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  • 评论与赏析本题考查一元三次函数的图像与性质,寻找函数零点的范围.解法一是通法,研究函数的图象,通过C的不同取值进行分类讨论,然后找到零点的取值范围和零点个数.解法二是从题目的问题出发,假设函数的一个...
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    每天选取一道高考压轴题一题多解赏析,每日一题,日益精进。三次函数多年没有出现在最后一题了,今年它来了。

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    评论与赏析

    本题考查一元三次函数的图像与性质,寻找函数零点的范围.解法一是通法,研究函数的图象,通过C的不同取值进行分类讨论,然后找到零点的取值范围和零点个数.解法二是从题目的问题出发,假设函数的一个零点满足题意,然后把三次函数转换为熟悉的二次函数,通过一元二次函数的性质找到零点的范围.解法三是分离参数法,把一元三次函数分解为二个函数,讨论交点问题.解法四转化为三角函数法,通过其中一个不大于1的零点出发,转为为三角函数,然后通过三角函数讨论范围.解法五是假设函数零点,然后找到零点之间的关系计算零点范围.通过三次函数的图像与性质的分析,直接从图像出发去解决问题,计算量大,并且分类讨论增加分析的难度.当然从其他不同角度来分析,发觉其他的解题方法计算量和分析过程相对比较简单,三次变为二次函数,这是我们常见的函数,或者分离参数找交点,这些也是讨论零点的常用方法.

    解题教师:周嘉宁  贺政刚  张凯  李婷婷  张小贝  赵振飞 郑长清  仇鹏程  苗洪涛  姚钟 王锐 邵礼光

    辑:贵州铜仁  杨胜凯

    审校:黑龙江伊春  陈永生

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    高中数学教研QQ群 :463485400

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  • 思路:一元三次方程有3个不相同根,说明曲线必然是下面俩种情况中其中一种, 那我们思路就很清晰了,构造一个三次函数,f(x) = ax^3 + b * x^2 + cx + d,对这个三次函数进行求导,导数为0所对应点为极值...

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    思路:一元三次方程有3个不相同的根,说明曲线必然是下面俩种情况中的其中一种,

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    那我们的思路就很清晰了,构造一个三次函数,f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d,对这个三次函数进行求导,导数为0的所对应的点为极值点,然后我们只需要讲整个x轴分成三个区间[-∞, p1), [p1, p2], (p2, +∞), (p1:第一个极值点的横坐标,p2:第二个极值点的横坐标),然后可以选择用二分或者牛顿迭代法无限逼近,直到达到题目所需的精度,我这里主要介绍牛顿迭代法的解法

    牛顿迭代法:首先选择一个接近函数f(x)的零点x0,计算相应的f(x0)和切线的斜率f’(x0)。然后我们计算穿过点(x0, f(x0))并且斜率为f’(x0)的直线和x轴的交点的坐标,也就是求以下方程的解
    0 = (x - x0)*f’(x0) + f(x0)
    我们讲新求得的点的x坐标命名为x1,通常x1会比x0更接近f(x) = 0的解,因此我们可以用x1进行下一轮的迭代。迭代公式可以化简成;
    Xn+1 = Xn - f(Xn) / f’(Xn)
    在这里插入图片描述
    来源:维基百科——牛顿法

    #include <iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cmath>
    using namespace std;
    
    double a, b, c, d;
    #define eps 1e-4    /*定义精度*/
    double f(double x)
    {   /*计算横坐标为x时,y的值*/
        return a * x * x * x + b * x * x + c * x + d;
    }
    
    double df(double x)
    {   /*对x进行求导*/
        return 3 * a * x * x + 2 * b * x + c;
    }
    
    double slove(double l, double r)
    {
        double x, x0 = (l + r) / 2;
        /*牛顿迭代法迭代*/
        while(fabs(x - x0) > eps){
            x = x0 - f(x0) / df(x0), swap(x0, x);
        }
        return x;
    }
    
    int main()
    {
        scanf("%lf%lf%lf%lf", &a, &b, &c, &d);
        /*极值点的横坐标:导数为0*/
        double point1 = (- b - sqrt(b * b - 3 * a * c)) / (3 * a);
        double point2 = (- b + sqrt(b * b - 3 * a * c)) / (3 * a);
    
        double x1 = slove(-100, point1);
        double x2 = slove(point1, point2);
        double x3 = slove(point2, 100);
        printf("%.2f %.2f %.2f\n", x1, x2, x3);
    
        return 0;
    }
    
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    二次函数专项复习经典试题集锦(含答案)

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    二次函数

    知识网络:

