一元四次方程的解

matlab计算一元四次方程,一元四次方程解法

2021-04-19 01:48:47

不会出错的，用matlabsolve('x^4-13*x^2-5*sqrt(2)*x 36=0')ans =x1=1/6*3^(1/2)*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2) 1/6*3^(1/2)*((52*...

不会出错的，用matlab
solve('x^4-13*x^2-5*sqrt(2)*x 36=0')
ans =
x1=1/6*3^(1/2)*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2) 1/6*3^(1/2)*((52*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3)*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2)-((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2)*(15326 15*79131^(1/2))^(2/3)-601*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2) 30*2^(1/2)*3^(1/2)*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3)/((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2))^(1/2)
x2=1/6*3^(1/2)*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2)-1/6*3^(1/2)*((52*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3)*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2)-((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2)*(15326 15*79131^(1/2))^(2/3)-601*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2) 30*2^(1/2)*3^(1/2)*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3)/((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2))^(1/2)
x3=-1/6*3^(1/2)*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2) 1/6*i*((-156*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3)*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2) 3*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2)*(15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 1803*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2) 90*2^(1/2)*3^(1/2)*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3)/((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2))^(1/2)
x4=-1/6*3^(1/2)*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2)-1/6*i*((-156*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3)*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2) 3*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2)*(15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 1803*((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2) 90*2^(1/2)*3^(1/2)*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3)/((26*(15326 15*79131^(1/2))^(1/3) (15326 15*79131^(1/2))^(2/3) 601)/(15326 15*79131^(1/2))^(1/3))^(1/2))^(1/2)。
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求解一元四次方程
2016-03-27 17:05:56
使用VC++编写求解一元四次方程的程序
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一元四次方程的求解

千次阅读 2019-11-09 10:59:20

一元四次方程的求解0....要是直接放入C++中，通过解析解来实时求它的解甚至会比求解一元四次方程花费的时间更多。于是另谋出路，查阅资料如何求解一元四次方程。 1.方法一 Ferrari方法，这也是最容易Googl...


一元四次方程的求解
0.引言
1.方法一
2.方法二
3.结论

0.引言
在学习过程中需要求解一个一元四次方程。

由于带有未知参数，本想使用MATLAB求解出它的解析解然后写入C++进行计算。后来发现求解出来的解太长。


要是直接放入C++中，通过解析解来实时求它的解甚至会比求解一元四次方程花费的时间更多。于是另谋出路，查阅资料如何求解一元四次方程。
1.方法一
Ferrari方法，这也是最容易Google到的方法。

wiki

时间紧张原理就不看了，直接找实现。巧了，某百科上就有code.Link.
Ferrari.cpp
#include <math.h>
#include <float.h>
#include <complex>
#include <iostream>
/******************************************************************************\
对一个复数 x 开 n 次方
\******************************************************************************/
std::complex<double>  sqrtn(const std::complex<double>&x,double n)
{
    double r = hypot(x.real(),x.imag()); //模
    if(r > 0.0)
    {
        double a = atan2(x.imag(),x.real()); //辐角
        n = 1.0 / n;
        r = pow(r,n);
        a *= n;
        return std::complex<double>(r * cos(a),r * sin(a));
    }
    return std::complex<double>();
}
/******************************************************************************\
使用费拉里法求解一元四次方程 a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e = 0
\******************************************************************************/
std::complex<double> Ferrari(std::complex<double> x[4]
,std::complex<double> a
,std::complex<double> b
,std::complex<double> c
,std::complex<double> d
,std::complex<double> e)
{
    a = 1.0 / a;
    b *= a;
    c *= a;
    d *= a;
    e *= a;
    std::complex<double> P = (c * c + 12.0 * e - 3.0 * b * d) / 9.0;
    std::complex<double> Q = (27.0 * d * d + 2.0 * c * c * c + 27.0 * b * b * e - 72.0 * c * e - 9.0 * b * c * d) / 54.0;
    std::complex<double> D = sqrtn(Q * Q - P * P * P,2.0);
    std::complex<double> u = Q + D;
    std::complex<double> v = Q - D;
    if(v.real() * v.real() + v.imag() * v.imag() > u.real() * u.real() + u.imag() * u.imag())
    {
        u = sqrtn(v,3.0);
    }
    else
    {
        u = sqrtn(u,3.0);
    }
    std::complex<double> y;
    if(u.real() * u.real() + u.imag() * u.imag() > 0.0)
    {
        v = P / u;
        std::complex<double> o1(-0.5,+0.86602540378443864676372317075294);
        std::complex<double> o2(-0.5,-0.86602540378443864676372317075294);
        std::complex<double>&yMax = x[0];
        double m2 = 0.0;
        double m2Max = 0.0;
        int iMax = -1;
        for(int i = 0;i < 3;++i)
        {
            y = u + v + c / 3.0;
            u *= o1;
            v *= o2;
            a = b * b + 4.0 * (y - c);
            m2 = a.real() * a.real() + a.imag() * a.imag();
            if(0 == i || m2Max < m2)
            {
                m2Max = m2;
                yMax = y;
                iMax = i;
            }
        }
        y = yMax;
    }
    else
    {//一元三次方程，三重根
        y = c / 3.0;
    }
    std::complex<double> m = sqrtn(b * b + 4.0 * (y - c),2.0);
    if(m.real() * m.real() + m.imag() * m.imag() >= DBL_MIN)
    {
        std::complex<double> n = (b * y - 2.0 * d) / m;
        a = sqrtn((b + m) * (b + m) - 8.0 * (y + n),2.0);
        x[0] = (-(b + m) + a) / 4.0;
        x[1] = (-(b + m) - a) / 4.0;
        a = sqrtn((b - m) * (b - m) - 8.0 * (y - n),2.0);
        x[2] = (-(b - m) + a) / 4.0;
        x[3] = (-(b - m) - a) / 4.0;
    }
    else
    {
        a = sqrtn(b * b - 8.0 * y,2.0);
        x[0] =
        x[1] = (-b + a) / 4.0;
        x[2] =
        x[3] = (-b - a) / 4.0;
    }
return x[4];
}

