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  • 线性回归(一)---一元线性回归
    2020-05-20 17:32:48

    线性回归(一)

    线性回归是分析因变量与自变量呈现线性关系的一种方法,来确定一个因变量如何依赖一个或多个自变量的变化而变化,运用十分广泛。
    在回归分析中,只包括一个自变量和一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变量和自变量之间是线性关系,则称为多元线性回归分析。
    线性回归常用参数:
    regression.intercept_ : 截距, 默认为True,可选False
    regression.coef_ : 斜率,回归系数,x对y的具体影响
    regression.predict: 预测
    normalize: (标准化) 默认为True,可选False
    copy_X: (复制X数据)默认为True,可选False。如果选False会覆盖原数
    n_jobs: (计算性能)默认为1,可选int,工作使用的数量计算。

    一元线性回归

    from sklearn import linear_model #导入线性模型模块
    regression = linear_model.LinearRegression()  #创建线性回归模型
    x = [[3],[10]]    #创建x坐标
    y = [6,22]        #创建y坐标
    regression.fit(x,y)  #拟合
    
    
    LinearRegression(copy_X=True, fit_intercept=True, n_jobs=1, normalize=False)
    
    regression.intercept_   #截距,以下划线结束
    
    -0.8571428571428559
    
    regression.coef_    #斜率,回归系数,x对y的具体影响
    
    array([2.28571429])
    
    regression.predict([[6]])  #对未知点进行预测
    
    array([12.85714286])
    
    regression.score([[6],[7],[8],[9]],[12.8,14.6,17.8,19.5])   #返回可决系数R2
    
    0.9825215658041578
    
    #练习
    regression1 = linear_model.LinearRegression()  #创建线性回归模型
    x1 = [[3],[10],[12],[15]]    #创建x坐标
    y1 = [6,22,24,29]        #创建y坐标
    regression1.fit(x1,y1)  #拟合
    regression1.intercept_
    
    
    0.8910256410256423
    
    regression1.coef_ 
    
    array([1.93589744])
    
    regression1.predict([[6],[7],[8]])
    
    array([12.50641026, 14.44230769, 16.37820513])
    
    regression1.score([[6],[7],[8],[9]],[12.8,14.6,17.8,19.5]) 
    
    0.8716272717012157
    
    # 案例:假如研究学生学习时长(分钟)与考试成绩(分)的关系,考试成绩为因变量,学习时长为自变量,首先导入回归模块
    import pandas as pd #导入pandas库
    import numpy as np #导入numpy库
    #from sklearn import linear_model #导入线性模型模块
    #regression = linear_model.LinearRegression()  #创建线性回归模型,导入线性模块也可采用下列方式一次性导入
    from sklearn.linear_model import LinearRegression #导入机器学习库中的线性回归模块
    data=pd.DataFrame({'times':[150,200,250,300,350,400,600],
                       'scores':[64,68,75,79,85,89,93]})
    #创建一组7行2列的数据,times为学习时长,scores为对应成绩
    
    
    data_train=np.array(data['times']).reshape(data['times'].shape[0],1)#这里是将数据转化为一个1维矩阵
    data_test=data['scores']
    #创建线性回归模型,拟合学习时长与学习成绩的关系,并预测成绩
    reg1=LinearRegression() #创建线性回归模型,参数默认
    reg1.fit(data_train,data_test)#拟合数据
    a=reg1.predict(268.5)  #预测学习时长为268.5分钟的学习成绩
    print(a)#查看预测结果
    print(reg1.score(data_train,data_test))#查看拟合准确率情况,这里的检验是 R^2 ,趋近于1模型拟合越好
    
    
    [75.43295213]
    0.8788360721074254
    
    #预测的结果:学习时长为268.5分钟,则对应的学习成绩为75.43分, R^2 =0.8788
    #我们来画个图看一下数据最后是什么样的
    import matplotlib.pyplot as plt
    plt.scatter(data['times'],data['scores']) #画散点图
    plt.plot(data['times'],reg1.predict(np.array(data['times']).reshape(data['times'].shape[0],1)),color='red') #画拟合线型图
    
    
    [<matplotlib.lines.Line2D at 0x21c131f8128>]
    

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    更多相关内容
  • 一元线性回归分析 一元回归分析的基本概念 回归模型的建立一般包括: (1)通过某事物现,转化为具体问题; (2)确定指标变量,收集整理数据,并构建模型进行参数估计; (3)模型的检验,当模型检验不通过时,需要...

