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  • 一元线性回归分析预测模型,根据历史数据预测下期数据
  • 一、什么是回归分析法 “回归分析”是解析“注目变量”和“因于变量”并明确两者关系的统计方法。此时,我们把因子变量称为“说明变量”,把注目变量称为“目标变量址(被说明变量)”。清楚了回归分析的目的后,下面...

    用Excel做回归分析的详细步骤

    一、什么是回归分析

    “回归分析”是解析“注目变量”和“因于变量”并明确两者关系的统计方法。此时,我们把因子变量称为“说明变量”,把注目变量称为“目标变量址(被说明变量)”。清楚了回归分析的目的后,下面我们以回归分析预测法的步骤来说明什么是回归分析法:

      回归分析是对具有因果关系的影响因素(自变量)和预测对象(因变量)所进行的数理统计分析处理。只有当变量与因变量确实存在某种关系时,建立的回归方程才有意义。因此,作为自变量的因素与作为因变量的预测对象是否有关,相关程度如何,以及判断这种相关程度的把握性多大,就成为进行回归分析必须要解决的问题。进行相关分析,一般要求出相关关系,以相关系数的大小来判断自变量和因变量的相关的程度。 

    二、回归分析的目的 

    回归分析的目的大致可分为两种:

    第一,“预测”。预测目标变量,求解目标变量y和说明变量(x1,x2,…)的方程。

    y=a0+b1x1+b2x2+…+bkxk+误差(方程A)

     把方程A叫做(多元)回归方程或者(多元)回归模型。a0是y截距,b1,b2,…,bk是回归系数。当k=l时,只有1个说明变量,叫做一元回归方程。根据最小平方法求解最小误差平方和,非求出y截距和回归系数。若求解回归方程.分別代入x1,x2,…xk的数值,预测y的值。

    第二,“因子分析”。因子分析是根据回归分析结果,得出各个自变量对目标变量产生的影响,因此,需要求出各个自变量的影响程度。 

    希望初学者在阅读接下来的文章之前,首先学习一元回归分析、相关分析、多元回归分析、数量化理论I等知识。

    根据最小平方法,使用Excel求解y=a+bx中的a和b。那么什么是最小平方法?

    分别从散点图的各个数据标记点,做一条平行于y轴的平行线,相交于图中直线(如下图)

    平行线的长度在统计学中叫做“误差”或者‘残差”。误差(残差)是指分析结果的运算值和实际值之间的差。接这,求平行线长度曲平方值。可以把平方值看做边长等于平行线长度的正方形面积(如下图) 

    最后,求解所有正方形面积之和。确定使面积之和最小的a(截距)和b(回归系数)的值(如下图)。

    使用Excel求解回归方程;“工具”→“数据分析”→“回归”,具体操作步骤将在后面的文章中具体会说明。

    线性回归的步骤不论是一元还是多元相同,步骤如下:

    • 1、散点图判断变量关系(简单线性);
    • 2、求相关系数及线性验证;
    • 3、求回归系数,建立回归方程;
    • 4、回归方程检验;
    • 5、参数的区间估计;
    • 6、预测;

     

    一元线性回归操作和解释

    摘要

    一元线性回归可以说是数据分析中非常简单的一个知识点,有一点点统计、分析、建模经验的人都知道这个分析的含义,也会用各种工具来做这个分析。这里面想把这个分析背后的细节讲讲清楚,也就是后面的数学原理。


    什么是一元线性回归

    回归分析(Regression Analysis)是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。在回归分析中,只包括一个自变量和一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析。举个例子来说吧:

    比方说有一个公司,每月的广告费用和销售额,如下表所示:


    案例数据

    如果我们把广告费和销售额画在二维坐标内,就能够得到一个散点图,如果想探索广告费和销售额的关系,就可以利用一元线性回归做出一条拟合直线:


    拟合直线

    这条线是怎么画出来的

    对于一元线性回归来说,可以看成Y的值是随着X的值变化,每一个实际的X都会有一个实际的Y值,我们叫Y实际,那么我们就是要求出一条直线,每一个实际的X都会有一个直线预测的Y值,我们叫做Y预测,回归线使得每个Y的实际值与预测值之差的平方和最小,即(Y1实际-Y1预测)^2+(Y2实际-Y2预测)^2+ …… +(Yn实际-Yn预测)^2的和最小(这个和叫SSE,后面会具体讲)。

    现在来实际求一下这条线:


     

    我们都知道直线在坐标系可以表示为Y=aX+b,所以(Y实际-Y预测)就可以写成(Y实际-(aX实际+b)),于是平方和可以写成a和b的函数。只需要求出让Q最小的a和b的值,那么回归线的也就求出来了。

