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  • *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系问题1请写出一元二次方程的一般形式和求根公式.ax2+bx+c=0一、复习导入问题2完成下面的表格.-132-32365-11-2-11观察表格中的结果,你有
  • 一元二次方程

    2019-04-24 09:00:54
    一元二次方程的一般形式为:ax^2(2为次数,即X的平方)+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的整式方程。 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元...

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    一元二次方程的解法

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    一、知识要点:

    一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基 础。

    一元二次方程的一般形式为:ax^2(2为次数,即X的平方)+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的整式方程。

    解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法:

    1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。

    二、方法、例题精讲:

    1、直接开平方法:

    直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程,其解为x=±根号下n+m .

    例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11

    分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解。

    (1)解:(3x+1)2=7×

    ∴(3x+1)2=5

    ∴3x+1=±(注意不要丢解)

    ∴x=

    ∴原方程的解为x1=,x2=

    (2)解: 9x2-24x+16=11

    ∴(3x-4)2=11

    ∴3x-4=±

    ∴x=

    ∴原方程的解为x1=,x2=

    2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)

    先将常数c移到方程右边:ax2+bx=-c

    将二次项系数化为1:x2+x=-

    方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2

    方程左边成为一个完全平方式:(x+ )2=

    当b^2-4ac≥0时,x+ =±

    ∴x=(这就是求根公式)

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  • 1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时,ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,研究一元二次方程的有关问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a、 b、 c;其中a 、 b,、c可能是具体数,也可能是含...

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    1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时,ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,研究一元二次方程的有关问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a、 b、 c; 其中a 、 b,、c可能是具体数,也可能是含待定字母或特定式子的代数式。

    2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用, 其中直接开平方法虽然简单,但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大,但计算较繁,易发生计算错误;因式分解法适用范围较大,且计算简便,是方法,配方法使用较少。

    3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时,Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题: 

    Δ>0 <=> 有两个不等的实根; Δ=0 <=> 有两个相等的实根; Δ<0 <=> 无实根; Δ≥0 <=> 有两个实根(等或不等)。

    4. 一元二次方程的根系关系: 当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时,如Δ≥0,有下列公式:52d8eea06e2762ab48cc3cbf46749c59.png2ef4ac733227c2a498f57d425707dfe4.png5569133a883364bcb8222c7bd44b4497.png

    一元二次方程

    1.只含有一个未知数的整式方程,且都可以化为(a、b、c为 常数,a≠0)的形式,这样的方程叫一元二次方程。

    2.(a、b、c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,a为二次项系数;b为一次项系数;c为常数项。

    3.解一元二次方程的方法

    (1)配方法: <将其变为的形式>

    配方法解一元二次方程的基本步骤:

    ①把方程化成一元二次方程的一般形式;

      ②将二次项系数化成1;

      ③把常数项移到方程的右边;

      ④两边加上一次项系数的一半的平方;

      ⑤把方程转化成的形式;

      ⑥两边开方求其根。

    (2)公式法:(注意在找abc时须先把方程化为一般形式)

    (3)因式分解法:把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解。(主要包括“提公因式”和“十字相乘”)

     十字相乘法:(十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数。)这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数的积,把常数项c分解成两个因数的积,并使正好等于一次项的系数b。那么可以直接写成结果:

    4.韦达定理:如果一元二次方程的两根分别为,则有: 

    十字相乘法练习题

    1.(1)

      (2) ————————————,————————————=7.

    (3)2____________,____________

    =__________

    (4)2_____________,____________

    =____________.

    (5)2

    = _____________,____________=____________.

    (6)2

    = _____________,____________=____________.

    (7)2=  _____________,____________ =____________ .

    (8)2=  ___________,__________ =____________ .

     2.分解因式:

       (1)2   (2)2

    (3)2   (4)2

    (5)2   (6)a2

    (7)m2  (8)p2

    3.(1)          

    一、选择题

    1.用配方法解方程,应把方程两边同时(   )

    A.加上   B.减去   C.加上   D.减去

    2.下列方程中,用配方法解时需两边同时加上1的是(   )

    A.    B.    C.    D.

    3.用配方法解方程,配方正确的是(   )

    A.       B.

    C.         D.

    4.用配方法解一元二次方程,则方程可变形为(   )

    A.     B.     C.     D.

    5.若方程的左边可以写成一个完全平方式,则的值为(  )

    A.10    B.10或14    C.-10或14    D.10或-14

    6.用配方法解方程,正确的是(   )

    A.    B.    C.    D.

    二、填空题

    7.用配方法解方程可变形为.

    8.=              时,可用配方法变为的形式.

    9.将方程配方成的形式,则=        =        .

    10.利用配方法可求得的最小值是          .

    11.已知为常数,,则        =         =        

    12.>0,且取任意实数时,恒成立,则=         .

    三、解答题

    13.完成下面的解题过程:

    解方程:.

    解:移项,得.

    配方,得,

    .开平方,得          ,解得

    14.用配方法解方程:

    (1)                    (2)

    15.已知方程,若老师将等号右边的0变成了代数式:.

    (1)用配方法求出原方程的解;

    (2)你能求出重新组合后的一元二次方程的解吗?

    16.用配方法说明:无论x取何值,代数式x2-4x+5的值总大于0,再求出当x取何值时,代数式x2-4x+5的值最小?最小值是多少?

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  • 1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时,ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,研究一元二次方程的有关问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a、 b、 c;其中a 、 b,、c可能是具体数,也可能是含...

