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  • 2020-01-01 14:18:31

    1.收集到港澳台近15年的数据(表格1),数据来源具体来源:http://data.stats.gov.cn/easyquery.htm?cn=E0110

                                                                                                    表格 1

    时间

    香港

    澳门

    2000

    6665000

    431867

    2001

    6714300

    438088

    2002

    6744100

    444178

    2003

    6730800

    450754

    2004

    6783500

    458579

    2005

    6813200

    481390

    2006

    6857100

    479728

    2007

    6925900

    493022

    2008

    6977700

    507274

    2009

    7003700

    521405

    2010

    7024200

    543656

    2011

    7071600

    546682

    2012

    7154600

    557763

    2013

    7187500

    568056

    2014

    7241700

    577914

    2015

    7305700

    587606

    2.利用表格1中第一列和第二列做一元回归分析

    利用matlab编译程序如下:

    clear;clc;
    
    load('a.mat');%导入数据
    
    n=length(a);
    
    X=a(:,1);%提取自变量
    
    X1=[ones(n,1),X];%自变量矩阵前加一列1
    
    Y=a(:,2);%提取因变量
    
    [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X1);%多指标
    
    %输出向量b,bint为回归系数估计值和它们的置信区间,r,rint为残差及其置信区间,
    
    %stats是用于检验回归模型的统计量,有三个量,
    
    %第一个是决定系数R的平方,第二个是F统计量值,第三个是与F统计量值对应的概率P
    
    Z=b(1)+b(2)*X;%回归方程
    
    plot(X,Y,'rp',X,Z,'b');
    
    title('原始数据散点图与回归线');
    
    set(0,'defaultfigurecolor','w');

    得到结果如下:

    • 回归方程:y=42237.6470588214-77842038.9705839x(下图1)
    • bint为回归系数估计值的置信区间:[ -84122051.1272290,39109.3802594004][ -71562026.8139388,45365.9138582424]
    • r,rint为残差及其置信区间:(下图2)
    • 决定系数R的平方:0.9836(越接近1拟合程度越高)
    • F统计量值:838.610071047130
    • F统计量值对应的概率P:6.79068295826737e-14<<0.05,即回归方程显著。

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    一元线性回归

    ​由于笔者的数学不太好,而且网上关于一元线性回归的文章有很多,所以相关内容大家可以查找一下,这里我就简单的搬运一下简单概念。

    一元线性回归的方程:
    h ( x ) = β 0 + β 1 x h(x)=β_0+β_1x h(x)=β0+β1x
    其中第一个参数 β 0 β_0 β0为截距,第二个参数 β 1 β_1 β1为斜率。

    代价函数

    ​ 回归分析的主要目的是通过已有的信息,去推测出未知的信息。通过一个例子大家可能会更深刻的理解回归分析的目的。

    在这里插入图片描述

    上图为广告费与销售额的关系图,虚线为我们的一元线性回归方程,通过回归分析,我们可以预测当广告费为14万元时,我们的销售额可能是30万元。

    ​回归分析属于统计学问题,这就说明在给定自变量x时,我们是无法准确的得出因变量y的。但是我们可以通过一些方法去**“减少误差”**,使得预测的结果尽量的接近真实值。所以我们引入了代价函数,其使用最小二乘法的理论去减少这种误差。代价函数数学公式如下:
    J ( β 0 , β 1 ) = 1 2 m ∑ i = 1 m [ y i − h ( x i ) ] 2 J(β_0,β_1)=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m[y_i-h(x_i)]^2 J(β0,β1)=2m1i=1m[yih(xi)]2
    ​ 为了更好的理解代价函数,这里使第一个参数为零,然后观察一下图片(由于是从视频中截取的图片,所以这里的参数又β变成了θ,是我太懒了😂)

    在这里插入图片描述

    当θ=1时,此时回归方程贯穿每一个点,所以误差为零,J(θ)值如右图所示。

    在这里插入图片描述

    当θ=0.5时,我们一顿计算可得,J(θ)≈0.58

    在这里插入图片描述

    当θ=0时,我们同样可以计算出J(θ)的值。

    如果我们大量的将θ带入,我们将得到如下的代价函数图

    在这里插入图片描述

    由此我们可以清晰地看到,J(θ)在某一点处是可以取到最小值的,这就是我们的引入代价函数的目的:通过调整参数来减少误差,使得预测的结果尽量的接近真实值。

    注:最小二乘法的公式如下:
    ∑ [ y i − ( β 0 + β 1 x i ) ] 2 \sum[y_i-(β_0+β_1x_i)]^2 [yi(β0+β1xi)]2