      简单插播一下函数最小值怎么求:

    首先,一元函数最小值点的导数为零,比如说Y=X^2,X^2的导数是2X,令2X=0,求得X=0的时候,Y取最小值。

    那么实质上二元函数也是一样可以类推。不妨把二元函数图象设想成一个曲面,最小值想象成一个凹陷,那么在这个凹陷底部,从任意方向上看,偏导数都是0。

    因此,对于函数Q,分别对于a和b求偏导数,然后令偏导数等于0,就可以得到一个关于a和b的二元方程组,就可以求出a和b了。这个方法被称为最小二乘法。下面是具体的数学演算过程,不愿意看可以直接看后面的结论。

    先把公式展开一下:


    Q函数表达式展开

    然后利用平均数,把上面式子中每个括号里的内容进一步化简。例如


    Y^2的平均

    则:


    上式子两边×n

     

    于是


    Q最终化简结果

    然后分别对Q求a的偏导数和b的偏导数,令偏导数等于0。


    Q分别对a和b求偏导数,令偏导数为0

    进一步化简,可以消掉2n,最后得到关于a,b的二元方程组为


    关于a,b的 二元方程组

    最后得出a和b的求解公式:


    最小二乘法求出直线的斜率a和斜率b

    有了这个公式,对于广告费和销售额的那个例子,我们就可以算出那条拟合直线具体是什么,分别求出公式中的各种平均数,然后带入即可,最后算出a=1.98,b=2.25

    最终的回归拟合直线为Y=1.98X+2.25,利用回归直线可以做一些预测,比如如果投入广告费2万,那么预计销售额为6.2万

    评价回归线拟合程度的好坏

    我们画出的拟合直线只是一个近似,因为肯定很多的点都没有落在直线上,那么我们的直线拟合程度到底怎么样呢?在统计学中有一个术语叫做R^2(coefficient ofdetermination,中文叫判定系数、拟合优度,决定系数,系统不能上标,这里是R^2是“R的平方”),用来判断回归方程的拟合程度。

    首先要明确一下如下几个概念:

    总偏差平方和(又称总平方和,SST,Sum of Squaresfor Total):是每个因变量的实际值(给定点的所有Y)与因变量平均值(给定点的所有Y的平均)的差的平方和,即,反映了因变量取值的总体波动情况。如下:


    SST公式

    回归平方和(SSR,Sum of Squares forRegression):因变量的回归值(直线上的Y值)与其均值(给定点的Y值平均)的差的平方和,即,它是由于自变量x的变化引起的y的变化,反映了y的总偏差中由于x与y之间的线性关系引起的y的变化部分,是可以由回归直线来解释的。


    SSR公式

     

    残差平方和(又称误差平方和,SSE,Sum of Squaresfor Error):因变量的各实际观测值(给定点的Y值)与回归值(回归直线上的Y值)的差的平方和,它是除了x对y的线性影响之外的其他因素对y变化的作用,是不能由回归直线来解释的。

    这些概念还是有些晦涩,我个人是这么理解的:

    就拿广告费和销售额的例子来说,其实广告费只是影响销售额的其中一个比较重要的因素,可能还有经济水平、产品质量、客户服务水平等众多难以说清的因素在影响最终的销售额,那么实际的销售额就是众多因素相互作用最终的结果,由于销售额是波动的,所以用上文提到的每个月的销售额与平均销售额的差的平方和(即总平方和)来表示整体的波动情况。

    回归线只表示广告费一个变量的变化对于总销售额的影响,所以必然会造成偏差,所以才会有实际值和回归值是有差异的,因此回归线只能解释一部分影响

    那么实际值与回归值的差异,就是除了广告费之外其他无数因素共同作用的结果,是不能用回归线来解释的。

    因此SST(总偏差)=SSR(回归线可以解释的偏差)+SSE(回归线不能解释的偏差)

    那么所画回归直线的拟合程度的好坏,其实就是看看这条直线(及X和Y的这个线性关系)能够多大程度上反映(或者说解释)Y值的变化,定义

    R^2=SSR/SST 或 R^2=1-SSE/SST, R^2的取值在0,1之间,越接近1说明拟合程度越好

    假如所有的点都在回归线上,说明SSE为0,则R^2=1,意味着Y的变化100%由X的变化引起,没有其他因素会影响Y,回归线能够完全解释Y的变化。如果R^2很低,说明X和Y之间可能不存在线性关系