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    知识点梳理:1.定义:一般地,如果y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数.2.二次函数y=ax²的性质(1)抛物线y=ax²的顶点是坐标原点,对称轴是y轴.(2)函数y=ax²的图像与a的符号关系. ①当a>0时Û抛物线开口向上Û顶点为其最低点;②当a<0时Û抛物线开口向下Û顶点为其最高点.(3)顶点是坐标原点,对称轴是轴的抛物线的解析式形式为y=ax²(a≠0).3.二次函数 y=ax²+bx+c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.4.二次函数y=ax²+bx+c用配方法可化成:y=a(x - h)²+k的形式,其中39b4ac3b6234fa145a405debb631e3a9.png5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①y=ax²;②y=ax²+k;③y=a(x - h)²;④y=a(x - h)²+k;⑤y=ax²+bx+c.6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. ①a的符号决定抛物线的开口方向:当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下;|a|相等,抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y轴(或重合)的直线记作x=h.特别地,y轴记作直线x=0.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法:f5faa1434c8a42343529245a097f8eba.png∴顶点是:4beadea6f8a37c3e9aad8b92eb93a734.png对称轴是直线:0b57fcc20493323661707c6016e2fb6b.png(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为y=a(x-h)²+k的形式,得到顶点为(h,k),对称轴是直线x=h.(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.9.抛物线y=ax²+bx+c中,abc的作用(1)a决定开口方向及开口大小,这与y=ax²中的a完全一样.(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线0b57fcc20493323661707c6016e2fb6b.png,故:①b=0时,对称轴为y轴;dffeea0ca74d633c0a68ae9055f4e6fd.png(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧;3a7a99a2c1dbc2bd746d1b9b3a50d9c8.png(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.(3)的大小决定抛物线y=ax²+bx+c与y轴交点的位置. 当x=0时,y=c,∴抛物线y=ax²+bx+c与y轴有且只有一个交点(0,c): ①c=0,抛物线经过原点; ②c>0,与y轴交于正半轴; ③c<0,与y轴交于负半轴.以上三点当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则3a7a99a2c1dbc2bd746d1b9b3a50d9c8.png10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:9858e15e2ef9c31abb2c906cd8e9aa1f.png11.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式:y=ax²+bx+c.已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式. (2)顶点式:y=a(x - h)²+k .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. (3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式:y=a(x-x1)(x-x2).12.直线与抛物线的交点 (1)y轴与抛物线y=ax²+bx+c得交点为(0, c). (2)与y轴平行的直线X=h与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个交点(h, ah²+bh+c)(3)抛物线与轴的交点  二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:  ①有两个交点Û△>0Û抛物线与x轴相交;  ②有一个交点(顶点在x轴上)Û△=0Û抛物线与x轴相切;  ③没有交点Û△<0Û抛物线与轴相离.

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    (4)平行于轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横坐标是ax²+bx+c=k的两个实数根. (5)一次函数y=kx+n(k≠0)的图像L与二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像G的交点,由方程组1c418fbed152d635fac8755f00cf302c.png的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时L与G有两个交点; ②方程组只有一组解时L与G只有一个交点;③方程组无解时L与G没有交点.(6)抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线y=ax²+bx+c与x轴两交点为A(x1,0),B(x2,0),由于x1、x2是方程ax²+bx+c=0的两个根,故61195c21e56c4f9ab0e7fef06b71d49b.png5a24a945b86984a445a42526fa65772a.png

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  • 许多问题都可以归结为求解一元函数方程 ???? ???? = 0. 若????(????)为????多项式,则称其为????多项式方程或代数方程; 当???? ≤ 4时,多项式方程根可以用求根公式表示; 当???? ≥ 5时,其根已不能用...

    许多问题都可以归结为求解一元函数方程 𝑓 𝑥 = 0. 若𝑓(𝑥)为𝑛次多项式,则称其为𝑛次多项式方程或代数方程;

    • 当𝑛 ≤ 4时,多项式的方程的根可以用求根公式表示;
    • 当𝑛 ≥ 5时,其根已不能用公式表示,即无解析表达式。

    若𝑓(𝑥)为超越函数,则称其为超越方程;

    求解一元函数方程 𝑓 𝑥 = 0 可大致分为三个步骤:

    • 根的存在性: 方程是否有根?如果有,有几个根?
    • 根的隔离: 把有根区间分成较小的子区间,每个子区间有一个根或者没
      有根,这样可将有根子区间内的任一点看成根的近似值。
    • 根的精确化 : 对某个近似值逐步精确化,以达到一定精度要求。
    1. 二分法

    原理:

