https://blog.csdn.net/lengye7/article/details/89709244




命题逻辑 零阶逻辑   表达句子与句子间的关系

一阶对个体的（量词）修饰  对于所有的个体   三段论

“对于任意individual x和y, 如果x和y相等, 那么对于任意性质P, Px当且仅当Py. ” 这段话里面的“对于任意性质”

∀x,y (x=y → ∀P (Px<->Py))

二阶 对属性的（量词）修饰    对于任意属性
一阶二阶这类的词, 一是表达量化的程度, 二是表达逻辑系统多有表达能力.

我们一步步来, 首先是命题逻辑(很少部分人叫它作零阶逻辑). 在命题逻辑里, 每一个字母就代表一个命题, 所以命题逻辑只能表达句子之间的关系, 比如“p&q”, “if p then q”等等的真值如何从p和q的真值中计算出来.
一阶逻辑则引入了两个量词, 即universal quantifier(倒A)和existential quantifier(倒E), 并且加入了一阶谓词和individual variables和individual constants. 这些导致一阶逻辑可以量化individuals in the domain. 比如经典的三段论就可以被一阶逻辑表达：

For all x, Hx->Mx

Hs

----

Ms

其中for all x就是量化了所有individuals, 即domain里的任意一对象, 用individual variable x来表示. Hx则是表示x属于H(Human)这个谓词的extension, Mx表示x属于M(Mortal)的extension. s则是individual constant, 代表苏格拉底. 然后通过Universal Instantiation和Modus Ponens推出结论Ms(Socrates is mortal). 这里要提到一个集合论的逻辑基础, 如果逻辑学的基础是集合论的话, 那么individuals就是最小的个体对象, 一阶谓词则是包含个体的集. 那么For all x, Hx->Mx则可以“翻译”成: 对于任意个体x, 如果x属于H这个集, 那么x就属于M这个集.

但注意, 我们的量词在这里只能表达“对于任意一个individual x”, 然而这个量词的表达能力是有限的. 比如说Leibniz Law: “对于任意individual x和y, 如果x和y相等, 那么对于任意性质P, Px当且仅当Py. ” 这段话里面的“对于任意性质”, 用一阶逻辑是表达不出来的. 因为一阶逻辑只能量化个体, 而性质却是包含个体的集, 所以我们要引入二阶variable, 才能量化性质, 从而表达“对于任意包含个体的集合”. 这句话用二阶逻辑写出来会是这样：

∀x,y (x=y → ∀P (Px<->Py))

目录

变量间的关系分析

什么是相关分析

什么是回归分析

分析步骤

回归分析与相关分析的主要区别

一元线性相关分析

一元线性回归分析

建模

方差分析检验

 t检验

多元回归分析模型建立

线性回归模型基本假设

多元回归分析用途

多元线性相关分析

矩阵相关分析

复相关分析

曲线回归模型

多项式曲线

二次函数

对数函数

指数函数

幂函数

双曲线函数

变量间的关系分析

变量间的关系有两类，一类是变量间存在着完全确定的关系，称为函数关系，另一类是变量间的关系不存在完全的确定性，不能用精缺的数学公式表示，但变量间存在十分密切的关系，这种称为相关关系，存在相关关系的变量称为相关变量。

相关变量间的关系有两种：一种是平行关系，即两个或两个以上变量相互影响。另一种是依存关系，即是一个变量的变化受到另一个或多个变量的影响。相关分析是研究呈平行关系的相关变量之间的关系。而回归分析是研究呈依存关系的相关变量间的关系。表示原因的变量称为自变量-independent variable，表示结果的变量称为因变量-dependent variable。



什么是相关分析

通过计算变量间的相关系数来判断两个变量的相关程度及正负相关。

什么是回归分析

通过研究变量的依存关系，将变量分为因变量和自变量，并确定自变量和因变量的具体关系方程式

分析步骤

建立模型、求解参数、对模型进行检验

回归分析与相关分析的主要区别

1.在回归分析中，解释变量称为自变量，被解释变量称为因变量，相关分析中，并不区分自变量和因变量，各变量处于平的地位。--（自变量就是自己会变得变量，因变量是因为别人改变的）