    还是回到最开始的广告费和销售额的例子,这个回归线的R^2为0.73,说明拟合程度还凑合。

    四、相关系数R和判定系数R^2的区别

    判定系数R^2来判断回归方程的拟合程度,表示拟合直线能多大程度上反映Y的波动

    在统计中还有一个类似的概念,叫做相关系数R(这个没有平方,学名是皮尔逊相关系数,因为这不是唯一的一个相关系数,而是最常见最常用的一个),用来表示X和Y作为两个随机变量的线性相关程度,取值范围为【-1,1】。

    当R=1,说明X和Y完全正相关,即可以用一条直线,把所有样本点(x,y)都串起来,且斜率为正,

    当R=-1,说明完全负相关,及可以用一条斜率为负的直线把所有点串起来。

    如果在R=0,则说明X和Y没有线性关系,注意,是没有线性关系,说不定有其他关系。

    就如同这两个概念的符号表示一样,在数学上可以证明,相关系数R的平方就是判定系数。

    变量的显著性检验

    变量的显著性检验的目的:剔除回归系数中不显著的解释变量(也就是X),使得模型更简洁。在一元线性模型中,我们只有有一个自变量X,就是要判断X对Y是否有显著性的影响;多元线性回归中,验证每个Xi自身是否真的对Y有显著的影响,不显著的就应该从模型去掉。

    变量的显著性检验的思想:用的是纯数理统计中的假设检验的思想。对Xi参数的实际值做一个假设,然后在这个假设成立的情况下,利用已知的样本信息构造一个符合一定分布的(如正态分布、T分布和F分布)的统计量,然后从理论上计算得到这个统计量的概率,如果概率很低(5%以下),根据“小概率事件在一次实验中不可能发生”的统计学基本原理,现在居然发生了!(因为我们的统计量就是根据已知的样本算出来的,这些已知样本就是一次实验)肯定是最开始的假设有问题,所以就可以拒绝最开始的假设,如果概率不低,那就说明假设没问题。

    其实涉及到数理统计的内容,真的比较难一句话说清楚,我举个不恰当的例子吧:比如有一个口袋里面装了黑白两种颜色的球一共20个,然后你想知道黑白球数量是否一致,那么如果用假设检验的思路就是这样做:首先假设黑白数量一样,然后随机抽取10个球,但是发现10个都是白的,如果最开始假设黑白数量一样是正确的,那么一下抽到10个白的的概率是很小的,但是这么小概率的事情居然发生了,所以我们有理由相信假设错误,黑白的数量应该是不一样的……

    总之,对于所有的回归模型的软件,最终给出的结果都会有参数的显著性检验,忽略掉难懂的数学,我们只需要理解如下几个结论:

    T检验用于对某一个自变量Xi对于Y的线性显著性,如果某一个Xi不显著,意味着可以从模型中剔除这个变量,使得模型更简洁。

    F检验用于对所有的自变量X在整体上看对于Y的线性显著性

    T检验的结果看P-value,F检验看Significant F值,一般要小于0.05,越小越显著(这个0.05其实是显著性水平,是人为设定的,如果比较严格,可以定成0.01,但是也会带来其他一些问题,不细说了)

    下图是用EXCEL对广告费和销售额的例子做的回归分析的结果(EXCEL真心是个很强大的工具,用的出神入化一样可以变成超神),可以看出F检验是显著的(Significance F为0.0017),变量X的T检验是显著的(P-value为0.0017),这俩完全一样也好理解,因为我们是一元回归,只有一个自变量X。


    用Excel做线性回归分析

    还有一点是intercept(截距,也就是Y=aX+b中的那个b)的T检验没有通过,是不显著的,一般来说,只要F检验和关键变量的T检验通过了,模型的预测能力就是OK的。

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    其实如果懂一点真正的统计学,生活中会多一些看问题的角度,还是挺有意思的。

    一元线性回归就说到这里,谢谢大家!

    转自:http://www.jianshu.com/p/fcd220697182#

     

     

    使用Excel数据分析工具进行多元回归分析

     

    在“数据”工具栏中就出现“数据分析”工具库,如下图所示:

     

     使用Excel数据分析工具进行多元回归分析

     

    给出原始数据,自变量的值在A2:I21单元格区间中,因变量的值在J2:J21中,如下图所示:

     

     使用Excel数据分析工具进行多元回归分析

     

    假设回归估算表达式为:

     

     使用Excel数据分析工具进行多元回归分析

     

    试使用Excel数据分析工具库中的回归分析工具对其回归系数进行估算并进行回归分析:

     

    点击“数据”工具栏中中的“数据分析”工具库,如下图所示:

     

