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  • 基于MATLAB的二重积分计算方法,数学建模有关,计算科学领域
  • 第15卷第2期2012年3月 高 等 数 学 研 究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS Vol.15,No.2Mar.,2012 基于 MATLAB的二重积分计算方法 王若鹏,夏赞勋...

    第15卷第2期2012年3月 高 等 数 学 研 究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS Vol.15,No.2Mar.,2012 基于 MATLAB的二重积分计算方法 王若鹏,夏赞勋,谢鹏燕,张 鹏 (北京石油化工学院数理系,北京102617) 收稿日期:2011-05-06;修改日期:2012-02-23 基金项目:北京市 URT计划项目子项目(2010J00067) 作者简介:王若鹏(1975-),男,副教授,主要从事优化理论与方法的教学与研究.Email:wangruopeng@bipt.edu.cn 夏赞勋(1989-),男,信息与计算科学专业2008级本科在读.Email:xiazanxun@bipt.edu.cn 摘 要   运用 MATLAB 软件,通过对 MATLAB 内部函数的改造,就一般区域上二重积分的计算给出几种计 算方法及相应的 MATLAB 命令,通过实例比较可显示所给方法的有效性.这些方法可加以推广后用以计算一般区 域上的三重积分. 关键词   二重积分;MATLAB;数值积分 中图分类号  O172.2 文献标识码  A 文章编号  1008-1399(2012)02-0061-03 考虑如下内积分限是函数的二重积分问题[ 1-2] I = D f ( x , y ) d x d y = ∫ b a d x ∫ d ( x ) c ( x ) f ( x , y ) d y . ( 1) 这里考虑f ( x , y )= xy ,  a =1,  b =2, c ( x )=sin  x ,  d ( x )=cos  x . 为叙述方便,不妨记 g ( x )=∫ d ( x ) c ( x ) f ( x , y ) d y . MATLAB7.0提供的计算二重积分的方法有符号 解 法 和 数 值 解 法[ 3]. 符 号 解 法 是 使 用MATLAB内部命令int计算两次一重积分,其结果往往是符号,要计算积分值,必须使用vpa计算其数值,在2009a版本中,也可以利用quad2d计算二重积分值,但是对稍微复杂的二重积分,这两个命令无法计算其积分值.而数值解法是利用dblquad函数,但要求内外积分限都是常函数,即只能计算矩形区域上的二重积分.对于一般区域上的二重积分计算,文 [ 2, 4-5]建 议 使 用 美 国 学 者 Howard Wilson 和 Bryce Gardner开发的数值积分工具箱中的函数 gquadzdggen. 事实上,通过对 MATLAB中相关计算重积分的函数加以改造,就能胜任内积分限为函数的二重积分计算工作.文中通过对一元函数数值积分方法的推 广、dblquad函数的改造以及quadl命令的程序处理等三种方法实现一般区域上二重积分的计算问题. 1  二重积分的计算方法 1.1  一元函数数值积分方法的推广 当积分区域为一般区域时,MATLAB 没有相应的内部函数,可借用一元函数数值积分的方法进行求解.数值解法计算定积分时有梯形公式、龙贝格公式和高斯公式等,这里只讨论梯形公式. 对于二重积分( 1),利用梯形法将区间[ a , b ]等 分为 m 份,记 hx = b - a m , xi = a + ihx ( i =1, 2,…, m ), 则有 I ≈ h ( x g ( a )- g ( b ) 2 +∑ m -1 i =1 g ( xi )) , 其中 g ( xi )=∫ d ( xi ) c ( xi ) f ( xi , y ) d y

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  • 文章目录第三章 一元函数积分概念、计算及应用 第三章 一元函数积分概念、计算及应用

    分部积分表格法指路

    第三章 一元函数积分概念、计算及应用

    一、一元函数积分的概念、性质与基本定理

    (一)原函数与不定积分的概念和基本性质
    1. 原函数与不定积分的定义
    2. 原函数与不定积分的关系
      注意常数C
    3. 求不定积分与求微分(导数)的关系——互为逆运算
      注意常数C
    4. 不定积分的简单性质,(提k(k≠0),加减)
    (二)定积分的概念与基本性质
    1. 定积分的定义

      ① 积分区间有限,被积函数有限
      ② 构造积分和时,小区间的分割是任意
      ③ 定积分存在时,其值只与被积函数与积分区间有关,与积分变量的字母无关