    梯度下降法

    ​梯度下降法就是一个很好的调整参数的方法,它可以通过下面公式不断调整 β 0 β_0 β0 β 1 β_1 β1的值,从而得到一个全局最小值,或者是一个局部最小值。
    r e p e a t     u n t i l     c o n v e r g e n c e { β j = β j − α ∂ ∂ β j J ( β 0 , β 1 ) f o r   j = 1   a n d   j = 0 } repeat\ \ \ until\ \ \ convergence\{ \\ β_j = β_j - α\frac{∂}{∂β_j}J(β_0,β_1) \\ for\ j = 1\ and\ j=0 \\ \} repeat   until   convergence{βj=βjαβjJ(β0,β1)for j=1 and j=0}
    其中α称为学习率(learning rate),而学习率就是步长,学习率大,一次跨越的距离就远,这样可能会错过全局(局部)最小值点;学习率小,一次跨越的距离就短,这样会花费比较多的时间来处理数据。

    在这里插入图片描述

    求偏导后:
    j = 0 : β 0 = β 0 − α ( 1 m ∑ i = 1 m ( y i − β 0 − β 1 x i ) ∗ − 1 )               = β 0 − α ( − 1 m ∑ i = 1 m [ y i − ( β 1 x i + β 0 ) ] )     = β 0 − α ( − 1 m ∑ i = 1 m [ y i − ( h ( x i ) ] ) j = 1 : β 1 = β 1 − α ( 1 m ∑ i = 1 m ( y i − β 0 − β 1 x i ) ∗ − x i )                = β 1 − α ( − 1 m ∑ i = 1 m x i [ y i − ( β 1 x i + β 0 ) ] )      = β 1 − α ( − 1 m ∑ i = 1 m x i [ y i − ( h ( x i ) ] ) j=0:β_0 = β_0-α(\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(y_i-β_0-β_1x_i)*-1) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =β_0-α(-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m[y_i-(β_1x_i+β_0)]) \\ \ \ \ =β_0-α(-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m[y_i-(h(x_i)]) \\ j=1:β_1=β_1-α(\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(y_i-β_0-β_1x_i)*-x_i) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =β_1-α(-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^mx_i[y_i-(β_1x_i+β_0)]) \\ \ \ \ \ =β_1-α(-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^mx_i[y_i-(h(x_i)]) j=0:β0=β0α(m1i=1m(yiβ0β1xi)1)             =β0α(m1i=1m[yi(β1xi+β0)])   =β0α(m1i=1m[yi(h(xi)])j=1:β1=β1α(m1i=1m(yiβ0β1xi)xi)              =β1α(m1i=1mxi[yi(β1xi+β0)])    =β1α(m1i=1mxi[yi(h(xi)])

    代码实现:

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    #载入数据
    data = np.genfromtxt("data.csv",delimiter=",")#delimiter分隔符,此分隔符为,
    x_data = data[:,0]
    y_data = data[:,1]
    plt.scatter(x_data,y_data)
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    #学习率 learning rate
    lr = 0.0001
    #截距
    b = 0
    #斜率
    k = 0
    #最大迭代次数
    epochs = 50
    
    #最小二乘法
    def compute_error(b, k, x_data, y_data):
        totalError = 0
        for i in range(0, len(x_data)):
            totalError += (y_data[i] - (k * x_data[i] + b)) ** 2
        return totalError / float(len(x_data)) /2.0 #最小二乘法法公式
    
