精华内容
下载资源
问答
  • 一元二次方程的解求根公式
    2021-05-21 09:23:30

    C/C++ code#include "stdafx.h"

    #include "math.h"

    void main()

    {

    void sq2(double a,double b,double c);

    void sq1(double a,double b,double c);

    void sq(double a,double b,double c);

    double a,b,c;

    scanf("a=%f,b=%f,c=%f",&a,&b,&c);

    if (b*b-4*a*c>0)

    {

    sq2(a,b,c);

    }

    if (b*b-4*a*c==0)

    {

    sq1(a,b,c);

    }

    if (b*b-4*a*c<0)

    {

    sq(a,b,c);

    }

    }

    void sq2(double a,double b,double c) //while b^2-4ac>0

    {

    double temp=sqrt(b*b-4*a*c);

    printf("x1=%.2f,x2=%.2f\n\n",(-b+temp)/(2*a),(-b-temp)/(2*a));

    }

    void sq1(double a,double b,double c) //while b^2-4ac=0

    {

    double temp=sqrt(b*b-4*a*c);

    printf("x1=x2=%.2f\n\n",(-b)/(2*a));

    }

    void sq(double a,double b,double c) //while b^2-4ac<0

    {

    double temp=sqrt(abs((int)(b*b-4*a*c)));

    printf("x1=%.2f+%.2fi,x2=%.2f-%.2fi\n\n",(-b)/(2*a),temp/(2*a),(-b)/(2*a),temp/(2*a));

    }

    更多相关内容
  • 一元二次方程求根公式小结

    千次阅读 2020-10-03 10:54:15
    一元二次方程 小结 一、一元二次方程 含义及特点 ...二、一元二次方程求根公式小结 叮嘟!这里是小啊呜的学习课程资料整理。好记性不如烂笔头,今天也是努力进步的一天。一起加油进阶吧!


    叮嘟!这里是小啊呜的学习课程资料整理。好记性不如烂笔头,今天也是努力进步的一天。一起加油进阶吧!
    在这里插入图片描述

    一、一元二次方程的解 含义及特点

    (1)一元二次方程的解(根)的意义:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解。一般情况下,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根(只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根)

    (2)由代数基本定理,一元二次方程有且仅有两个根(重根按重数计算),根的情况由判别式决定 。
    在这里插入图片描述

    判别式

    利用一元二次方程根的判别式( )可以判断方程的根的情况 [5] 。
    一元二次方程 的根与根的判别式 有如下关系:

    ①当 判别式 > 0时,方程有两个不相等的实数根

    ②当 判别式 = 0 时,方程有两个相等的实数根

    ③当 判别式 < 0时,方程无实数根,但有2个共轭复根

    上述结论反过来也成立。

    韦达定理

    在这里插入图片描述

    二、一元二次方程求根公式小结

    在这里插入图片描述

    Ending!
    更多课程知识学习记录随后再来吧!

    就酱,嘎啦!
    

    在这里插入图片描述

    注:
    1、人生在勤,不索何获。
    2、一元二次方程详细参见百度百科:

    https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/7231190?fr=aladdin
    
    展开全文
  • vb一元二次方程求根

    2019-05-04 08:54:10
    只含有一个未知数(一元),并且未知数项的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。vb进行一元二次方程求根程序
  • 一元次方程求根公式

    千次阅读 2021-01-30 15:47:12
    一元二次方程的回顾和启示学过初中数学都知道对于任何一个实系数一元二次方程 ,通过配方可以得到 ,根据判别式 的符号,可以判断方程的个数,并且可以得到求根公式要么是 个不同的实 ,要么是 个二重实 ,...

    一元二次方程的回顾和启示

    学过初中数学都知道对于任何一个实系数一元二次方程

    equation?tex=ax%5E2%2Bbx%2Bc%3D0%2C~a+%5Cneq+0 ,通过配方可以得到

    equation?tex=%5Cleft%28x%2B%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%5Cright%29%5E2%3D%5Cfrac%7Bb%5E2-4ac%7D%7B4a%5E2%7D ,根据判别式

    equation?tex=%5CDelta%3Db%5E2-4ac 的符号,可以判断方程实根的个数,并且可以得到求根公式

    equation?tex=+x%3D%5Cfrac%7B-b%5Cpm%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%5Cpm%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5CDelta%7D%7D%7B2a%7D%5C%5C

    要么是

    equation?tex=2 个不同的实根

    equation?tex=%5CDelta%3E0 ,要么是

    equation?tex=1 个二重实根

    equation?tex=%5CDelta%3D0 ,要么是

    equation?tex=1 对共轭虚根

    equation?tex=%5CDelta%3C0 ;计算重数的情况下都是

    equation?tex=2 个根。

    记两根为

    equation?tex=+x_1%3D%5Cfrac%7B-b%2B%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D+%2C~+x_2%3D%5Cfrac%7B-b-%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D+%5C%5C

    可以直接验证韦达定理:

    两根之和

    equation?tex=x_1%2Bx_2%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D+ 以及两根之积

    equation?tex=x_1x_2%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D,判别式

    equation?tex=+%5CDelta%3Da%5E2%28x_1-x_2%29%5E2 .

    求根公式看上去复杂,但如果把上述两式代入求根公式

    equation?tex=x%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%5Cright%29%5E2-%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%7D%3D%5Cfrac%7Bx_1%2Bx_2%7D%7B2%7D%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cleft%28%5Cfrac%7Bx_1-x_2%7D%7B2%7D%5Cright%29%5E2%7D%3D%5Cfrac%7Bx_1%2Bx_2%7D%7B2%7D%5Cpm%5Cfrac%7Bx_1-x_2%7D%7B2%7D%5C%5C .

