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    Matlab中实际上有多个函数可以实现回归分析的功能,如regress,polyfit,lsqcurvefit等。这里简单总结一下polyfit函数的用法:

    Matlab中实际上有多个函数可以实现回归分析的功能,如regress,polyfit,lsqcurvefit等。这里简单总结一下polyfit函数的用法:

    polyfit函数基于最小二乘法,使用的基本格式为:

    p = polyfit(x,y,n)

    [p,S] = polyfit(x,y,n)

    [p,S,mu] = polyfit(x,y,n)

    其中每个命令中的n为多项式拟合的次数,当n为1时,即为一次拟合(很多情况下等价于一元线性回归)。p是n+1维参数向量p(1),p(2)….那么拟合后对应的多项式即为p(1)*x^n + p(2)*x^(n-1) +…+ p(n)*x + p(n+1)。S是规模为1×1的结构数组,包括R(系数矩阵的QR分解的上三角阵),df(自由度),normr(拟合误差平方和的算术平方根)。

    求出p之后我们需要作出拟合函数,那么只需要使用命令:

    f=polyval(p,x)

    然后plot出x和f即可。另外需要强调一点的是,往往需要在回归分析的时候给出相关系数(correlation coefficient),,实际上也很简单,我们可以使用命令:

    r=corrcoef(x,y);

    这样得到的r即为相关系数矩阵,其中r(1,2)=r(2,1)为相关系数,其值在[-1,1]之间,1表示最大程度的正相关,-1表示最大程度的负相关。相关系数绝对值越靠近1,线性相关性质越好,根据数据描点画出来的函数-自变量图线越趋近于一条平直线,拟合的直线与描点所得图线也更相近。

    另外,转载两条使用polyfit的注意事项:

    1. 使用polyfit命令进行多项式拟合时要注意的是,向量x(其中元素作为自变量)中不重复的元素个数m,和拟合阶数k需要满足m>=k+1.简单分析:k阶拟合需要确定k+1个未知参数(如1阶拟合y = ax + b需要确定a和b两个参数),故而至少需要k+1个方程,故而需要至少k+1个不同的已知数对(x,y),由于函数中x只能对应一个y,故而需要至少k+1个不同的x。

    2. polyfit只适合于形如y = a[k]*x^k + a[k-1]*x^(k-1) + …. + a[1]*x + a[0]的完全的一元多项式的数据拟合。

    最后贴一张很简单的拟合结果图:

    c73258ae0c5781d25c5952ac0ebe23ba.png

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  • 主要内容 回归分析概述 一元线性回归分析 多元线性回归 逻辑回归 其他回归分析 ...(一)一元线性回归方法 随机误差反映了除x和y之间的线性关系之外的随机因素对y的影响。 分析预测房子的大小.

    主要内容
    回归分析概述
    一元线性回归分析
    多元线性回归
    逻辑回归
    其他回归分析

    二、一元线性回归分析

    (一)一元线性回归方法
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    随机误差反映了除x和y之间的线性关系之外的随机因素对y的影响。
    在这里插入图片描述
    分析预测房子的大小(平方英尺)和房价(美元)之间的对应关系。

    import pandas as pd
    import matplotlib.pyplot as plt
    %matplotlib inline
    plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']
    plt.rcParams['font.size']=13
    y=[6450,7450,8450,9450,11450,15450,18450]
    x=[150,200,250,300,350,400,600]
    plt.scatter(x,y)
    plt.xlabel('面积(平方英尺)')
    plt.ylabel('售价(美元)')
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述
    (二)一元线性回归模型的参数估计
    一元线性回归模型中参数估计方法有最小二乘法、矩方法和极大似然方法。

    最小二乘法(Least Squre Estimation, LSE)又称最小平方法,它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
    在这里插入图片描述
    根据微积分求极值原理,通过求偏导并置为0得到:
    在这里插入图片描述
    求解方程组得到:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    将求得的参数代入方程,即可得到最佳拟合曲线。