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    中考数学助力轻松升学!ae4524e9f5b13c875fdc25e64d844e16.png1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时,ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,研究一元二次方程的有关问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a、 b、 c; 其中a 、 b,、c可能是具体数,也可能是含待定字母或特定式子的代数式。2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用, 其中直接开平方法虽然简单,但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大,但计算较繁,易发生计算错误;因式分解法适用范围较大,且计算简便,是方法,配方法使用较少。3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时,Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题: Δ>0 <=> 有两个不等的实根; Δ=0 <=> 有两个相等的实根; Δ<0 <=> 无实根; Δ≥0 <=> 有两个实根(等或不等)。4. 一元二次方程的根系关系: 当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时,如Δ≥0,有下列公式:ba17be7f04eb69b6d1c410ef023819db.pngc3e6e9f0db8f9f9a57ab1801f28da26d.pngb99a2d633b13ecefd788994161042d3b.png

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  • 一元二次方程,是初中阶段方程中比较重要的一个。不止可以单独考查,还可以结合函数来出题。从历年的期末、中考卷就可以看出它的重要性。...一元二次方程的一般形式: (a≠0),其中a为二次项系数,b为一次项...

    一元二次方程,是初中阶段方程中比较重要的一个。不止可以单独考查,还可以结合函数来出题。从历年的期末、中考卷就可以看出它的重要性。基于此,今天给大家分享我精心总结的一元二次方程基础知识,先从基础开始,逐渐深入掌握。

    一、 一元二次方程的定义及一般形式:

    只含有一个未知数x,未知数的最高次数是2,且系数不为 0,这样的方程叫一元二次方程。

    一元二次方程的一般形式:

    (a≠0),其中a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项。

    因此,一元二次方程必须满足以下3个条件:

    ① 方程两边都是关于未知数的等式

    ② 只含有一个未知数

    ③ 未知数的最高次数为2

    如:

    为一元二次方程,而像就不是一元二次方程。

    二、 一元二次方程的特殊形式

    (1)当b=0,c=0时,有:

    =0,∴

    =0,∴x=0

    (2)当b=0,0≠0时,有:

    ,∵a≠0,此方程可转化为:

    ①当a与c异号时,

    ,根据平方根的定义可知,

    ,即当b=0,c≠0,且a与c异号时,一元二次方程有两个不相等的实数根,这两个实数根互为相反数。

    ②当a与c同号时,

    ,∵负数没有平方根,∴方程没有实数根。

    (3)当b≠0,c=0时,有

    ,此方程左边可以因式分解,使方程转化为x(ax+b)=0,即x=0或ax+b=0,所以x1=0,x2=-b/a。由此可见,当b≠0,c=0时,一元二次方程

    有两个不相等的实数根,且两实数根中必有一个为0。

    三、 一元二次方程解法:

    1. 第一步:解一元二次方程时,如果给的不是一元二次方程的一般式,首先要化为一元二次方程的一般式,再确定用什么方法求解。

    2. 解一元二次方程的常用方法:

    (1)直接开方法:把一元二次方程化为一般式后,如果方程中缺少一次项,是一个形如ax2+c=0的方程时,可以用此方法求解。

    解法步骤:①把常数项移到等号右边,

    ②方程中每项都除以二次项系数,

    ③开平方求出未知数的值:

    (2)因式分解法:把一元二次方程化为一般式后,如果方程左边的多项式可以因式分解的话,可以使用此方法求解。

    解法步骤:①把方程的左边因式分解,转化为两个因式乘积的形式;

    ②令每个因式分别等于0,进而求出方程的两个根;

    例:解关于x的方程:

    解:把方程左边因式分解成:(x-m)(x+n)=0

    ∴x1=m,x2=n

    (3)配方法:当一元二次方程化为一般式后,不能用直接开方和因式分解的方法求解时,可以使用此方法。

    解法步骤:①若方程的二次项系数不是1,方程中各项同除以二次项系数,使二次项系数为1;

    ②把常数项移到等号右边;

    ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;

    ④方程左边变成一个完全平方式,右边合并同类项,变为一个实数;

    ⑤方程两边同时开平方,从而求出方程的两个根;

    例:解方程:

    解:方程两边同除以3得:

    移项,得:

    即:

    ∴ x+2=±√6

    (4)公式法:利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程,适用于所有的一元二次方程。

    求根公式:,其中a≠0。

    解法步骤:①先把一元二次方程化为一般式;’

    ②找出方程中a、b、c等各项系数和常数值;

    ③计算出b2-4ac的值;

    ④把a、b、b2-4ac的值代入公式;

    ⑤求出方程的两个根;

    例:解方程:

    解:(1)方程中:a=1,b=-4,c=4

    ∴x={-(-4)±√0}/2×1=2,∴原方程根为

    四、一元二次方程根的判别式

    1.把△=b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c =0(a≠0)的根的判别式。

    利用根的判别式可以判断根的情况:

    (1)当△≥0时方程有两个实数根:

    当△>0时,方程有两个不相等的实数根;

    当△=0时,方程有两个相等的实数根;

    (2)当△<0时,方程无实数根。

    例:关于x的一元二次方程

    有实数根,求m的取值范围。

    解:当m-1≠0时,即:m≠1时,该方程是关于x的一元二次方程。

    ∵ △≥0,即

    =-28m+44≥0,解得:m≤11/7

    ∴ m的取值范围是m≤11/7且m≠1。

    五、一元二次方程根与系数的关系:

    1.定理:设一元二次方程

    (a≠0且

    )的两个根分别为x1和x2,则:x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a

    特别地:对于一元二次方程

    ,根与系数的关系为:

    x1+x2=-p,x1·x2=q

    注:①此定理成立的前提是△≥0,也就是说方程必须有实根时才可以使用。

    ②此定理又叫韦达定理。

    2.根与系数关系的应用举例:

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