    若 f 在[a, b]上连续,且 f (a) · f (b) < 0,则 f 在 (a, b) 上至少有一实根。

    基本思想:逐步二分区间[ a , b ],通过判断两端点函数值的符号,进一步缩小有根区间,将有根区间的长度 缩小到充分小,从而求出满足精度要求的根𝑥∗的近似值。

    二分法的计算过程:

    1. 计算𝑓(𝑥)在有解区间[a, b]端点处的值,𝑓 𝑎 ,𝑓 𝑏 .
    2. 计算𝑓(𝑥)在中点𝑥0 = 𝑎+𝑏 / 2 处的值𝑓(𝑥0),
    3. 若𝑓(𝑥0) = 0,则𝑥0为根,否则判断: 若𝑓 𝑥0 · 𝑓 𝑎 < 0, 则根位于区间[𝑎,𝑥0]; 𝑏1 = 𝑥0,𝑎1 = 𝑎 若𝑓 𝑥0 · 𝑓 𝑏 < 0, 则根位于区间[𝑥0,𝑏]; 𝑏1 = 𝑏,𝑎1 = 𝑥0 反复执行2,3步骤,便可以得到一系列的有根区间: (a, b), (a1, b1), …, (ak, bk), …

    误差分析:
    第1步产生的X1 = ( a + b )/ 2 有误差| X1- X*| <= ( b - a ) / 2;
    第k步产生的Xk 有误差| Xk- X*| <= ( b - a ) / 2的k次方

    对于给定的精度R ,可估计二分法所需的步数 k:
    ( b - a ) / 2的k次方 < R ==> k > [ ln( b - a ) - lnR ] / ln2

    2.迭代法

    基本思想:已知非线性方程𝑓 𝑥 = 0的一个近似根,通过构造一个递 推关系即迭代格式,并根据这个迭代格式反复校正根的 近似值,计算出根的近似值序列,使之逐步精确化,直 到满足给定精度要求为止

    迭代法是用某种收敛于所给问题精确解的一个极限过程, 来逐步逼近的一种计算方法,从而可以用有限步骤算出 精确解的具有指定精度的近似解,是求方程根的最重要 方法之一

    1.不动点迭代法及收敛性

    (1)不动点迭代法

    方程 𝑓 𝑥 = 0可改写成等价形式 𝑥 = 𝜑 𝑥 .
    若𝑓 𝑥∗ = 0,则 𝑥∗ = 𝜑 𝑥∗ ,称𝑥∗为𝜑𝑥 的一个不动点。 从𝑥∗附近的一个初值𝑥0出发,有: 𝑥1 = 𝜑 𝑥0 ,𝑥2 = 𝜑 𝑥1 ,…,𝑥𝑘+1 =𝜑 𝑥𝑘 , 若{𝑥𝑘}的极限存在,则称迭代过程收敛,显然有: 𝑥∗ = lim 𝑘→∞ 𝑥𝑘 故有𝑥∗ = 𝜑𝑥∗ ,从而𝑓 𝑥∗ = 0。

    𝑥0:初始近似值
    𝑥𝑘:第𝑘次迭代近似值
    𝜑 𝑥 :迭代函数

    几何解释为:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    (2)不动点收敛定理

    设迭代函数𝜑(𝑥)满足条件:

    1. 当𝑥 ∈ [𝑎,𝑏]时,𝑎 ≤ 𝜑(𝑥) ≤ 𝑏;
    2. 存在正数𝐿 < 1,使对任意𝑥,𝑦 ∈ [𝑎,𝑏],都有 |𝜑 𝑥 − φ y | ≤ 𝐿|𝑥 − 𝑦|成立。
      则方程𝑥 = 𝜑(𝑥)在[𝑎,𝑏]上有 唯一解𝑥∗,且对任意初始近似值𝑥0 ∈ [𝑎,𝑏],迭代过程𝑥𝑘+1 = φ 𝑥𝑘 , 𝑘 = 0,1,2,… 收敛,且lim 𝑘→∞ 𝑥𝑘 = 𝑥∗.