    2. 定积分的几何意义(注意正负)

    3. 函数在区间上的可积性
      ① 函数在闭区间有界
      ② 以下三条满足其一:

    • 闭区间连续
    • 闭区间只有有限个间断点
    • 闭区间单调
    1. 定积分的基本性质
      ① 线性性质(加减)
      ② 对区间的可加性质(中间点可在区间内,也可在区间外)
      ③ 改变有限个点的函数值不改变其可积性与积分值
      ④ 比较定理,区间内函数小积分就小

    推论 1:区间内恒大于等于0函数,积分值大于等于0
    推论 2:积分的绝对值小于等于绝对值的积分
    推论 3:估值定理:m<=f(x)<=Mm<=f(x)<=M且不为常值函数
    m(ba)<abf(x)dx<M(ba)m(b-a)<\int_{a}^{b}f(x)dx<M(b-a)

    ⑤ 积分中值定理
    ⑥ 连续非负函数的积分性质(参考上面的几个推论)
    ⑦ 对于区间内的任意子区间的定积分都为0时,有f(x)0f(x)\equiv0

    (三)基本定理
    1. 变限积分函数的连续性与可导性
      3.1
      ① 若闭区间可积,则变上限积分是连续函数
      ② 若闭区间连续,则变上限积分可导

    推论 1:变下限积分
    推论 2:复合
    推论 3:复合

    1. 原函数的有关问题
      ① 原函数存在定理
      3.2 若连续,变上限积分函数是一个原函数
      若有第一类间断点则没有原函数
      ② 不定积分与变限积分的关系
      若连续,则
      ③ 初等函数一定有原函数,但是原函数不一定是初等函数

    2. 牛顿-莱布尼兹公式
      闭区间

    推论 1:开区间存在原函数且都连续,则
    证明:用洛必达
    推论 2:开区间存在原函数,且端点处分别左右连续则
    证明:引入辅助函数
    推论 3:区间内有间断点

    (四)奇偶函数与周期函数的积分性质
    1. 对称区间上奇偶函数的定积分

    ① 二倍, 0
    ② 偶积奇,奇积偶

    1. 周期函数的积分
      3.5 如果在一个周期上可积,那么
    • T为长度的区间积分值相同
    • 变上限积分是T周期函数的充要条件,T长度区间内积分为0
    • 全体原函数以T为周期的充要条件,T长度区间内积分为0
    (五)利用定积分求某些nn项和式数列的极限

    条件:闭区间连续
    具体题目见第一章


    二、基本积分表与积分法则

    (一)基本积分表


    (二)积分法则
    1. 分项积分法

    2. 分段积分法
      ① 定积分
      ② 不定积分

    • 连续拼接法
    • 变限积分法
    1. 换元积分法
      ① 不定积分的换元积分法

    第一换元积分法(凑微分法)

    ② 第二换元积分法

    • 三角函数替换
    • 幂函数替换
    • 倒替换
    1. 分部函数法
      ① 不定积分的分部积分法
      条件:uu , vv都有连续导函数
      ② 定积分的分部积分法
      条件:uu , vv都导函数闭区间连续
    • 写成udv\int_{}^{}udv或者uvdx\int_{}uv'dx的形式

    • 多次应用分部积分法,直到求出结果
    • 有时可导出原函数的方程,不要遗漏常数CC
    • 用分部积分法可导出递推公式

    ③ 表格法



    三、几种特殊类型函数的积分法

    (一)有理函数的积分
    (二)简单无理函数的积分

    简单化简后,可使用第二换元积分法

    (三)三角函数有理式的积分

    万能代换


    四、积分计算技巧

    1. 几何意义
    2. 奇偶性
    3. 积分公式,华里士公式(点火)
    4. 被积函数的分解与结合

    五、反常积分(广义积分)

    (一)反常积分(广义积分)的概念
    1. 无穷区间上的反常积分的概念

    2. 无界函数的反常积分的概念
      瑕积分,瑕点

    3. 按定义判断反常积分的敛散性与计算反常积分值

    4. 常见反常积分

    (二)反常积分(广义积分)的运算法则与计算

    六、积分学应用的基本方法——微元分析法


    七、一元函数积分学的几何应用

    (一)平面图形的面积
    1. 直角坐标系中的平面图形的面积
    2. 极坐标
    3. 曲线方程
    (二)平面曲线的弧微分与弧长
    (三)平面曲线的曲率
    1. 概念
    2. 曲率计算公式
    (四)空间图形的体积
    1. 平行截面面积为已知的立体的体积
    2. 旋转体的体积
    (五)旋转体的(侧)面积
    1. 圆台的侧面积公式
    2. 直角坐标系下的计算公式
    3. 参数方程下计算公式
    4. 极坐标公式