    def gradient_descent_runner(x_data, y_data, b, k, lr, epochs):
        #计算总数据量
        m = float(len(x_data))
        #循环epochs次
        for i in range(epochs):
            b_grad = 0
            k_grad = 0
            #计算梯度的总和再求平均
            for j in range(0, len(x_data)):
                b_grad += -(1/m)*(y_data[j]-(k * x_data[j] + b))
                k_grad += -(1/m)*x_data[j] * (y_data[j] - (k * x_data[j] + b))
            #更新b和k
            b = b - (lr * b_grad)
            k = k - (lr * k_grad)
             # 每迭代5次,输出一次图像
    ''' 方面查看变化趋势
    			if i % 5==0:
                print("epochs:",i)
                plt.plot(x_data, y_data, 'b.')
                plt.plot(x_data, k*x_data + b, 'r')
                plt.show()
                '''
        return b, k
    
    b, k = gradient_descent_runner(x_data, y_data, b, k, lr, epochs)
    #画图
    plt.scatter(x_data, y_data, c='b')
    plt.plot(x_data, k*x_data + b, 'r')
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

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  • 多元线性回归 b=regress( Y, X ) 1确定回归系数的点估计值 统计工具箱中的回归分析命令 对一元线性回归取p=1即可 3画出残差及其置信区间 rcoplotrrint 2求回归系数的点估计和区间估计并检验回归模型 [b, bint,r,rint...
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    一元线性回归分析

    一元回归分析的基本概念
    回归模型的建立一般包括:
    (1)通过某事物现,转化为具体问题;
    (2)确定指标变量,收集整理数据,并构建模型进行参数估计;
    (3)模型的检验,当模型检验不通过时,需要重新修改模型;
    (4)模型的应用,得出结论,运行给出决策等。

    基本概念
    通常我们要先收集与研究相关的数据的一组或者多组样本,为直观观察数据的分布规律,我们可以将收集到每组数据绘制二维数据散点图。

    一元回归分析的参数估计
    一元回归模型的参数估计一般采用极大似然法与最小二乘法,其中最常用的是最小二乘法估计。

    相关系数的检验

    实际例子:

    #给出因变量自变量的值
    x <- c(3.4,1.8,4.6,2.3,3.1,5.5,0.7,
           3.0,2.6,4.3,2.1,1.1,6.1,4.8,3.8)
    y <- c(26.2,17.8,31.3,23.1,27.5,36.0,14.1,
           22.3,19.6,31.3,24.0,17.3,43.2,36.4,26.1)
    plot(x,y)
    abline(lm)
    #建立回归方程
    lm <-lm(y~x)
    #输出回归分析的结果
    summary(lm)
    

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    summary()函数用于结果的展示,其中包括残差的最大值最小值、中位数、回归系数、以及回归系数估计值、显著性检验的值,它包含的结果非常多。其中intercept为截距,也就是回归常数项的估计值,Estimate是回归系数的估计值,std是标准差,后面的为T检验的值与检验P值与显著性结果。判断显著性的方法除了P值外,还可以使用方差分析来判断。
    拟合模型
    在这里插入图片描述

    方差分析

    #方差分析
    anova(lm)
    

    在这里插入图片描述
    从方差分析的结果来看,自由度为13,sum-sq为回归平方和为SSR=841.77,与残差平方和SSE=69.75,从P值得结果可知,回归方程是显著的。

    计算相关系数与显著性检验
    回归系数的检验方式有很多,比如kendall检验,spearman检验等,在这里采用常用的pearson相关系数检验。

    #计算相关系数并进行显著性检验、皮尔选相关系数检验
    cor(x,y,method = "pearson")
    
    #相关系数显著性检验
    cor.test(x,y,alternative = "two.sided",
             method = "pearson",conf.level = 0.95)
    

    在这里插入图片描述
    最后得到相关系数为:0.9609777,95%置信区间为[0.8837722,0.9872459],其中P值小于0.05,则可以说明两者具有高度显著的线性相关。

    残差分析

    #残差分析、保留3位小数
    e <- resid(lm)
    round(e,3)
    #残差图的绘制
    plot(x,e)
    

    在这里插入图片描述

    回归系数的置信区间

    #计算回归系数的置信区间
    confint(lm)
    

    在这里插入图片描述
    可见常数项的置信区间为[7.209605,13.346252],回归系数的置信区间为[4.070851 5.767811]。

    预测值

    #模型预测
    new_data <- data.frame(x = 3.3)
    #计算预测值,给定置信区间0.95
    y.pred <- predict(lm,new_data,interval = "prediction",level = 0.95)
    #计算因变量平均值的预测区间的置信区间
    y.conf <- predict(lm,new_data,interval = "confidence",level = 0.95)
    

