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  • 一元线性回归参数估计.ppt
  • 后来我翻阅了一些数理统计和项目估算方面的资料,告诉了他利用一元线性回归分析估计软件项目开发时间的方法。想到这种估算需要在一些开发团队很常见,所以在这里整理成文。问题的定义及数学模型这里我们仅考虑比较...
  •   这篇文章详细推导了一元线性回归方程的参数解,供新手朋友参考。   假定一元线性回归方程的具体形式为 y=a+bx(1) y=a+bx \tag{1} y=a+bx(1) 现在,为确定参数a,ba,ba,b进行了nnn次观测,观测结果为: i123⋯...

      这篇文章详细推导了一元线性回归方程的参数解,供新手朋友参考。
      假定一元线性回归方程的具体形式为
    y = a + b x (1) y=a+bx \tag{1} y=a+bx(1)
    现在,为确定参数 a , b a,b a,b进行了 n n n次观测,观测结果为:
    i 1 2 3 ⋯ n x x 1 x 2 x 3 ⋯ x n y y 1 y 2 y 3 ⋯ y n \begin{array}{c|ccccc} i & \text{1} & \text{2} & \text{3} & \cdots & \text{n} \\ \hline x & x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n\\ y & y_1 & y_2 & y_3 & \cdots & y_n \\ \end{array} ixy1x1y12x2y23x3y3nxnyn
      参数估计即从这 n n n组数据中解出 a , b a,b a,b。由于观测不可避免的带有误差(观测仪器、人为或环境因素引起),故 n n n组方程
    { y 1 = a + b x 1 y 2 = a + b x 2 ⋮ y n = a + b x n (2) \left\{ \begin{array}{c} y_1=a+bx_1 \\ y_2=a+bx_2 \\ \vdots \\ y_n=a+bx_n \\ \end{array} \right. \tag{2} y1=a+bx1y2=a+bx2yn=a+bxn(2)
    不相容(为矛盾方程组)。为消除矛盾并确定 a , b a,b a,b的最佳估值,可采用最小二乘法来求解,目标函数为
    Q = ∑ i = 1 n ( y i − a − b x i ) 2 = m i n (3) Q=\sum_{i=1}^n \left ( y_i-a-bx_i \right ) ^2 = min \tag{3} Q=i=1n(yiabxi)2=min(3)
    由于 Q Q Q是关于 a , b a,b a,b的凸函数《南瓜书》),根据凸函数极值特性,可知在 ∂ Q ∂ a = 0 \frac{ \partial Q}{\partial a}=0 aQ=0 ∂ Q ∂ b = 0 \frac{ \partial Q}{\partial b}=0 bQ=0对应的 a , b a,b a,b处取得极小值(最小值)。
       Q Q Q关于 a , b a,b a,b的偏导数如下
    ∂ Q ∂ a = ∑ i = 1 n 2 ( y i − a − b x i ) ⋅ ( − 1 ) = 2 ∑ i = 1 n ( a + b x i − y i ) (4) \frac{\partial Q}{\partial a}=\sum_{i=1}^n 2 \left (y_i-a-bx_i \right )\cdot(-1) =2 \sum_{i=1}^n \left (a+bx_i-y_i \right ) \tag{4} aQ=i=1n2(yiabxi)(1)=2i=1n(a+bxiyi)(4)
    ∂ Q ∂ b = ∑ i = 1 n 2 ( y i − a − b x i ) ⋅ ( − x i ) = 2 ∑ i = 1 n x i ( a + b x i − y i ) (5) \frac{\partial Q}{\partial b}=\sum_{i=1}^n 2 \left (y_i-a-bx_i \right )\cdot(-x_i) =2 \sum_{i=1}^n x_i \left (a+bx_i-y_i \right ) \tag{5} bQ=i=1n2(yiabxi)(xi)=2i=1nxi(a+bxiyi)(5)
    当令 ( 4 ) = 0 (4)=0 (4)=0可得:
    ∑ i = 1 n ( a + b x i − y i ) = 0    ⟹    n a + b ∑ i = 1 n x i − ∑ i = 1 n y i = 0    ⟹    a = y ˉ − b x ˉ (6) \sum_{i=1}^n \left( a+bx_i-y_i \right)=0 \implies na+b\sum_{i=1}^nx_i- \sum_{i=1}^n y_i=0 \implies a=\bar{y}-b\bar{x} \tag{6} i=1n(a+bxiyi)=0na+bi=1nxii=1nyi=0a=yˉbxˉ(6)
    ( 5 ) = 0 (5)=0 (5)=0并代入式 ( 6 ) (6) (6)可得:
    ∑ i = 1 n x i ( a + b x i − y i ) = 0    ⟹    a ∑ i = 1 n x i + b ∑ i = 1 n x i 2 − ∑ i = 1 n x i y i = 0    ⟹    b = ∑ i = 1 n ( x i y i − y ˉ x i ) ∑ i = 1 n ( x i 2 − x ˉ x i ) (7) \sum_{i=1}^nx_i \left (a+bx_i-y_i \right )=0 \implies a\sum_{i=1}^n x_i +b\sum_{i=1}^n x_i^2 - \sum_{i=1}^n x_iy_i =0 \implies b=\frac{\sum_{i=1}^n \left(x_iy_i- \bar{y}x_i \right)}{\sum_{i=1}^n \left(x_i^2-\bar{x}x_i \right)} \tag{7} i=1nxi(a+bxiyi)=0ai=1nxi+bi=1nxi2i=1nxiyi=0b=i=1n(xi2xˉxi)i=1n(xiyiyˉxi)(7)
    再顾及
    ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) = ∑ i = 1 n ( x i y i − y ˉ x i ) a n d ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 = ∑ i = 1 n ( x i 2 − x ˉ x i ) \sum_{i=1}^n \left( x_i-\bar{x} \right) \left( y_i-\bar{y} \right)=\sum_{i=1}^n \left(x_iy_i- \bar{y}x_i \right) and \sum_{i=1}^n \left( x_i-\bar{x} \right)^2 =\sum_{i=1}^n \left( x_i^2-\bar{x}x_i \right) i=1n(xixˉ)(yiyˉ)=i=1n(xiyiyˉxi)andi=1n(xixˉ)2=i=1n(xi2xˉxi)
    则一元线性回归方程的参数解为
    b = ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 (8) b=\frac{\sum_{i=1}^n \left( x_i-\bar{x} \right) \left( y_i-\bar{y} \right)}{\sum_{i=1}^n \left( x_i-\bar{x} \right)^2} \tag{8} b=i=1n(xixˉ)2i=1n(xixˉ)(yiyˉ)(8)
    a = y ˉ − b x ˉ (9) a=\bar{y}-b\bar{x} \tag{9} a=yˉbxˉ(9)
      以上。