    注:如果

    equation?tex=x_1%2C~x_2 是共轭虚根,

    equation?tex=x_1-x_2 就是纯虚数,对负数

    equation?tex=%5Cleft%28%5Cfrac%7Bx_1-x_2%7D%7B2%7D%5Cright%29%5E2 开方不能得到

    equation?tex=%5Cfrac%7B%7Cx_1-x_2%7C%7D%7B2%7D .

    几何意义:记

    equation?tex=s%3D%5Cfrac%7Bx_1%2Bx_2%7D%7B2%7D%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D 是两根的平均值,乘积为

    equation?tex=p%3Dx_1x_2%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D . 如果

    equation?tex=x_1%2C~x_2 都是实根,则

    equation?tex=d%3D%5Cfrac%7B%7Cx_1-x_2%7C%7D%7B2%7D%3D%5Csqrt%7Bs%5E2-p%7D 是根到平均值的距离。

    求根公式就可以改写成

    equation?tex=x%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%5Cright%29%5E2-%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%7D%3Ds%5Cpm%5Csqrt%7Bs%5E2-p%7D%3Ds%5Cpm+d%5C%5C

    两根到平均值

    equation?tex=s 的距离

    equation?tex=d%3D%5Cfrac%7B%7Cx_1-x_2%7C%7D%7B2%7D 还可以通过下列方式得到:

    不妨设

    equation?tex=x_1%3Ds%2Bd%2C~+x_2%3Ds-d ,用平方差公式得到

    equation?tex=%28s%2Bd%29%28s-d%29%3Ds%5E2-d%5E2%3Dp ,立即可以算出

    equation?tex=d%3D%5Csqrt%7Bs%5E2-p%7D .

    可以看到在实根的情况下

    equation?tex=s%3D%5Cfrac%7Bx_1%2Bx_2%7D%7B2%7D 是实数轴上两根的中点,而

    equation?tex=d%3D%5Cfrac%7B%7Cx_2-x_1%7C%7D%7B2%7D 是两根到中点的距离。

    如果

    equation?tex=%5CDelta%3C0

    equation?tex=z_1%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B-%5CDelta%7D%7D%7B2a%7Di

    equation?tex=z_2%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B-%5CDelta%7D%7D%7B2a%7Di 是共轭虚根,绝对值(长度)相等

    equation?tex=s%3D%5Cfrac%7Bz_1%2Bz_2%7D%7B2%7D%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D 在复平面上是

    equation?tex=z_1

    equation?tex=z_2 连线的中点(在实轴上),刚好对应由

    equation?tex=z_1

    equation?tex=z_2 作为两邻边的菱形对角线的交点,是菱形水平方向对角线的一半,而

    equation?tex=d%3D%5Cpm%5Cfrac%7Bz_1-z_2%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B-%5CDelta%7D%7D%7B2a%7Di 是中点到两根的有向距离,是菱形竖直方向对角线的一半。

    如果考虑一般的复系数一元二次方程呢?任何两个复数

    equation?tex=z_1

    equation?tex=z_2 都可能是方程的两根,因为由韦达定理可以构造出

    equation?tex=z%5E2-%28z_1%2Bz_2%29z%2Bz_1z_2%3D0%5C%5C

    所以

    equation?tex=s%3D%5Cfrac%7Bz_1%2Bz_2%7D%7B2%7D 就是两根连线的中点,但不一定在实轴上,以

    equation?tex=z_1

    equation?tex=z_2 为邻边构成的是一个更一般的平行四边形,

    equation?tex=s 是对角线的交点,是其中一条对角线的一半,而

    equation?tex=d%3D%5Cpm%5Cfrac%7Bz_1-z_2%7D%7B2%7D 是交点到两根的有向距离,是另外一条对角线的一半。

    一元三次方程根的构造

    对于实系数一元三次方程

    equation?tex=ax%5E3%2Bbx%5E2%2Bcx%2Bd%3D0%2C~a%5Cneq+0 ,自然会想能不能用配方法?

    这里不是配成完全平方而是完全立方:

    equation?tex=x%5E3%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7Dx%5E2%2B%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7Dx%2B%5Cfrac%7Bd%7D%7Ba%7D%3D0%5CLeftrightarrow+x%5E3%2B3%5Cleft%28+%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D%5Cright%29+x%5E2%3D-%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7Dx-%5Cfrac%7Bd%7D%7Ba%7D%5C%5C

    根据前两项两边同时加上

    equation?tex=3+%5Cleft%28%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D%5Cright%29%5E2x

    equation?tex=%5Cleft%28%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D%5Cright%29%5E3 可以把左边边成完全立方,也就是

    equation?tex=%5Cleft%28x%2B%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D%5Cright%29%5E3%3D%5Cfrac%7Bb%5E2-3ac%7D%7B3a%5E2%7Dx%2B%5Cfrac%7Bb%5E3-27a%5E2d%7D%7B27a%5E3%7D+ . 右边等于

    equation?tex=%5Cfrac%7Bb%5E2-3ac%7D%7B3a%5E2%7D%5Cleft%28x%2B%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D%5Cright%29-%5Cfrac%7Bb%5E3-3abc%7D%7B9a%5E3%7D%2B%5Cfrac%7Bb%5E3-27a%5E2d%7D%7B27a%5E3%7D%3D%5Cfrac%7Bb%5E2-3ac%7D%7B3a%5E2%7D%5Cleft%28x%2B%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D%5Cright%29%2B%5Cfrac%7B9abc-2b%5E3-27a%5E2d%7D%7B27a%5E3%7D

    equation?tex=x 的一次项,不能像一元二次方程配方后可以直接开平方根得到方程的根。但这提示我们可以作变量替换

    equation?tex=t%3Dx%2B%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D 把根整体平移

    equation?tex=%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D 个单位,得到

    equation?tex=t%5E3%2B%5Cfrac%7B3ac-b%5E2%7D%7B3a%5E2%7Dt%2B%5Cfrac%7B2b%5E3-9abc%2B27a%5E2d%7D%7B27a%5E3%7D%3D0%5C%5C

