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  • 一元二次方程 小结 一、一元二次方程 含义及特点 ...二、一元二次方程求根公式小结 叮嘟!这里是小啊呜的学习课程资料整理。好记性不如烂笔头,今天也是努力进步的一天。一起加油进阶吧!


    叮嘟!这里是小啊呜的学习课程资料整理。好记性不如烂笔头,今天也是努力进步的一天。一起加油进阶吧!
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    一、一元二次方程的解 含义及特点

    (1)一元二次方程的解(根)的意义:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解。一般情况下,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根(只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根)

    (2)由代数基本定理,一元二次方程有且仅有两个根(重根按重数计算),根的情况由判别式决定 。
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    判别式

    利用一元二次方程根的判别式( )可以判断方程的根的情况 [5] 。
    一元二次方程 的根与根的判别式 有如下关系:

    ①当 判别式 > 0时,方程有两个不相等的实数根

    ②当 判别式 = 0 时,方程有两个相等的实数根

    ③当 判别式 < 0时,方程无实数根,但有2个共轭复根

    上述结论反过来也成立。

    韦达定理

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    二、一元二次方程求根公式小结

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    Ending!
    更多课程知识学习记录随后再来吧!

    就酱,嘎啦!
    

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    注:
    1、人生在勤,不索何获。
    2、一元二次方程详细参见百度百科:

    https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/7231190?fr=aladdin
    
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  • 一元二次方程求根公式.doc
  • 利用C语言判断一元二次方程的情况,并且一元二次方程
  • 一元方程求根公式

    千次阅读 2019-03-10 15:12:52
    要得到一元方程求根公式,就得先定义什么是一元方程,什么是求根公式方程是指等式连接的两个式子(相信大家都明白),一元方程是指方程中只含有一个未知数的方程求根公式就是通过方程的系数进行有限加减乘除...

    最近看了看方程的求解方法,感觉挺有意思的,加之最近新换了实习,又要写毕业论文,实在太忙,没时间写博客,就拿这个写一篇博客吧

    方程的求根公式

    要得到一元方程的求根公式,就得先定义什么是一元方程,什么是求根公式。方程是指等式连接的两个式子(相信大家都明白),一元方程是指方程中只含有一个未知数的方程。求根公式就是通过方程的系数进行有限次加减乘除开方运算得到的根的值的公式。重点是有限次加减乘除开方,这些运算都被定义为初等运算。

    韦恩公式

    韦恩公式指出,一元 n n n次方程有 n n n个根(有可能有重根,重根算多个),这是因为一元多次方程可以写成元和根相减相乘的形式:
    ( x − r 1 ) ( x − r 2 ) ⋯ ( x − r n ) = 0 (x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)=0 (xr1)(xr2)(xrn)=0

    展开之后可以得到根的和和根的积与系数的关系。

    一元一次方程

    形如
    a x + b = 0 , a ≠ 0 ax+b=0,a \neq 0 ax+b=0,a̸=0
    的方程被称做一元一次方程,它的求根公式是
    x = − b a x=-\frac{b}{a} x=ab
    一元方程的意义是通过求解一元方程,人们知道了负数和分数。

    一元二次方程

    形如
    a x 2 + b x + c = 0 , a ≠ 0 ax^2+bx+c=0,a \neq 0 ax2+bx+c=0,a̸=0
    的方程被称做一元二次方程,求解它运用到的技巧就是配方法
    x 2 + b 2 a + ( b 2 a ) 2 = ( b 2 a ) 2 − c a x^2+\frac{b}{2a}+(\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a} x2+2ab+(2ab)2=(2ab)2ac

    ( x + b 2 a ) 2 = b 2 − 4 a c ( 2 a ) 2 (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{(2a)^2} (x+2ab)2=(2a)2b24ac

    x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} x=2ab±b24ac

    二元方程的意义是通过求解一元方程,人们知道了无理数(发现二次方程求根公式时人们还不知道有虚数,因为可以通过根的判别式 Δ = b 2 − 4 a c \Delta=b^2-4ac Δ=b24ac是否大于0,来确定方程有没有实数根而避免得到复数根)。

    一元三次方程

    形如
    a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 , a ≠ 0 ax^3+bx^2+cx+d=0, a \neq 0 ax3+bx2+cx+d=0,a̸=0
    的方程被称做一元三次方程。一元一次二次方程求解都比较容易,三次方程求解很需要技巧了,首先我们可以通过变量代换来降低方程的复杂度,将 x = y − b 3 a x=y-\frac{b}{3a} x=y3ab来把方程的二次项消掉,然后把方程左右两边都除 a a a使得最高次项变为1,得到
    y 3 = p y + q y^3=py+q y3=py+q

