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  • 图片来自网络,侵删 回顾上一篇文章...假设四:随机干扰项同方差且序列不相关 假设五:随机干扰项具有正态分布 再看看我们在一元线性回归时,估计模型中的参数的套路:夔小攀:计量经济学:一元线性回归最小二乘估计...

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    回顾上一篇文章:多元线性回归的基本假设
    夔小攀:计量经济学:多元线性回归的总体与样本以及基本假设zhuanlan.zhihu.com
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    假设一:回归模型设定是正确的

    假设二:矩阵

    是满秩的

    假设三:随机干扰项条件零均值

    假设四:随机干扰项同方差且序列不相关

    假设五:随机干扰项具有正态分布

    再看看我们在一元线性回归时,估计模型中的参数的套路:

    夔小攀:计量经济学:一元线性回归最小二乘估计(OLS)及其检验zhuanlan.zhihu.com
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    开始这一篇文章:待估参数推导过程

    之前我们谈到,多元线性回归是可以用矩阵形式表示的,所以我们在这里也会尝试使用矩阵的形式去进行OLS估计。

    正规方程组的推导

    普通最小二乘的原理,就是让实际值

    与估计值
    之间差的平方和最小。在多元线性回归中,样本回归函数为:

    那么对于

    这个样本,其实际值与估计值的差:

    对于所有的

    (样本量为
    ,解释变量个数为
    ),
    的平方和为:

    如何求得

    的最小值呢?对未知量
    求偏导,并令其等于零可能是一个合理的思路(到后面,我们可以尝试证明,求得的极值就是最值)。

    这对于手工计算可不容易,最后的结果我们可以用一个技巧来代替:

    表示第
    个解释变量
    对其他解释变量进行OLS回归后的残差,那么
    就可以表示为:

    矩阵形式下的正规方程组

    正规方程组可以变换为:

    只看第一行:

    可以表示为:

    那么,对于所有行,也就相当于:

    而最左边的矩阵,其实相当于

    那么整个正规方程组,我们用矩阵表示为

    ,由此可得:

    矩阵推导全程

    对于

    ,运用矩阵的乘法性质(注意:
    ),可以推出:

    再对

    求偏导:
    矩阵求导的性质

    注意:

    是一个列向量,对于列向量
    求导,有以下性质

    那么,

    ;
    ;
    ;

    则有:

    化简得:

    ,由此可得:

    统计量的性质

    与一元线性回归相同的,对于满足基本假设的OLS估计统计量,具有线性性、无偏性、有效性、一致性、渐进无偏性、渐进有效性。我们可以尝试证明前三个性质

    线性性

    线性性极为明显:

    ,其中
    只与固定的
    有关

    无偏性

    代入其中,可以得到:

    利用零均值假设,

    ,无偏性也得到了证明。同时
    ,这个公式将在有效性的证明中发挥作用。

    有效性

    需要先求出估计量的方差:

    这里运用了同方差与序列不相关的假设,即

    随后证明这个方差是所有线性无偏估计量中最小的

    不妨假设这个世界上的其他「线性无偏」估计量为

    ,当然对于
    可以将其表示为
    是一个固定矩阵,
    就是最小二乘估计中的线性系数
    。根据无偏性的条件:

    那么,当且仅当

    时,才能使得

    ;那么
    ;而
    ,那么

    再考察

    的方差-协方差矩阵:

    其中,我们通过之前的论证

    ,可以发现:

    那么,移项便知:

    继续观察协方差矩阵:

    虽然看上去很复杂,但是结果却很简单。根据我们的假设,

    是一个主对角线元素非负的对称矩阵,可以得知最终的结果:

    所以最小二乘估计量具有有效性。一元线性回归中的证明也是如此。

    展开全文
  • 普通最小二乘估计对数据进行一元线性回归分析原理,附详细推导
  • 文章目录一、数据生成和观测的过程二、回归模型和数据生成三、最小二乘估计 一、数据生成和观测的过程 采用函数Y=f(X)描述输入变量X和输出变量Y之间的关系: 所以: f(X) 为线性函数时,线性回归问题; f(X) 为非...