2.在相关分析中所涉及的变量全部是随机变量，在回归分析中只有只有因变量是随机变量。

3.相关分析研究主要是为刻画两类变量间的线性相关的密切程度，而回归分析不仅可以揭示自变量对因变量的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制。

一元线性相关分析

线性相关分析是用相关系数来表示两个变量间相互的线性关系，总体相关系数的计算公式为：



 δ^2x代表x的总体方差， δ^2y代表y的总体方差，δxy代表x变量与y变量的协方差，相关系数ρ没有单位，在-1到1之间波动，绝对值越接近1越相关，符号代表正相关或复相关。

一元线性回归分析

使用自变量与因变量绘制散点图，如果大致呈直线型，则可以拟合一条直线方程



建模

直线模型为：



 y是因变量y的估计值，x为自变量的实际值，a、b为待估值

几何意义：a是直线方程的截距，b是回归系数

经济意义：a是x=0时y的估计值，b是回归系数

对于上图来说，x与y有直线的趋势，但并不是一一对应的，y与回归方程上的点的差距成为估计误差或残差，残差越小，方程愈加理想。

当误差的平方和最小时，即Q，a和b最合适



对Q求关于a和b的偏导数，并令其分别等于零，可得：



 式中，lxx表示x的离差平方和，lxy表示x与y的离差积和。

方差分析检验

将因变量y实测值的离均差平方和分成两部分即使：



分为：

实测值yi扣除了x对y的线性影响后剩下的变异



和x对y的线性影响，简称为回归评方或回归贡献



然后证明：



 t检验

当β成立时，样本回归系数b服从正态分布，这是可以使用T检验判断是否有数学意义，检验所用统计量为



例如t=10，那么可以判断α=0.05水平处拒绝H0，接受H1，那么x与y存在回归关系



多元回归分析模型建立

一个因变量与多个自变量间的线性数量关系可以用多元线性回归方程来表示



b0是方程中的常数项，bi,i=1,2,3称为偏回归系数。

当我们得到N组观测数据时，模型可表示为：



其矩阵为：



X为设计阵，β为回归系数向量。

线性回归模型基本假设

在建立线性回归模型前，需要对模型做一些假定，经典线性回归模型的基本假设前提为：

1.解释变量一般来说是非随机变量

2.误差等方差及不相关假定（G-M条件）



3.误差正太分布的假定条件为：



4. n>p,即是要求样本容量个数多于解释变量的个数

多元回归分析用途

1.描述解释现象，希望回归方程中的自变量尽可能少一些

2.用于预测，希望预测的均方误差较小

3.用于控制，希望各个回归系数具有较小的方差和均方误差

变量太多，容易引起以下四个问题：

1.增加了模型的复杂度

2.计算量增大

3.估计和预测的精度下降

4.模型应用费用增加

多元线性相关分析

两个变量间的关系称为简单相关，多个变量称为偏相关或复相关

矩阵相关分析

设n个样本的资料矩阵为：



此时任意两个变量间的相关系数构成的矩阵为：



其中rij为任意两个变量之间的简单相关系数，即是：



复相关分析

系数计算：

设y与x1，x2，....，回归模型为



y与x1，x2，....做相关分析就是对y于y^做相关分析，相关系数计算公式为



曲线回归模型

多项式曲线

二次函数

y=a+bx+cx^2



对数函数

y=a+blogx



指数函数

y = ae^bx或y = ae^(b/x)



幂函数

y=ax^b (a>0)



双曲线函数

y = a+b/x



 实战操作见下一篇文章

append,extend与insert的区别
刚刚百度了一下这仨的区别，但都不细，所以打算再说一遍

首先简单的说一下append,extend与insert的区别

append是在列表后面直接添加你输入的数据，就算是列表或字典，也直接添加进去，比较死板
extend是在列表后面添加数据，如果添加的是列表或字典亦或者是字符串，都会会拆分并添加进去，但是这仅限一元的情况下,多元仅会拆分一个最大的列表再添加进去
insert是在列表中某个下标的前面添加单个数据，要带至少两个参数，添加的方法和append相同