     使用Excel数据分析工具进行多元回归分析

     

    在弹出的“数据分析”-“分析工具”多行文本框中选择“回归”,然后点击 “确定”,如下图所示:

     

     使用Excel数据分析工具进行多元回归分析

     

    弹出“回归”对话框并作如下图的选择:

     

     使用Excel数据分析工具进行多元回归分析

     

    上述选择的具体方法是:

     

    在“Y值输入区域”,点击右侧折叠按钮,选取函数Y数据所在单元格区域J2:J21,选完后再单击折叠按钮返回;这过程也可以直接在“Y值输入区域”文本框中输入J2:J21;

     

    在“X值输入区域”,点击右侧折叠按钮,选取自变量数据所在单元格区域A2:I21,选完后再单击折叠按钮返回;这过程也可以直接在“X值输入区域”文本框中输入A2:I21;

     

    置信度可选默认的95%。

     

    在“输出区域”如选“新工作表”,就将统计分析结果输出到在新表内。为了比较对照,我选本表内的空白区域,左上角起始单元格为K10.点击确定后,输出结果如下:

     

    使用Excel数据分析工具进行多元回归分析
     

     

    第一张表是“回归统计表”(K12:L17): 

     

    其中:

     

    Multiple R:(复相关系数R)R2的平方根,又称相关系数,用来衡量自变量x与y之间的相关程度的大小。本例R=0.9134表明它们之间的关系为高度正相关。(Multiple:复合、多种)

     

    R Square:复测定系数,上述复相关系数R的平方。用来说明自变量解释因变量y变差的程度,以测定因变量y的拟合效果。此案例中的复测定系数为0.8343,表明用用自变量可解释因变量变差的83.43%

     

    Adjusted R Square:调整后的复测定系数R2,该值为0.6852,说明自变量能说明因变量y的68.52%,因变量y的31.48%要由其他因素来解释。( Adjusted:调整后的)

     

    标准误差:用来衡量拟合程度的大小,也用于计算与回归相关的其它统计量,此值越小,说明拟合程度越好

     

    观察值:用于估计回归方程的数据的观察值个数。

     

     

    第二张表是“方差分析表”:主要作用是通过F检验来判定回归模型的回归效果。

     

    该案例中的Significance F(F显著性统计量)的P值为0.00636,小于显著性水平0.05,所以说该回归方程回归效果显著,方程中至少有一个回归系数显著不为0.(Significance:显著)

     

    第三张表是“回归参数表”:

     

    K26:K35为常数项和b1~b9的排序默认标示.

     

    L26:L35为常数项和b1~b9的值,据此可得出估算的回归方程为:

     

    使用Excel数据分析工具进行多元回归分析

     

     

     

    该表中重要的是O列,该列的O26:O35中的 P-value为回归系数t统计量的P值。

     

    值得注意的是:其中b1、b7的t统计量的P值为0.0156和0.0175,远小于显著性水平0.05,因此该两项的自变量与y相关。而其他各项的t统计量的P值远大于b1、b7的t统计量的P值,但如此大的P值说明这些项的自变量与因变量不存在相关性,因此这些项的回归系数不显著

    转载于:http://blog.sina.com.cn/s/blog_a20c88b601014j9x.html

     

    展开全文
  • 多元线性回归 b=regress( Y, X ) 1确定回归系数的点估计值 统计工具箱中的回归分析命令 对一元线性回归取p=1即可 3画出残差及其置信区间 rcoplotrrint 2求回归系数的点估计和区间估计并检验回归模型 [b, bint,r,rint...
  • 此文作为我的数模开篇,主要讲述建模的大概历程和一元回归分析类问题的解决方案。 一、常见统计建模方法 注:参照汪晓银老师的讲义,如有侵权,联系作者 1.预测与预报 灰色预测模型 回归分析预测 微分方程预测 ...

    概述

    此文作为我的数模开篇,主要讲述建模的大概历程和一元回归分析类问题的解决方案。

    一、常见统计建模方法

    注:参照汪晓银老师的讲义,如有侵权,联系作者

    1.预测与预报

    灰色预测模型 回归分析预测

    微分方程预测 马尔科夫预测

    时间序列预测 小波分析预测

    神经网络预测 混沌序列预测

    向量自回归 联立方程组

    相空间重构 局部线性加权法

    2.评价与决策

    模糊综合评判 主成分综合评价

    层次分析法(AHP) 数据包络(DEA)分析

    秩和比综合评价法 优劣解距离法(TOPSIS)

