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  • 方程根的解法更是一元二次方程的重中之重,下面就给大家分析一下一元二次方程在初中学习中常见的方程的解法:[1]求解一元二次方程求解一元二次方程方程常见的有三种方法:(1)公式法:将一元二次方程化为一般形式 ...

    一元二次方程在整个数学的学习中是十分重要的,在初中来说它的地位更是高,不仅在中考数学中占有很大的比例,还在实际中也有很广泛的运用。其中,方程根的解法更是一元二次方程的重中之重,下面就给大家分析一下一元二次方程在初中学习中常见的方程的解法:

    [1]求解一元二次方程

    求解一元二次方程方程常见的有三种方法:

    (1)公式法:将一元二次方程化为一般形式

    ,然后利用求根公式 ,

    ,(
    )

    时,一元二次方程有两个不相等的实数根;

    时,一元二次方程有两个相等的实数根;

    时,一元二次方程没有实数根;

    例1用公式法求解方程

    的根。

    解:化简得

    >0

    ∴方程有两个不相等的实数根,利用公式得

    =

    或者

    公式法对任何一个一元二次方程都成立,时比较常用得求解一元二次方程的解的方法。

    (2)配方法:将一元二次方程化为

    的形式

    当p>0时,方程有两个不相等的实数根;

    当p<0时,方程没有实数根;

    当p=0时,方程有两个相等的实数根。

    (利用0划分是因为

    中,
    时,
    才有意义,P<0时,
    没有意义)

    例2.用配方法求解方程

    的解

    解:化简得

    进一步化简得

    ∴两边同时开方得

    或者是

    注意:在配方时我们常将二次项得系数化为1,然后加上一次项系数得一半的平方,再减去一次项系数得一半的平方,将常数项合并,然后将常数项移到等式右边,等式左边即为完全平方式,最后等式两边同时开方就可得到方程的根。(数学表示法:

    可化简为
    ,进一步化简为

    (3)因式分解法:将一元二次方程化简为左边为两个一次因式的乘积,右边等于0.我们知道如果两个因式乘积等于0,那么因式中任何一个为0;反之,如果两个因式中任何一个为0,那么他们的乘积也等于0.用数学符号表示为

    例3.用因式分解法求解方程

    解:化简得

    进一步化简得到

    (二重跟即方程有两个相等的根2)

    (4)韦达定理(即根与系数的关系):方程

    (
    )的两根为x和y,则有
    ,

    例4.用跟与系数的关系求解方程

    解:化简得

    设方程两根为x,y,则

    根据韦达定理可得x+y=-4/3,xy=1/3

    由x+y=-4/3得x=-4/3-y

    得y(-4/3-y)=1/3

    得y=-1或y=-1/3

    ∴方程的解为x=-1或x=-1/3

    总结:上面四种方法是我们求解一元二次方程时常用的方法,其中前三种是求解时最常见的,韦达定理在求根中并不常见,但在后面求解一元二次方程系数时是最常见的方法,因此,就算课本上韦达定理这一节带着*号,老师仍然还要着重强调的原因。

    今天,关于一元二次方程的题型就给大家分享这么多,明天将继续为大家分享一元二次方程常见的题型。

    展开全文
  • 一元二次方程

    2019-04-24 09:00:54
    一元二次方程的一般形式为:ax^2(2为次数,即X的平方)+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的整式方程。 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程一元...

    **

    一元二次方程的解法

    **

    一、知识要点:

    一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基 础。

    一元二次方程的一般形式为:ax^2(2为次数,即X的平方)+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的整式方程。

    解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法:

    1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。

    二、方法、例题精讲:

    1、直接开平方法:

    直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程,其解为x=±根号下n+m .