1、append

说得再多，不如举几个例子好了：
list_1 = ['0','1','2','3','4']
data_str = 'abc'
data_list = ['abc','bcd','cdf','dfg']
data_list_n = [['abc','bcd'],['cdf','dfg']]
data_dict = {'qwe','wer','ert'}

list_1.append(data_str)
print(list_1)

['0', '1', '2', '3', '4', 'abc']

list_1.append(data_list)
print(list_1)

['0', '1', '2', '3', '4', ['abc', 'bcd', 'cdf', 'dfg']]

list_1.append(data_list_n)
print(list_1)

['0', '1', '2', '3', '4', [['abc', 'bcd'], ['cdf', 'dfg']]]

list_1.append(data_dict)
print(list_1)

['0', '1', '2', '3', '4', {'wer', 'ert', 'qwe'}]

2、extend
list_1 = ['0','1','2','3','4']
data_str = 'abc'
data_list = ['abc','bcd','cdf','dfg']
data_list_n = [['abc','bcd'],['cdf','dfg']]
data_dict = {'qwe','wer','ert'}

list_1.extend(data_str)
print(list_1)

['0', '1', '2', '3', '4', 'a', 'b', 'c']

list_1.extend(data_list)
print(list_1)

['0', '1', '2', '3', '4', 'abc', 'bcd', 'cdf', 'dfg']

list_1.extend(data_list_n)
print(list_1)

['0', '1', '2', '3', '4', ['abc', 'bcd'], ['cdf', 'dfg']]

list_1.extend(data_dict)
print(list_1)

['0', '1', '2', '3', '4', 'qwe', 'ert', 'wer']

3、insert
list_1 = ['0','1','2','3','4']
data_str = 'abc'
data_list = ['abc','bcd','cdf','dfg']
data_list_n = [['abc','bcd'],['cdf','dfg']]
data_dict = {'qwe','wer','ert'}

list_1.insert(0,data_str)
print(list_1)

['abc', '0', '1', '2', '3', '4']

list_1.insert(0,data_list)
print(list_1)

[['abc', 'bcd', 'cdf', 'dfg'], '0', '1', '2', '3', '4']

list_1.insert(0,data_list_n)
print(list_1)

[[['abc', 'bcd'], ['cdf', 'dfg']], '0', '1', '2', '3', '4']

list_1.insert(0,data_dict)
print(list_1)

[{'qwe', 'ert', 'wer'}, '0', '1', '2', '3', '4']

§8.1  多元函数的基本概念

本章将在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数的微分法及其应用。讨论中，我们主要以二元函数为主，因为从一元函数到二元函数会产生许多新问题，而从二元函数到二元以上的函数则可以类推。

建议同学们在学习中，注意将二元函数的概念与结论与一元函数的相应的概念与结论加以比较，区别并理解二者之间的“同中之异，异中之同”，这样会大大地提高学习效率。

一、区域

1、邻域

设是平面上的一点，是某一正数，与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为 。

即    

或    

几何上，是面上以点为中心，为半径的圆内部的点的全体。



以后，若不需要强调邻域的半径时，可用表示点的邻域。

2、区域

设是平面上的一个点集，是平面上的一点，若存在点的某一邻域，使，则称为的内点。

如果点集的点都是内点，则称为开集。

例如，点集便是一个开集。



如果点的任一邻域内既有属于的点，又有不属于的点（点本身可以属于，也可以不属于），则称为的 边界点。

的边界点的全体称为的边界。



例如，点集的边界是圆周和。

设是开集，若对于内任何两点，都可以用完全属于的折线连结起来，则称开集是连通的。

连通的开集称之为区域或开区域。

 