    在这里插入图片描述

    模型诊断

    #回归诊断
    library("lindia")
    gg_diagnose(lm)
    

    在这里插入图片描述
    其中第一为残差直方图,可以用来判断残差的正态性是否存在极端值;第二张自变量与残差的关系图;第三张为预测值与残差的关系图,可以用来判断方差齐性的评估,每个点随机的分布在参考线的两侧,没有规律;第四张为残差的Q-Q图,用于残差的正态性判断;第五张当参考线水平时证明方差齐性,第六张为杠杆和残差的关系图,第七张为Cook’s Distance图,用于识别是否存在强影响点。

    完整代码

    #给出因变量自变量的值
    x <- c(3.4,1.8,4.6,2.3,3.1,5.5,0.7,
           3.0,2.6,4.3,2.1,1.1,6.1,4.8,3.8)
    y <- c(26.2,17.8,31.3,23.1,27.5,36.0,14.1,
           22.3,19.6,31.3,24.0,17.3,43.2,36.4,26.1)
    #绘制散点图
    plot(x,y)
    #添加趋势线
    abline(lm)
    #建立回归方程
    lm <-lm(y~x)
    #输出回归分析的结果 
    summary(lm)
    
    #方差分析
    anova(lm)
    
    #计算相关系数并进行显著性检验、皮尔选相关系数检验
    cor(x,y,method = "pearson")
    
    #相关系数显著性检验
    cor.test(x,y,alternative = "two.sided",
             method = "pearson",conf.level = 0.95)
    #残差分析、保留3位小数
    e <- resid(lm)
    round(e,3)
    
    #绘制残差图
    plot(x,e)
    
    #标准化残差
    zre <- e/2.316
    #计算学生化残差
    sre <- rstandard(lm)
    
    #计算回归系数的置信区间
    confint(lm)
    
    #模型预测
    new_data <- data.frame(x = 3.3)
    #计算预测值,给定置信区间0.95
    y.pred <- predict(lm,new_data,interval = "prediction",level = 0.95)
    #计算因变量平均值的预测区间的置信区间
    y.conf <- predict(lm,new_data,interval = "confidence",level = 0.95)
    
    #回归诊断
    library("lindia")
    gg_diagnose(lm)
    
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  • 一元线性回归模型

    万次阅读 2018-10-13 10:29:53
    一元线性回归模型 模型如下: 总体回归函数中Y与X的关系可是线性的,也可是非线性的。对线性回归模型的“线性”有两种解释: &nbsp; &nbsp; &nbsp; (1)就变量而言是线性的,Y的条件均值是 X的线性...
    #一元线性回归模型

    模型如下:



    总体回归函数中Y与X的关系可是线性的,也可是非线性的。对线性回归模型的“线性”有两种解释:

          (1)就变量而言是线性的,Y的条件均值是 X的线性函数

         (2)就参数而言是线性的,Y的条件均值是参数的线性函数

    线性回归模型主要指就参数而言是“线性”,因为只要对参数而言是线性的,都可以用类似的方法估计其参数。

    ##参数估计——最小二乘法

            对于一元线性回归模型, 假设从总体中获取了n组观察值(X1,Y1),(X2,Y2), …,(Xn,Yn)。对于平面中的这n个点,可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看,这条直线处于样本数据的中心位置最合理。 选择最佳拟合曲线的标准可以确定为:使总的拟合误差(即总残差)达到最小。有以下三个标准可以选择:

            (1)用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。
            (2)用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。
            (3)最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外,得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。

            最常用的是普通最小二乘法( Ordinary  Least Square,OLS):所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。(Q为残差平方和)

    样本回归模型:


    残差平方和:


    则通过Q最小确定这条直线,即确定,以为变量,把它们看作是Q的函数,就变成了一个求极值的问题,可以通过求导数得到。求Q对两个待估参数的偏导数:


    解得:


