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  • 文章目录一、数据生成和观测的过程二、回归模型和数据生成三、最小二乘估计 一、数据生成和观测的过程 采用函数Y=f(X)描述输入变量X和输出变量Y之间的关系: 所以: f(X) 为线性函数时,线性回归问题; f(X) 为非...

    一、数据生成和观测的过程

    在这里插入图片描述
    采用函数Y=f(X)描述输入变量X和输出变量Y之间的关系:
    在这里插入图片描述
    所以:

    • f(X) 为线性函数时,线性回归问题;
    • f(X) 为非线性函数时,非线性回归问题。

    二、回归模型和数据生成

    在这里插入图片描述

    观测之间相互独立

    • 扰动项相互独立;
    • 扰动项同方差,称为白噪声;
    • 扰动项服从正态分布,称为高斯噪声。

    三、最小二乘估计

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    计算公式:
    在这里插入图片描述

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  • 普通最小二乘估计对数据进行一元线性回归分析原理,附详细推导
  • 一元线性回归中未知参数的最小二乘估计   如果变量y对x的回归方程的形式为y=a+bx,又如何根据样本数据去寻求未知参数a与b的估计值和,而使回归直线方程与所有的观测点(xi,yi)(i=1,2,…,n)拟合得最好. 对任一...

    摘自:http://zyk.thss.tsinghua.edu.cn/92/chapter3/section10/point3/h0310030003.htm

    一元线性回归中未知参数的最小二乘估计

     

    如果变量yx的回归方程的形式为y=a+bx,又如何根据样本数据去寻求未知参数ab的估计值,而使回归直线方程与所有的观测点(xi,yi)(i=1,2,,n)拟合得最好.

    对任一给定的xi,yi的估计值为:

           (i=1,2,,n)

    这些估计值同实际观测值yi之间的离差(或随机误差)为:  

             .

    于是,离差平方和

    定量地描述了直线与所有散点(xi,yi)(i=1,2,,n)的拟合程度.Q的值随着ab的不同而变化,它是ab的二元函数,要找一条与这n个散点拟合最好的直线,就是找出使得Q达到最小值的,即使

                   .

    我们可以利用微积分中的极值求法来求得

       

           

    经整理后可得方程组:

           

    解上述方程组得到a,b的估计值.

          

    其中 , ,

        ,

        ,

    另记 .

    可以证明, 确能使离差平方和Q达到最小.用这种方法求出的估计值称为ab最小二乘估计值.


    注.在计算回归直线方程时,并不需要Lyy的值,但在进一步分析中经常要用到,因此顺便计算出来.

    回归分析时,一般计算量较大.为了减少计算量,可以进行适当的变量替换,基本替换办法如下:

    可令: ,

    则    ,

           

            ,

           .

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  • 最大似然估计和最小二乘估计的区别与联系

    万次阅读 多人点赞 2014-03-09 15:57:11
    看似最小二乘估计与最大似然估计在推导得到的结果很相似,但是其前提条件必须引起大家的注意!!! 对于最小二乘估计,最合理的参数估计量应该使得模型能最好地拟合样本数据,也就是估计值和观测值之差的平方和最小...

    看似最小二乘估计与最大似然估计在推导得到的结果很相似,但是其前提条件必须引起大家的注意!!!

    对于最小二乘估计最合理的参数估计量应该使得模型能最好地拟合样本数据,也就是估计值和观测值之差的平方和最小,其推导过程如下所示。其中Q表示误差,Yi表示估计值,Yi'表示观测值。



    对于最大似然法最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大,也就是概率分布函数或者说是似然函数最大。显然,这是从不同原理出发的两种参数估计方法。因此最大似然法需要已知这个概率分布函数一般假设其满足正态分布函数的特性,在这种情况下,最大似然估计和最小二乘估计是等价的,也就是说估计结果是相同的,但是原理和出发点完全不同。其推导过程如下所示



    最小二乘法以估计值与观测值的差的平方和作为损失函数,极大似然法则是以最大化目标值的似然概率函数为目标函数,从概率统计的角度处理线性回归并在似然概率函数为高斯函数的假设下同最小二乘建立了的联系。 

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  • 多元加权最小二乘估计 选择“分析”-“回归”-“线性” 选入自变量与因变量 选择“保存”,在“残差”中将“未标准化”选中 选择“转换”-“计算变量” 输入如下公式,点击“确定” 选择“分析”-“相关”-“双变量...

