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  • 一元二次方程因式分解公式
    千次阅读
    2017-11-16 17:29:09
    x^2+x-12=0化成(X+4)(X-3),这是十字相乘法
    十字相乘法
    十字相乘法的方法简单点来讲就是:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数.基本式子:x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.
    在本题中x^2+x-12可以做如下分解
    1 4
    × 
    1 -3
    ∴x^2+x-12=(x+4)(x-3)
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  • 因式分解法解一元二次方程

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    分解因式法 (可解部分一元二次方程因式分解法又分“提公因式法”、“公式法(又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种)”和“十字相乘法”.因式分解法是通过将方程左边因式分解所得,因式分解的内容在八年级...
    分解因式法  (可解部分一元二次方程)
    因式分解法又分“提公因式法”、“公式法(又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种)”和“十字相乘法”.因式分解法是通过将方程左边因式分解所得,因式分解的内容在八年级上学期学完.

    1.解方程:x²+2x+1=0
    利用完全平方公式因式解得:(x+1)²=0
    解得:x1= x2=-1
    2.解方程x(x+1)-3(x+1)=0
    利用提公因式法解得:(x-3)(x+1)=0
    即 x-3=0 或 x+1=0
    ∴ x1=3,x2=-1
    3.解方程x²-4=0
    (x+2)(x-2)=0
    x+2=0或x-2=0
    ∴ x1=-2,x2= 2
    十字相乘法公式:
    x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
    例:
    1.ab+b²+a-b- 2
    =ab+a+b²-b-2
    =a(b+1)+(b-2)(b+1)
    =(b+1)(a+b-2)
    展开全文
  • 一元二次方程和复数

    2021-11-21 20:08:57
    求解一元二次方程的思路 求解一元二次方程 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 的思路,将该方程转化为 (x−x′)2=K(x-x')^2=K(x−x′)2=K,得到 x=±K+x′x = \pm\sqrt{K}+x'x=±K​+x′ 所以有如下转化过程: ax2+bx...

    求解一元二次方程的思路

    求解一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0 的思路,将该方程转化为 ( x − x ′ ) 2 = K (x-x')^2=K (xx)2=K,得到 x = ± K + x ′ x = \pm\sqrt{K}+x' x=±K +x

    所以有如下转化过程:
    a x 2 + b x + c = 0 x 2 + b a x + c a = 0 x 2 + b a x = − c a x 2 + b a x + b 2 4 a 2 = b 2 4 a 2 − c a ( x + b 2 a ) 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 ax^2+bx+c=0 \\ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \\ x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} \\ x^2 + \frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a} \\ (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \\ ax2+bx+c=0x2+abx+ac=0x2+abx=acx2+abx+4a2b2=4a2b2ac(x+2ab)2=4a2b24ac
    由此可以得到,
    K = b 2 − 4 a c 4 a 2 x ′ = − b 2 a K=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \\ x' = -\frac{b}{2a} K=4a2b24acx=2ab
    所以得到求根公式:
    x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} x=2ab±b24ac

    引入虚数 i i i 后,方程的解

    b 2 − 4 a c < 0 b^2-4ac < 0 b24ac<0 时,由 − a = a i , a > 0 \sqrt{-a} = \sqrt{a}i,a>0 a =a i,a>0 可知, b 2 − 4 a c = 4 a c − b 2 i \sqrt{b^2-4ac}=\sqrt{4ac-b^2}i b24ac =4acb2 i

    最后方程的解为:

    − b ± b 2 − 4 a c 2 a , b 2 − 4 a c > = 0 − b ± 4 a c − b 2 i 2 a , b 2 − 4 a c < 0 \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},b^2-4ac>=0 \\ \frac{-b\pm\sqrt{4ac-b^2}i}{2a},b^2-4ac<0 \\ 2ab±b24ac ,b24ac>=02ab±4acb2 i,b24ac<0

    方程的解,要么都为实数根,要么都为复数根

    展开全文
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    前言

    在科学计算中,我们经常会遇到数值计算,可能遇到高数,线性代数等,在实际的解题中可能会比较麻烦,可能还会出错,这里就对于python在科学计算中对线性方程组,做一简单介绍。

    在使用python进行线性方程组求解的时候,需要您去安装相应的程序包,scipy或者sympy,其官方文档分别为https://www.scipy.org/https://docs.sympy.org/latest/index.html

    scipy非线性方程组求解

    求解线性方程组比较简单,只需要用到一个函数(scipy.linalg.solve)就可以了。比如我们要求以下方程的解,这是一个非齐次线性方程组:

    3 x 1 + x 2 − 2 x 3 = 5 x 1 − x 2 + 4 x 3 = − 2 2 x 1 + 3 x 3 = 2.5 3x_1+x_2-2x_3=5\\x_1-x_2+4x_3=-2\\2x_1+3x_3=2.5 3x1+x22x3=5x1x2+4x3=22x1+3x3=2.5

    程序代码:

    import numpy as np
    from scipy.linalg import solve
    #输出系数矩阵
    a=np.array([[3,1,-2],[1,-1,4],[2,0,3]])
    #值
    b=np.array([5,-2,2.5])
    #计算
    x=solve(a,b)
    #打印结果
    print(x)
    

    结果:

    [0.5 4.5 0.5]
    [Finished in 1.2s]
    

    sympy 数学方程求解

    SymPy是比较强大的,可以做到符号的化简,求值等。SymPy是符号数学的Python库。它的目标是成为一个全功能的计算机代数系统,同时保持代码简洁、易于理解和扩展。 SymPy完全是用Python写的,并不需要外部的库。

    可以做到先设置变量,然后打印不需要设置值的功能,例如:在我们日常书写中print(x+y)是会报错的,然而使用了如下就不会报错了:

    from sympy import *
    x,y= symbols('x,y')
    print(x + y)
    

    方程表示

    公式与代码之间转换:

    • 加号 +
    • 减号 -
    • 除号 /
    • 乘号 *
    • 指数 **
    • 对数 log()
    • e的指数次幂 exp()

    简单的方程求解

    2x-4=0的一元一次方程求解

    from sympy import *
    x= symbols('x')
    print(solve(x*2-4,x))
    

    结果:

    [2]
    [Finished in 1.3s]
    

    需要说明的是:solve:第一个参数为要解的方程,要求右端等于0,第二个参数为要解的未知数。还有一些 其他的参数,想了解的可以去看官方文档。

    二元一次方程方程的求解

    求解方程:

    2 x − y = 3 3 x + y = 7 2x-y=3\\3x+y=7 2xy=33x+y=7

    from sympy import *
    x,y= symbols('x,y')
    print(solve([2*x-y-3,3*x+y-7],[x,y]))
    

    结果:

    {x: 2, y: 1}
    [Finished in 1.2s]
    

    一元二次方程的求解

    求解:

    x 2 + 2 x + 1 = 0 x^2+2x+1=0 x2+2x+1=0

    from sympy import *
    x= symbols('x')
    print(solve(x**2+2*x+1,x))
    

    结果:

    [-1]
    [Finished in 1.0s]
    

    多项式化简并计算

    from sympy import *
    x,a= symbols('x,a')
    #计算多项式的结果,表达式方式的结果
    result_or=solve(x**2+a**2,x)
    print(result_or)
    #带入数值,这里设置a=3
    for temp in result_or:
    	print(temp.subs([(a,3)]))
    

    结果:

    [-I*a, I*a]
    -3*I
    3*I
    [Finished in 1.2s]
    

    拓展 使用sympy 计算

    求解八元一次方程,有兴趣的可以了解一下

    from sympy import *
    
    a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2=symbols('a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2')
    x0,x1,x2,y0,y1,y2=symbols('x0,x1,x2,y0,y1,y2')
    result=solve([a1+b1*x0+c1*x0*x0+d1*x0*x0*x0-y0,
    	a1+b1*x1+c1*x1*x1+d1*x1*x1*x1-y1,
    	a2+b2*x1+c2*x1*x1+d2*x1*x1*x1-y1,
    	a2+b2*x2+c2*x2*x2+d2*x2*x2*x2-y2,
    	b1+2*c1*x1+3*d1*x1*x1-b2-2*c2*x1-3*d2*x1*x1,
    	c1+3*d1*x1-c2-3*d2*x1,
    	c1+3*d1*x0,
    	c2+3*d2*x2],[a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2])
    #设置参数
    cs=[(x0,6),(x1,9),(x2,12),(y0,0),(y1,3),(y2,0)]
    
    # print(result[a1])
    # print(result[b1])
    # print(result[c1])
    # print(result[d1])
    # print(result[a2])
    # print(result[b2])
    # print(result[c2])
    # print(result[d2])
    
    a1=result[a1].subs(cs)
    b1=result[b1].subs(cs)
    c1=result[c1].subs(cs)
    d1=result[d1].subs(cs)
    a2=result[a2].subs(cs)
    b2=result[b2].subs(cs)
    c2=result[c2].subs(cs)
    d2=result[d2].subs(cs)
    print(a1)
    print(b1)
    print(c1)
    print(d1)
    print(a2)
    print(b2)
    print(c2)
    print(d2)
    
    展开全文
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