    (三)一元线性回归模型的误差方差估计
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    (四)一元回归模型的主要统计检验

    回归分析要通过样本所估计的参数来代替总体的真实参数,或者说用样本回归线代替总体回归线。尽管从统计性质上已知,如果有足够多的重复抽样,参数的估计值的期望就等于总体的参数真值,但在一次抽样中,估计值不一定就等于该真值。那么在一次抽样中,参数的估计值与真值的差异有多大,是否显著,就需要进一步进行统计检验。

    在一元回归的统计检验主要包括拟合优度检验,变量显著性检验和残差标准差检验。

    1. 拟合优度检验
      拟合优度检验是用卡方统计量进行统计显著性检验的重要内容之一。它是依据总体分布状况,计算出分类变量中各类别的期望频数,与分布的观察频数进行对比,判断期望频数与观察频数是否有显著差异,从而达到从分类变量进行分析的目的。它是对样本回归直线与样本观测值之间拟合程度的检验。
    2. 变量的显著性检验(t检验)
      显著性检验就是事先对总体(随机变量)的参数或总体分布形式做出一个假设,然后利用样本信息来判断这个假设(备择假设)是否合理,即判断总体的真实情况与原假设是否有显著性差异。显著性检验是针对我们对总体所做的假设进行检验,其原理就是“小概率事件实际不可能性原理”来接受或否定假设。

    (五)一元线性回归的Python实现

    对鸢尾花数据集中的’petal-length’和’petal-width’两列数据进行回归分析。

    (1)导入包和数据

    import pandas as pd
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    from sklearn.datasets import load_iris
    from sklearn.linear_model import LinearRegression
    %matplotlib inline
    iris = load_iris()  # 导入数据集iris
    data = pd.DataFrame(iris.data)
    data.columns = ['sepal-length','sepal-width','petal-length','petal-width']
    data.head()  # 显示前5行
    

    在这里插入图片描述
    (2)对数据集中的’petal-length’和’petal-width’两列数据进行回归分析

    # 使用sklearn完成一元线性回归
    x = data['petal-length'].values
    y = data['petal-width'].values
    x = x.reshape(len(x),1)
    y = y.reshape(len(y),1)
    clf = LinearRegression()
    clf.fit(x,y)
    pre = clf.predict(x)
    plt.scatter(x,y,s=50)
    plt.plot(x,pre,'r-',linewidth=2)
    plt.xlabel('petal-length')
    plt.ylabel('petal-width')
    for idx, m in enumerate(x):
        plt.plot([m,m],[y[idx],pre[idx]],'g-')
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述
    (3)显示回归线的参数

    print(u"系数", clf.coef_)
    print(u"截距", clf.intercept_)
    print(np.mean(y-pre)**2)
    
    # 系数 [[0.41575542]]
    # 截距 [-0.36307552]
    # 1.013248007150544e-32
    

    (4)对花萼长度为3.9的花,预测其花萼宽度。

    print(clf.predict([[3.9]]))
    
    # [[1.2583706]]
    
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  • 来自烟水暖的学习笔记回归分析(Regression analysis)回归...回归分析的分类:1) 按自变量的个数,可以分为一元回归,多元回归2)按变量相关性的形状(回归线)是否为直线型,可分为线性回归,非线性回归。下面,...

    来自烟水暖的学习笔记

    回归分析(Regression analysis)

    回归分析(Regression analysis),是研究因变量与自变量之间相关性的一种数学方法,并将相关性量化,即得到回归方程。我们可以通过回归方程(回归预测模型)来预测因变量的变化。

    回归分析的分类:

    1) 按自变量的个数,可以分为一元回归,多元回归

    2)按变量相关性的形状(回归线)是否为直线型,可分为线性回归,非线性回归。

    下面,我们将通过python工具来理解最简单的回归分析,即一元线性回归,并了解回归分析的步骤。

    想要更多了解回归分析包含的内容,可参考下面内容烟水暖:详细解读Excel回归分析:价格与需求的相关性​zhuanlan.zhihu.comzhihu-card-default.svg