    显然 p p p q q q都可以通过 a , b , c a,b,c a,b,c来表示。然后到最巧妙的地方了,因为我们知道立方展开公式:
    ( m + n ) 3 = m 3 + 3 m 2 n + 3 m b 3 + n 3 = 3 m n ( m + n ) + ( m 3 + n 3 ) (m+n)^3=m^3+3m^2n+3mb^3+n^3=3mn(m+n)+(m^3+n^3) (m+n)3=m3+3m2n+3mb3+n3=3mn(m+n)+(m3+n3)

    这样,设 y = m + n y=m+n y=m+n,那么
    p = 3 m n p=3mn p=3mn

    q = m 3 + n 3 q=m^3+n^3 q=m3+n3

    也就是说
    m 3 n 3 = q 3 27 m^3n^3=\frac{q^3}{27} m3n3=27q3

    m 3 + n 3 = q m^3+n^3=q m3+n3=q

    根据韦恩公式我们知道这就一元二次方程的两根之和以及两根之积的形式,通过一元二次方程的求根公式我们可以得到 m 3 m^3 m3 n 3 n^3 n3。但是韦恩公式也告诉我们,一元三次方程应该有3个根,这说明 x 3 = 1 x^3=1 x3=1不只有一个根1,那缺了啥根?立方差公式我们可以得
    x 3 − 1 = ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) x31=(x1)(x2+x+1)

    这说明 x 2 + x + 1 x^2+x+1 x2+x+1还隐藏了两个非实数根,我们定义虚数 i = − 1 i=\sqrt{-1} i=1 ,然后通过二次方程的求根公式可以得到另外两个虚数根从而求方程的三个根。
    我们再理一下逻辑,首先通过变量代换将一般的三次方程变为没有没有二次项的三次方程,再通过立方展开公式将三次方程降次到二次方程从而可解,然后的到其中一个根(不妨设为 m 3 m^3 m3)开三次放得到三个值,然后通过 p = 3 m n p=3mn p=3mn得到对应的 n n n,然后 x = y − b 3 a = m + n − b 3 a x=y-\frac{b}{3a}=m+n-\frac{b}{3a} x=y3ab=m+n3ab得到原方程的根。

    一元四次方程

    形如
    a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 , a ≠ 0 ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0, a \neq 0 ax4+bx3+cx2+dx+e=0,a̸=0
    的方程被称做一元四次方程。和处理三次方程一样,我们可以通过变量替换法消掉立方项从而得到
    x 4 + p x 2 + q x + r = 0 x^4+px^2+qx+r=0 x4+px2+qx+r=0

    拉普拉斯给出了一个很巧妙的解法,首先,把上面的方程变为
    x 4 + p x 2 + q x + r = ( x 2 + m x + n ) ( x 2 + k x + l ) x^4+px^2+qx+r=(x^2+mx+n)(x^2+kx+l) x4+px2+qx+r=(x2+mx+n)(x2+kx+l)

    如果能找到这样的变换,二次方程我们又会解,那岂不是能得到原方程的解么。下面我们的问题就变成了求 m , n , k , l m,n,k,l m,n,k,l p , q , r p,q,r p,q,r的关系,根据对应次项的系数相等的关系可得:
    { m + k = 0 l + n + m k = p m l + k n = q l n = r \begin{cases} m+k=0 \\ l+n+mk=p \\ ml+kn=q \\ ln=r \end{cases} m+k=0l+n+mk=pml+kn=qln=r
    变换可得
    { m = − k n + l = p + k 2 n − l = q k l n = r \begin{cases} m=-k \\ n+l=p+k^2 \\ n-l=\frac{q}{k} \\ ln=r \end{cases} m=kn+l=p+k2nl=kqln=r
    把他们化成只含有 k k k的形式可得
    { m = − k n = 1 2 ( k 2 + p + q k ) l = 1 2 ( k 2 + p − q k ) ( k 2 + p + q k ) ( k 2 + p − q k ) = 4 r \begin{cases} m=-k \\ n=\frac{1}{2}(k^2+p+\frac{q}{k}) \\ l=\frac{1}{2}(k^2+p-\frac{q}{k}) \\ (k^2+p+\frac{q}{k})(k^2+p-\frac{q}{k}) =4r \end{cases} m=kn=21(k2+p+kq)l=21(k2+pkq)(k2+p+kq)(k2+pkq)=4r
    展开最后一个等式可得
    k 6 + 2 p k 4 + ( p 2 − 4 r ) k 2 − q 2 k^6+2pk^4+(p^2-4r)k^2-q^2 k6+2pk4+(p24r)k2q2
    这个对于 k 2 k^2 k2来说是个三次方程。我们已经知道三次方程的求根公式,继而可以得到 k k k,得到 k k k之后就可以得到 m , n , l m,n,l m,n,l,从而可以把四次方程变为两个二次方程的乘积,二次方程我们又可解,从而能得到四次方程的求根公式。