    一元线性回归分析

    一元回归分析的基本概念
    回归模型的建立一般包括:
    (1)通过某事物现,转化为具体问题;
    (2)确定指标变量,收集整理数据,并构建模型进行参数估计;
    (3)模型的检验,当模型检验不通过时,需要重新修改模型;
    (4)模型的应用,得出结论,运行给出决策等。

    基本概念
    通常我们要先收集与研究相关的数据的一组或者多组样本,为直观观察数据的分布规律,我们可以将收集到每组数据绘制二维数据散点图。

    一元回归分析的参数估计
    一元回归模型的参数估计一般采用极大似然法与最小二乘法,其中最常用的是最小二乘法估计。

    相关系数的检验

    实际例子:

    #给出因变量自变量的值
    x <- c(3.4,1.8,4.6,2.3,3.1,5.5,0.7,
           3.0,2.6,4.3,2.1,1.1,6.1,4.8,3.8)
    y <- c(26.2,17.8,31.3,23.1,27.5,36.0,14.1,
           22.3,19.6,31.3,24.0,17.3,43.2,36.4,26.1)
    plot(x,y)
    abline(lm)
    #建立回归方程
    lm <-lm(y~x)
    #输出回归分析的结果
    summary(lm)
    

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    summary()函数用于结果的展示,其中包括残差的最大值最小值、中位数、回归系数、以及回归系数估计值、显著性检验的值,它包含的结果非常多。其中intercept为截距,也就是回归常数项的估计值,Estimate是回归系数的估计值,std是标准差,后面的为T检验的值与检验P值与显著性结果。判断显著性的方法除了P值外,还可以使用方差分析来判断。
    拟合模型
    在这里插入图片描述

    方差分析

    #方差分析
    anova(lm)
    

    在这里插入图片描述
    从方差分析的结果来看,自由度为13,sum-sq为回归平方和为SSR=841.77,与残差平方和SSE=69.75,从P值得结果可知,回归方程是显著的。

    计算相关系数与显著性检验
    回归系数的检验方式有很多,比如kendall检验,spearman检验等,在这里采用常用的pearson相关系数检验。

    #计算相关系数并进行显著性检验、皮尔选相关系数检验
    cor(x,y,method = "pearson")
    
    #相关系数显著性检验
    cor.test(x,y,alternative = "two.sided",
             method = "pearson",conf.level = 0.95)
    

    在这里插入图片描述
    最后得到相关系数为:0.9609777,95%置信区间为[0.8837722,0.9872459],其中P值小于0.05,则可以说明两者具有高度显著的线性相关。

    残差分析

    #残差分析、保留3位小数
    e <- resid(lm)
    round(e,3)
    #残差图的绘制
    plot(x,e)
    

    在这里插入图片描述

    回归系数的置信区间

    #计算回归系数的置信区间
    confint(lm)
    

    在这里插入图片描述
    可见常数项的置信区间为[7.209605,13.346252],回归系数的置信区间为[4.070851 5.767811]。

    预测值

    #模型预测
    new_data <- data.frame(x = 3.3)
    #计算预测值,给定置信区间0.95
    y.pred <- predict(lm,new_data,interval = "prediction",level = 0.95)
    #计算因变量平均值的预测区间的置信区间
    y.conf <- predict(lm,new_data,interval = "confidence",level = 0.95)
    

    在这里插入图片描述

    模型诊断

    #回归诊断
    library("lindia")
    gg_diagnose(lm)
    

    在这里插入图片描述
    其中第一为残差直方图,可以用来判断残差的正态性是否存在极端值;第二张自变量与残差的关系图;第三张为预测值与残差的关系图,可以用来判断方差齐性的评估,每个点随机的分布在参考线的两侧,没有规律;第四张为残差的Q-Q图,用于残差的正态性判断;第五张当参考线水平时证明方差齐性,第六张为杠杆和残差的关系图,第七张为Cook’s Distance图,用于识别是否存在强影响点。