    一、数据生成和观测的过程

    在这里插入图片描述
    采用函数Y=f(X)描述输入变量X和输出变量Y之间的关系:
    在这里插入图片描述
    所以:

    • f(X) 为线性函数时,线性回归问题;
    • f(X) 为非线性函数时,非线性回归问题。

    二、回归模型和数据生成

    在这里插入图片描述

    观测之间相互独立

    • 扰动项相互独立;
    • 扰动项同方差,称为白噪声;
    • 扰动项服从正态分布,称为高斯噪声。

    三、最小二乘估计

    在这里插入图片描述
    计算公式:
    在这里插入图片描述

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  • 一元线性回归中未知参数的最小二乘估计   如果变量y对x的回归方程的形式为y=a+bx,又如何根据样本数据去寻求未知参数a与b的估计值和,而使回归直线方程与所有的观测点(xi,yi)(i=1,2,…,n)拟合得最好. 对任一...

    摘自:http://zyk.thss.tsinghua.edu.cn/92/chapter3/section10/point3/h0310030003.htm

    一元线性回归中未知参数的最小二乘估计

     

    如果变量yx的回归方程的形式为y=a+bx,又如何根据样本数据去寻求未知参数ab的估计值,而使回归直线方程与所有的观测点(xi,yi)(i=1,2,,n)拟合得最好.

    对任一给定的xi,yi的估计值为:

           (i=1,2,,n)

    这些估计值同实际观测值yi之间的离差(或随机误差)为:  

             .

    于是,离差平方和

    定量地描述了直线与所有散点(xi,yi)(i=1,2,,n)的拟合程度.Q的值随着ab的不同而变化,它是ab的二元函数,要找一条与这n个散点拟合最好的直线,就是找出使得Q达到最小值的,即使

                   .

    我们可以利用微积分中的极值求法来求得

       

           

    经整理后可得方程组:

           

    解上述方程组得到a,b的估计值.

          

    其中 , ,

        ,

        ,

    另记 .

    可以证明, 确能使离差平方和Q达到最小.用这种方法求出的估计值称为ab最小二乘估计值.


    注.在计算回归直线方程时,并不需要Lyy的值,但在进一步分析中经常要用到,因此顺便计算出来.

    回归分析时,一般计算量较大.为了减少计算量,可以进行适当的变量替换,基本替换办法如下:

    可令: ,

    则    ,

           

            ,

           .

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  • 图片来自网络,侵删 回顾上一篇文章...假设四:随机干扰项同方差且序列不相关 假设五:随机干扰项具有正态分布 再看看我们在一元线性回归时,估计模型中的参数的套路:夔小攀:计量经济学:一元线性回归最小二乘估计...

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    回顾上一篇文章:多元线性回归的基本假设
    夔小攀:计量经济学:多元线性回归的总体与样本以及基本假设zhuanlan.zhihu.com
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    假设一:回归模型设定是正确的

    假设二:矩阵

    是满秩的

    假设三:随机干扰项条件零均值

    假设四:随机干扰项同方差且序列不相关

    假设五:随机干扰项具有正态分布

    再看看我们在一元线性回归时,估计模型中的参数的套路:

    夔小攀:计量经济学:一元线性回归最小二乘估计(OLS)及其检验zhuanlan.zhihu.com
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    开始这一篇文章:待估参数推导过程

    之前我们谈到,多元线性回归是可以用矩阵形式表示的,所以我们在这里也会尝试使用矩阵的形式去进行OLS估计。

    正规方程组的推导

    普通最小二乘的原理,就是让实际值

    与估计值
    之间差的平方和最小。在多元线性回归中,样本回归函数为:

    那么对于

    这个样本,其实际值与估计值的差:

    对于所有的

    (样本量为
    ,解释变量个数为
    ),
    的平方和为:

