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一元二次方程的解法
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一、知识要点：
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基 础。
一元二次方程的一般形式为：ax^2（2为次数，即X的平方）+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：
1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例题精讲：
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程，其解为x=±根号下n+m .
例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11
分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
（2）解： 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
将二次项系数化为1：x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=
当b^2-4ac≥0时，x+ =±
∴x=(这就是求根公式)

	

1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c; 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式。
2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误;因式分解法适用范围较大，且计算简便，是方法，配方法使用较少。
3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题： 
Δ>0 <=> 有两个不等的实根; Δ=0 <=> 有两个相等的实根; Δ<0 <=> 无实根; Δ≥0 <=> 有两个实根(等或不等)。
4. 一元二次方程的根系关系： 当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：
一元二次方程
1.只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为(a、b、c为 常数，a≠0)的形式，这样的方程叫一元二次方程。
2.把(a、b、c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。
3.解一元二次方程的方法：
(1)配方法: <将其变为的形式>
配方法解一元二次方程的基本步骤：
①把方程化成一元二次方程的一般形式；
　　②将二次项系数化成1；
　　③把常数项移到方程的右边；
　　④两边加上一次项系数的一半的平方；
　　⑤把方程转化成的形式；
　　⑥两边开方求其根。
(2)公式法:(注意在找abc时须先把方程化为一般形式)
(3)因式分解法:把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。(主要包括“提公因式”和“十字相乘”)
 十字相乘法：(十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。)这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数的积，把常数项c分解成两个因数的积，并使正好等于一次项的系数b。那么可以直接写成结果:。
4.韦达定理：如果一元二次方程的两根分别为，则有： 。
十字相乘法练习题
1.(1)
  (2) ————————————，————————————=7.
(3)2____________,____________
=__________
(4)2_____________,____________
=____________.
(5)2
= _____________,____________=____________.
(6)2
= _____________,____________=____________.
(7)2=  _____________,____________ =____________ .
(8)2=  ___________,__________ =____________ .
　2.分解因式：
   (1)2   (2)2
(3)2   (4)2
(5)2   (6)a2
(7)m2  (8)p2
3.(1)          
一、选择题
1.用配方法解方程，应把方程两边同时(   )
A.加上   B.减去   C.加上   D.减去
2.下列方程中，用配方法解时需两边同时加上1的是(   )
A.    B.    C.    D.
3.用配方法解方程，配方正确的是(   )
A.       B.
C.         D.
4.用配方法解一元二次方程，则方程可变形为(   )
A.     B.     C.     D.
5.若方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为(  )
A.10    B.10或14    C.-10或14    D.10或-14
6.用配方法解方程，正确的是(   )
A.    B.    C.    D.
二、填空题
7.用配方法解方程可变形为.
8.当=              时，可用配方法变为的形式.
9.将方程配方成的形式，则=        ，=        .
10.利用配方法可求得的最小值是          .
11.已知、、为常数，，则        ，=         ，=        
12.若＞0，且取任意实数时，恒成立，则=         .
三、解答题
13.完成下面的解题过程：
解方程：.
解：移项，得.
配方，得，
即.开平方，得          ，解得，
14.用配方法解方程：
(1)                    (2)
15.已知方程，若老师将等号右边的0变成了代数式：.
(1)用配方法求出原方程的解；
(2)你能求出重新组合后的一元二次方程的解吗？
16.用配方法说明：无论x取何值，代数式x2－4x＋5的值总大于0，再求出当x取何值时，代数式x2－4x＋5的值最小?最小值是多少?