    (或者用直接用待定系数法确定平移量)

    equation?tex=p%3D%5Cfrac%7B3ac-b%5E2%7D%7B3a%5E2%7D%2C~q%3D%5Cfrac%7B2b%5E3-9abc%2B27a%5E2d%7D%7B27a%5E3%7D

    这里就把方程化简为了

    equation?tex=t%5E3%2Bpt%2Bq%3D0 . 从这里可以看出,配方法能做到的只是消去比方程次数少一次的那项,结合韦达定理可以知道,只不过是找到了方程的三个根的平均值,做一个平移,让新得到的方程的三个根的平均值为0.

    这里有很多种变量替换的方法求解

    equation?tex=t%5E3%2Bpt%2Bq%3D0 .

    一、卡尔达诺方法(Cardano's method)

    引入两个新的变量

    equation?tex=u%2C~v

    equation?tex=t%3Du%2Bv,代入可得

    equation?tex=%28u%2Bv%29%5E3%2Bp%28u%2Bv%29%2Bq%3D0%5CLeftrightarrow+u%5E3%2Bv%5E3%2B%283uv%2Bp%29%28u%2Bv%29%2Bq%3D0%5C%5C

    equation?tex=3uv%2Bp%3D0 ,方程变为

    equation?tex=u%5E3%2Bv%5E3%2Bq%3D0 .

    只要

    equation?tex=u%2C~v 满足

    equation?tex=uv%3D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D

    equation?tex=u%5E3%2Bv%5E3%3D-q ,那么

    equation?tex=t%3Du%2Bv 就是

    equation?tex=t%5E3%2Bpt%2Bq%3D0 的根。

    由第一个方程可得

    equation?tex=v%3D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3u%7D ,代入第二个方程得

    equation?tex=u%5E3-%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27u%5E3%7D%2Bq%3D0 .

    两边同时乘以

    equation?tex=u%5E3 可得

    equation?tex=u%5E6%2Bqu%5E3-%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%3D0

    equation?tex=u%5E3 的一元二次方程,由求根公式可得

    equation?tex=u%5E3%3D-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%2C+~v%5E3%3D-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%5Cmp%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%5C%5C

    立方根有三个,这里取其中一个

    equation?tex=u%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%5C%5C

    equation?tex=uv%3D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D 得对应的

    equation?tex=v 可以表示成

    equation?tex=v%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%5C%5C

    得到方程的一个根为

    equation?tex=t_1%3Du%2Bv%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%5C%5C

    equation?tex=%5Comega%3De%5E%7B%5Cfrac%7B2%5Cpi+i%7D%7B3%7D%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7Di 为单位原根满足

    equation?tex=%5Comega%5E3%3D1%2C~+%5Comega%5Cneq1 (

    equation?tex=%5Comega%5E2%2B%5Comega%2B1%3D0 ),可以得到另外两个根分别为

    equation?tex=t_2%3D%5Comega+u%2B%5Comega+%5E2v%2C~t_3%3D%5Comega%5E2u%2B%5Comega+v .

    注意到

    equation?tex=uv%3D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D

    equation?tex=t%3Du-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3u%7D ,因此也可以用下面的替换来推导出求根公式:

    二、韦达替换(Vieta's substitution)

    equation?tex=t%3Dw-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3w%7D ,代入可得

    equation?tex=%5Cleft%28w-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3w%7D%5Cright%29%5E3%2Bp%5Cleft%28w-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3w%7D%5Cright%29%2Bq%3D0%5CLeftrightarrow+w%5E3-%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27w%5E3%7D%2Bq%3D0%5C%5C

    注意到

    equation?tex=w%5E6%2Bqw%5E3-%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%3D0

    equation?tex=w%5E3 的一元二次方程,所以

    equation?tex=w%5E3%3D-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%5CRightarrow+w%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%5C%5C

    代回可得

    equation?tex=t%3Dw-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3w%7D%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%5Cmp%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%5C%5C

    上面两种办法都通过变量替换推导求根公式,经过长期解具体方程总结得出一般规律,比如发现三次方程的根可以表示成两个立方根之和,有了这个根的形式的预判,求根公式就呼之欲出了。再后来Lagrange通过离散傅立叶变换统一求解低次方程,但这方法无法推广到5次方程。

    三、拉格朗日方法(Lagrange's Method)

    对于一般的二次方程, 根可以表示为:

    equation?tex=x_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5B%28x_1%2Bx_2%29%2B%28x_1-x_2%29%5D%5C%5C

    equation?tex=x_2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5B%28x_1%2Bx_2%29-%28x_1-x_2%29%5D%5C%5C

    其中

    equation?tex=x_1%2Bx_2 是根的对称多项式,

    equation?tex=x_1-x_2 虽然本身不是,但平方后也是根的对称多项式,可以用基本对称多项式表出

    equation?tex=%28x_1-x_2%29%5E2%3D%28x_1%2Bx_2%29%5E2-4x_1x_2 . 再根据韦达定理,可以推出求根公式。

    equation?tex=x%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%5Bx_1%2Bx_2%5Cpm%5Csqrt%7B%28x_1-x_2%29%5E2%7D%5Cright%5D%5C%5C