    如何求得

    的最小值呢?对未知量
    求偏导,并令其等于零可能是一个合理的思路(到后面,我们可以尝试证明,求得的极值就是最值)。

    这对于手工计算可不容易,最后的结果我们可以用一个技巧来代替:

    表示第
    个解释变量
    对其他解释变量进行OLS回归后的残差,那么
    就可以表示为:

    矩阵形式下的正规方程组

    正规方程组可以变换为:

    只看第一行:

    可以表示为:

    那么,对于所有行,也就相当于:

    而最左边的矩阵,其实相当于

    那么整个正规方程组,我们用矩阵表示为

    ,由此可得:

    矩阵推导全程

    对于

    ,运用矩阵的乘法性质(注意:
    ),可以推出:

    再对

    求偏导:
    矩阵求导的性质

    注意:

    是一个列向量,对于列向量
    求导,有以下性质

    那么,

    ;
    ;
    ;

    则有:

    化简得:

    ,由此可得:

    统计量的性质

    与一元线性回归相同的,对于满足基本假设的OLS估计统计量,具有线性性、无偏性、有效性、一致性、渐进无偏性、渐进有效性。我们可以尝试证明前三个性质

    线性性

    线性性极为明显:

    ,其中
    只与固定的
    有关

    无偏性

    代入其中,可以得到:

    利用零均值假设,

    ,无偏性也得到了证明。同时
    ,这个公式将在有效性的证明中发挥作用。

    有效性

    需要先求出估计量的方差:

    这里运用了同方差与序列不相关的假设,即

    随后证明这个方差是所有线性无偏估计量中最小的

    不妨假设这个世界上的其他「线性无偏」估计量为

    ,当然对于
    可以将其表示为
    是一个固定矩阵,
    就是最小二乘估计中的线性系数
    。根据无偏性的条件:

    那么,当且仅当

    时,才能使得

    ;那么
    ;而
    ,那么

    再考察

    的方差-协方差矩阵:

    其中,我们通过之前的论证

    ,可以发现:

    那么,移项便知:

    继续观察协方差矩阵:

    虽然看上去很复杂,但是结果却很简单。根据我们的假设,

    是一个主对角线元素非负的对称矩阵,可以得知最终的结果:

    所以最小二乘估计量具有有效性。一元线性回归中的证明也是如此。

    展开全文
  • 回顾上上篇文章:夔小攀:计量经济学:一元线性回归导入​zhuanlan.zhihu.com1,建立经济学模型的四个步骤:理论模型设计 → 样本数据收集 →模型参数估计 → 模型的检验2,一元线性回归模型的理论模型设计:总体...
  • 此时得到的 被称为普通最小二乘估计量(OLS estimators)。为求两估计量,使上式一阶偏导数为零: ,可推得 ,解得 在这里我们习惯用小写字母表示对均值的离差,也就是 关于线性回归方程,我们给出三个最小二乘假设...
  • 上一篇文章讲了最小二乘算法的原理。这篇文章通过一个简单的例子来看如何通过Python实现最小乘法的线性回归模型的参数估计。王松桂老师《线性统计模型——线性回归与方差分析》一书中例3.1.3。说的是一个实验容器靠...
  • 最小二乘法曲线拟合参数估计:简单起见,这里以一元线性回归为例进行介绍:假设我们获取了一组样本点数据:利用最小二乘法用多项式曲线拟合这组样本点:1、设拟合多项式为:2、样本点到该曲线的距离平方和为:目标...
  • 这里我们将对线性条件下的最小二乘做相关说明与介绍,即 Ordinary Least Sqaure(OLS) 普通最小二乘线性回归我们通过一个线性回归的例子来引入介绍OLS。这里有一组数据样本:(1,1)、(2,5)、(3,6),我们假设数据样本x...
  • 在进行了模型的参数估计之后,我们下一步就该进行“模型的检验”了,这既包括统计检验,也包括经济检验。经济检验要看模型估计的参数是否符合经济理论或者说常识,而统计检验则有着更加复杂的计算。一般而言,我们将...
  • 回归分析-(偏)最小二乘