    例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11

    分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解。

    (1)解:(3x+1)2=7×

    ∴(3x+1)2=5

    ∴3x+1=±(注意不要丢解)

    ∴x=

    ∴原方程的解为x1=,x2=

    (2)解: 9x2-24x+16=11

    ∴(3x-4)2=11

    ∴3x-4=±

    ∴x=

    ∴原方程的解为x1=,x2=

    2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)

    先将常数c移到方程右边:ax2+bx=-c

    将二次项系数化为1:x2+x=-

    方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2

    方程左边成为一个完全平方式:(x+ )2=

    当b^2-4ac≥0时,x+ =±

    ∴x=(这就是求根公式)

    展开全文
  • 计算一元二次方程

    2021-01-13 22:05:52
    目录:计算一元二次方程(1)题目描述(2)输入描述(3)输出描述(4)代码(5)运行结果 计算一元二次方程 (1)题目描述 从键盘输入a, b, c的值,编程计算并输出一元二次方程 ax2 + bx + c = 0的根,当a = 0时,输出“Not qua ...

    计算一元二次方程

    (1)题目描述

    从键盘输入a, b, c的值,编程计算并输出一元二次方程
    ax2 + bx + c = 0的根,当a = 0时,输出“Not qua
    dratic equation”,当a ≠ 0时,根据△ = b2 - 4ac
    的三种情况计算并输出方程的根。

    (2)输入描述

    多组输入,一行,包含三个浮点数a, b, c,以一个空格分
    隔,表示一元二次方程ax2 + bx + c = 0的系数。

    (3)输出描述

    针对每组输入,输出一行,输出一元二次方程ax2 + bx +c = 0的根的情况。
    如果a = 0,输出“Not quadratic equation”;
    如果a ≠ 0,分三种情况:
    △ = 0,则两个实根相等,输出形式为:x1=x2=…。
    △ > 0,则两个实根不等,输出形式为:x1=…;x2=…,其中x1 <= x2。
    △ < 0,则有两个虚根,则输出:x1=实部-虚部i;x2=实部+虚部i,即x1的虚部
    系数小于等于x2的虚部系数,实部为0时不可省略。实部= -b / (2a),虚部= sqrt(-△ ) / (2a)
    所有实数部分要求精确到小数点后2位,数字、符号之间没有空格。

    (4)代码

    #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
    #include<stdio.h>
    #include<math.h>
    int main()
    {
    	float a, b, c;
    	while (scanf("%f %f %f", &a, &b, &c) != EOF)
    	{
    		double dt = pow(b, 2) - 4 * a * c;
    		if (a == 0)
    		{
    			printf("Not quadratic equation");
    		}
    		else
    		{
    			if (dt == 0)//△=0
    			{
    				double x1 = (-b - sqrt(dt)) / (2 * a);
    				double x2 = (-b + sqrt(dt)) / (2 * a);
    				printf("x1=x2=%.2f", x1);
    			}
    			else if (dt > 0)//△>0
    			{
    				double x1 = (-b - sqrt(dt)) / (2 * a);
    				double x2 = (-b + sqrt(dt)) / (2 * a);
    				printf("x1=%.2f;x2=%.2f", x1, x2);
    			}
    			else//△<0
    			{
    				double real = (-b) / (2 * a);//实部
    				double imaginary = sqrt(-dt) / (2 * a);//虚部
    				printf("x1=%.2f-%.2fi;x2=%.2f+%.2fi", real, imaginary, real, imaginary);
    			}
    		}
            printf("\n");
    	}
    	return 0;
    }
    

    (5)运行结果

    在这里插入图片描述

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  • *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系问题1请写出一元二次方程的一般形式和求根公式.ax2+bx+c=0一、复习导入问题2完成下面的表格.-132-32365-11-2-11观察表格中的结果,你有
  • 文章目录一、一元二方程求解公式二、编程求解一元二次方程1、直接求解一元二次方程2、编写一元二次方程求解函数3、编写一元二次方程类 一、一元二方程求解公式 对于一元二次方程ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 ...