    对于一般的一元三次方程,记

    equation?tex=%5Comega%3De%5E%7B%5Cfrac%7B2%5Cpi+i%7D%7B3%7D%7D ,根可以表示为:

    equation?tex=x_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5B%28x_1%2Bx_2%2Bx_3%29%2B%28x_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2x_3%29%2B%28x_1%2B%5Comega%5E2x_2%2B%5Comega+x_3%29%5D

    equation?tex=x_2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5B%28x_1%2Bx_2%2Bx_3%29%2B%5Comega%5E2%28x_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2+x_3%29%2B%5Comega%28x_1%2B%5Comega%5E2x_2%2B%5Comega+x_3%29%5D

    equation?tex=x_3%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5B%28x_1%2Bx_2%2Bx_3%29%2B%5Comega%28x_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2x_3%29%2B%5Comega%5E2%28x_1%2B%5Comega%5E2+x_2%2B%5Comega+x_3%29%5D

    equation?tex=s_1%3Dx_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2+x_3

    equation?tex=s_2%3Dx_1%2B%5Comega%5E2+x_2%2B%5Comega+x_3 本身不是对称多项式,但两者立方后得到

    equation?tex=s_1%5E3%3Dx_1%5E3%2Bx_2%5E3%2Bx_3%5E3%2B3%5Comega%28x_1%5E2x_2%2Bx_2%5E2x_3%2Bx_3%5E2x_1%29%2B3%5Comega%5E2%28x_1x_2%5E2%2Bx_2x_3%5E3%2Bx_3x_1%5E2%29%2B6x_1x_2x_3

    equation?tex=s_2%5E3%3Dx_1%5E3%2Bx_2%5E3%2Bx_3%5E3%2B3%5Comega%5E2%28x_1%5E2x_2%2Bx_2%5E2x_3%2Bx_3%5E2x_1%29%2B3%5Comega%28x_1x_2%5E2%2Bx_2x_3%5E3%2Bx_3x_1%5E2%29%2B6x_1x_2x_3

    然后两者相加可得立方和

    equation?tex=s_1%5E3%2Bs_2%5E3+%3D2%28x_1%5E3%2Bx_2%5E3%2Bx_3%5E3%29-3%28x_1%5E2+x_2%2B+x_1x_2%5E2%2Bx_2%5E2x_3%2Bx_2x_3%5E2%2Bx_3%5E2x_1%2Bx_3x_1%5E2%29%2B12x_1x_2x_3

    是根的对称多项式,乘积

    equation?tex=s_1s_2%3Dx_1%5E2%2Bx_2%5E2%2Bx_3%5E2-%28x_1x_2%2Bx_2x_3%2Bx_3x_1%29

    是根的对称多项式,乘积的立方

    equation?tex=s_1%5E3s_2%5E3%3D%28s_1s_2%29%5E3 也是根的对称多项式。

    对于一般的一元三次方程

    equation?tex=ax%5E3%2Bbx%5E2%2Bcx%2Bd%3D0%2C~a%5Cneq+0

    对称多项式

    equation?tex=s_1%5E3%2Bs_2%5E3

    equation?tex=s_1%5E3s_2%5E3 可以由基本对称多项式

    equation?tex=%5Csigma_1%3Dx_1%2Bx_2%2Bx_3%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D

    equation?tex=%5Csigma_2%3Dx_1x_2%2Bx_2x_3%2Bx_3x_1%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D

    equation?tex=%5Csigma_3%3Dx_1x_2x_3%3D-%5Cfrac%7Bd%7D%7Ba%7D

    多项式表出,因此是方程系数的多项式。

    也就是存在多项式

    equation?tex=P

    equation?tex=Q 使得

    equation?tex=s_1%5E3%2Bs_2%5E3%3DP%28a%2Cb%2Cc%2Cd%29

    equation?tex=s_1%5E3s_2%5E3%3DQ%28a%2Cb%2Cc%2Cd%29 . 容易看出

    equation?tex=s_1%5E3

    equation?tex=s_2%5E3 是一元二次方程

    equation?tex=z%5E2-Pz%2BQ%3D0 (预解式)的两根,可以用二次方程求根公式得到,再代回下列三式就可以得到三次方程的三个根:

    equation?tex=x_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cleft%5Bx_1%2Bx_2%2Bx_3%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B%28x_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2x_3%29%5E3%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B%28x_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2x_3%29%5E3%7D%5Cright%5D

    equation?tex=x_2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cleft%5Bx_1%2Bx_2%2Bx_3%2B%5Comega%5Csqrt%5B3%5D%7B%28x_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2x_3%29%5E3%7D%2B%5Comega%5E2%5Csqrt%5B3%5D%7B%28x_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2x_3%29%5E3%7D%5Cright%5D

    equation?tex=x_3%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cleft%5Bx_1%2Bx_2%2Bx_3%2B%5Comega%5E2%5Csqrt%5B3%5D%7B%28x_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2x_3%29%5E3%7D%2B%5Comega%5Csqrt%5B3%5D%7B%28x_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2x_3%29%5E3%7D%5Cright%5D

    对于约简后的一元三次方程

    equation?tex=t%5E3%2Bpt%2Bq%3D0 ,和Cardano和Vieta方法殊途同归,得到相同的求根公式。

    equation?tex=t_1%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D

    equation?tex=t_2%3D%5Comega%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%2B%5Comega%5E2%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D

    equation?tex=t_3%3D%5Comega%5E2%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%2B%5Comega%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D

    equation?tex=p%2C~q 都用根表示代进去化简,可以得到平方根下的表达式为

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+%26%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D+%3D%5Cfrac%7Bt_1%5E2t_2%5E2t_3%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7B%28t_1t_2%2Bt_2t_3%2Bt_3t_1%29%5E3%7D%7B27%7D%5C%5C+%3D%26%5Cfrac%7Bt_1%5E2t_2%5E2%28t_1%2Bt_2%29%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7B%5Bt_1t_2-%28t_1%2Bt_2%29%5E2%5D%5E3%7D%7B27%7D%5C%5C+%3D%26%5Cfrac%7B4t_1%5E3t_2%5E3%2B15t_1%5E2t_2%5E2%28t_1%2Bt_2%29%5E2%2B12+t_1+t_2%28t_1%2Bt_2%29%5E4-4%28t_1%2Bt_2%29%5E6%7D%7B108%7D+%5Cend%7Balign%7D

