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  • 1.一元线性回归模型的数学形式 2.回归参数β0, β1的估计 3.最小二乘估计的性质  线性性  无偏性  最小方差性 一、一元线性回归模型的数学形式  一元线性回归是描述两个变量之间相关关系的最简单的回归...

    目 录

    1. 一元线性回归模型的数学形式

    2. 回归参数β, β1的估计

    3. 最小二乘估计的性质

      线性性

      无偏性

      最小方差性

    一、一元线性回归模型的数学形式

      一元线性回归是描述两个变量之间相关关系的最简单的回归模型。自变量与因变量间的线性关系的数学结构通常用式(1)的形式:

                                y = β0 + β1x + ε                           (1)

    其中两个变量y与x之间的关系用两部分描述。一部分是由于x的变化引起y线性变化的部分,即β0 + β1x,另一部分是由其他一切随机因素引起的,记为ε。该式确切的表达了变量x与y之间密切关系,但密切的程度又没有到x唯一确定y的这种特殊关系。

      式(1)称为变量y对x的一元线性回归理论模型。一般称y为被解释变量(因变量),x为解释变量(自变量),β0β1是未知参数,成β0为回归常数,β1为回归系数。ε表示其他随机因素的影响。一般假定ε是不可观测的随机误差,它是一个随机变量,通常假定ε满足

                                                          2)

    对式(1)两边求期望,得

                                 E(y) = β0 + β1x,                            (3)

    称式(3)为回归方程

    E(ε) = 0  可以理解为 ε 对 y 的总体影响期望为 0,也就是说在给定 x 下,由x确定的线性部分 β0 + β1x 已经确定,现在只有 ε 对 y 产生影响,在 x = x0, ε = 0即除x以外其他一切因素对 y 的影响为0时,设 y = y0,经过多次采样,y 的值在 y上下波动(因为采样中 ε 不恒等于0),若 E(ε) = 0 则说明综合多次采样的结果, ε 对 y 的综合影响为0,则可以很好的分析 x 对 y 的影响(因为其他一切因素的综合影响为0,但要保证样本量不能太少);若 E(ε) = c ≠ 0,即 ε 对 y 的综合影响是一个不为0的常数,则E(y) = β0 + β1x + E(ε),那么 E(ε) 这个常数可以直接被 β捕获,从而变为公式(3);若 E(ε) = 变量,则说明 ε 在不同的 x 下对 y 的影响不同,那么说明存在其他变量也对 y 有显著作用。

    Var(ε) = σ2:因为所有的样本点并不是完全在回归直线上(即 x 与 y 的关系不是确定的函数关系),所以 ε 的方差一定不为0,Var(ε) = σ2的意义为在不同 x 下, ε 对 y 产生同样的波动,是为了后续计算方便,若 ε 的方差对 y 产生的波动随 x 变化,那么需要分析这种变化及其产生的一系列问题。

      一般情况下,对所研究的某个实际问题,获得n组样本观测值(x1, y1),(x2, y2),...,(xn, yn),如果它们符合模型(1),则

                       yi = β0 + β1xi + εi, i = 1, 2, ..., n                (4)

    由式(2)有

                   i = 1, 2, ..., n.                  (5)

      通常还假定n组数据是独立观测的,因而y1,y2,...,ynε12,...,εn都是相互独立的随机变量,而xi(i = 1, 2, ..., n)是确定性变量,其值是可以精确测量和控制的。称式(4)为一元线性回归模型。

      对式(4)两边分别求数学期望和方差,得

    E(yi) = β0 + β1xi,      Var(yi) = σ2, i = 1, 2, ..., n              (6)

    可知

    个人理解,εi 并不是同分布,因为并不知道他们服从什么分布,从期望和方差相等推不出同分布,虽然同分布下期望和方差一定相等。

      E(yi) = β0 + β1x从平均意义上表达了变量y与x的统计规律性。在应用上,人们经常关系的正是这个平均值。

      在实际问题中,为了方便对参数β0,β1作区间估计和假设检验,还假定模型(1)中误差项ε遵从正态分布,即

                                 ε ~ N(0,σ2),                            (7)