    千次阅读 2011-04-08 21:10:00
    Reference: 李卫东,2008,《应用多元统计分析》 回归分析 英文名称:regression analysis 定义:研究一个随机变量Y...求a、b的估计值一般采用最小二乘法。 采用spass做回归分析步骤:1. 模
  • 最小二乘估计 最小二乘法的判断标准是:样本回归线上的点和真实观测点的“总体误差”即二者之差的平方和最小,即 最小 由于是的二次函数,并且非负,所以极小值一定存在。根据极小值存在的条件,当对的一阶偏导数...
  • 之前,我们介绍了最小二乘估计(OLS)来估计模型的参数,其间的数理运算已经很厉害了,所以这一篇文章,我准备水水过。一、最大似然估计最大似然估计的基本原理:当从模型总体随机抽取n组样本观测值之后,最合理的...
  • 一元线性回归这一章的概念并不多,基本上是围绕一元线性回归模型这一方程展开的,并对系数的估计、回归的方法(最小二乘)、回归方法也就是最小二乘的假设以及最小二乘一元线性回归的拟合优度R^2的介绍(1个中心+4个...
  • 本文介绍了一元线性回归与多元线性回归。包括参数估计的方法:最小二乘估计(LSE)、最大似然估计(MLE);以及显著性检验方法:F检验,t检验。
  • 普通最小二乘法的推导证明

    万次阅读 多人点赞 2018-01-28 00:09:20
    ​ 简单地说,最小二乘的思想就是要使得观测点和估计点的距离的平方和达到最小.这里的“二乘”指的是用平方来度量观测点与估计点的远近(在古汉语中“平方”称为“二乘”),“最小”指的是参数的估计值要保证各个...
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    2020-05-16 08:15:00
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  • 最小二乘法 MATLAB

    千次阅读 2017-03-29 16:50:34
    有了前面对最小二乘法估计学习过,了解了原理(参考:一元线性回归模型:最小二乘估计),于是用MATLAB看了一下效果,后期再对RANSAC学习一下。 [plain] view plain copy  print? ...
  • 3.最小二乘估计的性质  线性性  无偏性  最小方差性 一、一元线性回归模型的数学形式  一元线性回归是描述两个变量之间相关关系的最简单的回归模型。自变量与因变量间的线性关系的数学结构通常用式(1)的...
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  • 大家好!我又出现了(*^__^*) 嘻嘻。...目录多元线性回归(下)偏回归平方和部分系数显著性检验违背基本假设的情况异方差性异方差性检验异方差性问题处理方法一元加权最小二乘估计多元加权最小二乘估计自相关性自相关...
  • 一元回归分析r语言代码

    千次阅读 2015-09-29 20:30:24
    shuju shuju #建立数据 attach(shuju) plot(x,y,main="签发的新保单数目对每周加班时间...summary(shuju.reg) #(3)最小二乘估计(4)求回归标准误差(6)x与y的决定系数(8)回归系数的显著性检验 abline(shuju.reg,
  • 他根据训练样本的分布,提出一个假设函数h(θ)Xh_{(θ)}X, 然后利用最小二乘估计,构造出损失函数J(θ)J(θ), 对损失函数求偏导,找到对应于J(θ)J(θ)最小值的那一组θθ, 作为拟合曲线的参数。而寻找J(θ)J(θ)...
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  • 一、广义线性模型简介 在一些实际问题中,... 对于曲线回归建模的非线性目标函数,通过某种数学变换,使之“线性化”为一元线性函数的形式,继而利用线性最小二乘估计的方法估计出参数a和b,用一元线性回归方程来描
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    2021-02-10 10:54:15
    变量间关系的度量 一、变量间的关系 二、相关关系的描述与测度 ...二、参数的最小二乘估计 三、回归方程的拟合优度 四、显著性检验 利用回归方程进行估计和预测 一、点估计 二、区间估计 总结 ...

空空如也

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关键字:

一元最小二乘估计