例如，点集与均是区域。

开区域连同它的边界一起，则称之为闭区域。

例如，与 均是闭区域。

对于点集，若存在正数，使一切点与某一定点间的距离不超过，即 ， 则称为有界点集；否则称为无界点集。

例如，是有界开区域， 而是无界开区域。

【例】说明点集的特征。



是开集，但非连通，且是无界的点集。

3、聚点

设是平面上的一个点集，是平面上的一个点，若点的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集，则称为的聚点。

显然，的内点一定是的聚点；

的边界点可能是的聚点，也可能不是的；的聚点可能是中的一点，也可能不是中的点。

例如，，但是的聚点;

而直线上的任意点既是的边界点，也是的聚点。

4、n维空间

数轴上的点与实数具有一一对应的关系，从而全体实数表示数轴上一切点所构成的集合，即直线。

在平面引入直角坐标系之后，平面上的点与二元数组形成了一一对应，从而，二元数组的全体表示平面一切点的集合，即平面。

在空间引入直角坐标系之后，空间的点与三元数组形成了一一对应，从而，三元数组的全体表示空间一切点的集合，即空间。

一般地，

设为取定的一个自然数，称元数组的全体为维空间，而每个元数组称为维空间中的一个点，数称为该点的第个坐标，维空间记为。

维空间中的两点与之间的距离规定为



很明显，当时，上式便是解析几何中关于直线,平面,空间内两点间的距离。

前面究平面点集所陈述的一系列概念，均可类似地推广到维空间。

例如：设，是某一正数，则内的点集



称为点的邻域。

以点的邻域概念为基础，便可完全类似地定义内点、边界点、区域、聚点等等一系列概念，这里不再赘述。

二、多元函数概念

实际问题中，经常会遇到多个变量之间的依赖关系。

【例1】圆柱体的体积和它的底半径、高之间具有关系



这里，当在集合内取定一对值时，的对应值就随之确定了。

【例2】设是电阻与并联之后的总电阻，则它们之间具有关系



这里，当在集合内取定一对值时，的对应值也就随之确定了。

抽出这些具体例子所蕴藏的内涵，我们可给出二元函数的定义。

【定义】

设是平面上的一个点集，如果对于每个点，变量按照一定法则总有确定的值与之对应，则称是变量的二元函数（或点的函数），并记为

      （或    )

点集称为该函数的定义域， 称为自变量，称为因变量，而数集称为该函数的值域。

【注记一】是的函数有时也记为这样的形式



请注意，这种记号中的两个的含义是不同的，左边的是因变量，右边的是对应法则。尽管我们的记号发生了混写，但对它们的涵义要“胸中有数”。

【注记二】一般地，把定义中的平面点集换成维空间内的点集，可类似地定义元函数，元函数也可简记为，这里，点，当时，元函数也就是一元函数，当时，元函数统称为多元函数。

【注记三】多元函数的定义域约定

在讨论多元函数时，以这个算式有确定值的自变量取值点集为该函数的定义域。

例如，函数的定义域应认为是



而函数的定义域为



【注记四】函数的几何意义

设函数的定义域为，对于任取点，其对应的函数值为，于是得到了空间内的一点。当遍取定义域内一切点时，得到了空间点集



这个点集称之为二元函数的图形， 通常我们称二元函数的图形是一张空间曲面。



【注记五】介绍计算机作图



1、对区域用直线,作剖分，得到面上的格点。这些格点有一部分在区域内，有一部分在区域之外。

2、计算函数在这些格点处的值,对区域之外的格点，函数无定义，计算机会自动进行判断，在作图时自动处理。

3、在空间直角坐标系中画出这些点，并用网状线将这些点联结起来，张成一块曲面。



三、多元函数的极限

先讨论二元函数当时的极限。

【描述性的定义】

设函数的定义域为，点是的聚点，对于任意点，当点以任何方式趋近于点时，对应的函数值无限地趋近于一个确定的常数，则称常数为函数在时的极限，记作



或  

对于这一定义，我们给出如下几点重要注解。

【注一】是区域的聚点，则它可能属于，也可能不属于，但在任意的邻域内总有内的无限多个点，因此，

取点   总是可行的。

例如，对于极限，这里，是函数的定义域的聚点。

【注二】，表示点以任何方式趋近于点，在内，点趋近于点是沿“四面八方”的各种各样路径来逼近的，而在一元函数的极限中，的方式仅有沿数轴这一种路径，因此，二元函数的极限与一元函数的极限相比较，它是一种“全面极限”，比一元函数极限复杂得多。通常我们称它为二重极限。