    一、一元二方程求解公式

    对于一元二次方程ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0
    假设二次项系数 a0a≠0
    判别式 Δ=b24ac\Delta=b^2-4ac

    IfΔ0Thenx1=b+b24ac2ax2=bb24ac2aElsex1=b2a+4acb22aix2=b2a4acb22aiEnd IfIf \quad \Delta \geq 0 \quad Then \\ \quad x_1=\displaystyle \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ \quad x_2=\displaystyle \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ Else \\ \quad x_1=\displaystyle -\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}i \\ \quad x_2=\displaystyle -\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}i \\ End \ If

    二、编程求解一元二次方程

    1、直接求解一元二次方程

    • 创建程序 - 求解一元二次方程01.py
      在这里插入图片描述
    # -*- coding: utf-8 -*-
    """
    Created on Wed Oct 14 11:02:18 2020
    
    @author: howard
    
    求解一元二次方程01
    """
    
    import math
    
    a = float(input('a = '))
    b = float(input('b = '))
    c = float(input('c = '))
    
    if a == 0:
        print('异常信息:不是一元二次方程!')
    else:
        d = b**2 - 4 * a * c
        if d < 0:
           print('异常信息:此方程没有实数解!')
        else:
            x1 = (-b + math.sqrt(d)) / (2 * a)
            x2 = (-b - math.sqrt(d)) / (2 * a)
            print('x1 = {}, x2 = {}'.format(x1, x2))    
    
    • 运行三次程序,查看结果
      在这里插入图片描述

    2、编写一元二次方程求解函数

    • 创建程序 - 求解一元二次方程02.py
      在这里插入图片描述
    # -*- coding: utf-8 -*-
    """
    Created on Wed Oct 14 10:30:18 2020
    
    @author: howard
    
    求解一元二次方程02
    """
    
    import math
    
    def quadratic(a, b, c):
        if a == 0:
            raise ValueError('异常信息:不是一元二次方程!')
        else:
            d = b**2 - 4 * a * c
            if d < 0:
                raise ValueError('异常信息:此方程没有实数解!')
            else:
                x1 = (-b + math.sqrt(d)) / (2 * a)
                x2 = (-b - math.sqrt(d)) / (2 * a)
                return x1, x2
    
    a = float(input('a = '))
    b = float(input('b = '))
    c = float(input('c = '))
    try:
        x1, x2 = quadratic(a, b, c)
    except ValueError as err:
        print(err)
    else:
        print('x1 = {}, x2 = {}'.format(x1, x2))    
    
    • 运行三次程序,查看结果
      在这里插入图片描述

    3、编写一元二次方程类求解

    (1)求实数解

    • 创建程序 - 求解一元二次方程03.py
      在这里插入图片描述
    # -*- coding: utf-8 -*-
    """
    Created on Wed Oct 14 10:30:18 2020
    
    @author: howard
    
    求解一元二次方程03
    """
    
    import math
    
    class Quadratic:
        def __init__(self, a, b, c):
            self.a = a
            self.b = b
            self.c = c
    
        def get_solutions(self):
            a = self.a
            b = self.b
            c = self.c
            if a == 0:
                raise ValueError('异常信息:不是一元二次方程!')
            else:
                d = b**2 - 4 * a * c
                if d < 0:
                    raise ValueError('异常信息:此方程没有实数解!')
                else:
                    x1 = (-b + math.sqrt(d)) / (2 * a)
                    x2 = (-b - math.sqrt(d)) / (2 * a)
                    return x1, x2
    
    a = float(input('a = '))
    b = float(input('b = '))
    c = float(input('c = '))
    try:
        quadratic = Quadratic(a, b, c)
        x1, x2 = quadratic.get_solutions()
    except ValueError as err:
        print(err)
    else:
        print('x1 = {}, x2 = {}'.format(x1, x2))    
    
    • 运行三次程序,查看结果
      在这里插入图片描述

    (2)求复数解

    • 创建程序 - 求解一元二次方程04.py
      在这里插入图片描述
    # -*- coding: utf-8 -*-
    """
    Created on Wed Oct 14 10:30:18 2020
    
