c * e - 9.0 * b * c * d) / 54.0;
std::complex<double> D = sqrtn(Q * Q - P * P * P,2.0);
std::complex<double> u = Q + D;
std::complex<double> v = Q - D;
if(v.real() * v.real() + v.imag() * v.imag() > u.real() * u.real() + u.imag() * u.imag())
{
u = sqrtn(v,3.0);
}
else
{
u = sqrtn(u,3.0);
}
std::complex<double> y;
if(u.real() * u.real() + u.imag() * u.imag() > 0.0)
{
v = P / u;
std::complex<double> o1(-0.5,+0.86602540378443864676372317075294);
std::complex<double> o2(-0.5,-0.86602540378443864676372317075294);
std::complex<double>&yMax = x[0];
double m2 = 0.0;
double m2Max = 0.0;
int iMax = -1;
for(int i = 0;i < 3;++i)
{
y = u + v + c / 3.0;
u *= o1;
v *= o2;
a = b * b + 4.0 * (y - c);
m2 = a.real() * a.real() + a.imag() * a.imag();
if(0 == i || m2Max < m2)
{
m2Max = m2;
yMax = y;
iMax = i;
}
}
y = yMax;
}
else
{//一元三次方程，三重根
y = c / 3.0;
}
std::complex<double> m = sqrtn(b * b + 4.0 * (y - c),2.0);
if(m.real() * m.real() + m.imag() * m.imag() >= DBL_MIN)
{
std::complex<double> n = (b * y - 2.0 * d) / m;
a = sqrtn((b + m) * (b + m) - 8.0 * (y + n),2.0);
x[0] = (-(b + m) + a) / 4.0;
x[1] = (-(b + m) - a) / 4.0;
a = sqrtn((b - m) * (b - m) - 8.0 * (y - n),2.0);
x[2] = (-(b - m) + a) / 4.0;
x[3] = (-(b - m) - a) / 4.0;
}
else
{
a = sqrtn(b * b - 8.0 * y,2.0);
x[0] =
x[1] = (-b + a) / 4.0;
x[2] =
x[3] = (-b - a) / 4.0;
}
return x[4];
}

int main()
{
std::complex<double> x[4];
x[4] = Ferrari(x,1,2,3,4,5); //验证费拉里法
std::cout<<"root1: "<<x[0]<<std::endl<<"root2: "<<x[1]<<std::endl<<"root3: "<<x[2]<<std::endl<<"root4: "<<x[3]<<std::endl;
return true;
}

测试系数：1,2,3,4,5

确保结果正确，使用matlab验证一下：

p = [1 2 3 4 5];
x = roots(p)

结果一致，OK。

## 2.方法二

使用多项式的伴随矩阵进行求解。

对于多项式： P ( x ) = x n + c n − 1 x n − 1 + c n − 2 x n − 2 + ⋯ + c 1 x + c 0 P(x) = x^n+c_{n-1}x^{n-1}+c_{n-2}x^{n-2}+\cdots+c_1x+c_0
其伴随矩阵：

M x = [ 0 0 . . . 0 − c 0 1 0 . . . 0 − c 1 0 1 . . . 0 − c 2 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1 − c n − 1 ] M_x = \left[\begin{array}{ccccc} 0 & {0} & {...} & {0} & {-c_0} \\ 1 &0 & {...} & {0} & {-c_1} \\ {0} & {1} & {...} & {0} & {-c_2} \\ { ...} & {...} & {...} & {...} & {...} \\ {0} & {0} & {...} & {1} & {-c_{n-1}} \end{array}\right]
的特征值就是 P ( x ) P(x) 的根。

于是使用Eigen进行多项式的求解：

#include <iostream>
#include <Eigen/Core>
// 稠密矩阵的代数运算（逆，特征值等）
#include <Eigen/Dense>
using namespace std;

int main( int argc, char** argv )
{

Eigen::Matrix<double, 4, 4> matrix_44;
//复数动态矩阵
Eigen::Matrix<complex<double>, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic> matrix_eigenvalues;
//同样测试 12345
matrix_44 << 0, 0, 0, -5,
1, 0, 0, -4,
0, 1, 0, -3,
0, 0, 1, -2;

std::cout<<"matrix_44: "<<std::endl<<matrix_44<<std::endl<<std::endl;

matrix_eigenvalues = matrix_44.eigenvalues();
//std::cout<<"matrix_44.eigenvalues: "<<std::endl<<matrix_44.eigenvalues()<<std::endl;
std::cout<<"matrix_eigenvalues: "<<std::endl<<matrix_eigenvalues<<std::endl;
return 0;
}

结果与上面同样一致：

## 3.结论

数学功底越深厚，代码复杂度越低！！

展开全文
• 一元次方程 % 求解 ax2+bx+c=0 2次方程有两个个 syms a b c x; [x] = solve(a*x^2+b*x+c==0,x,'Real',false) syms x [x] = solve(x^2+x+1==0,x,'Real',false) %false 求复数 true 求实数 %图形 x = -2:...
• 一元二次方程
% 求解 ax2+bx+c=0   2次方程有两个个解

syms a b c x;
[x] = solve(a*x^2+b*x+c==0,x,'Real',false)
syms x
[x] = solve(x^2+x+1==0,x,'Real',false)  %false 求复数解 true 求实数解
%图形
x = -2:0.01:1;
y = x.^2+x+1;
y1 = zeros(size(x));
plot(x,y,'b');
hold on
plot(x,y1,'r--')

• 一元三次方程
% 求解 ax^3+bx^2+cx+d=0
syms a b c d x
[x] = solve(a*x^3+b*x^2+c*x+d==0,x)
%  root(az3+bz2+cz+d,z,1)
syms x;
[x] = solve(x^3+x^2+x+1==0,x)  % 解x = -1,-i,i
syms x;
[x] = solve(x^3+x^2+x+1==0,x,'real',true) % x = -1
syms x;
[x] = solve(2*x^3+5*x^2+x+1==3,x) % x = -1

%图形
x = -4:0.01:3;
y = 2*x.^3+5*x.^2+x+1;
y1 = zeros(size(x));
plot(x,y,'b');
hold on
plot(x,y1,'r--')

x =

• 一元四次方程
% 求解 ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0
syms a b c d e x;
[x] = solve(a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e==0,x)
syms  x;
[x] = solve(x^4+x^3+x^2+x+1==1,x,'Real',true) %实数解

%图形
x = -8:0.01:4;
y = 2*x.^4+17*x.^3+7*x.^2+8*x+1;
y1 = zeros(size(x));
plot(x,y,'b');
hold on
plot(x,y1,'r--')

x =

x =

• 一元五次方程
% 求解 ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f==0
syms a b c d e f x
[x] = solve(a*x^5+b*x^4+c*x^3+d*x^2+e*x+f==0,x)
syms  x
[x] = solve(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1==0,x,'Real',true)

%图形
x = -6:0.01:4;
y = 2*x.^5+12*x.^4+8*x.^3+20*x.^2+42*x+1;
y1 = zeros(size(x));
plot(x,y,'b');
hold on
plot(x,y1,'r--')

x =

x =

• 一元六次方程
% 求解 ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g=0
syms a b c d e f g x
[x] = solve(a*x^6+b*x^5+c*x^4+d*x^3+e*x^2+f*x+g==0,x)
syms x
[x] = solve(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1==1,x,'Real',true)

%图形
x = -30:0.01:20;
y = x.^6+25*x.^5+20*x.^4+30*x.^3+40*x.^2+50*x+1;
y1 = zeros(size(x));
plot(x,y,'b');
hold on
plot(x,y1,'r--')

x =

x =

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