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  • 一元线性回归模型及参数估计.ppt
  • 普通最小二乘估计对数据进行一元线性回归分析原理,附详细推导
  • 一元线性回归,初次看的这个名词的人,可能会联想到一元一次方程,没错一元线性回归就是一元一次方程,一元一次方程在我们学习的方程组里估计是最简单的一种了,然而就是这最简单的一元线性回归确构成了复杂统计分析...

    目录

    一元线性回归流程描述

    一元线性回归总结


    一元线性回归流程描述

    一元线性回归,说简单也挺简单的,说复杂也挺复杂的,整体如下这么个过程

    一元线性回归总结

    相关系数总结:

    • 一元线性回归分析中用的相关系数是线性相关系数
    • 相关系数大,只代表线性相关性较强,不代表因果关系
    • 相关系数小,只代表线性相关性较弱,不代表非线性相关性弱

    一元线性回归分析预测总结:

    • 预测时的x变量,应当在训练模型x样本中的min和max之间,超出这个范围的预测将会不准确。
    • 预测完毕后,有必要进行残差分析,以验证是否符合正太分布,预测的前提就是残差符合正太分布
    • 预测的区间范围,在x均值附近最小,也最精确,里x均值越远预测区间越大,越不精确
    • 预测区间永远要比置信区间要宽
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  • matlab实现一元线性回归和多元线性回归

    万次阅读 多人点赞 2018-01-30 10:58:46
    事实上,一种现象常常是与多个因素相联系的,由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量,比只用一个自变量进行预测或估计更有效,更符合实际。  在实际经济问题中,一个变量往往受到多个变量的影响。例如,...