    八、一元函数积分学的物理应用

    (一)液体静压力
    (二)变力做功
    (三)引力问题
    (四)质心或形心问题
    1. 均匀线密度为ρρ的质心(形心)问题
    2. 均匀密度平面图形的质心(形心)
    (五)函数在区间上的平均值

    公式


    常考题型约有十五种

    后记:


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  • 以下是新东方在线整理...关于一元积分学这章节还包括:定积分的定义,性质;微积分基本定理;反常积分以及定积分的应用这几个部分。这几个部分各有各的侧重点。而其中有关定积分的定义是要求考生掌握的重点,要充分理...

    以下是新东方在线整理的2019计算机考研数学知识点解读:一元函数积分学,请参考:

    一、大纲整体要求

    大纲中要求,理解原函数的概念,理解不定积分的概念,掌握不定积分的的基本公式,掌握不定积分的积分方法,主要是换元法和分部积分法。关于一元积分学这章节还包括:定积分的定义,性质;微积分基本定理;反常积分以及定积分的应用这几个部分。这几个部分各有各的侧重点。而其中有关定积分的定义是要求考生掌握的重点,要充分理解微积分基本定理还要掌握定积分在几何和物理上面的应用。

    至于反常积分这一块,会计算简单的反常积分,了解反常积分的概念并会判别收敛性,像2016年数学一第一道选择题就是考查反常积分的收敛性问题。去年就是由于很多同学对反常积分的敛散性的判别不熟,从而导致了选择题做的不顺,时间久耽误了,以至于影响到了后面的大题的解析。

    二、定积分

    (1)关于定积分的定义及性质。这里要求同学们一定要理解分割、近似以及求和还有取极限这几个步骤。与此同时还要求同学们知道其几何意义及定义中我们所要注意的地方。早在2016年数学二、数学三出了道填空题,是利用定积分定义来做的,而2017年考研数学一、数学三又出了道10分的计算题,因此希望这一部分能引起同学们的一定的重视。对于n项和求极限的问题,我们知道主要是利用夹逼定理和定积分定义两种常用方法。因此,对于这一部分的内容与数列极限结合是要重视的。

    (2)关于定积分中的区间可加性、积分中值定理、比较定理这几个是同学要掌握的,而对于微积分基本定理这一块的知识点是非常重要的。关于切线与法线;以及单调性;极值;凹凸性的应用与变上限积分函数是可以相关联的。关于变上限积分函数,要掌握变上限积分求导,这一块知识与极限结合,就是我们常见的一种极限形式,即含有变上限积分的极限计算题。像2017年考研中的第一道极限的计算题就是有关变上限积分的极限计算问题。

    (3)有关定积分的应用部分。关于定积分的定义这一块,希望同学们掌握住,其主要就是利用微元法在几何上应用,对于数一和数二的同学还要求掌握物理上面的应用。数学三的同学要掌握用定积分求面积及旋转的体积。各种旋转体的体积是要求必须掌握的,在真题中确实出现过定积分几何应用于微分方程结合出题的,而对于数学一和数学二除了平面图形的面积和旋转体的体积外,还要求掌握用定积分求曲线弧长、旋转曲面的侧面积。

    三、反常积分

    这块内容在2016年考研数学一的第一道选择题出现了,当年很多同学无从下手。由于对这一块知识的生疏,以至于这一道选择题就花了二十多分钟才解决,这个是不应该的。其实在某种意义上,当年2016年考的那题敛散性的选择题,是有些超纲的,而2017年考研对于这块的知识出了道填空题,是关于反常积分的计算题。这一块的内容大纲解析要求考生了解反常积分的基本定义,会计算反常积分。没有其他内容,所以收敛这一块应该是不会太为难考生的,而关于反常积分的计算,同学们就当作定积分来求就可以了。

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  • 由于是逆过程,是不是只学习导数的计算就可以完全掌握 不定积分计算内容,这不完全正确. 这和学习乘法的公式还要专门学习除法的公式类似,总还是有点自己计算的策略. 比如换元法,分部积分法...