    一元线性回归

    顾名思义,就是只包含一个自变量,且与因变量的关系是呈线性的回归分析,其回归方程(回归模型)可用下面的方程表示:

    y=bx+a (其中:y为因变量,x为自变量,b为回归系数或斜率,a为截距)

    简单实例

    我们将通过分析产品A的单价与销量之间的关系,来预测当产品A的定价为x,市场的需求量y将会是多少,这样我们就能知道该向供应商订购多少产品A。

    数据如下:确定变量,导入数据

    2. 探索性数据分析,绘制散点图,观察变量之间关系及趋势变化,确定回归类型

    #绘制散点图,观察Price,demand的相关性

    由图可见,Price与Demand具有较强的负相关性,即Price增加,Demand反而减少。

    我们也可通过下面函数观察Price与Demand的相关系数(相关系数R是描述变量之间的相关性,范围在[-1,1]之间,R>0,则为正相关,R<0,则为负相关;R的绝对值越接近于1,相关性越强,反之,相关性越弱)

    3. 建立回归模型,并进行模型训练

    在统计学中,一般我们是通过“最小二乘法”直线拟合来执行线性回归分析。

    4. 检验模型的拟合程度

    查看模型的判断系数,判断其拟合度。

    判断系数为0.8679788013877346,可见模型的拟合程度还是较高的。

    下面将拟合回归线放入散点图,直观的感受模型的拟合程度:

    最后查看回归方程的内容:

    模型包含的内容:

    参数:

    fit_intercept: 默认为true,是否计算截距

    normalize: 是否将数据归一化

    copy_X:是否复制x的值,默认是复制,否则覆盖原来x的值

    n_jobs:计算模型使用的作业数,也叫核数

    属性:

    coef_:斜率

    intercept_:截距

    方法:

    fit() 拟合线性模型

    get_params() 获取估计量的参数,即返回上面四个参数的内容

    predict() 使用模型预测结果

    score() 返回判定系数 ^2,判定系数描述的是回归方程的拟合优度,值越接近于1,拟合度越高

    set_params()设置估计量的参数的内容

    这里,我们只需要拿到下面内容,即可知道回归模型的内容。

    即Price与Demand呈负相关性,且可用 y=-0.895x+10.128来描述其关系。接下来,我们便可用这个模型来预测需求。

    5. 使用回归模型预测

    通过模型的预测方法,我们可预测当产品A的价格为8,或8.2,对应的需求为2.96,2.78.

    总结

    通过上面的学习,我们可用了解到最简单的线性回归分析,理解其如何帮我们来分析Price和Demand之间的关系,并由此预测Demand。

    展开全文
  • 一元线性回归分析预测法模型,根据历史数据预测下期数据值
  • 线性回归分析学习笔记第一篇:一元线性回归 1.线性回归分析究竟是何方神圣? 首先要弄懂什么是回归分析: 在大数据分析中,回归分析是一种预测性的建模技术,它研究的是因变量(目标)和自变量(预测器)之间的...


    1.线性回归分析究竟是啥?

    首先要弄懂什么是回归分析:

    1. 在大数据分析中,回归分析是一种预测性的建模技术,它研究的是因变量(目标)和自变量(预测器)之间的关系。
    2. 回归分析通常用于预测分析时间序列模型以及发现变量之间的因果关系。

    线性回归分析:

    • 线性回归(Linear Regression)是用来确定两种或两种以上变量间定量关系的一种分析方法。关键词:确定定量关系
    • 这里提到的定量关系也就是变量间的“线性”关系,形如:y = a + bx(一元线性回归) ,y = a+bx1+cx2+…+dxn(多元线性回归), 的表达式。一个自变量的就是一元线性回归,多个自变量的就是多元线性回归。
    • 线性回归分析的用途: 预测分析
      根据样本数据集建立线性回归模型,预测未知自变量的值。
      下图的蓝色小点就是样本数据,绿线就是根据样本点建立线性回归模型得到的“定量关系“。根据这个定量关系,给定一个自变量X,就可以预测对应的Y。

