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2017-11-16 17:29:09x^2+x-12=0化成(X+4)(X-3),这是十字相乘法
十字相乘法
十字相乘法的方法简单点来讲就是:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数.基本式子:x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.
在本题中x^2+x-12可以做如下分解
1 4
×
1 -3
∴x^2+x-12=(x+4)(x-3)更多相关内容 -
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因式分解法解一元二次方程
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因式分解法又分“提公因式法”、“公式法(又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种)”和“十字相乘法”.因式分解法是通过将方程左边因式分解所得,因式分解的内容在八年级上学期学完.
如
1.解方程:x²+2x+1=0
利用完全平方公式因式解得:(x+1)²=0
解得:x1= x2=-1
2.解方程x(x+1)-3(x+1)=0
利用提公因式法解得:(x-3)(x+1)=0
即 x-3=0 或 x+1=0
∴ x1=3,x2=-1
3.解方程x²-4=0
(x+2)(x-2)=0
x+2=0或x-2=0
∴ x1=-2,x2= 2
十字相乘法公式:
x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
例:
1.ab+b²+a-b- 2
=ab+a+b²-b-2
=a(b+1)+(b-2)(b+1)
=(b+1)(a+b-2) -
一元二次方程和复数
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求解一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0 的思路,将该方程转化为 ( x − x ′ ) 2 = K (x-x')^2=K (x−x′)2=K,得到 x = ± K + x ′ x = \pm\sqrt{K}+x' x=±K+x′
所以有如下转化过程:
a x 2 + b x + c = 0 x 2 + b a x + c a = 0 x 2 + b a x = − c a x 2 + b a x + b 2 4 a 2 = b 2 4 a 2 − c a ( x + b 2 a ) 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 ax^2+bx+c=0 \\ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \\ x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} \\ x^2 + \frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a} \\ (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \\ ax2+bx+c=0x2+abx+ac=0x2+abx=−acx2+abx+4a2b2=4a2b2−ac(x+2ab)2=4a2b2−4ac
由此可以得到,
K = b 2 − 4 a c 4 a 2 x ′ = − b 2 a K=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \\ x' = -\frac{b}{2a} K=4a2b2−4acx′=−2ab
所以得到求根公式:
x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} x=2a−b±b2−4ac引入虚数 i i i 后,方程的解
当 b 2 − 4 a c < 0 b^2-4ac < 0 b2−4ac<0 时,由 − a = a i , a > 0 \sqrt{-a} = \sqrt{a}i,a>0 −a=ai,a>0 可知, b 2 − 4 a c = 4 a c − b 2 i \sqrt{b^2-4ac}=\sqrt{4ac-b^2}i b2−4ac=4ac−b2i
最后方程的解为:
− b ± b 2 − 4 a c 2 a , b 2 − 4 a c > = 0 − b ± 4 a c − b 2 i 2 a , b 2 − 4 a c < 0 \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},b^2-4ac>=0 \\ \frac{-b\pm\sqrt{4ac-b^2}i}{2a},b^2-4ac<0 \\ 2a−b±b2−4ac,b2−4ac>=02a−b±4ac−b2i,b2−4ac<0
方程的解,要么都为实数根,要么都为复数根
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在科学计算中,我们经常会遇到数值计算,可能遇到高数,线性代数等,在实际的解题中可能会比较麻烦,可能还会出错,这里就对于python在科学计算中对线性方程组,做一简单介绍。
在使用python进行线性方程组求解的时候,需要您去安装相应的程序包,scipy或者sympy,其官方文档分别为https://www.scipy.org/、https://docs.sympy.org/latest/index.html。
scipy非线性方程组求解