int main()
{
std::complex<double> x[4];
x[4] = Ferrari(x,1,2,3,4,5); //验证费拉里法
std::cout<<"root1: "<<x[0]<<std::endl<<"root2: "<<x[1]<<std::endl<<"root3: "<<x[2]<<std::endl<<"root4: "<<x[3]<<std::endl;
return true;
}

测试系数：1,2,3,4,5


确保结果正确，使用matlab验证一下：
p = [1 2 3 4 5];
x = roots(p)



结果一致，OK。
2.方法二
使用多项式的伴随矩阵进行求解。

ref

对于多项式： $P(x) = x^n+c_{n-1}x^{n-1}+c_{n-2}x^{n-2}+\cdots+c_1x+c_0$ 

其伴随矩阵：
 $M_x = \left[\begin{array}{ccccc} 0 & {0} & {...} & {0} & {-c_0} \\ 1 &0 & {...} & {0} & {-c_1} \\ {0} & {1} & {...} & {0} & {-c_2} \\ { ...} & {...} & {...} & {...} & {...} \\ {0} & {0} & {...} & {1} & {-c_{n-1}} \end{array}\right]$ 

的特征值就是 $P(x)$ 的根。
于是使用Eigen进行多项式的求解：
#include <iostream>
#include <Eigen/Core>
// 稠密矩阵的代数运算（逆，特征值等）
#include <Eigen/Dense>
using namespace std;

int main( int argc, char** argv )
{

    Eigen::Matrix<double, 4, 4> matrix_44;
    //复数动态矩阵
	Eigen::Matrix<complex<double>, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic> matrix_eigenvalues;
	//同样测试 12345
    matrix_44 << 0, 0, 0, -5,
				 1, 0, 0, -4,
				 0, 1, 0, -3,
				 0, 0, 1, -2;

	std::cout<<"matrix_44: "<<std::endl<<matrix_44<<std::endl<<std::endl;

	matrix_eigenvalues = matrix_44.eigenvalues();
	//std::cout<<"matrix_44.eigenvalues: "<<std::endl<<matrix_44.eigenvalues()<<std::endl;
	std::cout<<"matrix_eigenvalues: "<<std::endl<<matrix_eigenvalues<<std::endl;
	return 0;
}



结果与上面同样一致：

3.结论
数学功底越深厚，代码复杂度越低！！

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一元四次方程求解正实根
2014-08-27 17:17:39
应用降次的方法求取一元四次方程的根（这里只求取了正实根）
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一元四次方程求根公式
万次阅读 2016-11-03 09:55:29
一元四次方程求根公式
```
求解一元四次方程 VC++ 代码链接如下： 
https://github.com/hanford77/SolveEquation
```
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VC++
用于求解一元四次方程的类的头文件
2018-06-04 13:53:06
用于求解一元四次方程的类的头文件， //pr[5]分别表示一元四次方程的5个参数，pr[0] * x^4 + pr[1] * x^3 + pr[2] * x^2 + pr[3] * x^1 + pr[4] = 0 //使用EquationSolver MyES; double prs = {1,1,1,1,1}; MyES....
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一元四次方程求解方法的思考与研究
2010-07-24 16:27:07
一元四次方程求解方法的思考与研究 一元四次方程求解的基本思路是降次，它可以由二次、三次方程的求解得到启示.
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一元四次方程的求根公式

千次阅读 热门讨论 2019-07-10 14:05:41

对于一元四次方程： ax4+bx3+cx2+dx+e=0\Large a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e=0ax4+bx3+cx2+dx+e=0 记： {Δ1=c2−3bd+12aeΔ2=2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace\Large \begin{cases} \Delta_{1}=c^{2}-3 b d+12 a e \...

