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  • 一元二次方程解法

    2020-09-23 16:22:28
    一、平方根 非负数开平方 负数开平方 二、一元二次方程解法 直接开平方法 因式分解法 求根公式(万能方法)

    一、平方根

    1. 非负数开平方

      image-20200921090030414

    2. 负数开平方

      image-20200921090538604

      image-20200921090736666

      image-20200921090848443

    二、一元二次方程的解法

    1. 直接开平方法

      image-20200921091248918

      image-20200921091617726

    2. 因式分解法

      image-20200921091847375

      image-20200921091958496

      image-20200921092111816

      image-20200921092751312

      image-20200921093527334

    3. 求根公式(万能方法)

      image-20200921095043695

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      image-20200921100310597

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    一元高次方程数值解法C程序实现探? 一元高次方程作为方程的一部分,对我们后续的学习起着相当重要的作用求解一元高次方程的根在计算数学方面既是难点也是重点。一元三次方程和一元四次方称有一般解法,但是比较复杂,且超过了一般的知识范围5次以及5次以上的代数方程,没有一般的公式解法。文我们了解了系数在有理数域且只有有理根的一元高次方程的解法技巧一元二次方程根式解的推敲了一元三次、四次方程的根式解;最后介绍了两种解高次方程数值解通用的两种方法:二分法、牛顿法。要求我们在了解一元二次方程的同时掌握一元三次及四次方程的根式解意义,理解用二分法及牛顿法解一元高次方程数值解法的思想及意义Polynomial equations C program discuss

    Abstract

    Polynomial equations as part of the equation, for our subsequent learning plays a very important role. Solving a polynomial equation root in computational mathematics is a difficult and key point.

    On polynomial equations, we in the stage of middle school, have mastered the two once basic quadratic equation formula solution; three once basic quadratic equation and a four power said that general solutions, but are more complex, and more than the general scope of knowledge; the 5and more than 5algebraic equation, no general formula solution,

    In this paper we understand the coefficients in the field of rational numbers and only the rational root of polynomial equations based on techniques, Through the memories we learned two once basic quadratic equation root solution method, the study of one dollar three times, four times radical solution; finally introduced two kinds of solution of equation of higher degree numerical solution of general by two methods: the dichotomy, the Newton-Raphson method. We know two once basic quadratic equation while master of one dollar three times and four times the radical solution of equation of meaning, understand the use of dichotomy and Newtons method for solving polynomial equations numerical solution of the thought and meaning

    Key words: Equation of higher degree, Dichotomy,

    Newton method, Iterative

    目录

    摘要

    绪论

    选题分析

    2.1选题的研究现状

    2.2选题的意义

    2.3论文的主要内容

    3 解方程

    3.1 一元三次方程的根式解法

    3.3 二分法解一元高次方程

    3.4 牛顿法解一元高次方程

    参考文献

    致谢

    1.绪论

    整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程,称为高次方程。高次方程解法思想是通过适当的方法,把高次方程化为次数较低的方程求解。对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解),这称为阿贝尔定理。 换句话说,只有三次和四次的高次方程可用根式求解。人类很早就掌握了

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  • 苏科版数学九年级上册 第一章 1.2 一元二次方程解法 暑假辅导课后练习(一).docx
  • 沪科版(2012)初中数学八年级下册 17.2.2 一元二次方程解法之《配方法》 教案 .doc
  • 华东师大版九年级数学上册导学案:22.2.1一元二次方程解法—直接开方法因式分解法.doc
  • 其中,方程根的解法更是一元二次方程的重中之重,下面就给大家分析一下一元二次方程在初中学习中常见的方程解法:[1]求解一元二次方程求解一元二次方程方程常见的有三种方法:(1)公式法:将一元二次方程化为一般...

    一元二次方程在整个数学的学习中是十分重要的,在初中来说它的地位更是高,不仅在中考数学中占有很大的比例,还在实际中也有很广泛的运用。其中,方程根的解法更是一元二次方程的重中之重,下面就给大家分析一下一元二次方程在初中学习中常见的方程的解法:

    [1]求解一元二次方程

    求解一元二次方程方程常见的有三种方法:

    (1)公式法:将一元二次方程化为一般形式

    ,然后利用求根公式 ,

    ,(
    )

    时,一元二次方程有两个不相等的实数根;

    时,一元二次方程有两个相等的实数根;

    时,一元二次方程没有实数根;

    例1用公式法求解方程

    的根。

    解:化简得

    >0

    ∴方程有两个不相等的实数根,利用公式得

    =

    或者

    公式法对任何一个一元二次方程都成立,时比较常用得求解一元二次方程的解的方法。

    (2)配方法:将一元二次方程化为

    的形式

    当p>0时,方程有两个不相等的实数根;

    当p<0时,方程没有实数根;

    当p=0时,方程有两个相等的实数根。

    (利用0划分是因为

    中,
    时,
    才有意义,P<0时,
    没有意义)