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+%5CDelta%3D%26%28t_1-t_2%29%5E2%28t_2-t_3%29%5E2%28t_3-t_1%29%5E2%3D%28t_1-t_2%29%5E2%282t_2%2Bt_1%29%5E2%282t_1%2Bt_2%29%5E2%5C%5C+%3D%26%5B%28t_1%2Bt_2%29%5E2-4t_1t_2%5D%5B2%28t_1%2Bt_2%29%5E2%2Bt_1t_2%5D%5E2%5C%5C+%3D%26%5B%28t_1%2Bt_2%29%5E2-4t_1t_2%5D%5B4%28t_1%2Bt_2%29%5E4%2B4t_1t_2%28t_1%2Bt_2%29%5E2%2Bt_1%5E2t_2%5E2%5D%5C%5C+%3D%264%28t_1%2Bt_2%29%5E6-12t_1t_2%28t_1%2Bt_2%29%5E4-15t_1%5E2t_2%5E2%28t_1%2Bt_2%29%5E2-4t_1%5E3t_2%5E3+%5Cend%7Balign%7D

    展开后刚好是

    equation?tex=%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D 的分子的相反数,也就是

    equation?tex=%5CDelta%3D-%284p%5E3%2B27q%5E2%29 ,称之为方程的判别式,可以用来判断方程是否有重根。

    如果

    equation?tex=%5CDelta%3D0

    equation?tex=4p%5E3%2B27q%5E2%3D0 ,非实的复根一定成对出现,所以只可能是实根是重根,剩下一个根也不可能是非实的复根,所以三个根都是实根;最特殊的情况是1个三重实根(

    equation?tex=p%3Dq%3D0 )。

    如果

    equation?tex=%5CDelta%3C0

    equation?tex=4p%5E3%2B27q%5E2%3E0 ,一定是只有1个实根,两个非实的共轭复根;

    如果

    equation?tex=%5CDelta%3E0

    equation?tex=4p%5E3%2B27q%5E2%3C0 ,一定是3个不同实根。

    对于一般的三次方程

    equation?tex=ax%5E3%2Bbx%5E2%2Bcx%2Bd%3D0 ,判别式

    equation?tex=%5CDelta%3Da%5E4%28x_1-x_2%29%5E2%28x_2-x_3%29%5E2%28x_3-x_1%29%5E2%3D18abcd%2Bb%5E2c%5E2-27a%5E2d%5E2-4ac%5E3-4b%5E3d

    四、三角解法 (Trigonometric Method) 和几何意义

    如果实系数方程

    equation?tex=t%5E3%2Bpt%2Bq%3D0 有三个不同的实根 (

    equation?tex=%5CDelta%3E0%2C~4p%5E3%2B27q%5E2%3D-%5CDelta%3C0 ,一定有

    equation?tex=p%3C0 ),用求根公式表示出来会有虚数

    equation?tex=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bp%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bq%5E3%7D%7B27%7D%7D%3D%5Csqrt%7B-%5Cfrac%7B%5CDelta%7D%7B108%7D%7D%3D%5Cfrac%7Bi%5Csqrt%7B3%5CDelta%7D%7D%7B18%7D%5C%5C

    但如果用三角函数表示出来,不仅可以避免复数,还可以看出三个根的分布。

    为了利用三倍角公式

    equation?tex=%5Ccos+3%5Ctheta%3D4%5Ccos%5E3%5Ctheta-3%5Ccos%5Ctheta ,待定系数可设

    equation?tex=t%3Du%5Ccos%5Ctheta

    代入可得

    equation?tex=u%5E3%5Ccos%5E3%5Ctheta%2Bpu%5Ccos%5Ctheta%2Bq%3D0

    只需要满足系数成比例,也就是

    equation?tex=%5Cfrac%7Bu%5E3%7D%7Bpu%7D%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B-3%7D ,解得

    equation?tex=u%3D2%5Csqrt%7B-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%7D%3E0 .

    原方程变为

    equation?tex=%5Ccos3%5Ctheta%3D4%5Ccos%5E3%5Ctheta-3%5Ccos%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B3q%7D%7B2p%7D%5Csqrt%7B-%5Cfrac%7B3%7D%7Bp%7D%7D .

    equation?tex=%5Ctheta_k%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Carccos%5Cleft%28%5Cfrac%7B3q%7D%7B2p%7D%5Csqrt%7B-%5Cfrac%7B3%7D%7Bp%7D%7D%5Cright%29-%5Cfrac%7B2k%5Cpi%7D%7B3%7D%2C~k%3D0%2C1%2C2 .

    当然也可以取为

    equation?tex=%5Coverline%7B%5Ctheta_k%7D%3D-%5Ctheta_k%2C+~k%3D0%2C1%2C2.

    equation?tex=t_k%3D2%5Csqrt%7B-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%7D%5Ccos%5Ctheta_k%2C+~k%3D0%2C1%2C2.