    (才会满足 ε同分布)

      由于 ε12,...,ε是 ε 的独立同分布的样本,因而有

                         εi N(0,σ2), i = 1, 2, ..., n                     (8)

    ε遵从正态分布的假定下,进一步有随机变量y,也遵从正态分布

    yi  N(β0 + β1xi, σ2), i = 1, 2, ..., n                (9)

     

    二、回归参数β0 , β1的估计

    普通最小二乘估计(ordinary least squares estimate, OLSE)

      为了得到回归系数的理想估计值,使用OLSE(因为OLSE和方差都是差方和的形式)。对每一个样本观测值(xi, yi),最小二乘法考虑观测值yi与其回归值的离差越小越好,综合地考虑n个离差值,定义离差平方和为

                                       10)

    可以看到其回归值是期望值,这里使用到条件 E(ε) = 0.

      最小二乘法,就是寻找参数β0β1的估计值,使式(10)定义的离差平方和达极小,即寻找满足

                                        11)

    依照式(11)求出的就称为回归参数β0β1的最小二乘估计。称

                                                                          12)

    yi(i = 1, 2,...,n)的回归拟合值,简称回归值或拟合值。称

                                                                                13)

    yi(i = 1, 2, ..., n)的残差

    离差和残差:

    在本文中离差和残差的公式都是真实值与估计值之间的差,但是,离差是在回归方程得到之前定义的,不能直接得到,通过离差平方和最小来求得回归系数从而得到回归方程,可以将离差看作是风险程度,使离差平方和最小即为使总风险最小。残差是在回归方程得到后定义的,可以直接得到具体数值,若没有回归方程就不存在残差的概念,残差平方和度量了n个样本点观测值到回归直线的距离大小,可以视为随机误差的效应。残差用于研究模型的适用性,也是探测是否违背基本假设的评测量之一。

      从式(11)中求出是一个求极值问题。由于Q是关于的非负二次函数,因而它的最小值总是存在的,利用微积分求极值原理,应满足下列方程组

                                       14)

    求解正规方程组(14)得β0β1的最小二乘估计(OLSE)为

                                                                 15)

     

    其中

      记

                                              16)

                                  17)

    则式(15)可简写为

                              18)

    可知

                                 19)

    可见回归直线是通过点的,从物理学角度来看,n个样本观测值(xi, yi)的中心,也就是说回归直线通过样本的中心。

      回归直线过点,说明在 x 取均值时,y 的期望也是 y 的均值。由最小二乘估计的性质可知,回归系数是无偏估计,所以可以推导出

      由式(14)可以推出

                                     20)

    说明残差的均值为0,并且残差以自变量x的加权平均值为0.

    三、最小二乘估计的性质

    一、线性性

      估计量为随机变量yi的线性函数。由式(18)得  

                          20)

    其中y的系数,所以y的线性组合。同理

          21)

    二、无偏性

      均为β0β1的无偏估计。由于xi是非随机变量,yi = β0 + β1xi + εi, E(εi) = 0,因而有

    E(yi) = β0 + β1xi                                   (22)

    再由式(18)可得

                      23)

                    24)

      无偏估计的意义是:如果屡次变更数据,反复求β0β1的估计值,这两个估计量没有高估或低估的系统趋向,它们的平均值将趋向于β0β1,进一步有

                                25)

    这表明回归值E(y)的无偏估计,也说明与真实值y的平均值是相同的。

    三、最小方差性(最优性、有效性)

      方差用来评估变量的波动状况。由y1,y2,..,yn相互独立Var(yi) = σ2及式(25)得

                     26)

      方差的大小表示随机变量取值波动的大小。假设反复抽取容量为n的样本建立回归方程,每次计算的值是不同的,正是反映这些的差异程度。

      从式(26)可以看到,回归系数不仅与随机误差的方差σ2有关,还与自变量x的取值波动程度有关。如果x取值比较分散,即x的波动较大,则的波动就小,β1的估计量就比较稳定;反之,如果原始数据x是在一个较小的范围内波动,那么β1的估计值稳定性就差。

    类似地,有

                27)