    完整代码

    #给出因变量自变量的值
    x <- c(3.4,1.8,4.6,2.3,3.1,5.5,0.7,
           3.0,2.6,4.3,2.1,1.1,6.1,4.8,3.8)
    y <- c(26.2,17.8,31.3,23.1,27.5,36.0,14.1,
           22.3,19.6,31.3,24.0,17.3,43.2,36.4,26.1)
    #绘制散点图
    plot(x,y)
    #添加趋势线
    abline(lm)
    #建立回归方程
    lm <-lm(y~x)
    #输出回归分析的结果 
    summary(lm)
    
    #方差分析
    anova(lm)
    
    #计算相关系数并进行显著性检验、皮尔选相关系数检验
    cor(x,y,method = "pearson")
    
    #相关系数显著性检验
    cor.test(x,y,alternative = "two.sided",
             method = "pearson",conf.level = 0.95)
    #残差分析、保留3位小数
    e <- resid(lm)
    round(e,3)
    
    #绘制残差图
    plot(x,e)
    
    #标准化残差
    zre <- e/2.316
    #计算学生化残差
    sre <- rstandard(lm)
    
    #计算回归系数的置信区间
    confint(lm)
    
    #模型预测
    new_data <- data.frame(x = 3.3)
    #计算预测值,给定置信区间0.95
    y.pred <- predict(lm,new_data,interval = "prediction",level = 0.95)
    #计算因变量平均值的预测区间的置信区间
    y.conf <- predict(lm,new_data,interval = "confidence",level = 0.95)
    
    #回归诊断
    library("lindia")
    gg_diagnose(lm)
    
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  • 一元线性回归

    千次阅读 2021-12-09 19:08:59
    一元线性回归确定变量间的关系模型估计和检验利用回归方程进行预测回归模型的诊断 确定变量间的关系 确定变量间的关系 变量间的关系大体上分为函数关系和相关关系(大致理解:前者是一个变量值的变化完全依赖于另一...

    确定变量间的关系

    确定变量间的关系

    变量间的关系大体上分为函数关系和相关关系(大致理解:前者是一个变量值的变化完全依赖于另一个变量的变化,后者是一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定)

    相关关系的描述

    描述相关关系的一种常用工具就是散点图
    对于两个变量x和y,可以根据散点图的分布形状等判断它们之间有没有什么关系
    数据:20家医药生产企业的销售收入和广告支出
    在这里插入图片描述导入数据:example9_1<-read.csv("D:/R/example9_1.csv")
    绘制散点图:

    library(car)
    scatterplot(销售收入~广告支出,data=example9_1,pch=19,xlab="广告支出",ylab="销售收入",cex.lab=0.8)
    

    带有箱线图、拟合直线、拟合曲线的销售收入与广告收入的散点图
    在这里插入图片描述
    广告支出与销售收入的观测点分布在一条直线周围,因而具有正的线性相关关系,从拟合的曲线来看,非线性特征不明显,显示两个变量为线性关系

    关系强度的度量

    • 相关系数

    根据散点图可以判断两个变量之间有无相关关系,并对关系形态做出大致描述,但要准确度量变量间的关系强度,则需要计算相关系数,计为r
    在这里插入图片描述
    按上式计算的相关系数也叫Pearson相关系数
    计算相关系数时,假定两个变量之间是线性关系,而且两个变量都是随机变量,服从一个联合的双变量正态分布(并不是简单地要求两个变量各自服从正态分布),此外样本数据中不应有极端值,否则会对相关系数的值有较大影响
    r的取值范围在-1~1,r=0值表示两个变量之间不存在线性关系,并不表示没有任何关系,|r|->1表示两个变量之间的线性关系强

    • 相关系数的检验
      总体相关系数通常是未知的,需要根据样本相关系数r做近似估计,由于r是根据样本数据计算的,抽取的样本不同,r的取值也不同,因此r是一个随机变量,能否用样本相关系数表示总体的相关程度,需要进行显著性实验,通常采用t检验方法,该检验可用于小样本也可用于大样本。