    圆心在y轴上任意一点,半径为

    equation?tex=r%3D2%5Csqrt%7B-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%7D 的圆上,三个点分别对应

    equation?tex=%5Ctheta_k%2C~k%3D0%2C1%2C2 ,三个根是这三个点在横轴上的投影。对于一般情形圆心需要平移

    equation?tex=-%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D ,刚好在三次函数

    equation?tex=y%3Dax%5E3%2Bbx%5E2%2Bcx%2Bd 图像的拐点处。

    方程有3个不同的实的单根,对应函数图像与横轴的3个交点(均斜穿过横轴);函数图像有2个转折点(turning points),对应一个局部最大和一个局部最小。

    五、三次函数的图像

    三次函数

    equation?tex=f%28x%29%3Dax%5E3%2Bbx%5E2%2Bcx%2Bd 转折点的数量取决于其导函数

    equation?tex=f%27%28x%29%3D3ax%5E2%2B2bx%2Bc 的判别式

    equation?tex=4b%5E2-12ac .

    或者通过水平方向的平移消掉二次项和竖直方向上的拉伸压缩(或者还需要沿横轴的反射)把首项系数变为1,可以得到

    equation?tex=f%28x%29%3Dx%5E3%2Bpx%2Bq

    equation?tex=f%27%28x%29%3D3x%5E2%2Bp ,判别式是

    equation?tex=-12p ,事实上,我们有

    equation?tex=p%3D%5Cfrac%7B3ac-b%5E2%7D%7B3a%5E2%7D .

    可以看出如果

    equation?tex=b%5E2-3ac%3E0+~%28p%3C0%29 那么函数图像一定有两个转折点(局部最大和局部最小);

    equation?tex=b%5E2-3ac%3D0 则会有一个不是转折点的临界点;

    equation?tex=b%5E2-3ac%3C0 则没有临界点(没有水平切线)。

    下面不妨记

    equation?tex=%5CDelta%3E0 为情形(1),这种情形一定有

    equation?tex=b%5E2-3ac%3E0~%284p%5E3%2B27q%5E2%3C0%5CRightarrow+p%3C0%29 ,

    e.g.

    equation?tex=y%3D%28x%2B1%29%28x%2B2%29%28x-3%29%3Dx%5E3-7x-6 .

    equation?tex=%5CDelta%3C0 时,有一个实根和一对非实的共轭复根,对应函数图像与x轴的1个交点(斜穿过横轴);根据转折点的数量又分为三种情形

    情形(2):

    equation?tex=b%5E2-3ac%3E0~%284p%5E3%2B27q%5E2%3E0+~%5C%26+~p%3C0%29

    2个转折点,对应一个局部最大和一个局部最小,

    e.g.

    equation?tex=y%3D%28x-2%29%28x%5E2%2B2x%2B3%29%3Dx%5E3-x-6

    情形(3):

    equation?tex=b%5E2-3ac%3D0~%284p%5E3%2B27q%5E2%3E0~%5C%26+~p%3D0%29

    1个非转折点的临界点,函数在定义域

    equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D 上单调,e.g.

    equation?tex=y%3D%28x%2B1%29%28x%5E2-x%2B1%29%3Dx%5E3%2B1

    equation?tex=y%3D%28x-1%29%28x%5E2%2Bx%2B1%29%3Dx%5E3-1 .

    情形(4):

    equation?tex=b%5E2-3ac%3C0~%284p%5E3%2B27q%5E2%3E0~%5C%26~p%3E0%29

    0个临界点,函数在定义域

    equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D 上单调,e.g.

    equation?tex=y%3Dx%28x%5E2%2B1%29%3Dx%5E3%2Bx .

    equation?tex=%5CDelta%3D0 时,又对应两种情况:

    情形(5):

    equation?tex=b%5E2-3ac%3E0~%284p%5E3%2B27q%5E2%3D0+~%5C%26+~p%3C0%29

    1个二重实根和1个实单根,函数图像在二重根处与横轴相切不穿过,在单根处斜穿过,一定有两个转折点,对应一个局部最大和一个局部最小,e.g.

    equation?tex=y%3D%28x-1%29%5E2%28x%2B2%29%3Dx%5E3-3x%2B2 .

    情形(6):

    equation?tex=b%5E2-3ac%3D0~%284p%5E3%2B27q%5E2%3D0+~%5C%26+~p%3D0%29

    1个三重实根,函数图像在三重实根处与x轴相切穿过,没有转折点,函数在定义域

    equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D 上单调,e.g.

    equation?tex=y%3Dx%5E3 .

    展开全文
  • 本文实例讲述了C++通过自定义函数求一元二次方程。分享给大家供大家参考,具体如下: /* * 作 者: 刘同宾 * 完成日期:2012 年 11 月 24 日 * 版 本 号:v1.0 * 输入描述: * 问题描述: 求一元二次方程。...
  • 一元方程求根公式

    千次阅读 2019-03-10 15:12:52
    要得到一元方程求根公式,就得先定义什么是一元方程,什么是求根公式方程是指等式连接的两个式子(相信大家都明白),一元方程是指方程中只含有一个未知数的方程求根公式就是通过方程的系数进行有限加减乘除...

    最近看了看方程的求解方法,感觉挺有意思的,加之最近新换了实习,又要写毕业论文,实在太忙,没时间写博客,就拿这个写一篇博客吧

    方程的求根公式

    要得到一元方程的求根公式,就得先定义什么是一元方程,什么是求根公式。方程是指等式连接的两个式子(相信大家都明白),一元方程是指方程中只含有一个未知数的方程。求根公式就是通过方程的系数进行有限次加减乘除开方运算得到的根的值的公式。重点是有限次加减乘除开方,这些运算都被定义为初等运算。

    韦恩公式

    韦恩公式指出,一元 n n n次方程有 n n n个根(有可能有重根,重根算多个),这是因为一元多次方程可以写成元和根相减相乘的形式:
    ( x − r 1 ) ( x − r 2 ) ⋯ ( x − r n ) = 0 (x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)=0 (xr1)(xr2)(xrn)=0