    一元五次及以上方程

    一元五次方程没有一般的求根公式,但为啥没有求根公式一直困扰着人们。直到群论的出现才使得解开了这个问题的真相。群论本科时候选数学二学位学过,研究生也选了近世代数,但是不幸的是。。。都忘光了。但是大概的意思我还记得,我就简要说一下我的理解。根据韦恩公式我们可以知道,系数其实就是根的和与积的一些组合,但是这些关系有个特点,就是有对称性,也就是说, x + y = a , x y = b x+y=a,xy=b x+y=a,xy=b,把 x , y x,y x,y的值交换并不影响等式的成立,也就是说无法通过系数直接求出每个根对应的值,如果想求出他们,就得破除这些对称性,例如得到 x − y = c x-y=c xy=c,这样才能得到对应的值,而五次方程及以没办法构造这种不对称性,所以没有一般的求根公式。

    求根公式的意义

    人们通过推导求根公式,不断扩充了数域,自然数(不算是数域,因为对于加减乘除不封闭)–>整数–>有理数域(一元一次方程)–>实数域(一元二次方程)–>复数域(一元三次方程),最后发展出了群论。感觉有空可以复习一下群论,这帮人真是太聪明了。

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  • 一元二次方程ax^2+bx+c=0中, 一元二次方程求根公式: 两x1,x2= [-b±√(b^2-4ac)]/2a 韦达定理: 两x1,x2有如下关系: x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a
    一元二次方程ax^2+bx+c=0中,
    
    一元二次方程求根公式:
    两根x1,x2= [-b±√(b^2-4ac)]/2a
    韦达定理:
    两根x1,x2有如下关系:
    x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a
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  • 一元四次方程是未知数最高次数不超过四次的多项式方程,应用化四次为二次的方法,结合盛金公式求解。适用未知数最高次项的次数不大于四的多项式方程。其解法是受一元三次方程求解方法的启发而得到的。除最初解法外,...

    一元四次方程求根公式,是数学代数学基本公式,由意大利数学家费拉里首次提出证明。一元四次方程是未知数最高次数不超过四次的多项式方程,应用化四次为二次的方法,结合盛金公式求解。适用未知数最高次项的次数不大于四的多项式方程。其解法是受一元三次方程求解方法的启发而得到的。除最初解法外,该方程是还有其他简便解法。

    中文名

    一元四次方程求根公式

    提出者

    费拉里适用领域

    未知数最高次数不超过四次的多项式方程

    应用学科

    数学代数,物理学

    一元四次方程求根公式来源

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    语音

    736f2f8df3b487759d008d2a6d210217.gif

    意大利数学家费拉里与一元四次方程的解法 卡当在《重要的艺术》一书中公布了塔塔利亚发现的一元三次方程求根公式之后,塔塔利亚谴责卡当背信弃义,提出要与卡当进行辩论与比赛。这场辩论与比赛在米兰市的教堂进行,代表卡当出场的是卡当的学生费拉里。 费拉里(Ferrari L.,1522~1565)出身贫苦,少年时代曾作为卡当的仆人。卡当的数学研究引起了他对数学的热爱,当其数学才能被卡当发现后,卡当就收他作了学生。 费拉里代替卡当与塔塔利亚辩论并比赛时,风华正茂,他不仅掌握了一元三次方程的解法,而且掌握了一元四次方程的解法,因而在辩论与比赛中取得了胜利,并由此当上了波伦亚大学的数学教授。 一元四次方程的求解方法,是受一元三次方程求解方法的启发而得到的。一元三次方程是在进行了巧妙的换元之后,把问题归结成了一元二次方程从而得解的。于是,如果能够巧妙地把一元四次方程转化为一元三次方程或一元二次方程,就可以利用已知的公式求解了。