    @author: howard
    
    求解一元二次方程04
    """
    
    import math
    
    class Quadratic:
        def __init__(self, a, b, c):
            self.a = a
            self.b = b
            self.c = c
    
        def get_solutions(self):
            a = self.a
            b = self.b
            c = self.c
            if a == 0:
                raise ValueError('异常信息:不是一元二次方程!')
            else:
                d = b**2 - 4 * a * c
                if d < 0:
                    real = -b / (2 * a)
                    imagery = math.sqrt(-d) / (2 * a)
                    x1 = complex(real, imagery)
                    x2 = complex(real, -imagery)
                else:
                    x1 = (-b + math.sqrt(d)) / (2 * a)
                    x2 = (-b - math.sqrt(d)) / (2 * a)
                return x1, x2
    
    a = float(input('a = '))
    b = float(input('b = '))
    c = float(input('c = '))
    try:
        quadratic = Quadratic(a, b, c)
        x1, x2 = quadratic.get_solutions()
    except ValueError as err:
        print(err)
    else:
        print('x1 = {}, x2 = {}'.format(x1, x2))    
    
    • 运行三次程序,查看结果
      在这里插入图片描述

    4、利用sympy的solve求解

    • 编写程序 - 利用sympy的solve求解一元二次方程.py
      在这里插入图片描述
    # -*- coding: utf-8 -*-
    """
    功能:利用sympy的solve求解一元二次方程
    作者:华卫
    日期:2021年1月15日
    """
    
    from sympy import symbols, solve
    
    class Quadratic:
        def __init__(self, a, b, c):
            self.a = a
            self.b = b
            self.c = c
    
        def get_solutions(self):
            a = self.a
            b = self.b
            c = self.c
            if a == 0:
                raise ValueError('异常信息:不是一元二次方程!')
            else:            
                x = symbols('x')
                s = a * x** 2 + b * x + c
                X = solve(s, x)
                x1, x2 = X[0], X[1]
                return x1, x2
    
    a = float(input('a = '))
    b = float(input('b = '))
    c = float(input('c = '))
    try:
        quadratic = Quadratic(a, b, c)
        x1, x2 = quadratic.get_solutions()
    except ValueError as err:
        print(err)
    else:
        print('x1 = {}\nx2 = {}'.format(x1, x2))    
    
    • 运行三次程序,查看结果
      在这里插入图片描述
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    千次阅读 2016-07-28 12:17:36
    一元二次方程的根 总时间限制: 1000ms 内存限制: 65536kB 描述 利用公式x1 = (-b + sqrt(b*b-4*a*c))/(2*a), x2 = (-b - sqrt(b*b-4*a*c))/(2*a)求一元二次方程ax2+ bx + c =0的根,其中a不等于0。输入 输入一...
  • 含有一个未知数且未知数的最高次数为二次的方程称为一元二次方程, 其 标准形式为:ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 2、解法 3,根的判别式(a, b, c ∈R) 3,根与系数的关系(韦达定理) 4,根的分布或位置 5,...
  • 一元三次方程求解(求根) - 盛金公式法 一、引言 只含有一个未知数(即“元”),并且未知数的最高...一元三次方程的标准形式(即所有一元三次方程经整理都能得到的形式)是ax3+bx2+cx+d=0(a,b,c,d为常数,x...
  • 使用python解决一元二次方程

    千次阅读 2020-10-08 10:19:10
    一元二次方程的解法有几,最简便的是公式法,即=b±根号b^2-4ac除以2a 开始编程 a=int(input("请输入二次项的系数,如有根号,请输入无根号的部分")) b=int(input("请输入一次项的系数,如有根号,请输入无根号...
  • 一元二次方程求解

    2021-01-06 00:04:21
    一元二次方程求解 c语言实现 输入个参数,分别为二次项系数、一次项系数和常数项系数,输出方程的解; 判断二次项系数是否为0,为0时提示错误; 根据根判别式确定根的情况: delta>0 有两个不相等的实数根 ...
  • c++编程,函数调用实现一元二次方程求解。分成系数输入、方程求解、三角函数求解和结果输出四个函数,利用全局变量调用函数里面返回的一元二次方程的根在接下去的函数里继续调用。

空空如也

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一元二次方程三种形式