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中考数学助力轻松升学！1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c; 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式。2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误;因式分解法适用范围较大，且计算简便，是方法，配方法使用较少。3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题： Δ>0 <=> 有两个不等的实根; Δ=0 <=> 有两个相等的实根; Δ<0 <=> 无实根; Δ≥0 <=> 有两个实根(等或不等)。4. 一元二次方程的根系关系： 当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：
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一元二次方程，是初中阶段方程中比较重要的一个。不止可以单独考查，还可以结合函数来出题。从历年的期末、中考卷就可以看出它的重要性。基于此，今天给大家分享我精心总结的一元二次方程基础知识，先从基础开始，逐渐深入掌握。
一、 一元二次方程的定义及一般形式：
只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：
 (a≠0)，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
因此，一元二次方程必须满足以下3个条件：
① 方程两边都是关于未知数的等式
② 只含有一个未知数
③ 未知数的最高次数为2
如： 
 ， 
 为一元二次方程，而像就不是一元二次方程。
二、 一元二次方程的特殊形式
(1)当b=0，c=0时，有： 
 =0，∴ 
 =0，∴x=0
(2)当b=0，0≠0时，有： 
 ，∵a≠0，此方程可转化为：
①当a与c异号时， 
 ，根据平方根的定义可知， 
 ，即当b=0，c≠0，且a与c异号时，一元二次方程有两个不相等的实数根，这两个实数根互为相反数。
②当a与c同号时， 
 ，∵负数没有平方根，∴方程没有实数根。
(3)当b≠0，c＝0时，有 
 ，此方程左边可以因式分解，使方程转化为x(ax+b)=0，即x=0或ax+b=0，所以x1=0，x2=-b/a。由此可见，当b≠0，c＝0时，一元二次方程 
 有两个不相等的实数根，且两实数根中必有一个为0。
三、 一元二次方程解法：
1. 第一步：解一元二次方程时，如果给的不是一元二次方程的一般式，首先要化为一元二次方程的一般式，再确定用什么方法求解。
2. 解一元二次方程的常用方法：
(1)直接开方法：把一元二次方程化为一般式后，如果方程中缺少一次项，是一个形如ax2+c=0的方程时，可以用此方法求解。
解法步骤：①把常数项移到等号右边， 
 ；
②方程中每项都除以二次项系数， 
 ；
③开平方求出未知数的值： 
(2)因式分解法：把一元二次方程化为一般式后，如果方程左边的多项式可以因式分解的话，可以使用此方法求解。
解法步骤：①把方程的左边因式分解，转化为两个因式乘积的形式；
②令每个因式分别等于0，进而求出方程的两个根；
例：解关于x的方程： 
解：把方程左边因式分解成：(x-m)(x+n)=0
∴x1=m，x2=n
(3)配方法：当一元二次方程化为一般式后，不能用直接开方和因式分解的方法求解时，可以使用此方法。
解法步骤：①若方程的二次项系数不是1，方程中各项同除以二次项系数，使二次项系数为1；
②把常数项移到等号右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④方程左边变成一个完全平方式，右边合并同类项，变为一个实数；
⑤方程两边同时开平方，从而求出方程的两个根；
例：解方程： 
解：方程两边同除以3得：
移项，得： 
∴ 
即： 
∴ x+2=±√6
∴ 
(4)公式法：利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程，适用于所有的一元二次方程。
求根公式：，其中a≠0。
解法步骤：①先把一元二次方程化为一般式；’
②找出方程中a、b、c等各项系数和常数值；
③计算出b2-4ac的值；
④把a、b、b2-4ac的值代入公式；
⑤求出方程的两个根；
例：解方程： 
解：(1)方程中：a=1，b=-4，c=4
∴x={-(-4)±√0}/2×1=2，∴原方程根为 
四、一元二次方程根的判别式
1.把△=b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx+c =0(a≠0)的根的判别式。
利用根的判别式可以判断根的情况：
(1)当△≥0时方程有两个实数根：
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△＝0时，方程有两个相等的实数根；
(2)当△＜0时，方程无实数根。
例：关于x的一元二次方程 
 有实数根，求m的取值范围。
解：当m-1≠0时，即：m≠1时，该方程是关于x的一元二次方程。
∵ △≥0，即 
 =-28m+44≥0，解得：m≤11/7
∴ m的取值范围是m≤11/7且m≠1。
五、一元二次方程根与系数的关系：
1.定理：设一元二次方程 
 (a≠0且 
 )的两个根分别为x1和x2，则：x1+x2=-b/a，x1·x2=c/a
特别地：对于一元二次方程 
 ，根与系数的关系为：
x1+x2=-p，x1·x2=q
注：①此定理成立的前提是△≥0，也就是说方程必须有实根时才可以使用。
②此定理又叫韦达定理。
2.根与系数关系的应用举例：