    一元四次方程求根公式费拉里法

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    语音

    费拉里的方法是这样的:方程两边同时除以最高次项的系数可得 x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 (1)移项可得 x^4+bx^3=-cx^2-dx-e (2) 两边同时加上(1/2bx)^2 ,可将(2)式左边配成完全平方,方程成为 (x^2+1/2bx)^2=(1/4b^2-c)x^2-dx-e (3) 在(3)式两边同时加上(x^2+1/2bx)y+1/4y^2 可得 [(x^2+1/2bx)+1/2y]^2= (1/4b^2-c+y)x^2+(1/2by-d)x+1/4y^2-e (4) (4)式中的y是一个参数。当(4)式中的x为原方程的根时,不论y取什么值,(4)式都应成立。特别,如果所取的y值使(4)式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式,则对(4)对两边同时开方可以得到次数较低的方程。 为了使(4)式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式,只需使它的判别式变成0,即 (1/2by-d)^2-4(1/4b^2-c+y)(1/4y^2-e)=0 (5) 这是关于y的一元三次方程,可以通过塔塔利亚公式来求出y应取的实数值。 把由(5)式求出的y值代入(4)式后,(4)式的两边都成为完全平方,两边开方,可以得到两个关于x的一元二次方程。解这两个一元二次方程,就可以得出原方程的四个根。 费拉里发现的上述解法的创造性及巧妙之处在于:第一次配方得到(3)式后引进参数y,并再次配方把(3)式的左边配成含有参数y的完全平方,即得到(4)式,再利用(5)式使(4)的右边也成为完全平方,从而把一个一元四次方程的求解问题化成了一个一元三次方程及两个一元二次方程的求解问题。

    误用:

    不幸的是,就象塔塔利亚发现的一元三次方程求根公式被误称为卡当公式一样,费拉里发现的一元四次方程求解方法也曾被误认为是波培拉发现的。

    一元四次方程求根公式置换群法

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    语音

    解法见图片

    bd60d0bad3535592836a5975e4678a83.png说明:X1,X2,X3是某个三次方程的对称多项式(X1+X2+X3,X1*X2+X2*X3+X3*X1,X1*X2*X3均可求),利用三次方程求根公式解出X1,X2,X3;又有X=x1+x2+x3+x4=ω1,接下来根据X,X1,X2,X3解x1,x2,x3,x4

    de5337bdb6800ebad1feccb9f029d8f1.png

    一元四次方程求根公式天珩公式

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    语音

    受费拉里法等一元四次方程求根公式的启发,沈天珩对公式进行了简化,并给出了更方便判断方程实数解个数和重根情况的判别法则。且天珩公式中不存在任何虚数开方的情况,使运算更为简单方便,也能借此简化计算机求根工具的代码。以下是完整公式:

    一般式: adb9a892c1cefe72365856a3183997d3.svg

    重根判别式:

    cc0e39b65677605fbb4654f2e22a385e.svg

    882845c3f8f3388e6d3a5e4c7a115e32.svg

    6005096e6e7df15e89a2ebf0ab6508d2.svg

    9cf41e4a4f640d11196941a5b795b14a.svg

    9da5d7a9d60a601d6096ea1ce2d54c95.svg

    53ad84a7d60cb30ad2cf036d2eb23d9c.svg

    总判别式: 1191a9add2023d9340ea17e977332bce.svg

    (1)当D=E=F=0时,方程有一个四重实根。

    347e2a0bc311bf91dc475602e9e1034a.svg

    (2)当DEF≠0,A=B=C=0时,方程有四个实根,其中有一个三重根。

    e0fa225d201f057054c91a689eb46acb.svg

    (3)当E=F=0,D≠0时,方程有两对二重根;若D>0,根为实数;若D<0,根为虚数。

    5c972f8a39d17fc2cea1d732331ef1e7.svg

    (4)当ABC≠0,Δ=0时,方程有一对二重实根;若AB>0,则其余两根为不等实根;若AB<0,则其余两根为共轭虚根。

    553c9e96a8d0250723ea7424aa0662a0.svg

    (5)当Δ>0时,方程有两个不等实根和一对共轭虚根。

    c571f66970d93a7151cff224248fe285.svg

    则有:

    8db00c068292d7d571274a8e9dfba7da.svg

    daa983fd6413dd6eb7a7d8d38a99f39f.svg

    其中,sgn表示符号因子。计算方法如下:

    <1>当n=0时,sgn(n)=0。

    <2>当n≠0时,sgn(n)=abs(n)/n,即 (下同)