    由式(27)可知,回归常数的方差不仅与随机误差的方差σ2和自变量x的取值波动程度有关,还与样本数量n有关n越大,越小。

      所以从式(26)和(27)可以看出,方差的意义可以用来指导抽样。想要是β0β1的估计量更稳定,在收集数据时,就要考虑将x取的分散些,样本量尽量大一些。

      因为都是n个独立正态随机变量y1,y2,...,yn的线性组合,因而也遵从正态分布。有

                                28)

                                               29)

    的协方差

                                 30)

    式(30)说明,在=0时,不相关,在正态假定下独立;在≠0时不独立。它揭示了回归系数之间的关系状况。

      之前给出的回归模型随机误差项ε等方差及不相关的假定条件,这个条件称为Gauss-Markov条件,即

                31)

    在此条件下可以证明,分别是β0β1的最佳线性无偏估计(best linear unbiased estimate, BLUE),也称为最小方差线性无偏估计。BLUE即指在β0β1的一切线性无偏估计中,它们的方差最小。

    进一步,对于固定的x0,有也是y1,y2,...,yn的线性组合,且

                  32)

    E(y0)的无偏估计,且的方差随给定的x0值与的距离|x0-|的增大而增大。即当给定的x0x的样本平均值相差较大时,的估计值波动就增大。指导意义:应用回归方程进行控制和预测时,给定的x0值不能偏离样本均值太大。

    转载于:https://www.cnblogs.com/datamining-bio/p/9375212.html

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  • 一元线性回归 回归分析只涉及到两个变量的,称一元回归分析。一元回归的主要任务是从两个相关变量中的一个变量去估计另一个变量,被估计的变量,称因变量,可设为Y;估计出的变量,称自变量,设为X。回归分析就是要...

    一元线性回归

    回归分析只涉及到两个变量的,称一元回归分析。一元回归的主要任务是从两个相关变量中的一个变量去估计另一个变量,被估计的变量,称因变量,可设为Y;估计出的变量,称自变量,设为X。回归分析就是要找出一个数学模型Y=f(X),使得从X估计Y可以用一个函数式去计算。当Y=f(X)的形式是一个直线方程时,称为一元线性回归。这个方程一般可表示为Y=A+BX .(参考百度)

     这里我们 假设 model 是 :   h_{\theta}(x)=\theta_{0}+\theta_{1} x   这就是我们的假设函数或者说预测函数 ,目标函数.  

     其中 theta0 和 theta1 是参数 . 

    J\left(\theta_{0}, \theta_{1}\right)=\frac{1}{2 m} \sum_{i=1}^{m}\left(y^{i}-h_{\theta}\left(x^{i}\right)\right)^{2}    这是我们的代价函数 , cost function . 

    真实值y,预测值 h_{\theta}(x),则误差平方为  \left(y-h_{\theta}(x)\right)^{2}    , 我们所要做的就是要找到合适的参数 ,使得均方误差最小 ,也就是 上面的代价函数最小 . 

     


     

    图中标注的是某一个点的误差 , 我们所要做的就是找到这样一条直线(预测),使得所有点的(真实值-预测值 )误差最小 . 

     

    我们在取不同参数的时候 , 代价函数也会不同 , 那么代价函数的图像其实是这样的 , 

    可以看出 theta1 和 J(*) 的关系不是线性的, 而是一个类似 y = x^2 的关系 , 这是代价函数在可行域上是可以求得最小值的,那么它所对应的 x 值我们也是能求出来的 . 这里我们将采用 梯度下降的算法 . 

    梯度下降法 . 

     

    在吴恩达的视频中说的很通俗 , 一开始我们随便站在山顶上 , 环绕一下 四周 并沿着坡度最陡的,也就是下降最快的方向走,最能到达山底 , 这样就可以找到局部最优 ,

    通过不断的迭代最终就可以得到 更新之后的 theta0 和theta1  .  当然 如果把函数表示成 y = kx  + b  ,theta0 对应这就是 b , theta1对应的是k  . 

    然后就是学习率 lamda ,既不能太大也不能太小 , 太大会造成找不到最优 , 太小会造成迭代次数太大 . 