    在回归分析中,如果有两个或两个以上的自变量,就称为多元回归。事实上,一种现象常常是与多个因素相联系的,由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量,比只用一个自变量进行预测或估计更有效,更符合实际。

      在实际经济问题中,一个变量往往受到多个变量的影响。例如,家庭消费支出,除了受家庭可支配收入的影响外,还受诸如家庭所有财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素的影响,表现在线性回归模型中的解释变量有多个。这样的模型被称为多元线性回归模型。

       多元线性回归模型的一般表现形式为

    Yi=β0+β1X1i+β2X2i+…+βkXki+μi i=1,2,…,n
    其中 k为解释变量的数目,βj(j=1,2,…,k)称为 回归系数(regression coefficient)。上式也被称为 总体回归函数的随机表达式。它的非随机表达式为
    E(Y∣X1i,X2i,…Xki,)=β0+β1X1i+β2X2i+…+βkXki
    βj也被称为 偏回归系数

    1.Matlab多元线性回归模型实现

    (1) b=regress( Y,    X ) 确定回归系数的点估计值
    其中, Y n*1 的矩阵; X 为( ones(n,1),x1,…,xm )的矩阵;

    (2)[b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha) 求回归系数的点估计和区间估计,并检验回归模型

    • 回归系数
    • bint 回归系数的区间估计
    • 残差
    • rint 残差置信区间
    • stats 用于检验回归模型的统计量,有四个数值:相关系数R2F值、与F对应的概率p,误差方差。相关系数R2越接近1,说明回归方程越显著;F > F1-α(kn-k-1)时拒绝H0F越大,说明回归方程越显著;与F对应的概率时拒绝H0,回归模型成立。p值在0.01-0.05之间,越小越好。
    (3) 出残差以及其置信区间 rcoplot(r,rint);

    实例1:(一元线性回归)

    测得16名女子的身高和腿长如下表所示(单位:cm)

    试研究这些数据之间的关系。

    Matlab程序为:(输入如下命令)

    结果显示:

    因此我们可得y=-16.0730+0.7194x 成立

    (残差分析)

    接着输入

    结果显示

    (预测及作图)

    接着输入

    结果显示

    实例2:(多元线性回归)

    水泥凝固时放出的热量y与水泥中的四种化学成分x1,x2,x3,x4有关,今测得一组数据如下,试确定多元线性模型。


    Matlab程序:(输入命令)


    结果显示

    因此,我们得到y=-62.4045+1.55x1+0.5102x2+0.1019x3-0.1441x4成立

    (残差分析)

    接着输入

    结果显示

    接着输入

    预测结果

    4.错误:Warning: R-square and the F statistic are not well-defined unless X has a column of ones.

    Type "help regress" for more information.

    没有常数项的意思!
    展开全文
  • 1.9一元线性回归

    2020-05-16 08:15:00
    一元线性回归一元线性回归模型一元线性回归的参数估计最小二乘估计最大似然估计最大似然估计数学推导有偏估计与无偏估计参数估计的性质一元线性回归的显著性检验一元线性回归的残差分析一元线性回归模型的应用 一元...

    一元线性回归模型

    在这里插入图片描述
    一元线性理论回归模型为: y = β 0 + β 1 x + ε y=β_0+β_1x+ε y=β0+β1x+ε

    • y y y 是因变量(被解释变量)
    • β 0 β_0 β0 是回归常数
    • β 1 β_1 β1 是回归系数
    • x x x 是自变量(解释变量)
    • ε ε ε 是随机误差
      • E ( ε ) = 0 E(ε)=0 E(ε)=0,均值是0(期望是0)
      • v a r ( ε ) = σ 2 var(ε)=σ^2 var(ε)=σ2,方差为常数(误差在0上下波动的范围)

    一元线性回归方程: E ( y ) = E ( β 0 + β 1 x + ε ) = > y = β 0 + β 1 x E(y)=E(β_0+β_1x+ε)=> y=β_0+β_1x E(y)=E(β0+β1x+ε)=>y=β0+β1x(因为随机误差不可能去度量,所以我们就认为这个理论回归方程的期望值就是我们想要的结果)
    回归方程从平均意义上表达了变量y与x的统计规律性
    回归分析的主要任务就是通过n组样本的观察值,对 β 0 、 β 1 β_0、β_1 β0β1进行估计,得到最终方程

    一元线性回归的参数估计

    根据已有的数据或信息(x和y值),去估算未知参数(回归参数 β 0 、 β 1 β_0、β_1 β0β1)的工作叫做参数估计。
    常见的参数估计的方法:

    最小二乘估计

    最小二乘估计(Least Square Estimation,OLE):观察数据,寻找参数 β 0 、 β 1 β_0、β_1 β0β1的估计值 β ^ 0 、 β ^ 1 \hatβ_0、\hatβ_1 β^0β^1,使观测值和回归预测值的离差(离开实际值的差异,差的绝对值)平方和达到最小。估计值 β ^ 0 、 β ^ 1 \hatβ_0、\hatβ_1 β^0β^1称作回归参数 β 0 、 β 1 β_0、β_1 β0β1的最小二乘估计在这里插入图片描述
    例:

    已知两组数据x、y,使用一元线性回归模型拟合两者之间的关系: y = β 0 + β 1 x y=β_0+β_1x y=β0+β1x。采用最小二乘估计回归方程中的系数 β 0 , β 1 β_0,β_1 β0β1,得到最终的回归方程
    在这里插入图片描述

    最大似然估计

    最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation,MLE):利用总体的分布密度或概率分布的表达式及其样本所提供的信息求未知参数估计量的一种方法。
    基本思路:已知样本符合某种分布,但分布的具体参数未知,通过实验,估算分布的参数。
    估算的思想为:已知某组参数能使当前样本出现的概率最大,就认为该参数为最终的估计值。

    投掷一枚已知质地并不均匀的硬币,抛出正反面的结果符合二项式分布: P ( X = k ) = ( k n ) p k ( 1 − p ) n − k P(X=k)=(^n_k)p^k(1-p)^{n-k} P(X=k)=(kn)pk(1p)nk,其中n和k为与实验相关的常数,p为出现正面的概率,也是待确定的参数。
    将该硬币投掷i次,出现正面的次数为j,在没有其他更多信息的情况下,有理由相信 p = j / i p=j/i p=j/i

    最大似然估计解决的是“模型已定,参数未知”的问题。即用已知样本的结果,去反推既定模型中的参数最可能的取值。

    在这里插入图片描述

    最大似然估计数学推导

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    有偏估计与无偏估计

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    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    参数估计的性质

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    一元线性回归的显著性检验

    回归系数是否显著:t 检验

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
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    回归方程是否显著:F 检验

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    相关系数显著性检验:t 检验

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    决定系数

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    一元线性回归的残差分析

    残差

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    残差图
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    残差的性质

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    残差改进

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    一元线性回归模型的应用

    预测

    在这里插入图片描述

    新值区间预测

    在这里插入图片描述

    新值的均值区间预测

    在这里插入图片描述

    控制

    在这里插入图片描述


    在这里插入图片描述

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  • 一元线性回归

    2020-10-20 10:47:49
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  • 006 一元线性回归

    2019-02-24 11:40:00
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  • 用python实现一元线性回归方法与区间估计

    万次阅读 多人点赞 2018-05-13 00:31:13
    一元线性回归方法 本文参考浙大《概率论与数理统计》第四版使用python进行实现一元线性回归分析方法,在文末会介绍一个应用实例,有关详细理论可参见书藉,或者参考百度文库下该章对应课件: 浙大四版概率认与数理...
  • 一元线性回归模型

    2020-03-26 17:23:29
    一元线性回归模型 参考文献 ols估计量的期望值和方差.ppt 逻辑 目的:求解一元线性回归模型的 β0\beta_0β0​, β1\beta_1β1​. 方法:(1)矩方法(2)公式方法 目的 一元线性回归模型:有 111 个解释变量 xxx ...
  • x_d)$,其中 $x_i$ 为 $\boldsymbol{x}$ 在第 $i$ 个属性上的取值,线性模型(linear model)试图学得一个通过属性的线性组合来进行预测的函数,即:$$f(\boldsymbol{x}) = w_1x_1 + w_2x_2 + ... +...
  • 一元线性回归中的参数估计.ppt )有利于他人下载,赚取更多积分
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  • 一元线性回归总结

    千次阅读 2018-10-18 14:15:05
    从简单到难逐步深入来讲,我们首先要对一元线性回归进行研究,之后再对多元、广义、一般的线性回归模型进行探究。 1、一元线性回归 1.1一元线性回归定义 一元线性回归指的是只有两个变量x与y,其中x为自变量,y为...
  • matlab一元线性回归及多元线性回归方程

    万次阅读 多人点赞 2019-08-07 16:15:15
    %%1、bint表示回归系数区间估计 %2、r表示残差 %3、rint代表置信区间 %4、stas表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值 r^2 F 与F对应的概率P 例如p<0.05 残差95% % r^2越接近于1,回归方程越显著 %alpha表示...
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空空如也

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一元线性回归估计式