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2018-2019学年九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 21元二次方程 21一元二次方程的根与系?
2021-01-21 09:25:54*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系问题1请写出一元二次方程的一般形式和求根公式.ax2+bx+c=0一、复习导入问题2完成下面的表格.-132-32365-11-2-11观察表格中的结果,你有 -
一元二次方程
2019-04-24 09:00:54一元二次方程的一般形式为:ax^2(2为次数,即X的平方)+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的整式方程。 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元...**
一元二次方程的解法
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一、知识要点:
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基 础。
一元二次方程的一般形式为:ax^2(2为次数,即X的平方)+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法:
1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。
二、方法、例题精讲:
1、直接开平方法:
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程,其解为x=±根号下n+m .
例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11
分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解。
(1)解:(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
(2)解: 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边:ax2+bx=-c
将二次项系数化为1:x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式:(x+ )2=
当b^2-4ac≥0时,x+ =±
∴x=(这就是求根公式)
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python计算一元二次方程ax2+bx+c=0的根_【周四】九年级数学上册一元二次方程知识点+习题...
2021-01-24 13:09:261. 一元二次方程的一般形式: a≠0时,ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,研究一元二次方程的有关问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a、 b、 c;其中a 、 b,、c可能是具体数,也可能是含...1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时,ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,研究一元二次方程的有关问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a、 b、 c; 其中a 、 b,、c可能是具体数,也可能是含待定字母或特定式子的代数式。
2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用, 其中直接开平方法虽然简单,但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大,但计算较繁,易发生计算错误;因式分解法适用范围较大,且计算简便,是方法,配方法使用较少。
3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时,Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题:
Δ>0 <=> 有两个不等的实根; Δ=0 <=> 有两个相等的实根; Δ<0 <=> 无实根; Δ≥0 <=> 有两个实根(等或不等)。
4. 一元二次方程的根系关系: 当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时,如Δ≥0,有下列公式:一元二次方程
1.只含有一个未知数的整式方程,且都可以化为(a、b、c为 常数,a≠0)的形式,这样的方程叫一元二次方程。
2.把(a、b、c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,a为二次项系数;b为一次项系数;c为常数项。
3.解一元二次方程的方法:
(1)配方法: <将其变为的形式>
配方法解一元二次方程的基本步骤:
①把方程化成一元二次方程的一般形式;
②将二次项系数化成1;
③把常数项移到方程的右边;
④两边加上一次项系数的一半的平方;
⑤把方程转化成的形式;
⑥两边开方求其根。
(2)公式法:(注意在找abc时须先把方程化为一般形式)
(3)因式分解法:把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解。(主要包括“提公因式”和“十字相乘”)
十字相乘法:(十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数。)这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数的积,把常数项c分解成两个因数的积,并使正好等于一次项的系数b。那么可以直接写成结果:。
4.韦达定理:如果一元二次方程的两根分别为,则有: 。
十字相乘法练习题
1.(1)
(2) ————————————,————————————=7.
(3)2____________,____________
=__________
(4)2_____________,____________
=____________.
(5)2
= _____________,____________=____________.
(6)2
= _____________,____________=____________.
(7)2= _____________,____________ =____________ .
(8)2= ___________,__________ =____________ .
2.分解因式:
(1)2 (2)2
(3)2 (4)2
(5)2 (6)a2
(7)m2 (8)p2
3.(1)
一、选择题
1.用配方法解方程,应把方程两边同时( )
A.加上 B.减去 C.加上 D.减去
2.下列方程中,用配方法解时需两边同时加上1的是( )
A. B. C. D.
3.用配方法解方程,配方正确的是( )
A. B.
C. D.
4.用配方法解一元二次方程,则方程可变形为( )
A. B. C. D.
5.若方程的左边可以写成一个完全平方式,则的值为( )
A.10 B.10或14 C.-10或14 D.10或-14
6.用配方法解方程,正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题
7.用配方法解方程可变形为.
8.当= 时,可用配方法变为的形式.
9.将方程配方成的形式,则= ,= .
10.利用配方法可求得的最小值是 .
11.已知、、为常数,,则 ,= ,=
12.若>0,且取任意实数时,恒成立,则= .
三、解答题
13.完成下面的解题过程:
解方程:.
解:移项,得.
配方,得,
即.开平方,得 ,解得,
14.用配方法解方程:
(1) (2)
15.已知方程,若老师将等号右边的0变成了代数式:.
(1)用配方法求出原方程的解;
(2)你能求出重新组合后的一元二次方程的解吗?
16.用配方法说明:无论x取何值,代数式x2-4x+5的值总大于0,再求出当x取何值时,代数式x2-4x+5的值最小?最小值是多少?
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python计算一元二次方程ax2+bx+c=0的根_九上数学:一元二次方程知识点总结,预习必看!...
2021-01-24 13:09:261. 一元二次方程的一般形式: a≠0时,ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,研究一元二次方程的有关问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a、 b、 c;其中a 、 b,、c可能是具体数,也可能是含...