    一元积分若干分析

    此讲义将不断补充.

    1 不定积分

    求一个函数的不定积分是求导的逆过程,这和加法与减法 , 乘法和除法关系类似.
    简而言之 一个函数的不定积分是它的原函数的全体. 这些原函数只相差一个常数.

    计算是不定积分的重头戏.
    虽然是逆过程,但只学习导数的计算就并不意味着完全掌握不定积分的计算内容. 这和学习乘法的公式还要专门学习除法的公式类似,总还是有点自己计算的策略. 比如换元法,分部积分法,都是计算不定积分常用方法. 常用公式应当熟记. 而且这里往往要碰到一些三角函数和反三角函数的部分,这些函数的性质和图像,也需要额外的注意.

    下面是两道学生不会的题:
    1sin(x)cos(x)dx \int \frac{1}{\sin(x)\cos(x)}dx
    这里需要将 1 进行等价变形sin2(x)+cos2(x)\sin^2(x)+\cos^2(x) 就可以了, 最后涉及了cot(x)\cot(x) 的原函数 ln(sin(x))\ln(|\sin(x)|)
    还有一道题的最后一步遇到,limt00tex2dxt\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{\int_0^{t}e^{-x^2}dx}{t}
    学生一头扎入想着求分子上面的变上限积分 ex2e^{-x^2}的表达式, 算半天失败告终. 我按照常规方法也计算了一会,发现这个思路在这有问题.
    当时我在学习这块时候记得有那么一些常见的函数不定积分没有办法用初等函数表达. 这里是不是这样呢?
    于是在Mathematica运行看看:

    Integrate[E^(-x^2), x]
    

    返回结果:
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    这是一个形式的结果,当然Mma不定积分没有标常数,这个软件的帮助文档声明过,
    结合华东师范大学《数学分析第四版》199 页教材的分析,这样的还有ex2,1lnx,sin(x)xe^{x^2}, \frac{1}{\ln x}, \frac{\sin(x)}{x} 等不定积分.
    回到本题, 结合原函数存在定理
    上面的变上限积分,实质上是关于 tt函数 , 且处处可导. 注意到极限是00\frac{0}{0} 型,采用洛必达法则,上下求导,就容易得到结果为1了.
    注:牛顿莱布尼茨公式建立了定积分和原函数之间的联系. 从这一点看掌握不定积分的求解也是重要的.

    事实上,我们研究过程遇到的问题往往不是教材上比较简单的情形,此时一个办法借助相关数学软件求解. 这一点后面再来专门说明. 但计算机求解不是万能的,这一点要注意.
    思考:如何将学习的基础课和目前的研究结合. 平时有选择性熟悉一些数学技巧是必要的. 这也是长期思考实践的问题.

    2 定积分

    举若干有趣的习题分析.
    第一道是周期函数在任意周期内积分相同.

    If ff is continuous and periodic with period aa, then show that 0af(t)dt=bb+af(t)dt\int_{0}^{a}f(t)dt=\int_{b}^{b+a}f(t)dt
    for all bRb\in \mathbb{R}.

    证明方法一:
    Let H(x)=xx+af(t)dtH(x)=\int_x^{x+a}f(t)\,dt. Then
    dHdx=f(x+a)f(x)=0.\frac{dH}{dx}=f(x+a)-f(x)=0.
    It follows that H(x)H(x) is constant. In particular, H(b)=H(0)H(b)=H(0).

    证明方法二:

    ba+bf(x) dx=aa+bf(x) dx+baf(x) dx =y=xa0bf(y+a) dy+baf(x) dx=periodic0bf(y) dy+baf(x) dx=0af(x) dx. \int_{b}^{a+b}f(x)\ dx = \int_{a}^{a+b}f(x)\ dx +\int_{b}^{a}f(x)\ dx \\ \ \overset{y=x-a}{=} {\color{blue}{\int_{0}^{b}f(y+a)\ dy} }+ \int_{b}^{a}f(x)\ dx \\ \\\overset{periodic}{=}{ \color{blue}{\int_{0}^{b}f(y)\ dy}} +\int_{b}^{a}f(x)\ dx \\=\int_0^af(x)\ dx.

    进一步思考: 可导的周期函数ff, 它的导函数在一个周期内定积分等于多少?
    参考答案为0. 想想为什么? 周期函数的导函数还是周期函数吗?
    给予论证

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一元积分的计算方法