    投影寻踪综合评价 方差分析

    协方差分析 混合线性模型

    灰色关联 粗糙集评价

    熵权法

    3.分类与判别

    模糊聚类 系统聚类

    动态聚类 密度聚类

    神经网络 贝叶斯判别

    费舍尔判别 模糊识别

    支持向量机

    4.关联与因果

    Person相关 Sperman或kendall等级相关系数

    Copula相关 偏相关系数

    通径分析 典型相关系数

    标准化回归 logistic回归

    生存分析(事件史分析)

    主成分分析 因子分析 对应分析

    偏最小二乘回归

    格兰杰因果检验 滞后模型

    5.优化与控制

    线性规划、整数规划、0-1规划

    非线性规划与智能优化算法

    多目标规划和目标规划

    动态规划

    网络优化

    排队论与计算机仿真

    模糊规划

    灰色规划

    二、个人笔记

    基本概括本节课重要知识点(完全不懂的就没记ˋ( ° ▽、° ) )

    image-20200707133614533

    三、例题分析

    本模块代码由SAS编译运行,SAS百度百科。附下载链接:

    链接:https://pan.baidu.com/s/1cdavydo3YvLqwP1Ko0z7ew
    提取码:ckyq

    1.一元线性回归

    《吸附方程》某种物质在不同温度下可以吸附另一种物质,如果温度x(单位:℃)与吸附重量Y(单位:mg)的观测值如下表所示:
    image-20200707134018869
    试求线性回归方程并用三种方法作显著性检验,若x0=2,求Y0的0.95预测区间。

    1.1SAS代码

    打开SAS,选择文件——新建程序——在编辑器内编辑

    data ex;
    input x y@@;
    cards;
    1.5 4.8 1.8 5.7 2.4 7 3 8.3 3.5 10.9 3.9 12.4 4.4 13.1 4.8 13.6 5 15.3 2 .
    ;
    proc gplot;plot y*x;symbol i=rl v=dot;proc reg;model y=x/cli;
    run;
    

    其中@@的作用是让下面的数据可以写在一行

    最后写2 . ;这个点表示我们要预测的值

    1.2结果分析

    image-20200707134416343

    image-20200707134428404

    2.一元非线性回归

    image-20200707144324007

    方法主要是:将非线性化为线性

    2.1SAS代码

    我们先看图:

    image-20200707144411933

    明显这是一条曲线,所以我们假设image-20200707144448196

    我们将非线性化为线性:

    • y和1/x线性关系
    • log(y)和log(x)线性关系
    • log(y)和x线性关系

    编写SAS代码:

    data ex;input x y@@;
    x1=1/x;lx=log(x);ly=log(y);
    cards;
    1 1.85 2 1.37 3 1.02 4 0.75 4 0.56 6 0.41 6 0.31 8 0.23 8 0.17
    ;
    proc gplot;plot y*x;symbol i=spline v=star;
    proc reg;model y=x1;
    proc reg;model ly=lx;
    proc reg;model ly=x;
    run;
    

    每一个proc reg;model后面都跟着一个线性表达式

    2.2结果分析

    y=a+b/x:

    image-20200707144815852

    y=a*x^b:

    image-20200707145058845

    y=a*e^bx:

    image-20200707145249638

    很明显看出来,这三个都适用,最好的是哪个呢?根据之前的,选SSE最小的,但是有两个不是直接是y的SSE,因此我们要继续计算

    image-20200707150109838

    SAS代码:

    data ex;input x y @@;
    x1=1/x;lx=log(x);ly=log(y);
    y1=0.1159+1.9291*x1;q1+(y-y1)**2;
    y2=exp(0.9638-1.1292*lx);q2+(y-y2)**2;
    y3=exp(0.9230-0.3221*x);q3+(y-y3)**2;
    cards;
    1 1.85 2 1.37 3 1.02 4 0.75 4 0.56 6 0.41 6 0.31 8 0.23 8 0.17
    ;
    proc print;var q1-q3;run;
    

    这里面q1+其实就是累加的意思,两个*表示指数

    结果:
    image-20200707150217574

    看最后一行,但三个最小,说明第三个最合适,也就是

    y=2.5168*e^(-0.3221x)

    四、作业

    y随时间的观测值如下所示:

    1.93 1.541 1.356 1.155 1.146 1.044 0.903 0.863 0.814

    建立模型预测第十期的数据

    1、首先我们需要查看图像来确定我们需要建立的模型

    SAS代码:

    data ex;input t x@@;
    cards;
    1 1.93 2 1.541 3 1.356 4 1.155 5 1.146 6 1.044 7 0.903 8 0.863 9 0.814
    ;
    proc gplot;plot x*t;symbol i=spline v=dot c=red;
    run;
    