    ###最小二乘法c++实现

    #include<iostream>
    #include<fstream>
    #include<vector>
    using namespace std;
    

    class LeastSquare{
    double a, b;
    public:
    LeastSquare(const vector<double>& x, const vector<double>& y)
    {
    double t1=0, t2=0, t3=0, t4=0;
    for(int i=0; i<x.size(); ++i)
    {
    t1 += x[i]x[i];
    t2 += x[i];
    t3 += x[i]y[i];
    t4 += y[i];
    }
    a = (t3
    x.size() - t2
    t4) / (t1x.size() - t2t2);
    //b = (t4 - at2) / x.size();
    b = (t1
    t4 - t2t3) / (t1x.size() - t2*t2);
    }

    double getY(const double x) const
    {
    	return a*x + b;
    }
    
    void print() const
    {
    	cout&lt;&lt;"y = "&lt;&lt;a&lt;&lt;"x + "&lt;&lt;b&lt;&lt;"\n";
    }
    

    };

    int main(int argc, char *argv[])
    {
    if(argc != 2)
    {
    cout<<“Usage: DataFile.txt”<<endl;
    return -1;
    }
    else
    {
    vector<double> x;
    ifstream in(argv[1]);
    for(double d; in>>d; )
    x.push_back(d);
    int sz = x.size();
    vector<double> y(x.begin()+sz/2, x.end());
    x.resize(sz/2);
    LeastSquare ls(x, y);
    ls.print();

    	cout&lt;&lt;"Input x:\n";
    	double x0;
    	while(cin&gt;&gt;x0)
    	{
    		cout&lt;&lt;"y = "&lt;&lt;ls.getY(x0)&lt;&lt;endl;
    		cout&lt;&lt;"Input x:\n";
    	}
    }
    

    }



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  • 数学建模—一元回归分析

    千次阅读 2020-07-07 15:24:49
    此文作为我的数模开篇,主要讲述建模的大概历程和一元回归分析类问题的解决方案。 一、常见统计建模方法 注:参照汪晓银老师的讲义,如有侵权,联系作者 1.预测与预报 灰色预测模型 回归分析预测 微分方程预测 ...
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  • 信息分析与预测的实验,Python写的代码,萌新代码,勿喷,仅仅只是方便没时间写实验的朋友,直接用python打开就能运行
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  • 一元回归及多元回归模型

    千次阅读 2021-11-18 11:23:27
    案例分析求解 问题一 首先,先看第一个例子,众所周知,车辆都是具有使用寿命和使用年限的,一般来说,随着使用时间的增长,车辆的新度(几成新)也在不断地降低,车辆此时的市场价格也在发生着变化。请研究使用...
  • 用Matlab实现的一元线性回归,注释很详细
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  • 普通最小二乘估计对数据进行一元线性回归分析原理,附详细推导
  • 主要用于数学建模(matlab)的学习,下载下来换上你的数据就可以用了。
  • 一元线性回归总结

    千次阅读 2020-11-17 13:08:53
    一元线性回归 定义 一元线性回归是只有一个自变量(自变量x和因变量y)线性相关的方法。 回归 最早源于遗传学,由高尔顿引入: 观测1078对夫妇,研究父母身高(平均身高x)与子女身高(成年的身高)的遗传问题时,得到如下...
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  • 讨论幂函数、指数函数、双曲函数及S型曲线通过换元进行线性回归时,...理论分析与实验表明,换元后的因变量具有异方差性,致使拟线性回归参数的精度较低,但拟线性回归的参数精度可通过加权回归的方法得到大幅度提高。
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  • SAS实验四 一元回归分析

    千次阅读 2022-04-07 10:09:39
    SAS实验四 一元回归分析 棉花红铃虫第一代产卵高峰日百株卵量x(粒)与百株累计卵量y(粒)的8组观测数据如下表 炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包,在使用过程中由于钢液及炉渣耐火材料的浸蚀,其容积不断增大.经试验...
  • 在 Jupyter Notebook 上用 Python 实现的一元线性回归,包括源码和数据,大家可以学习参考使用
  • 一元线性回归的Python代码测试数据,主要是包含一个属性值和label的测试数据
  • 一元回归分析

    2021-01-06 19:44:43
    在 与 之间存在线性关系的假设下,有如下统计模型: 利用成对数据可获得 与 的估计,设估计分别为 与 则称 为 回归方程,其图形称为回归直线. 参数估计 用最小二乘法可得 与 的无偏估计 其中 此处 表示 下同 回归方程...

空空如也

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