    到这里,相信你已经对线性回归分析有了一个简单的、形象的认识,下面将会介绍线性回归分析的详细原理,理解了原理之后,我们会手把手的带大家通过Python3编程实现,当然也会介绍Python自带的函数:OLS()函数与LinearRegression函数,它们都是线性回归模型。


    2. 线性回归分析原理

    上图的直线是如何计算得到的呢?让我们一起来揭开线性回归模型的本质吧。

    2.1 残差

    上一章我们介绍了线性回归是什么、以及其主要作用:预测
    那么用线性回归模型预测得到的预测值与真实值之间是否是相等的呢?答案显而易见。
    从上图我们可以看见:即使是根据样本数据建立得到的定量关系(绿线),我们也不能保证蓝色小点完全落在绿线上。而蓝色小点与绿线在y轴上的差值就是我们常说的残差
    引入了残差(ε)的概念之后,一元回归模型就变成了这样:

    y = ax + b + ε

    2.2 最小二乘法

    有了一元回归模型:y = ax + b + ε,其中,x,y是已知值,现在需要求解这个模型中的变量:a(斜率),b(截距)
    但是我们不能简单的将样本集中的x,y带入求解参数a,b,因为存在上述提到的残差,每一对x,y得到的a,b,ε都会有一定的差异。
    那么如何解得一个合适a,b,能够尽可能的拟合所有的样本点呢?同时对于预测而言,我们希望预测值与真实值之间的差值尽可能的小,也就是残差尽可能小。
    因为每个点都有残差: ε = y - ax - b, 所以求解a,b的问题转换成:
    在(每个点)误差(残差)平方和最小的情况下,求解a,b的取值。

    要解答这个问题,就需要捞一捞最小二乘法的原理。最小二乘法是由法国数学家,阿德里安-马里·勒让德最先提出,贯穿了十九世纪的统计学,它之于统计学就相当于十八世纪的微积分之于数学。感兴趣的可以戳:

    探秘最小二乘法的本质

    阿德里安-马里·勒让德智慧的画像


    最小二乘法的主要思想就是确定未知参数a,b ,使得理论值与观测值之差的平方和达到最小,并假设此时的参数就是模型参数的真实值。

    大家可能会有疑惑:为什么是在误差的平方和最小的情况下?而不是本身的和或者绝对值之和的情况呢?

    1. 本身的和:
      对于每个点来说,它的残差是有正有负的,这会出现残差相互抵消的情况,此时残差和不能代表预测值与真实值的真实偏离程度。比如:上图中蓝色小点既可能在绿线上方很远,同时绿线下方很远的地方也有一个蓝色小点,通过一正一负,巨大的残差被抵消。这种情况下虽然残差和仍能保持很小,但是模型拟合的效果并不是很好。
    2. 绝对值之和:
      理论上来说,绝对值之和确实也能达到平方和的效果。但是考虑到,绝对值在计算过程中不容易处理,以及后面的模型评估、F检验等,选用平方和这个参数更方便。

    2.3 求解参数

    F(a,b)是目标函数,求解误差平方和最小,也就是求F的极小值。问题进一步转化为:求二元函数F(a,b)的极小值。

    求极值就是一个数学问题了:
    首先分别对F(a,b)求a,b的偏导数,并令其等于0,解得此时参数a,b的表达式。带入x,y计算即可。下面给出重要的计算过程:

    总结一下一元线性回归模型的转化过程:


    Finally,一元线性回归分析终于介绍完啦,不知道大伙能否理解呢,第一次写博客,有不对的地方或者表达不清楚的地方还请各位大佬在评论区指出!

    下周会整理一下文档,出一篇用python实现一元线性回归的文章!

    展开全文
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