     这里我直接贴代码了 .  

    链接:https://pan.baidu.com/s/1xHELsIy6Fn-Ilip-RUurmg 
    提取码:n301 
     

    # -*- coding: utf-8 -*-
    """
    Created on Sun Apr  7 17:37:19 2019
    
    @author: 汉森
    """
    import numpy as np  
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    data = np.genfromtxt('data.csv',delimiter=",") 
    # 数据是以逗号分隔开的
    x_data = data[:,0]  # 获取到数据的第一列
    y_data = data[:,1]  # 获取到数据的第二列
    plt.scatter(x_data,y_data)
    plt.show() 
    
    lr = 0.0001  #学习率
    b = 0 #截距 
    k = 0 #斜率 
    epochs = 50 
    #最大迭代次数
    
    def compute_error(b,k,x_data,y_data):
        # 计算代价函数 
        totalError = 0  # 均方误差
        for i in range(len(x_data)):
            totalError +=(y_data[i]-(k*x_data[i]+b))**2 
        return totalError/float(len(x_data))
    
    def gradient_descent_runner(x_data,y_data,b,k,lr,epochs):
        m = float(len(x_data))
        for i in range(epochs):
            b_grad = 0 
            k_grad = 0
            
            for j in range(0,len(x_data)): 
                b_grad += (1/m) *((k*x_data[j] +b)-y_data[j] )
                k_grad += (1/m) *((k*x_data[j] +b)-y_data[j])*x_data[j]
            
            b = b-(lr*b_grad) 
            k = k-(lr*k_grad)
        return b,k 
    
    
    print("Start b = {0} ,k ={1} ,error= {2} ".format(b,k,compute_error(b,k,x_data,y_data)) )
    print("Running... ")
    b,k = gradient_descent_runner(x_data,y_data,b,k,lr,epochs)
    print("After {0}epochs b={1} ,k={2} ,error ={3}".format(epochs,b,k,compute_error(b,k,x_data,y_data)))
    
    plt.plot(x_data,y_data,'b.')
    plt.plot(x_data,k*x_data+b,'r')
    plt.show()
    
    

    用 python 中已经的sklearn 类 : 

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    from sklearn.linear_model import LinearRegression
    
    
    data = np.genfromtxt('data.csv',delimiter=",")
    # 数据是以逗号分隔开的
    # x_data = data[:,0]  # 获取到数据的第一列
    # y_data = data[:,1]  # 获取到数据的第二列
    # plt.scatter(x_data,y_data)
    # plt.show()
    
    x_data = data[:,0,np.newaxis]
    y_data = data[:,1,np.newaxis]
    model = LinearRegression()
    model.fit(x_data,y_data) # 建模
    # print(x_data.shape)
    # x_data 数据格式是2维的 , (100,1)  
    
    
    plt.plot(x_data,y_data,'b.')
    plt.plot(x_data,model.predict(x_data),'r')
    plt.show()
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    

     

     

     

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  • 一元线性回归预测.ppt

    2019-09-07 12:20:05
    回归分析:关于研究一个变量(应变量或被解释变量)对另一个或多个变量(自变量或解释变量)的依赖关系,其用意在于通过后者(在重复抽样中)的已知或设定值,去估计和(或)预测前者的(总体)均值 2、回归分析的...
  • 一元线性回归原理及算法代码实现 一. 首先线性回归的目的是用来对新数据预测,或者是由样本数据来估计总体数据 1.总体回归函数为: E(Y∣X)=β0+β1X E\text{(}Y|X\text{)}=\beta _0+\beta _1X E(Y∣X)=β0​+β1​X ...

    一元线性回归原理及算法代码实现

    一. 首先线性回归的目的是用来对新数据预测,或者是由样本数据来估计总体数据

    1.总体回归函数为:
    E(YX)=β0+β1X E\text{(}Y|X\text{)}=\beta _0+\beta _1X
    总体回归函数的随机设定式为:
    y=E(YX)+u=β0+β1X+u y=E\left( Y|X \right) +u=\beta _0+\beta _1X+u
    其中X,Y为真实数据,y为总体的预测值,u为总体误差,属于采样时不可避免的误差.
    2.样本回归函数为:
    y^i=β^0+β^1xi \hat{y}_i=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1x_i
    样本回归函数随机设定式:
    yi=β^0+β^1xi+εi y_i=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1x_i+\varepsilon _i
    其中yi为样本的实际实现值,yi帽子为样本数据的预测值,B0帽子,B1帽子是总体回归系数的估计.
    总的来说就是依据样本回归函数的回归系数,去估计总体回归函数.