【例1】求二重极限。

解：



【注三】二重极限是一种全面极限，当  以某几条特殊路径趋近于时，即使函数无限地趋近于某一确定常数，并不能断定函数的极限存在。

反过来,如果当沿两条不同路径趋近于点时,函数趋近于不同的值, 则可以断定函数的二重极限不存在。

【例2】试证明函数在原点的二重极限不存在。

证明：若点沿路径趋向于原点时，有





若点沿路径趋向于原点时，有





这表明，当点仅以两种特殊的路径趋近于原点时，函数的极限值不相等。据二重极限的定义可知，

不存在。

判定函数的二重极限不存在的常用方法

设法选择面上过点的两条曲线与，使极限与的值不相等。

【例3】求 

解：



而当时，

由两边夹法则，有  

故  

函数的二重极限的概念不难推广到更多元函数的极限，这里从略。

四、多元函数的连续性

利用多元函数极限的概念，可定义多元函数的连续性。

【定义】设元函数的定义域为，是的聚点，且，

若     ，

则称元函数在点连续。

设是开区域或闭区域，若函数在上各点处都连续，则称函数在上连续，或称是上的连续函数。

设是函数定义域内的聚点，如果在点处不连续，则称它为函数的间断点。

【例4】设函数



试证明：原点是其间断点。

证明：二重极限是不存在的，事实上



如图所示，取过原点的路径( 为任意实数 ），有



此极限值与参数的取值有关，随着的不同而不同，因此二重极限



不存在，点是函数的间断点。

与闭区间上一元连续函数的性质相类似，在有界的闭区域上，多元连续函数也有如下性质。

【最大值与最小值定理】

在有界闭区域上的多元连续函数，在上至少取得它的最大值和最小值各一次。

【介值定理】

在有界闭区域上的多元连续函数，若在上取得两个不同的函数值，则它在上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。

特别地，有界闭区域上的多元连续函数可取得它的最小值与最大值之间的任何一个值。

可以证明，一元函数关于极限的运算法则仍适用于多元函数。据极限运算法则，进一步可证明，多元连续函数的和、差、积为连续函数，在分母不为零处，连续函数的商也是连续函数，多元函数的复合函数也是连续函数。

多元初等函数是指这样的函数：

它是由一个式子所表示的多元函数，而这个式子是由常数及含多个自变量的基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成。

例如，下述函数均为多元初等函数

  ，     ,   

据多元连续函数和、差、积、商的连续性以及连续函数的复合函数的连续性，再考虑到基本初等函数的连续性，我们得出如下结论

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。

【注】这里的定义区域是指含在定义域内的任一区域。

因此，对于多元初等函数，如果要求它在一点处的极限值，而又在此函数的定义区域内，则其极限值就等于函数在该点的函数值，亦即



【例】求二重极限 



而却是区域，且，所以是函数的一个定义区域，且点，故



【注】若不引进区域，也可用下述方法来判定函数在点处的连续性。

因点是函数定义域的内点，故存在的某一邻域，而任何邻域都是区域，所以便是函数的一个定义区域，又因是初等函数，因此，在点处连续。

据上述注记，我们有处理这类情况的一般方法：

求时，如果是初等函数，且是定义域的内点，则在点处连续，于是

【例5】求二重极限  

解：

 



【正】原极限中是沿除去轴、轴之外的任何路径趋近于原点，而使用变量替换之后，的路径改变成了，这与二重极限定义不符。

另一方面，与并不等价。