中考数学助力轻松升学!1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时,ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,研究一元二次方程的有关问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a、 b、 c; 其中a 、 b,、c可能是具体数,也可能是含待定字母或特定式子的代数式。2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用, 其中直接开平方法虽然简单,但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大,但计算较繁,易发生计算错误;因式分解法适用范围较大,且计算简便,是方法,配方法使用较少。3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时,Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题: Δ>0 <=> 有两个不等的实根; Δ=0 <=> 有两个相等的实根; Δ<0 <=> 无实根; Δ≥0 <=> 有两个实根(等或不等)。4. 一元二次方程的根系关系: 当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时,如Δ≥0,有下列公式:
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c++一元稀疏多项式计算器_浅谈一元二次方程的解法
2021-01-12 03:59:01一元二次方程,是初中阶段方程中比较重要的一个。不止可以单独考查,还可以结合函数来出题。从历年的期末、中考卷就可以看出它的重要性。...一元二次方程的一般形式: (a≠0),其中a为二次项系数,b为一次项...一元二次方程,是初中阶段方程中比较重要的一个。不止可以单独考查,还可以结合函数来出题。从历年的期末、中考卷就可以看出它的重要性。基于此,今天给大家分享我精心总结的一元二次方程基础知识,先从基础开始,逐渐深入掌握。
一、 一元二次方程的定义及一般形式:
只含有一个未知数x,未知数的最高次数是2,且系数不为 0,这样的方程叫一元二次方程。
一元二次方程的一般形式:
(a≠0),其中a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项。
因此,一元二次方程必须满足以下3个条件:
① 方程两边都是关于未知数的等式
② 只含有一个未知数
③ 未知数的最高次数为2
如:
,
为一元二次方程,而像就不是一元二次方程。
二、 一元二次方程的特殊形式
(1)当b=0,c=0时,有:
=0,∴
=0,∴x=0
(2)当b=0,0≠0时,有:
,∵a≠0,此方程可转化为:
①当a与c异号时,
,根据平方根的定义可知,
,即当b=0,c≠0,且a与c异号时,一元二次方程有两个不相等的实数根,这两个实数根互为相反数。
②当a与c同号时,
,∵负数没有平方根,∴方程没有实数根。
(3)当b≠0,c=0时,有
,此方程左边可以因式分解,使方程转化为x(ax+b)=0,即x=0或ax+b=0,所以x1=0,x2=-b/a。由此可见,当b≠0,c=0时,一元二次方程
有两个不相等的实数根,且两实数根中必有一个为0。
三、 一元二次方程解法:
1. 第一步:解一元二次方程时,如果给的不是一元二次方程的一般式,首先要化为一元二次方程的一般式,再确定用什么方法求解。
2. 解一元二次方程的常用方法:
(1)直接开方法:把一元二次方程化为一般式后,如果方程中缺少一次项,是一个形如ax2+c=0的方程时,可以用此方法求解。
解法步骤:①把常数项移到等号右边,
;
②方程中每项都除以二次项系数,
;
③开平方求出未知数的值:
(2)因式分解法:把一元二次方程化为一般式后,如果方程左边的多项式可以因式分解的话,可以使用此方法求解。
解法步骤:①把方程的左边因式分解,转化为两个因式乘积的形式;
②令每个因式分别等于0,进而求出方程的两个根;
例:解关于x的方程:
解:把方程左边因式分解成:(x-m)(x+n)=0
∴x1=m,x2=n
(3)配方法:当一元二次方程化为一般式后,不能用直接开方和因式分解的方法求解时,可以使用此方法。
解法步骤:①若方程的二次项系数不是1,方程中各项同除以二次项系数,使二次项系数为1;
②把常数项移到等号右边;
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
④方程左边变成一个完全平方式,右边合并同类项,变为一个实数;
⑤方程两边同时开平方,从而求出方程的两个根;
例:解方程:
解:方程两边同除以3得:
移项,得:
∴
即:
∴ x+2=±√6
∴
(4)公式法:利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程,适用于所有的一元二次方程。
求根公式:,其中a≠0。
解法步骤:①先把一元二次方程化为一般式;’
②找出方程中a、b、c等各项系数和常数值;
③计算出b2-4ac的值;
④把a、b、b2-4ac的值代入公式;
⑤求出方程的两个根;
例:解方程:
解:(1)方程中:a=1,b=-4,c=4
∴x={-(-4)±√0}/2×1=2,∴原方程根为
四、一元二次方程根的判别式
1.把△=b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c =0(a≠0)的根的判别式。
利用根的判别式可以判断根的情况:
(1)当△≥0时方程有两个实数根:
当△>0时,方程有两个不相等的实数根;
当△=0时,方程有两个相等的实数根;
(2)当△<0时,方程无实数根。
例:关于x的一元二次方程
有实数根,求m的取值范围。
解:当m-1≠0时,即:m≠1时,该方程是关于x的一元二次方程。
∵ △≥0,即
=-28m+44≥0,解得:m≤11/7
∴ m的取值范围是m≤11/7且m≠1。
五、一元二次方程根与系数的关系:
1.定理:设一元二次方程
(a≠0且
)的两个根分别为x1和x2,则:x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a
特别地:对于一元二次方程
,根与系数的关系为:
x1+x2=-p,x1·x2=q
注:①此定理成立的前提是△≥0,也就是说方程必须有实根时才可以使用。
②此定理又叫韦达定理。
2.根与系数关系的应用举例:
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