    二.依据最小二乘法的思想去确定样本回归函数的回归系数:

    εi=yiy^i=yiβ^ixiβ^0 \varepsilon _i=y_i-\hat{y}_i=y_i-\hat{\beta}_ix_i-\hat{\beta}_0
    利用残差最小思想来最终确定样本回归系数,这就是最小二估计法
    假设在总体中取m 个样本则残差平方和,或者损失函数为:
    imεi2=F(β^0,β^1)=im(yiβ^1xiβ^0) \sum_i^m{\varepsilon ^2_i}=F\left( \hat{\beta}_0,\hat{\beta}_1 \right) =\sum_i^m{\left( y_i-\hat{\beta}_1x_i-\hat{\beta}_0 \right)}
    求损失函数的最小值,需要对损失函数求偏导
    Fβ^0=2(β^0+β^1xiyi) \dfrac{\partial F}{\partial \hat{\beta}_0}=2\sum{\left( \hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1x_i-y_i \right)}①
    Fβ^1=2(β^0+β^1xiyi)xi \dfrac{\partial F}{\partial \hat{\beta}_1}=2\sum{\left( \hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1x_i-y_i \right)}x_i②
    损失函数有极值,则偏导数等于0,即①,②式等于0
    ①式可以写成:
    mβ^0+β^1Σxi=Σyi m\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1\varSigma x_i=\varSigma y_i③
    ②式可以写成:
    β^0Σxi+β^1Σxi2=Σxiyi \hat{\beta}_0\varSigma x_i+\hat{\beta}_1\varSigma x_i^2=\varSigma x_iy_i ④
    结合③式,④式可以解得
    β^1=Σ(xixˉ)(yiyˉ)Σ(xixˉ)2 \hat{\beta}_1=\frac{\varSigma \left( x_i-\bar{x} \right) \left( y_i-\bar{y} \right)}{\varSigma \left( x_i-\bar{x} \right) ^2}
    β^0=yˉβ^1xˉ \hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}

    #1.导包
    import numpy as np
    import pandas as pd
    import matplotlib.pyplot as plt
    from sklearn import linear_model
    from scipy import linalg
    from sklearn.datasets import make_regression
    
    2.#自定义函数实现一元线性回归函数
    def simple_regression(X,Y):
        k=(((X-X.mean())*(Y-Y.mean())).sum())/np.dot(X-X.mean(),X-X.mean())#实现B1帽子
        b=Y.mean()-k*X.mean()#实现B0
        Y_theory=k*X+b
        return k,b,Y_theory#返回预测值及回归系数
    
    #3.产生回归数据集,5000个样本,1个特征,1个目标集,随机种子固定,产生数据集不变化
    data_1=make_regression(5000,1,1,1,0.1,1,noise=0.2,random_state=145)
    X_own=data_1[0].reshape(1,5000)[0]#取出样本特征,将其转换为一维数组
    Y_own=data_1[1]#取出目标集
    coef=simple_regression(X_own,Y_own)[0:2]#调用自定函数,返回回归系数
    Ytheroy=simple_regression(X_own,Y_own)[2]#调用自定函数,返回预测值
    coef
    

    (70.99511136580634, 0.09312454133275666)

    #4.使用sklearn中的线性模型,建模,做对比用
    lin=linear_model.LinearRegression()
    lin.fit(data_1[0],data_1[1])
    lin.coef_,lin.intercept_ #回归系数
    

    (array([70.99511137]), 0.09312454133275669)
    对比自定义算法实现的回归系数与sklearn中模型返回的回归系数,发现相差不多