    计算相关系数

    #相关系数r越大线性关系越显著
    cor(example9_1[,2],example9_1[,3])
    

    检验相关系数

    cor.test(example9_1[,2],example9_1[,3])
    

    在这里插入图片描述

    模型估计和检验

    确定变量间的关系后,就可以依据关系形态建立适当的回归模型

    回归模型与回归方程

    描述因变量y如何依赖于自变量x和误差项的方程称为回归模型
    模型参数的估计通常采用最小二乘估计,或称最小平方估计
    利用最小二乘估计法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小
    在这里插入图片描述回归模型的拟合

    model<-lm(销售收入~广告支出,data=example9_1)#模型拟合
    summary(model)#输出结果
    

    在这里插入图片描述
    根据结果可知,销售收入与广告支出的估计方程为:y^=2343.8916+5.6735*广告支出

    计算回归系数的置信区间

    confint(model,level=0.95)
    

    在这里插入图片描述
    输出方差分析表

    anova(model)
    

    在这里插入图片描述
    模型的拟合优度
    回归直线与个观测点的接近程度称为回归模型的拟合优度
    评价拟合优度的一个重要统计量就是决定系数(Multiple R-squared)
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    残差的标准误是残差平方和的均方根,用se表示(Residual standard error
    se=sqrt(SSE/(n-2))
    即残差平方和除以自由度(n-2)后开方

    模型的显著性检验

    回归分析中的显著性检验主要包括线性关系检验回归系数检验

    线性关系检验简称F检验,它是检验因变量与自变量之间的线性关系是否显著,或者说它们之间能否用一个线性模型来表示(F-statistic)
    假设H0:两个变量之间的线性关系不显著 H1:两个变量间的线性关系显著

    回归系数检验简称t检验,用于检验自变量对因变量的影响是否显著

    在一元线性回归中,由于只有一个自变量,回归系数检验与线性关系检验是等价的

    利用回归方程进行预测

    回归分析的主要目的是根据所建立的回归方程用给定的自变量来预测因变量
    如果对于x的一个给定值x0,求出y的一个预测值y0^,就是点估计
    在点估计的基础上,可以求出y的一个估计区间
    估计区间有两种:均值的置信区间个别值的预测区间
    均值的置信区间:对x的一个给定值x0,求出的y的均值的估计区间
    个别值的预测区间:对x的一个给定值x0,求出y的一个个别值的估计区间

    计算点预测值、置信区间和预测区间

    x0<-example9_1$广告支出
    pre_model<-predict(model)
    cont_int<-predict(model,data.frame(广告支出=x0),interval="confidence",level=0.95)
    pre_int<-predict(model,data.frame(广告支出=x0),interval="prediction",level=0.95)
    data.frame(销售收入=example9_1$销售收入,点预测值=pre_model,置信下限=cont_int[,2],置信上限=cont_int[,3],预测下限=pre_int[,2],预测上限=pre_int[,3])
    

    绘制置信带和预测带

    library(investr)
    plotFit(model,interval="both",level=0.95,shade=TRUE,col.conf="skyblue3",col.pred="lightskyblue2",col.fit="red2")
    legend(x="topleft",legend=c("回归线","置信区间","预测区间"),col=c("red2","skyblue3","lightskyblue2"),cex=0.8)
    

    在这里插入图片描述
    计算x0=500时销售收入的点预测值、置信区间、预测区间

    x0<-data.frame(广告支出=500)
    predict(model,newdata=x0)
    predict(model,newdata=x0,interval = "confidence",level=0.95)
    predict(model,newdata=x0,interval = "prediction",level=0.95)
    

    回归模型的诊断

    残差与残差图
    残差是因变量的观测值与根据回归方程求出的估计值之差,用e表示,它反映了用估计的回归方程预测yi而引起的误差
    残差除以它的标准误后的结果称为标准化残差