    (6)当Δ<0时,若D与F均为正数,则方程有四个不等实根;否则方程有两对不等共轭虚根。

    d4687b2f4052b21f1976d53d4d037e08.svg

    <1>若E=0,D>0,F>0,

    46f939d790bbc3e5bd8ddad011d3fe4f.svg

    <2>若E=0,D<0,F>0,

    d41c61c83ee741a1cab9c533e7b6f3b8.svg

    <3>若E=0,F<0,

    a7c54215fefd875e3d48a1ef6b15acef.svg

    c2f5371cccade07f7ece31cdb25404dd.svg

    <4>若E≠0,一定存在5bc15b87bad4304497a4eeb43cc96520.svg;故若D或F中有非正值即方程无实数解时,ee8a0919b37f5dddfc5141507e3c757b.svg,而2eb3fc7d7ff26112892e4fda398a9e4c.svg始终为正。

    此时有:

    当D与F均为正时,四实根为:

    58ba96ba653f4aa36ed650b03fd971fb.svg

    当D或F中有非正值时,四虚根为:

    94726e08876e708c93afaca07773324a.svg

    公式中的总判别式4a9d40ddc74ae1f868d748fd37fbc84c.svg与三次方程盛金公式中的4a9d40ddc74ae1f868d748fd37fbc84c.svg以及二次方程求根公式中的4136e7e487797aa9c5296ef92c0ddc86.svg极为相似,体现了数学中的有序、对称、和谐与简洁美。

    一元四次方程求根公式费拉里法求根公式

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    语音

    [1]

    [1]

    四次方程7249f552292b9cd23057386a7e4b9a37.svg 的求根公式过于复杂。为了描述方便,不得不借助几个中间变量。

    66eafc01bae36d6f2cc791a2db21dddf.svg

    e4b7c21fa3b922f974b2aaac341ac240.svg

    c7073f6fc8f65b9d84d562d33f216d59.svg

    decca42b90219fd5bb74d858cbfbfa9b.svg04979d42f0bce3a3ce1deb09ea0ac02e.svg (取模较大的数值)

    56a456d4fdbe60e1ae90bc2bb645ad36.svg (若 u 为零,则 v 也取值为零)

    d70c5d0e52323f454601f129f6b8bc69.svg

    1d37a9f840a2526ab8fdbab8d07222a9.svg

    8be07a20e3dfe447f96eb7788661d998.svg

    06dcf294547513a0a8a7aa8a7eb7aa3e.svg

    上面三个公式中,k 可取值 1,2,3。(m,S,T)的取值最好选择40fb7dc63f4db0e1a0b2117750a67f83.svg 最大的一组,这样计算 T 时数值最稳定。如果三个40fb7dc63f4db0e1a0b2117750a67f83.svg 均为零,则上面三个变量按下面三个公式取值

    db790dab2aec02dfd9d43cc3a524cf17.svg

    4ba992bc20726056f61fd08f05dab2f1.svg

    e2316fb73bf363bfd6bfada46810c620.svg

    四个根为(下式中b47d7473c93f588967184424b7b5f6bd.svg )

    445bde324b72df04bf1cbb26f4c2d377.svg

    一元四次方程求根公式其它证明方法

    编辑

    语音

    维基百科上有一个非常复杂的公式。

    它是方程2afcec8b9d9ebe6d772cb4ea488a61bd.svg 的四个根。将其拆分后,可得:

    5ff08b81a24ef4c1b0ef3914cd992d3a.svg

    e5302768754c71eb2ad4218160038f18.svg

    c7073f6fc8f65b9d84d562d33f216d59.svg

    decca42b90219fd5bb74d858cbfbfa9b.svg

    56a456d4fdbe60e1ae90bc2bb645ad36.svg

    d70c5d0e52323f454601f129f6b8bc69.svg

    5e8005f24ee4fd0c7b273787b1cba378.svg

    303117f4bca64c8a9008453c437bf112.svg

    e87b1c6676931e34c9920c0d3c3d07f9.svg

    四个根为(下式中b47d7473c93f588967184424b7b5f6bd.svg )

    f9d3cac370d03cc8a25e1a616d468870.svg

    可见,这个公式是“求根公式(费拉里法)”的一个特例。这个公式不仅复杂、难用,而且还不能处理 m = 0 的情况,如:求解方程f4be0bbeb9ffb6554abf892cc751578f.svg (等价于方程4d8979ad833c69f2f717a4df080316f4.svg )时会失败。

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    参考资料

    1.

    中华人民共和国教育部.数学书:未知,2003

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