    图形如下:

    image-20200708154755509

    在这种带有时间序列的我们通常用多项式,多项式的次数k有一个规定:样本点个数为n
    n>=(k+1)3 n>=(k+1)*3
    SAS代码:

    data ex;input t x@@;
    t1=t*t;
    cards;
    1 1.93 2 1.541 3 1.356 4 1.155 5 1.146 6 1.044 7 0.903 8 0.863 9 0.814
    ;
    proc reg;model x=t1 t;
    run;
    

    image-20200708155130604

    结语

    每日一猫还是不能丢的[]( ̄▽ ̄)*

    img

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  • 本文利用实验数据建立一元线性回归方程;回归直线,并用方差分析法和相关系数法检验方程的有效性。
  • VB一元线性回归分析法VB一元线性回归分析法VB一元线性回归分析法VB一元线性回归分析法
  • 导读 系列26介绍了处理两个变量间存在线性依存关系的统计分析方法,即线性回归。今天介绍两个变量间存在线性相关关系的统计分析方法及其SAS实现。三、双变量数据的假设检验图9-81双变量数据假设检验方法选择 单变量...
    导读

          系列26介绍了处理两个变量间存在线性依存关系的统计分析方法,即线性回归。今天介绍两个变量间存在线性相关关系的统计分析方法及其SAS实现。

    三、双变量数据的假设检验

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    图9-81 双变量数据假设检验方法选择

          单变量数据的统计分析着重于描述某一个变量的统计特征,比较各组间该变量是否存在差异。在医学研究和实践中,也经常会遇到两个变量间关系的研究,如儿童体重与体表面积间的关系,某人群发硒值与血硒值间的关系等,这类数据的分析常用回归与相关。

    (二)直线相关

          当一个变量X由小到大,另一个变量Y亦相应地由小到大(或由大到小),两变量的散点图呈直线趋势,即这变量X与变量Y间有直线关系,如健康儿童的发硒值和血硒值间有直线关系,发硒高,血硒也高,发硒低,血硒亦低。这种直线关系,或分析这种直线关系的理论和方法,称为直线相关。两个变量间直线相关的性质和密切程度,用直线相关系数来描述。直线相关系数亦称积差相关系数或积矩相关系数,简称相关系数,创用于F. Y. Edgeworth(1892),符号为r。r值在-1到+1之间,没有单位,相关性质与r值的关系详见图9-89。等级资料的直线相关分析称等级相关,是一种非参数统计方法,常用的分析方法有Spearman和Kendall法。

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    9-89 相关系数示意图

          在生物界,由于影响因素众多,很少存在完全相关的。相关系数r是根据样本计算出来的,是总体相关系数ρ的估计值。相关系数的假设检验一般通过PROC CORR过程步实现,常用语法如下: 

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    1. 直线相关

    *===导入数据;PROC IMPORT DATAFILE="E:\Jindingtongji\SAS\DATA\CORR\CORR.CSV"  OUT=CORR  DBMS=CSV REPLACE;RUN;*===正态性检验;PROC UNIVARIATE DATA=CORR NORMAL;  VAR WEIGHT RENAL;  QQPLOT WEIGHT RENAL;RUN;

    2e4231f86d1bff6d2eacf8b489f49d56.png

    图9-90 变量WEIGHT正态性检验结果

    470885ed967fc09c2ecf098d9305ce1c.png

    图9-91 变量RENAL正态性检验结果

    *===散点图判断线性趋势;PROC SGPLOT DATA=CORR;  SCATTER X=WEIGHT Y=RENAL/MARKERATTRS=(SYMBOL=CIRCLEFILLED);  XAXIS VALUES=(20 TO 100 BY 20) LABEL='WEIGHT(KG)';  YAXIS VALUES=(210.00 TO 360.00 BY 30) LABEL='THE VOLUME OF DOUBLE KIDNEY(ML)';RUN;

    d42c25d5fc3033d2be369e234c413f38.png

              图9-92  变量WEIGHT与变量RENAL的散点图           

           图9-90与图9-91分别是变量WEIGHT和RENAL的正态性检验结果,结果显示:WEIGHT(W=0.970456,P=0.8647),RENAL(W=0.950221,P=0.5279)服从正态分布。图9-92显示变量WIGHT与RENAL变量有线性趋势。该资料符合PEARSON线性相关分析。

    *===PEARSON相关分析;PROC CORR DATA=CORR;  VAR WEIGHT RENAL;RUN;