    展开之后可以得到根的和和根的积与系数的关系。

    一元一次方程

    形如
    a x + b = 0 , a ≠ 0 ax+b=0,a \neq 0 ax+b=0,a̸=0
    的方程被称做一元一次方程,它的求根公式是
    x = − b a x=-\frac{b}{a} x=ab
    一元方程的意义是通过求解一元方程,人们知道了负数和分数。

    一元二次方程

    形如
    a x 2 + b x + c = 0 , a ≠ 0 ax^2+bx+c=0,a \neq 0 ax2+bx+c=0,a̸=0
    的方程被称做一元二次方程,求解它运用到的技巧就是配方法
    x 2 + b 2 a + ( b 2 a ) 2 = ( b 2 a ) 2 − c a x^2+\frac{b}{2a}+(\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a} x2+2ab+(2ab)2=(2ab)2ac

    ( x + b 2 a ) 2 = b 2 − 4 a c ( 2 a ) 2 (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{(2a)^2} (x+2ab)2=(2a)2b24ac

    x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} x=2ab±b24ac

    二元方程的意义是通过求解一元方程,人们知道了无理数(发现二次方程求根公式时人们还不知道有虚数,因为可以通过根的判别式 Δ = b 2 − 4 a c \Delta=b^2-4ac Δ=b24ac是否大于0,来确定方程有没有实数根而避免得到复数根)。

    一元三次方程

    形如
    a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 , a ≠ 0 ax^3+bx^2+cx+d=0, a \neq 0 ax3+bx2+cx+d=0,a̸=0
    的方程被称做一元三次方程。一元一次二次方程求解都比较容易,三次方程求解很需要技巧了,首先我们可以通过变量代换来降低方程的复杂度,将 x = y − b 3 a x=y-\frac{b}{3a} x=y3ab来把方程的二次项消掉,然后把方程左右两边都除 a a a使得最高次项变为1,得到
    y 3 = p y + q y^3=py+q y3=py+q

    显然 p p p q q q都可以通过 a , b , c a,b,c a,b,c来表示。然后到最巧妙的地方了,因为我们知道立方展开公式:
    ( m + n ) 3 = m 3 + 3 m 2 n + 3 m b 3 + n 3 = 3 m n ( m + n ) + ( m 3 + n 3 ) (m+n)^3=m^3+3m^2n+3mb^3+n^3=3mn(m+n)+(m^3+n^3) (m+n)3=m3+3m2n+3mb3+n3=3mn(m+n)+(m3+n3)

    这样,设 y = m + n y=m+n y=m+n,那么
    p = 3 m n p=3mn p=3mn

    q = m 3 + n 3 q=m^3+n^3 q=m3+n3

    也就是说
    m 3 n 3 = q 3 27 m^3n^3=\frac{q^3}{27} m3n3=27q3

    m 3 + n 3 = q m^3+n^3=q m3+n3=q

    根据韦恩公式我们知道这就一元二次方程的两根之和以及两根之积的形式,通过一元二次方程的求根公式我们可以得到 m 3 m^3 m3 n 3 n^3 n3。但是韦恩公式也告诉我们,一元三次方程应该有3个根,这说明 x 3 = 1 x^3=1 x3=1不只有一个根1,那缺了啥根?立方差公式我们可以得
    x 3 − 1 = ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) x31=(x1)(x2+x+1)

    这说明 x 2 + x + 1 x^2+x+1 x2+x+1还隐藏了两个非实数根,我们定义虚数 i = − 1 i=\sqrt{-1} i=1 ,然后通过二次方程的求根公式可以得到另外两个虚数根从而求方程的三个根。
    我们再理一下逻辑,首先通过变量代换将一般的三次方程变为没有没有二次项的三次方程,再通过立方展开公式将三次方程降次到二次方程从而可解,然后的到其中一个根(不妨设为 m 3 m^3 m3)开三次放得到三个值,然后通过 p = 3 m n p=3mn p=3mn得到对应的 n n n,然后 x = y − b 3 a = m + n − b 3 a x=y-\frac{b}{3a}=m+n-\frac{b}{3a} x=y3ab=m+n3ab得到原方程的根。

    一元四次方程

    形如
    a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 , a ≠ 0 ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0, a \neq 0 ax4+bx3+cx2+dx+e=0,a̸=0
    的方程被称做一元四次方程。和处理三次方程一样,我们可以通过变量替换法消掉立方项从而得到
    x 4 + p x 2 + q x + r = 0 x^4+px^2+qx+r=0 x4+px2+qx+r=0

    拉普拉斯给出了一个很巧妙的解法,首先,把上面的方程变为
    x 4 + p x 2 + q x + r = ( x 2 + m x + n ) ( x 2 + k x + l ) x^4+px^2+qx+r=(x^2+mx+n)(x^2+kx+l) x4+px2+qx+r=(x2+mx+n)(x2+kx+l)