    #5.绘图
    dgs,axes1=plt.subplots(1,2,dpi=140,figsize=(14,6))
    axes1[0].scatter(X_own,Y_own,c='m',marker='*')#原数据点分布
    axes1[0].plot(X_own,Ytheroy,'-c')#模型拟合线
    axes1[1].plot(X_own,(Y_own-Ytheroy),'Dk')#观察残差图
    

    由残差图可以看出,残差服从标准正态分布(即数据中心在(0,0)处,表明均值为0,数据程圆形分布说明,数据符合正态分布)

    展开全文
  • 线性回归一元

    2020-07-11 19:36:01
    (1)得出θ0和θ1,就可以求出这个线性回归式 θ0和θ1如何求? loss对θ0偏导=0以及loss对θ1偏导=0 若是曲线模型,同上 (2)运用梯度下降,构建一个立体图形 θ0,θ1为x,y轴,loss为z轴 若想简单计算则设为 ...

    线性回归其实就是从一堆训练集中去算出一条线,使数据集到线之间的距离差最小。
    操作,若是一元直线则设在这里插入图片描述然后求出每组的h(x),然后求每组估计值和真实值差的和得在这里插入图片描述然后求它的最小值
    (1)得出θ0和θ1,就可以求出这个线性回归式
    θ0和θ1如何求?
    loss对θ0偏导=0以及loss对θ1偏导=0
    若是曲线模型,同上
    (2)运用梯度下降,构建一个立体图形
    θ0,θ1为x,y轴,loss为z轴
    若想简单计算则设为在这里插入图片描述
    然后求J(θ)对θ0和θ1分别偏导,在这里插入图片描述求出新的θ0和θ1
    `# -- coding: utf-8 --
    “”"
    Created on Wed Jun 20 17:09:13 2018
    @author: 96jie
    “”"

    #导入cv模块
    import numpy as np
    import matplotlib as mpl
    import matplotlib.pyplot as plt

    #数据
    a = np.random.standard_normal((1, 500))
    x = np.arange(0,50,0.1)
    y = np.arange(20,120,0.2)
    y = y - a*10
    y = y[0]

    #梯度下降
    def Optimization(x,y,theta,learning_rate):
    for i in range(iter):
    theta = Updata(x,y,theta,learning_rate)
    return theta

    def Updata(x,y,theta,learning_rate):
    m = len(x)
    sum = 0.0
    sum1 = 0.0
    alpha = learning_rate
    h = 0
    for i in range(m):
    h = theta[0] + theta[1] * x[i]
    sum += (h - y[i])
    sum1 += (h - y[i]) * x[i]
    theta[0] -= alpha * sum / m
    theta[1] -= alpha * sum1 / m
    return theta

    #数据初始化
    learning_rate = 0.001
    theta = [0,0]
    iter = 1000
    theta = Optimization(x,y,theta,learning_rate)

    plt.rcParams[‘font.sans-serif’]=[‘SimHei’]
    plt.rcParams[‘axes.unicode_minus’] = False
    ‘’’
    plt.figure(figsize=(35,35))
    plt.scatter(x,y,marker=‘o’)
    plt.xticks(fontsize=40)
    plt.yticks(fontsize=40)
    plt.xlabel(‘特征X’,fontsize=40)
    plt.ylabel(‘Y’,fontsize=40)
    plt.title(‘样本’,fontsize=40)
    plt.savefig(“样本.jpg”)
    ‘’’
    #可视化
    b = np.arange(0,50)
    c = theta[0] + b * theta[1]

    plt.figure(figsize=(35,35))
    plt.scatter(x,y,marker=‘o’)
    plt.plot(b,c)
    plt.xticks(fontsize=40)
    plt.yticks(fontsize=40)
    plt.xlabel(‘特征X’,fontsize=40)
    plt.ylabel(‘Y’,fontsize=40)
    plt.title(‘结果’,fontsize=40)
    plt.savefig(“结果.jpg”)`