对于一元四次方程：

 $\Large a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e=0(a\ne0)$ 

记：

 $\Large \begin{cases} \Delta_{1}=c^{2}-3 b d+12 a e \\ \Delta_{2}=2 c^{3}-9 b c d+27 a d^{2}+27 b^{2} e-72 a c e \end{cases}$ 

并记:

 $\Large\Delta=\frac{\sqrt[3]{2} \Delta_{1}}{3 a \sqrt[3]{\Delta_{2}+\sqrt{-4 \Delta_{1}^{3}+\Delta_{2}^{2}}}}+\frac{\sqrt[3]{\Delta_{2}+\sqrt{-4 \Delta_{1}^{3}+\Delta_{2}^{2}}}}{3 \sqrt[3]{2} a}$ 

则有：

 $\Large\begin{cases} x_{1}=-\frac{b}{4 a}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^{2}}{4 a^{2}}-\frac{2 c}{3 a}+\Delta}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^{2}}{2 a^{2}}-\frac{4 c}{3 a}-\Delta-\frac{-\frac{b^{3}}{a^{3}}+\frac{4 b c}{a^{2}}-\frac{8 d}{a}}{4 \sqrt{\frac{b^{2}}{4 a^{2}}-\frac{2 c}{3 a}+\Delta}}}\\ x_{2}=-\frac{b}{4 a}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^{2}}{4 a^{2}}-\frac{2 c}{3 a}+\Delta}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^{2}}{2 a^{2}}-\frac{4 c}{3 a}-\Delta-\frac{-\frac{b^{3}}{a^{3}}+\frac{4 b c}{a^{2}}-\frac{8 d}{a}}{4 \sqrt{\frac{b^{2}}{4 a^{2}}-\frac{2 c}{3 a}+\Delta}}}\\ x_{3}=-\frac{b}{4 a}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^{2}}{4 a^{2}}-\frac{2 c}{3 a}+\Delta}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^{2}}{2 a^{2}}-\frac{4 c}{3 a}-\Delta+\frac{-\frac{b^{3}}{a^{3}}+\frac{4 b c}{a^{2}}-\frac{8 d}{a}}{4 \sqrt{\frac{b^{2}}{4 a^{2}}-\frac{2 c}{3 a}+\Delta }}}\\ x_{4}=-\frac{b}{4 a}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^{2}}{4 a^{2}}-\frac{2 c}{3 a}+\Delta}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^{2}}{2 a^{2}}-\frac{4 c}{3 a}-\Delta+\frac{-\frac{b^{3}}{a^{3}}+\frac{4 b c}{a^{2}}-\frac{8 d}{a}}{4 \sqrt{\frac{b^{2}}{4 a^{2}}-\frac{2 c}{3 a}+\Delta}}} \end{cases}$

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一元四次方程（VC++）
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一元四次方程求解C++实现
千次阅读 2014-11-24 09:24:14
用到了一元二次方程,一元三次方程的求解. class QuarticRealPolynomial { public: static Number computeDiscriminant(Number a, Number b, Number c, Number d, Number e); static std::vector ...
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一元二次方程
2019-04-24 09:00:54
** 一元二次方程的解法 ** 一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础。 ...一元二次方程有四种解法： 1、直接开平方...
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一元三次和四次方程的解
千次阅读 2015-01-08 12:21:55
这两个解法都是基于构造性的...拉格朗日提出了一个统一的办法解决n次方程的问题，但发现对于五次方程不可解。后来阿贝尔提出了一个充要条件。最终由天才数学家伽罗瓦解决，并产生群论。这些将在伽罗瓦理论中仔细阐明
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一元四次方程求根实现
2020-07-08 16:35:04
转载： https://blog.csdn.net/fb_941219/article/details/102984587
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一元一次二次三次四次方程计算器
2014-07-25 15:07:47
计算一元一次二次三次四次方程，很好的计算器
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matlab计算一元四次方程,一元四次方程解法

求解一元四次方程

一元四次方程的求解

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0.引言

1.方法一

2.方法二

3.结论

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