    4a1347b273cef857cae760c66185b524.png

    图9-93 PROC CORR过程步的统计描述结果

    d2df8e623eb27250ccb8d2dc296326db.png

    图9-94 PROC CORR过程步的相关分析结果

    图9-93是两个变量的统计描述结果,图9-94是两变量间的相关分析结果,相关系数r=0.87543(P<0.0001),可认为体重与双肾体积之间存在正相关,相关程度较为密切。

    2. 秩相关(等级相关) 

    等级相关的两种方法(SPEARMAN法和KENDALL法)的共同点:(1)都是用一个等级相关系数来说明两变量间直线关系的方向和密切程度,两种方法的相关系数值都在+1到-1之间,数据为正表示正相关,为负表示负相关;(2)两种方法的相关系数间有无直线关系必须经假设检验。两种方法计算相关系数r不同。

    *===导入数据;PROC IMPORT DATAFILE="E:\Jindingtongji\SAS\DATA\CORR\SPEARMAN.CSV"  OUT=SPEAR  DBMS=CSV REPLACE;RUN;*===正态性检验;PROC UNIVARIATE DATA=SPEAR NORMAL;  VAR DEATH WYPLL;  QQPLOT DEATH WYPLL;RUN;

    3c34b83de1ed43e8318e7b1482234c0f.png

    图9-95 变量DEATH的正态性检验结果

    a7cb36ffd968f15cdb0a17447ef45ba8.png

    图9-96 变量WYPLL的正态性检验

    图9-95和图9-96结果显示:变量DEATH(W=0.675817,P<0.0001)和变量WYPLL(W=0.654047,P<0.0001)不服从正态分布,可考虑进进行秩相关分析。 

    *===等级相关分析;PROC CORR DATA=SPEAR SPEARMAN KENDALL;  VAR DEATH WYPLL;RUN;

    b1b4f45183d44bd292d06b900b61dd49.png

    图9-97 PROCCORR过程步的统计描述结

    ec385358aca465423f7c56f8507fea25.png

    图9-98 PROCCORR过程步的SPEARMAN相关分析结果

    fe1b0d02980281b8a959af7c0378514a.png

    图9-99 PROCCORR过程步的KENDALL相关分析结果

    图9-97是两个变量的统计描述结果;图9-98是SPEARMAN相关分析结果:rs=0.90506,P<0.0001;图9-99是KENDALL相关分析结果:rk=0.73856,P<0.0001。SPEARMAN相关分析和KENDALL相关分析的结果都显示两个变量间存在直线相关。

    (三)直线回归与相关的关系

    直线回归与相关是分析两变量间直线关系的两种统计方法。直线回归用直线回归方程描述两变量变化的数量关系,回归系数b说明自变量每变动一个单位,因变量Y平均变量的单位数。直线相关用相关系数r说明两变量间的直线关系的方向和密切程度。直线回归与相关即有区别又有联系:

    1. 区别

    (1)在资料要求上,回归要求因变量Y是随机变量,自变量X可以是随机变量也可以非随机变量;相关要求两变量均为随机变量。

    (2)在意义上,回归反映依存关系;相关反映相互关系。

    (3)在应用上,分析两变量间变化的数量关系用回归;分析两变量间的相关程度用相关。

    2.联系

    (1)同一资料的r,b正负号相同。

    (2)r的假设检验与b的假设检验均用t检验,但其计算公式不同,但同一资料的数值相等,即tr=tb,故结论相同,因而可用r的假设检验代替b的假设检验,较为简便。

    (3)r与b可以相互转换:

    因:

    6c9eb351bf993bddc3eeb4483106c510.png

    故:

    e461b0d5f78cd7eb6579a65363969dbd.png

         (4)回归与相关可相互解释,r2是相关系数的平方,又称决定系数,定义为回归平方各与总平方和之比,其取值在0-1之间且无单位,其数值大小反映回归贡献的相对程度,即在Y的总变异中回归关系所能解释的百分比。回归平方和越接近总平方和,则r绝对值越接近1,说明相关的实际效果越好。决定系数除了作为相关或回归拟合效果的概括统计量,还可利用它对回归或相关作假设检验。

          整理不易,欢迎点亮再看哦!

    参考文献:

    [1] Marfio F. Triola. ElementaryStatistics[M]. New York: Christine Stavrou, 2010.

    [2] 夏庄坤, 徐唯 , 潘红莲, 等. 深入解析SAS——数据处理、分析优化与商业应用[M]. 

    [3] 高惠璇. SAS系统Base SAS软件使用手册[M]. 北京:中国统计出版社, 1997.

    [4] 孙振球, 徐勇勇. 医学统计学(第4版)[M]. 北京: 人民卫生出版社, 2014.