求解线性方程组比较简单,只需要用到一个函数(scipy.linalg.solve)就可以了。比如我们要求以下方程的解,这是一个非齐次线性方程组:
3 x 1 + x 2 − 2 x 3 = 5 x 1 − x 2 + 4 x 3 = − 2 2 x 1 + 3 x 3 = 2.5 3x_1+x_2-2x_3=5\\x_1-x_2+4x_3=-2\\2x_1+3x_3=2.5 3x1+x2−2x3=5x1−x2+4x3=−22x1+3x3=2.5
程序代码:
import numpy as np from scipy.linalg import solve #输出系数矩阵 a=np.array([[3,1,-2],[1,-1,4],[2,0,3]]) #值 b=np.array([5,-2,2.5]) #计算 x=solve(a,b) #打印结果 print(x)
结果:
[0.5 4.5 0.5] [Finished in 1.2s]
sympy 数学方程求解
SymPy是比较强大的,可以做到符号的化简,求值等。SymPy是符号数学的Python库。它的目标是成为一个全功能的计算机代数系统,同时保持代码简洁、易于理解和扩展。 SymPy完全是用Python写的,并不需要外部的库。
可以做到先设置变量,然后打印不需要设置值的功能,例如:在我们日常书写中
print(x+y)
是会报错的,然而使用了如下就不会报错了:from sympy import * x,y= symbols('x,y') print(x + y)
方程表示
公式与代码之间转换:
- 加号 +
- 减号 -
- 除号 /
- 乘号 *
- 指数 **
- 对数 log()
- e的指数次幂 exp()
简单的方程求解
对
2x-4=0
的一元一次方程求解from sympy import * x= symbols('x') print(solve(x*2-4,x))
结果:
[2] [Finished in 1.3s]
需要说明的是:solve:第一个参数为要解的方程,要求右端等于0,第二个参数为要解的未知数。还有一些 其他的参数,想了解的可以去看官方文档。
二元一次方程方程的求解
求解方程:
2 x − y = 3 3 x + y = 7 2x-y=3\\3x+y=7 2x−y=33x+y=7
from sympy import * x,y= symbols('x,y') print(solve([2*x-y-3,3*x+y-7],[x,y]))
结果:
{x: 2, y: 1} [Finished in 1.2s]
一元二次方程的求解
求解:
x 2 + 2 x + 1 = 0 x^2+2x+1=0 x2+2x+1=0
from sympy import * x= symbols('x') print(solve(x**2+2*x+1,x))
结果:
[-1] [Finished in 1.0s]
多项式化简并计算
from sympy import * x,a= symbols('x,a') #计算多项式的结果,表达式方式的结果 result_or=solve(x**2+a**2,x) print(result_or) #带入数值,这里设置a=3 for temp in result_or: print(temp.subs([(a,3)]))
结果:
[-I*a, I*a] -3*I 3*I [Finished in 1.2s]
拓展 使用sympy 计算
求解八元一次方程,有兴趣的可以了解一下
from sympy import * a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2=symbols('a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2') x0,x1,x2,y0,y1,y2=symbols('x0,x1,x2,y0,y1,y2') result=solve([a1+b1*x0+c1*x0*x0+d1*x0*x0*x0-y0, a1+b1*x1+c1*x1*x1+d1*x1*x1*x1-y1, a2+b2*x1+c2*x1*x1+d2*x1*x1*x1-y1, a2+b2*x2+c2*x2*x2+d2*x2*x2*x2-y2, b1+2*c1*x1+3*d1*x1*x1-b2-2*c2*x1-3*d2*x1*x1, c1+3*d1*x1-c2-3*d2*x1, c1+3*d1*x0, c2+3*d2*x2],[a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2]) #设置参数 cs=[(x0,6),(x1,9),(x2,12),(y0,0),(y1,3),(y2,0)] # print(result[a1]) # print(result[b1]) # print(result[c1]) # print(result[d1]) # print(result[a2]) # print(result[b2]) # print(result[c2]) # print(result[d2]) a1=result[a1].subs(cs) b1=result[b1].subs(cs) c1=result[c1].subs(cs) d1=result[d1].subs(cs) a2=result[a2].subs(cs) b2=result[b2].subs(cs) c2=result[c2].subs(cs) d2=result[d2].subs(cs) print(a1) print(b1) print(c1) print(d1) print(a2) print(b2) print(c2) print(d2)
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