    如果能找到这样的变换,二次方程我们又会解,那岂不是能得到原方程的解么。下面我们的问题就变成了求 m , n , k , l m,n,k,l m,n,k,l p , q , r p,q,r p,q,r的关系,根据对应次项的系数相等的关系可得:
    { m + k = 0 l + n + m k = p m l + k n = q l n = r \begin{cases} m+k=0 \\ l+n+mk=p \\ ml+kn=q \\ ln=r \end{cases} m+k=0l+n+mk=pml+kn=qln=r
    变换可得
    { m = − k n + l = p + k 2 n − l = q k l n = r \begin{cases} m=-k \\ n+l=p+k^2 \\ n-l=\frac{q}{k} \\ ln=r \end{cases} m=kn+l=p+k2nl=kqln=r
    把他们化成只含有 k k k的形式可得
    { m = − k n = 1 2 ( k 2 + p + q k ) l = 1 2 ( k 2 + p − q k ) ( k 2 + p + q k ) ( k 2 + p − q k ) = 4 r \begin{cases} m=-k \\ n=\frac{1}{2}(k^2+p+\frac{q}{k}) \\ l=\frac{1}{2}(k^2+p-\frac{q}{k}) \\ (k^2+p+\frac{q}{k})(k^2+p-\frac{q}{k}) =4r \end{cases} m=kn=21(k2+p+kq)l=21(k2+pkq)(k2+p+kq)(k2+pkq)=4r
    展开最后一个等式可得
    k 6 + 2 p k 4 + ( p 2 − 4 r ) k 2 − q 2 k^6+2pk^4+(p^2-4r)k^2-q^2 k6+2pk4+(p24r)k2q2
    这个对于 k 2 k^2 k2来说是个三次方程。我们已经知道三次方程的求根公式,继而可以得到 k k k,得到 k k k之后就可以得到 m , n , l m,n,l m,n,l,从而可以把四次方程变为两个二次方程的乘积,二次方程我们又可解,从而能得到四次方程的求根公式。

    一元五次及以上方程

    一元五次方程没有一般的求根公式,但为啥没有求根公式一直困扰着人们。直到群论的出现才使得解开了这个问题的真相。群论本科时候选数学二学位学过,研究生也选了近世代数,但是不幸的是。。。都忘光了。但是大概的意思我还记得,我就简要说一下我的理解。根据韦恩公式我们可以知道,系数其实就是根的和与积的一些组合,但是这些关系有个特点,就是有对称性,也就是说, x + y = a , x y = b x+y=a,xy=b x+y=a,xy=b,把 x , y x,y x,y的值交换并不影响等式的成立,也就是说无法通过系数直接求出每个根对应的值,如果想求出他们,就得破除这些对称性,例如得到 x − y = c x-y=c xy=c,这样才能得到对应的值,而五次方程及以没办法构造这种不对称性,所以没有一般的求根公式。

    求根公式的意义

    人们通过推导求根公式,不断扩充了数域,自然数(不算是数域,因为对于加减乘除不封闭)–>整数–>有理数域(一元一次方程)–>实数域(一元二次方程)–>复数域(一元三次方程),最后发展出了群论。感觉有空可以复习一下群论,这帮人真是太聪明了。

    展开全文
  • 一元二次方程求根公式PPT课件.pptx
  • 一元二次方程求根公式的判别式.doc
  • 一元二次方程求根公式PPT学习教案.pptx
  • 一元二次方程求根公式一元二次函数公式求根函数配方.doc
  • 一元次方程求根公式

    千次阅读 2020-03-15 21:56:44
    标准型的一元次方程aX^3+bX^2+... 两种公式法都可以标准型的一元次方程。用卡尔丹公式解题方便,相比之下,盛金公式虽然形式简单,但是整体较为冗长,不方便记忆,但是实际解题更为直观。 一、卡丹公式法的...
  • 一元次方程求根公式

    千次阅读 2021-06-26 07:28:18
    一元四次方程是未知数最高次数不超过四次的多项式方程,应用化四次为二次的方法,结合盛金公式求解。适用未知数最高次项的次数不大于四的多项式方程。其解法是受一元三次方程求解方法的启发而得到的。除最初解法外,...
  • 一元二次方程求根公式-一元二次函数公式法-求根函数配方.doc
  • 求根公式解一元二次方程 import math def quadratic(a, b, c): if a == 0: if b == 0: if c == 0: print('方程有任意') else: print('方程') else: x = -c / b print('方程:x=%.2f'
  • 一元二次方程求根公式.doc
  • 一元二次方程求根公式推导过程

    万次阅读 2018-11-16 10:45:22
    两边同时除以二次项系数 常数项移动到等号另一边 为了配方,两边都加上一次项系数的二分之一的平方 最后开方整理记得到求根公式
  • 一元次方程求解(求根) - 盛金公式

    万次阅读 多人点赞 2019-09-25 14:16:44
    一元次方程求解(求根) - 盛金公式法 一、引言 只含有一个未知数(即“元”),并且未知数的最高次数为3(即“”)的整式方程叫做一元次方程(英文名:cubic equation in one unknown)。一元次方程的...
  • 9.90 积分//求解一元二次方程ax^2+bx+c=0的实和复根,Test类是主类class OnceBasicQuadraticEquation //求解一元二次方程ax^2+bx+c的实和复根的类,其中getRoot()方法求根和显示{ pri...
  • 第一个加了自己想法的C程序,可以判断一元二次方程根的情况并输出结果
  • 简单C语言小程序:求根公式求一元二次方程式的! 一、算法的构思 一元二次方程的一般式:ax^2+bx+c = 0 我们知道,一元二次方程)的充要条件是:b^2-2ac>=0。如果不满足此关系式,那么方程。接着当...
  • C#程式求一元二次方程根

    千次阅读 2021-05-23 10:01:29
    C#程式求一元二次方程根以下文字资料是由(历史新...C#程式求一元二次方程根, c# 由使用者输入a,b,c求一元二次方程根的程式public static void Main(){double a, b, c;Console.Write("a=");a = Convert.ToDouble(Cons...
  • 我们学习数学经常会遇到一元二次方程式,那么如何用Matlab软件求一元二次方程的个数以及各个的值呢?下面小编给大家分享一下。工具/材料Matlab操作方法01首先打开Matlab软件,点击左上角的New Script按钮,如...
  • 使用c语言求一元二次方程

    千次阅读 2022-03-30 16:39:02
    使用c语言求一元二次方程

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 7,997
精华内容 3,198
热门标签
关键字:

一元二次方程的解求根公式

友情链接: ch2_10.rar