    整理不易,欢迎点亮再看!【赠人玫瑰,手留余香】

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    SAS系列26:双变量数据假设检验

    SAS系列25:双向有序列联表检验

    SAS系列24:单向有序列联表资料的假设检验

    SAS系列23:列联表资料假设检验方法

    SAS系列22:定性数据假设检验

    SAS系列21:SAS统计推断(六)

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    SAS系列02:SAS入门(一)

    SAS系列01:统计分析航空母舰-SAS简介

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    精鼎特邀

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  • 数据建模 一元回归

    2020-07-25 09:13:28
    一元线性回归 适用于零售总额与职工工资总额关系 采用最小二乘法回归 百度百科: 设拟合直线的公式为, 其中:拟合直线的斜率为: 计算出斜率后,根据和已经确定的斜率k,利用待定系数求出截距b。 对上述数据...

    一元线性回归

    适用于零售总额与职工工资总额关系

    采用最小二乘法回归

    百度百科:

    设拟合直线的公式为,
    在这里插入图片描述

    其中:拟合直线的斜率为:
    在这里插入图片描述
    计算出斜率后,根据和已经确定的斜率k,利用待定系数法求出截距b。

    在这里插入图片描述
    对上述数据进行回归

    源代码

    %% 最小二乘法回归
    %% 输入数据
    clc,clear all ,close all
    x = [23.80 27.60 32.40 33.70 34.90 43.20 52.80 63.80 73.40];
    y = [41.4 51.8 61.7 67.9 77.5 95.6 137.4 155.0 175.0];
    %% 做散点图
    plot(x,y,'k*');             
    xlabel('x(职工工资总额)','fontsize',15);%横坐标名称
    ylabel('y(商品零售总额)','fontsize',15);%纵坐标名称
    set(gca,'linewidth',2);     %将坐标轴加粗
    %% 用最小二乘法拟合
    Lxx = sum((x - mean(x)).^2); %mean函数用来求x的均值
    Lxy = sum((x - mean(x)).*(y - mean(y)));
    b1 = Lxy/Lxx;
    b0 = mean(y)-b1*mean(x);
    y1 = b1*x+b0;
    hold on 
    plot(x,y1,'r-','linewidth',2);
    Y = y';
    X = [ones(size(x,2),1),x'];
    [b] = regress(Y,X) %采用regress函数进行回归
    

    输出结果

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    一元非线性回归

    在实际生活当中,变量的关系并不是都是线性的,此时就应该用非线性回归。

    非线性回归可以采取对数形式非线性回归,也可以采用指数非线性回归。

    对数形式非线性回归

    clc, clear all, close all
    x = [1.5 4.5 7.5 10.5 13.5 16.5 19.5 22.5 25.5];
    y = [7.0 4.8 3.6 3.1 2.7 2.5 2.4 2.3 2.2];
    plot(x,y,'*','linewidth', 2);
    set(gca, 'linewidth',2);
    xlabel('销售额x/万元','fontsize',2);%横坐标名称
    ylabel('流通费率y/%','fontsize',2);%纵坐标名称
    %% 对数形式非线性回归
    m1 = @(b,x)b(1)+b(2)*log(x);
    nonlinfit1 = fitnlm(x,y,m1,[0.01;0.01])
    b = nonlinfit1.Coefficients.Estimate;
    Y1 = b(1,1)+b(2,1)*log(x);
    hold on
    plot(x,Y1,'--k','linewidth',2)
    

    输出结果

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    指数形式非线性回归

    clc, clear all, close all
    x = [1.5 4.5 7.5 10.5 13.5 16.5 19.5 22.5 25.5];
    y = [7.0 4.8 3.6 3.1 2.7 2.5 2.4 2.3 2.2];
    plot(x,y,'*','linewidth', 2);
    set(gca, 'linewidth',2);
    xlabel('销售额x/万元','fontsize',2);%横坐标名称
    ylabel('流通费率y/%','fontsize',2);%纵坐标名称
    %% 指数形式非线性回归
    m2 = 'y ~b1 * x^b2';
    nonlinfit2 = fitnlm(x,y,m2,[1;1]);
    b1 = nonlinfit2.Coefficients.Estimate(1,1);
    b2= nonlinfit2.Coefficients.Estimate(2,1);
    Y2 = b1*x.^b2;
    hold on 
    plot(x,Y2,'r','linewidth',2)
    legend('原始数据','a+b*lnx','a*x^b')
    

    输出结果

    在这里插入图片描述
    很明显,指数的模拟更好。。

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一元回归分析法的数据