    证明:
    1.不动点的存在性
    由条件∀ 𝑥,𝑦 ∈ [𝑎,𝑏],都有|𝜑 𝑥 − φ y | ≤ 𝐿(𝑥 − 𝑦)成立可 知𝜑(𝑥)在[𝑎,𝑏]上连续。 做辅助函数𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝜑(𝑥),则𝑓(𝑥)连续。 由𝑎 ≤ 𝜑(𝑥) ≤ 𝑏可知,𝑓 𝑎 = 𝑎 − 𝜑 𝑎 ≤ 0,𝑓 𝑏 = 𝑏 − 𝜑 𝑏 ≥ 0, 由连续函数性质可知,必有𝑥∗ ∈ [𝑎,𝑏],使𝑓 𝑥∗ = 0,即 𝑥∗ = 𝜑(𝑥∗).
    2.不动点的唯一性
    若在[𝑎,𝑏]上另有一𝑥1 ∗也满足𝑥1 ∗ = 𝜑(𝑥1 ∗),则由条件|𝜑 𝑥 − φ y | ≤ 𝐿|𝑥 − 𝑦|可得 𝑥∗ − 𝑥1 ∗ = 𝜑 𝑥∗ − φ x1 ∗ ≤ 𝐿 𝑥∗ − 𝑥1 ∗ , 由条件𝐿 < 1引出矛盾。故唯一性得证。 3.序列收敛 𝑥∗ − 𝑥𝑘+1 = 𝜑 𝑥∗ − φ 𝑥𝑘 ≤ 𝐿 𝑥∗ − 𝑥𝑘 , 𝑥∗ − 𝑥𝑘 ≤ 𝐿 𝑥∗ − 𝑥𝑘−1 ≤ 𝐿2 𝑥∗ − 𝑥𝑘−2 ≤ ⋯ ≤ 𝐿𝑘 𝑥∗ − 𝑥0 . 因为𝐿 < 1,所以有lim 𝑘→∞𝑥∗ − 𝑥𝑘 ≤ lim 𝑘→∞𝐿𝑘 𝑥∗ − 𝑥0 = 0, lim 𝑘→∞𝑥𝑘 = 𝑥∗

    (3)收敛性定理二

    设迭代函数𝜑 𝑥 ∈ ℂ1[𝑎,𝑏],满足条件:

    1. 当𝑥 ∈ [𝑎,𝑏]时,𝑎 ≤ 𝜑(𝑥) ≤ 𝑏;
    2. 存在正数𝐿 < 1,使对任意𝑥 ∈ [𝑎,𝑏],都有 𝜑′ 𝑥 ≤ 𝐿 < 1成立。则方程𝑥 = 𝜑(𝑥)在[𝑎,𝑏]上有唯一 解𝑥∗,且对任意初始近似值𝑥0 ∈ [𝑎,𝑏],迭代过程 𝑥𝑘+1 = φ 𝑥 , 𝑘> = 0,1,2,… 收敛,且lim 𝑘→∞ 𝑥𝑘 = 𝑥∗.

    证明:
    1.不动点的存在性同上一定理
    若在[𝑎,𝑏]上另有一𝑥1 ∗也满足𝑥1 ∗ = 𝜑(𝑥1 ∗),则由微分中值定理,有
    𝑥∗ − 𝑥1 ∗ = 𝜑 𝑥∗ − 𝜑 𝑥1 ∗ = 𝜑′ 𝜉 (𝑥∗ − 𝑥1 ∗) 𝑥∗ − 𝑥1 ∗ 1 − 𝜑′ 𝜉 = 0 其中𝜉 ∈ 𝑥∗,𝑥1 ∗ ∈ 𝑎,𝑏 ,由条件 𝜑′ 𝑥 ≤ 𝐿 < 1可知𝑥∗ = 𝑥1 ∗ 。 故唯一性得证。
    2.不动点的唯一性
    3.收敛性证明
    由中值定理,有 𝑥∗ − 𝑥𝑘+1 = 𝜑 𝑥∗ − φ 𝑥𝑘 = φ′ 𝜉 𝑥∗ − 𝑥𝑘 , 其中𝜉是𝑥∗与𝑥𝑘之间的某一点,由条件 φ′ 𝜉 ≤ 𝐿,有 𝑥∗ − 𝑥𝑘+1 ≤ 𝐿 𝑥∗ − 𝑥𝑘 , 𝑥∗ − 𝑥𝑘 ≤ 𝐿 𝑥∗ − 𝑥𝑘−1 ≤ 𝐿2 𝑥∗ − 𝑥𝑘−2 ≤ ⋯ ≤ 𝐿𝑘 𝑥∗ − 𝑥0 . 因为𝐿 < 1,所以有lim 𝑘→∞𝑥∗ − 𝑥𝑘 ≤ lim 𝑘→∞𝐿𝑘 𝑥∗ − 𝑥0 = 0,lim 𝑘→∞𝑥𝑘 = 𝑥∗

    (4)误差分析
    考虑方程𝑥 = 𝜑(𝑥),𝜑(𝑥) ∈ ℂ1[𝑎,𝑏],若:

    1. 当𝑥 ∈ [𝑎,𝑏]时,𝑎 ≤ 𝜑(𝑥) ≤ 𝑏;
    2. 存在正数𝐿 < 1,使对任意𝑥,𝑦 ∈ [𝑎,𝑏],都有 𝜑′ 𝑥 ≤ 𝐿 < 1成立。则任取𝑥0 ∈ [𝑎,𝑏],得到的收敛序列 𝑥𝑘 𝑘=0 ∞ 有误 差估计式:
      𝑥∗ − 𝑥𝑘 ≤1 /1 − 𝐿𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 ,
      𝑥∗ − 𝑥𝑘 ≤𝐿𝑘 /1 − 𝐿𝑥1 − 𝑥0

    (5)局部收敛性
    如果存在𝑥∗ 的某邻域𝑈(𝑥∗,𝛿),使得∀𝑥0 ∈ 𝑈(𝑥∗,𝛿),迭代过程 𝑥𝑘+1 = 𝜑(𝑥𝑘)所产生的序列{𝑥𝑘}都收敛于𝑥∗ , 称迭代过程在根𝑥∗ 附近局部收敛

    设𝜑(𝑥)在方程𝑥 = 𝜑(𝑥)的根𝑥∗附近有连续的一阶导数, 且 𝜑′ 𝑥∗ < 1,则迭代过程𝑥𝑘+1 = 𝜑(𝑥𝑘)局部收敛

    2.迭代过程的加速方法

    一个迭代法要具有使用价值,不仅要求它收敛,而且要求它 的收敛速度比较快。所谓迭代法的收敛速度,是指在接近收敛时, 迭代误差的下降速度

    设迭代过程𝑥𝑘+1 = 𝜑(𝑥𝑘)收敛于方程𝑥 = 𝜑(𝑥)的根𝑥∗, 记误差𝑒𝑘 = 𝑥∗ − 𝑥𝑘,若存在某实数𝑝 ≥ 1及常数𝐶 ≠ 0,使lim 𝑘→∞|𝑒𝑘+1| / | 𝑒𝑘 𝑝= 𝐶,则称迭代过程是𝑝阶收敛的。

    对于迭代过程,如果𝑥𝑘+1 = 𝜑(𝑥𝑘),如果𝜑𝑝(𝑥)在所求根𝑥∗ 的邻近连续,并且 𝜑′ 𝑥∗ = 𝜑′′ 𝑥∗ = ⋯ = 𝜑(𝑝−1) 𝑥∗ = 0,𝜑(𝑝) 𝑥∗ ≠ 0, 则称该迭代过程在点𝑥∗邻近是𝑝阶收敛的。

    3.Newton-Raphson方法
    1. 切线法
      一般迭代法是建立等价的代数方程,从而得到迭代格式,但是构 造出来的迭代格式是否收敛随意性比较大,迭代格式取得好则收敛, 取得不好,则有可能发散。 Newton方法是方程求根的一个基本方法,基本思路是将非线性方 程𝑓 𝑥 = 0逐步线性化,更具普遍性和通用性。

    利用一阶Taylor展开式来近似方程𝑓(𝑥)有 𝑓 𝑥0 + 𝑓′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 = 0, 其根 𝑥1 = 𝑥0− 𝑓(𝑥0) 𝑓′(𝑥0) 可看成原方程𝑓 𝑥 = 0的新的近似根,重复上述过程,可得迭代格式 𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −𝑓(𝑥𝑘) 𝑓′(𝑥𝑘)
    (收敛的充分条件)设 f 属于C2[a, b],若
    ① f (a) f (b) < 0;
    ② 在整个[a, b]上 f ’(x)  0;
    ③ 在整个[a, b]上𝑓′′(𝑥)不变号;
    ④𝑓 𝑎 𝑓′ 𝑎≥ 𝑎 − 𝑏,𝑓 𝑏 𝑓′ 𝑏≤ 𝑏 − 𝑎
    则Newton’s Method产生的序列{ xk } 收敛到f (x) 在 [a, b] 的 唯一根。

    1. 割线法
      切线法:用曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)上的点(𝑥𝑘,𝑓(𝑥𝑘))的切线代替曲线𝑦 = 𝑓(𝑥),将切线与𝑥轴交点的横坐标𝑥𝑘+1作为近似根。
      割线法:过曲线上两点(𝑥𝑘−1,𝑓(𝑥𝑘−1))和(𝑥𝑘,𝑓(𝑥𝑘))的割线与𝑥轴 交点的横坐标作为近似根。
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    2013-06-20 16:20:03
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一元三次函数的解法