    多元加权最小二乘估计
    选择“分析”-“回归”-“线性”
    选入自变量与因变量在这里插入图片描述
    选择“保存”,在“残差”中将“未标准化”选中在这里插入图片描述
    选择“转换”-“计算变量”在这里插入图片描述
    输入如下公式,点击“确定”在这里插入图片描述
    选择“分析”-“相关”-“双变量”
    在这里插入图片描述
    将如下变量选入框中,点击“斯皮尔曼”,点击“确定”在这里插入图片描述
    得到等级相关系数图表如下在这里插入图片描述
    选择“分析”-“回归”-“权重估计”,将以下变量选入框中,因为x2与ABSE的等级相关系数为0.721,大于X1与ABSE的等级相关系数为0.443,因此权重变量选择x2
    在这里插入图片描述
    得到结果如下在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    加权最小二乘的回归方程为y=-266.962+1.696x1+0.47x2

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  • 多元回归&最小二乘

    2019-09-15 23:43:01
    最小二乘回归分析的区别: 最小二乘法是在模型确定的情况下对未知参数由观测数据来进行估计,而回归分析则是研究变量间相关关系的统计分析方法。 ...
  • 线性回归最小二乘

    2018-03-16 09:50:31
    但是涉及到计算方法或者代码啥的,也是不太了解,最近就做了个全面的总结,数学公式比较麻烦,所以直接上祖传手稿***首先是因为我某天遇到个这样的问题,想知道最大似然估计最小二乘的区别,下面的例子其实是来源...
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  • 线性回归——最小二乘求解

    千次阅读 2016-09-11 14:47:04
    线性回归 线性回归用于数值预测,它的主要思想是利用预定的权值将属性进行线性组合来表示类别: y=w0+w1x1+w2x2+...+wnxny = w_0 + w_1x_1 + w_2x_2 + ... + w_nx_n
  • 最小二乘法初等数学证明
  • 最小二乘

    2018-11-09 10:12:54
    ​1.引言 &nbsp;&nbsp;&nbsp;...最小二乘法直线拟合,最小二乘法多项式(曲线)拟合,机器学习中线性回归的最小二乘法,系统辨识中的最小二乘辨识法,参数估计中的最小二乘法,等等。...
  • 最小二乘回归

    2017-11-21 21:15:20
    最小二乘法(Least squares又称最小平方法)是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为...
  • 参考了统计学习方法,概率论与数理统计,工程线性代数,西瓜书,Machine Learnig with python做的总结,所以不能作为教程,还包含自己用sklearn...线性回归是利用数理统计中回归分析,来确定两种或两种以上变量间相...
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  • 线性回归——最小二乘回归 统计回归方法之一,通过最小化误差的平方进行最佳匹配。 如图 设一元线性函数为y=a0+a1x 则有y'=a0+a1x+ε,其中y为真实值,y‘为预测值,a0为截距,a1为斜率,ε为误差 若使...
  • 在测量误差服从高斯分布的情况下, 最小二乘法等价于极大似然估计。 Ref:最小二乘法与极大似然估计的区别与联系、最小二乘与最大似然估计之间的关系 ...
  • 监督学习 回归模型 线性回归 分类模型 k近邻(kNN) ...逻辑斯谛回归 ...监督学习 —— 回归模型 ... ① 线性回归模型 ... ② 非线性回归模型 ③ 最小二乘法 线性回归模型: 线性回归(linear ...
  • 曲线拟合——最小二乘拟合(附代码)

    千次阅读 多人点赞 2020-04-17 21:28:00
    曲线拟合——最小二乘拟合1 曲线拟合——一元函数的最小二乘拟合1.1 线性回归(直线的最小二乘拟合)1.1.2 直线的最佳拟合方法1.1.2 如何计算1.1.2 误差量化分析1.2 多项式回归(多项式的最小二乘拟合)1.3 非线性...
  • SLAM基础——最小二乘

    2021-07-20 23:30:43
    概念入门:最小二乘估计(LSE) 最小二乘估计,简写为LSE(Leart Squares Estimate) 1-1 ???? 最小二乘模型的引出 线性模型如下: Y=AX+ε \mathbf{Y}=\mathbf{A} \boldsymbol{X}+\boldsymbol{\varepsilon} Y=AX+ε...
  •  最小二乘和极大似然估计是目标函数,梯度下降是优化算法。机器学习的核心是一个模型,一个损失函数loss fuction,加上一个优化的算法。一个目标函数可以用不同的优化算法,不同的目标函数也可以用相同的优化算法。...
  • 最近做车道线检测项目,需要对提取车道线特征后的二值图进行车道线方程拟合,用到了最小二乘拟合算法。 由于仅仅实现车道偏离报警功能,故使用一次拟合。...一元线性回归模型与最小二乘法及其C++实现...

空空如也

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一元回归最小二乘估计