    计算回归预测值,残差,标准化残差

    pre<-fitted(model)
    res<-residuals(model)
    zre<-model$residuals/(sqrt(deviance(model)/df.residual(model)))
    data.frame(销售收入=example9_1$销售收入,点预测值=pre,残差=res,标准化残差=zre)
    

    在这里插入图片描述
    检验模型假定

    1. 检验线性关系
      检验因变量与自变量之间为线性关系的假定,除了可以通过F检验外,还可以绘制成分残差图
    library(car)
    crPlots(model)
    

    在这里插入图片描述横坐标是自变量的实际观测值,纵坐标是因变量与残差之和
    销售收入与广告支出之间没有明显的非线性模式,说明二者之间的线性关系假定成立

    1. 检验正态性
      通过绘制残差的Q-Q图完成
    par(mfrow=c(2,2),cex=0.8,cex.main=0.7)
    plot(model)
    

    在这里插入图片描述
    从该图可以看出,各个点基本上在直线周围随机分布,没有固定模式,因此,在销售收入与广告支出的线性模型中,关于正态性的假定基本成立

    1. 检验方差齐性
      通过绘制散布-水平图实现
    ncvTest(model)
    spreadLevelPlot(model)
    

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    由于p=0.2885358,不拒绝原假设,则可以认为满足方差齐性
    从该图可以看出,拟合曲线接近于水平直线,没有非线性特征,而且各个点在改线周围随机分布,显示建立的线性模型满足方差齐性的假定

    1. 检验独立性

    判断残差之间是否存在自相关的方法之一就是使用Durbin-Watson检验,简称D-W检验

    library(car)
    durbinWatsonTest(model)
    

    在这里插入图片描述
    检验的P值等于0.52,不拒绝原假设,显示残差无自相关,独立性假定成立。

    展开全文
  • 文章目录 一、数据调用与预处理 二、一元线性回归分析 三、多元线性回归分析 (一)解释变量的多重共线性检测 (二)多元回归 1. 多元最小二乘回归 2. 逐步回归 (三)回归诊断 四、模型评价-常用的准则统计量 一、...

    一、数据调用与预处理

    本文使用的数据为R语言自带数据集“iris”。iris数据集包含5个变量:
    数值变量:Sepal.Length, Sepal.Width, Petal.Length, Petal.Width,
    分类变量:Species
    以下简述掉用过程和数据处理步骤。

    data("iris"# 运行后 Environment 中的 Data 就会出现iris数据集
    
    #分类变量Species处理
    iris$isSetosa <- ifelse(iris$Species == 'setosa',1,0)
    iris$isVersicolor <- ifelse(iris$Species == 'versicolor',1,0)
    

    二、一元线性回归分析

    1. 看散点图
      看起来有正相关关系
    plot(iris$Petal.Length~iris$Petal.Width)
    

    在这里插入图片描述

    1. Petal 长与宽的一元线性回归
      根据一元线性回归拟合结果,截距项(Intercept)和petal.width均通过t检验(估计参数的检验p值小于0.05,统计显著)。模型整体拟合优度( R 2 R^2 R2)为0.93,拟合效果较好。
      拟合结果: p e t a l . l e n g t h = 2.23 × p e t a l . w i d t h + 1.08 petal.length = 2.23 \times petal.width + 1.08 petal.length=2.23×petal.width+1.08
    pw_pl = lm(Petal.Length~Petal.Width, data = iris)#fomular = y~x
    summary(pw_pl)
    

    在这里插入图片描述
    看一下pw_pl什么样子(非必要)
    在这里插入图片描述

    1. 诊断Petal.Width与Petal.Length的一元线性回归
      从残差图中看,残差形态无明显违背高斯假定的迹象。
    p.res = residuals(pw_pl)
    p.fit <- predict(pw_pl)
    plot(p.res~p.fit)
    

    在这里插入图片描述
    Shapiro的原假设是检测变量符合正态分布,对petal长宽拟合的残差项的Shapiro正态检验中,P值大于0.05,无证据拒绝原假设,残差项是正态分布,符合一元线性回归要求。

    shapiro.test(p.res)#正态检验
    

    在这里插入图片描述

    三、多元线性回归分析

    多元线性回归基本假定:

    1. 随机误差条件均值为零
    2. 随机误差同方差
    3. (时间序列)随机误差项无自相关
    4. 随机误差项与解释变量不相关
    5. 无多重共线性(解释变量之间)
    6. 随机误差条件分布为正态分布

    (一)解释变量的多重共线性检测

    1. 算相关系数矩阵
    iris_demo <- iris[,-5] #选取除了第5个变量(species)之外的其他变量
    cor(iris_demo)
    

    在这里插入图片描述
    2. 求矩阵条件数(kappa值)

    kappa(cor(iris_demo))
    

    在这里插入图片描述
    3. 求解相关系数矩阵的特征值与相应的特征根

    eigen(cor(iris_demo))
    

    在这里插入图片描述

    (二)多元回归

    1. 多元最小二乘回归

    lm_iris <- lm(iris$Petal.Length~.,data = iris_demo)
    summary(lm_iris)
    

    在这里插入图片描述

    2. 逐步回归

    st_iris <- step(m_iris,derection = "both")
    summary(st_iris)
    

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    (三)回归诊断

    lm.res = residuals(lm_iris)
    shapiro.test(lm.res)
    

    在这里插入图片描述

    st.res = residuals(st_iris)
    shapiro.test(st.res)
    

    在这里插入图片描述

    四、模型评价-常用的准则统计量

    • 计量体系中,ESS(Explained Sum Squares)表示可解释(回归)平方和,RSS(Residual Sum Squares)表示残差平方和
    • 多元统计体系中,SSR(Sum of Squares Regression)为回归平方和,SSE(Sum of Squares Error)表示误差平方和
    • 总结:SST = TSS,ESS = SSR,RSS = SSE
    • T S S = E S S + R S S ; S S T = S S R + S S E TSS = ESS +RSS; SST= SSR + SSE TSS=ESS+RSS;SST=SSR+SSE
    • E S S = S S R = Σ ( y ^ i − y ˉ i ) 2 ESS = SSR = \Sigma(\hat{y}_i - \bar{y}_i)^2 ESS=SSR=Σ(y^iyˉi)2
    • R S S = S S E = Σ ( y i − y ^ i ) 2 RSS = SSE = \Sigma(y_i - \hat{y}_i)^2 RSS=SSE=Σ(yiy^i)2
    • n 表示自由度
    1. 拟合优度,越大越好
      R 2 = E S S T S S R^2 = \frac{ESS}{TSS} R2=TSSESS
    2. 调整的样本决定系数,越大越好
      R ˉ 2 = 1 − ( 1 − R 2 ) n − 1 n − k − 1 \bar{R}^2 = 1-(1-R^2)\frac{n-1}{n-k-1} Rˉ2=1(1R2)nk1n1
    3. 均方误差RMS,越小越好
      R M S = R S S × 1 n − k − 1 RMS = RSS \times \frac{1}{n-k-1} RMS=RSS×nk11
    4. 赤池信息标准AIC,越小越好
      A I C = e x p ( 2 ( k + 1 ) n ) R S S n AIC = exp(\frac{2(k+1)}{n})\frac{RSS}{n} AIC=exp(n2(k+1))nRSS
    5. 施瓦茨信息标准SC,越小越好
      S C = n k + 1 n R S S n SC = n^{\frac{k+1}{n}}\frac{RSS}{n} SC=nnk+1nRSS
    6. C p C_p Cp标准,越小越好
      C p = R S S q σ ^ u 2 − [ n − 2 ( q + 1 ) ] C_p = \frac{RSS_q}{\hat\sigma^2_u} - [ n-2(q+1)] Cp=σ^u2RSSq[n2(q+1)]
      R S S q RSS_q RSSq:包含q个自变量的自己回归的残差平方和
      σ ^ u 2 = R S S n − k − 1 \hat\sigma^2_u = \frac{RSS}{n-k-1} σ^u2=nk1RSS:包含所有k个自变量时的均方误差
      n − 2 ( q + 1 ) n-2(q+1) n2(q+1):自由度惩罚因子
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