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  • 普通最小二乘估计对数据进行一元线性回归分析原理,附详细推导
  • 文章目录一、数据生成和观测的过程二、回归模型和数据生成三、最小二乘估计 一、数据生成和观测的过程 采用函数Y=f(X)描述输入变量X和输出变量Y之间的关系: 所以: f(X) 为线性函数时,线性回归问题; f(X) 为非...

    一、数据生成和观测的过程

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    采用函数Y=f(X)描述输入变量X和输出变量Y之间的关系:
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    所以:

    • f(X) 为线性函数时,线性回归问题;
    • f(X) 为非线性函数时,非线性回归问题。

    二、回归模型和数据生成

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  • 最大似然估计和最小二乘估计的区别与联系

    万次阅读 多人点赞 2014-03-09 15:57:11
    看似最小二乘估计与最大似然估计在推导得到的结果很相似,但是其前提条件必须引起大家的注意!!! 对于最小二乘估计,最合理的参数估计量应该使得模型能最好地拟合样本数据,也就是估计值和观测值之差的平方和最小...

    看似最小二乘估计与最大似然估计在推导得到的结果很相似,但是其前提条件必须引起大家的注意!!!

    对于最小二乘估计最合理的参数估计量应该使得模型能最好地拟合样本数据,也就是估计值和观测值之差的平方和最小,其推导过程如下所示。其中Q表示误差,Yi表示估计值,Yi'表示观测值。



    对于最大似然法最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大,也就是概率分布函数或者说是似然函数最大。显然,这是从不同原理出发的两种参数估计方法。因此最大似然法需要已知这个概率分布函数一般假设其满足正态分布函数的特性,在这种情况下,最大似然估计和最小二乘估计是等价的,也就是说估计结果是相同的,但是原理和出发点完全不同。其推导过程如下所示



    最小二乘法以估计值与观测值的差的平方和作为损失函数,极大似然法则是以最大化目标值的似然概率函数为目标函数,从概率统计的角度处理线性回归并在似然概率函数为高斯函数的假设下同最小二乘建立了的联系。 

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  • SPSS加权最小二乘估计的实现

    千次阅读 2020-12-25 16:16:05
    多元加权最小二乘估计 选择“分析”-“回归”-“线性” 选入自变量与因变量 选择“保存”,在“残差”中将“未标准化”选中 选择“转换”-“计算变量” 输入如下公式,点击“确定” 选择“分析”-“相关”-“双变量...

    多元加权最小二乘估计
    选择“分析”-“回归”-“线性”
    选入自变量与因变量在这里插入图片描述
    选择“保存”,在“残差”中将“未标准化”选中在这里插入图片描述
    选择“转换”-“计算变量”在这里插入图片描述
    输入如下公式,点击“确定”在这里插入图片描述
    选择“分析”-“相关”-“双变量”
    在这里插入图片描述
    将如下变量选入框中,点击“斯皮尔曼”,点击“确定”在这里插入图片描述
    得到等级相关系数图表如下在这里插入图片描述
    选择“分析”-“回归”-“权重估计”,将以下变量选入框中,因为x2与ABSE的等级相关系数为0.721,大于X1与ABSE的等级相关系数为0.443,因此权重变量选择x2
    在这里插入图片描述
    得到结果如下在这里插入图片描述
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    加权最小二乘的回归方程为y=-266.962+1.696x1+0.47x2

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  • 最小二乘估计及证明

    万次阅读 多人点赞 2018-07-16 16:30:59
    如果采样点过多,也即方程的数目多于未知数的数目,则方程组无解,这时只能求出一个近似解,以不同的目的获得的近似解是不同的,如果为了使方程左右两边的误差的平方和最小,而获得的近似解,就是最小二乘解(所谓...

    已知变量X和Y为线性关系(这里XY均为nx1的列向量),为了得知X和Y到底具有怎样的线性关系(也即求解X的系数),如果这是一个工程问题,我们解决这一问题的方法就是对X和Y进行采样,获得很多组样本,然后就能求解出系数了,按照线代的理论,系数矩阵为nxn方阵,且秩为n时,方程具有唯一解,如果采样点过多,也即方程的数目多于未知数的数目,则方程组无解,这时只能求出一个近似解,以不同的目的获得的近似解是不同的,如果为了使方程左右两边的误差的平方和最小,而获得的近似解,就是最小二乘解(所谓“二乘”,就是“平方”的意思,最小二乘就是最小平方和)。这个问题的证明在研究生的矩阵分析引论数学课上学过,现在也忘光了,只记得结论表达式了。

    好歹还记得原理:对于一个超定方程组 AX=Y,求X。

    解:假设X可能的解为Z,那么把Z代入X可得到Y1=AZ,那么建立目标函数J=e^T * e,其中e=(Y - Y1);必定有一个Z能够使得J最小,这个Z就是X的最小二乘解。

    e^T * e就是Y的误差的平方和,能使得J取的最小值的解就是最小二乘解,求X的过程就是令J的一阶导为0。这都是废话,严格的求解方法如下:

     

     

    例子:假设变量y是n个变量xi的线性组合,求系数。

    设方程为AX=y,也即

     

    为了计算出系数a1、a2、···an的值,我们至少需要n次X、Y的采样值,形如:

     

    这样就能求解出系数a1、a2、···an的值了,如果采样样本不止n个,而是多于n个,也不要紧,虽然会会造成方程组无解,但是可以求出最小二乘解。

    把方程组写成矩阵形式为:

    XA=Y     (式2)

    至此,就求出了所有的系数ai

     

     

     

     

    -----------------------------------------------------后记---------------------------------------------------------------------

     

    又翻了电子版课本,把最小二乘的证明过程也贴上来:

    证明过程在《矩阵分析引论》第30页。证明过程需要用到子空间的概念,这一概念的定义在第6页。

     

     

     

    最后简单整理一下证明过程:

     

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空空如也

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一元最小二乘估计