    例2.用配方法求解方程

    的解

    解:化简得

    进一步化简得

    ∴两边同时开方得

    或者是

    注意:在配方时我们常将二次项得系数化为1,然后加上一次项系数得一半的平方,再减去一次项系数得一半的平方,将常数项合并,然后将常数项移到等式右边,等式左边即为完全平方式,最后等式两边同时开方就可得到方程的根。(数学表示法:

    可化简为
    ,进一步化简为

    (3)因式分解法:将一元二次方程化简为左边为两个一次因式的乘积,右边等于0.我们知道如果两个因式乘积等于0,那么因式中任何一个为0;反之,如果两个因式中任何一个为0,那么他们的乘积也等于0.用数学符号表示为

    例3.用因式分解法求解方程

    解:化简得

    进一步化简得到

    (二重跟即方程有两个相等的根2)

    (4)韦达定理(即根与系数的关系):方程

    (
    )的两根为x和y,则有
    ,

    例4.用跟与系数的关系求解方程

    解:化简得

    设方程两根为x,y,则

    根据韦达定理可得x+y=-4/3,xy=1/3

    由x+y=-4/3得x=-4/3-y

    得y(-4/3-y)=1/3

    得y=-1或y=-1/3

    ∴方程的解为x=-1或x=-1/3

    总结:上面四种方法是我们求解一元二次方程时常用的方法,其中前三种是求解时最常见的,韦达定理在求根中并不常见,但在后面求解一元二次方程系数时是最常见的方法,因此,就算课本上韦达定理这一节带着*号,老师仍然还要着重强调的原因。

    今天,关于一元二次方程的题型就给大家分享这么多,明天将继续为大家分享一元二次方程常见的题型。

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  • 记得在初中三年级就学过求解一元二次方程,万能的求根公式就行了。最近看到卡耐基梅隆大学的一个教授发明了一种简单方法1,看起来有点意思,的确比求根公式要简单很多。 具体方法 对于任意一个一元二次方程都可以...

    记得在初中三年级就学过求解一元二次方程,万能的求根公式就行了。最近看到卡耐基梅隆大学的一个教授发明了一种简单方法1,看起来有点意思,的确比求根公式要简单很多。

    具体方法

    对于任意一个一元二次方程都可以化简为如下形式:
    x2+bx+c=0 x^2 +b x + c = 0
    两个复数域的根为x1,x2.根据韦达定理

    x1+x2=b,x1x2=c x_1 + x_2 = -b, x_1 x_2 = c

    假定存在一个复数z使得:
    x1=b2+zx2=b2z x_1 = -\frac{b}{2} + z \\ x_2 = -\frac{b}{2} - z

    那么两个相乘就有:
    x1x2=b24z2=c x_1x_2 = \frac{b^2}{4} - z^2 = c
    可以得到z的结果:
    z=±b24c z = \pm \sqrt{\frac{b^2}{4} - c}
    于是得到方程的解:
    x1,2=b2±b24c x_1,_2 = -\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4} - c}
    最终的结果化简以后就是求根公式的结果(否则就有问题了)。从以上的推导过程可能没有发现简单,接下来看几个例子。

    例子说明

    我们来看一个例子,求解下面方程的根:
    x22x+4=0 x^2 - 2x + 4 = 0
    方程的两根为:
    x1,2=1±z x_1,_2 = 1 \pm z
    (1+z)(1z)=1z2=4 (1+z)(1-z) = 1-z^2 = 4
    z=±3i z =\pm \sqrt 3 i

    于是方程的根为:
    x1,2=1±3i x_1,_2 = 1 \pm \sqrt 3 i

    我们再来看一了例子。求解下面方程的根
    2x2+3x4=0 2x^2 + 3x - 4 = 0
    化简一下得到:
    x2+32x2=0 x^2 + \frac{3}{2}x - 2 = 0
    假设方程的两根为:
    x1,2=34±z x_1,_2 = -\frac{3}{4} \pm z
    (34+z)(34z)=916z2=2 (-\frac 3 4+z)(-\frac 3 4-z) =\frac{9}{16} - z^2 = -2
    z=±414 z = \pm \frac{\sqrt {41} }{4}
    于是方程的根为:
    x1,2=34±414 x_1,_2 = -\frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt {41} }{4}

    总结

    正如作者在原文中说到,使用这个方法你不需要记住公式,同时计算也非常简单。我觉得这个方法有意思的地方在于引入的数z,因为两根之和是-b/2,那么两个根应该在这个平均数上下浮动,假定这个浮动数就是z,只要解出这个浮动数z,方程的就能求解了,而求解z的时候是一个平方差公式,计算就变得非常容易了。

    是不是有点意思。在此还是挺佩服作者的思考,不按常规出牌的思维。

    参考资料


    1. A new way to make quadratic equations easy ↩︎

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一元二次方程简单解法