    展开全文
  • 线性回归

    2019-11-19 09:23:37
    线性回归 线性回归, 是回归分析中的一种, 其表示自变量 x 与...一元线性回归 在回归分析中只涉及一个自变量和一个因变量 称为一元线性回归 代价函数 由于我们构建模型的最终目的是用来预测, 因此好参数构建的模型应...
  • 线性回归, 是回归分析中的一种, 其表示自变量与因变量... 下面我们从一元线性回归开始说起. 1.一元线性回归 在回归分析中如果只涉及一个自变量(用来预测的变量)和一个因变量(要预测的变量), 这时就称为一元回归...
  • 线性回归(regression)

    2019-09-30 20:04:26
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  • 多元线性回归模型的几何意义

    千次阅读 2017-06-19 09:01:45
    多元线性回归与一元线性回归在思想上并没有太大的不同 ,不过是多了一些变量罢了。考虑问题的角度要从之前的二维空间进阶到高维空间。传统的多元线性回归模型可以用矩阵来描述。 按照OLS估计方法得出的多元线性...
  • 多元线性回归方程的建立

    万次阅读 2009-07-04 14:40:00
    一元线性回归分析相同,其基本思想是根据最小二乘原理,求解 使全部观测值 与回归值 的残差平方和达到最小值。由于残差平方和 (2-2-5) 是 的非负二次,所以它的最小值一定存在。 根据极值原理,当Q取得...
  • 多元线性回归 regress +一元多项式:polyfit或者polytool+多元二项:rstool或者rsmdemo ——本帖收录于〖素质文库〗(四大专题:〖前人指路〗、〖Only one〗、〖On Spss〗、〖On Matlab〗)一、多元线性回归 ...
  • 【机器学习算法笔记】1. 回归器模型回归算法是试图采用对误差的衡量来探索变量之间的关系的一类算法。回归算法是统计机器学习的利器。常见的回归算法包括:最小二乘法(线性回归),逻辑回归,逐步...一元线性回归
  • 一、多元线性回归 多元线性回归:regress 二、多项式回归 一元多项式:polyfit或者polytoo l 多元二项:rstool或者rsmdemo 三、非线性回归线性回归:nlinfit 四、逐步回归 逐步回归:stepwise 一、多元线性...
  • 统计学第十二周:回归分析 一、 概念 回归分析主要解决的问题有: (1)从一组样本数据出发,确定变量之间的数学关系 (2)对这些关系的可信程度进行各种统计检验,并从影响某...一元线性回归 1.1 相关关系 ⚛️...
  • 一元线性回归和多元线性回归的区别在于, 多元线性回归有(>1)个自变量, 而一元线性回归通常只有1个自变量。 最小二乘法也是用于拟合回归线最常用的方法。 对于观测数据,它通过最小化每个数据点到线...
  • 对于一元线性回归模型 普通最小二乘法(OLS, ordinary least squares)给出其拟合标准,即应使被解释变量的估计值与实际观测值之差的平方和 最小。此时得到的 被称为普通最小二乘估计量(OLS estimators)。为求两...
  • 最小二乘法曲线拟合参数估计:简单起见,这里以一元线性回归为例进行介绍:假设我们获取了一组样本点数据:利用最小二乘法用多项式曲线拟合这组样本点:1、设拟合多项式为:2、样本点到该曲线的距离平方和为:目标...
  • 采用一元线性回归模型,分析了鱼的重量和扁平面面积的关系,实验结果表明,二者存在着一定的线性关系,相关系数为0.380 7。下一步的研究需要考虑到不同生长阶段的舌鳎鱼体厚度等因素影响,找出二者之间更准确的模型...
  • 深度学习二

    2019-03-16 09:33:54
    因为我们都学过回归,最基本的一元线性回归,如下所示: y=ax+b 这里就要用统计的知识去估计参数a和b,从而找到变量之间的相关关系。那现在想想我们这里说的梯度下降也一样,就是去找到一个在误差许可范围内的...
  • 地理信息系统算法基础

    千次下载 热门讨论 2009-06-20 10:57:53
    13.5.1一元线性回归模型 13.5.2多元线性回归模型 13.5.3非线性回归模型 13.5.4回归分析与相关分析 13.6系统聚类分析 13.6.1概述 13.6.2聚类要素预处理 13.6.3分类统计量 13.6.4系统聚类法 13.6.5...

空空如也

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一元线性回归估计式